Exercices — Espaces préhilbertiens réels

Dans tout l'exercice, $x=(x_1,x_2)$ et $y=(y_1,y_2)$ désignent deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$, et $x=(x_1,x_2,x_3)$, $y=(y_1,y_2,y_3)$ deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Pour chacune des applications ci-dessous, dire si elle définit un produit scalaire sur l'espace indiqué. Si oui, vérifier les axiomes ; si non, nommer précisément l'axiome en défaut et donner un contre-exemple explicite.

2. Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que l'application $\phi (x,y)=a{x}_1{y}_1+b{x}_2{y}_2$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^2$ si et seulement si $a>0$ et $b>0$.

1. On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique et l'on pose $x=(1,2,-1,3)$ et $y=(2,0,1,-1)$.

a. Calculer $⟨x,y⟩$, $\parallel x\parallel$ et $\parallel y\parallel$.

b. Calculer la distance $d(x,y)$, puis retrouver le résultat en développant $\parallel x-y{\parallel }^2$.

2. On munit ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)$ et l'on pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

a. Calculer la matrice ${}^{\mathrm{t}}AB$, puis $⟨A,B⟩$.

b. Montrer que pour $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on a $⟨A,B⟩={\sum }_{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}{b}_{ij}$. Retrouver le résultat du a., puis calculer $\parallel A\parallel$ et $\parallel B\parallel$.

3. On munit $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$, et l'on pose $f(t)=t$ et $g(t)={\mathrm{e}}^t$. Calculer $⟨f,g⟩$, $\parallel f\parallel$ et $\parallel g\parallel$, puis vérifier numériquement l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

4. On munit ${\mathbb{R}}_2[X]$ de $⟨P,Q⟩=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$, et l'on pose $P=X^2$ et $Q=X+1$.

a. Calculer $⟨P,Q⟩$, $\parallel P\parallel$ et $\parallel Q\parallel$.

b. Justifier en une ligne que cette application est bien définie positive sur ${\mathbb{R}}_2[X]$, et expliquer pourquoi l'argument tombe en défaut sur ${\mathbb{R}}_3[X]$.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et soient $x$, $y$ deux vecteurs de $E$ tels que

$$\parallel x\parallel =3,\parallel y\parallel =5,⟨x,y⟩=-4.$$

1. Calculer les quantités suivantes.

2. Vérifier sur ces valeurs les deux identités de polarisation

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x-y{\parallel }^2)\text{et}⟨x,y⟩=\frac{1}{2}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x{\parallel }^2-\parallel y{\parallel }^2)\mathrm{.}$$

3. Énoncer et vérifier l'identité du parallélogramme sur ces mêmes valeurs.

4. Soit $z\in E$ tel que $\parallel z\parallel =2$, $⟨x,z⟩=1$ et $⟨y,z⟩=0$. Développer $\parallel x+y+z{\parallel }^2$ dans le cas général, puis calculer $\parallel x+y+z\parallel$.

1. Soient $a$, $b$, $c$ trois réels.

a. Montrer que $\mid a+2b+3c\mid ⩽\sqrt{14}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

b. En déduire un majorant de $\mid a+2b+3c\mid$ lorsque $a^2+b^2+c^2=7$.

c. Déterminer tous les triplets $(a,b,c)$ tels que $a^2+b^2+c^2=7$ et $a+2b+3c=7\sqrt{2}$.

2. On munit $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$ et de la norme associée. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$.

a. Montrer que $\mid {\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}\mid ⩽\parallel f\parallel$.

b. Montrer que $\mid {\displaystyle {\int }_0^{1}tf(t)\mathrm{d}t}\mid ⩽{\displaystyle \frac{\parallel f\parallel }{\sqrt{3}}}$.

c. Préciser le cas d'égalité dans b. et vérifier la majoration sur un exemple qui la réalise.

3. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs d'un espace préhilbertien réel tels que $\parallel x\parallel =3$ et $\parallel y\parallel =5$. Encadrer $\parallel x+y\parallel$, préciser les deux cas d'égalité, et situer dans cet encadrement la valeur obtenue lorsque $⟨x,y⟩=-4$.

Dans les questions 1. et 2., l'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique.

1. On pose $u=(1,2,-1)$ et, pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $v_{\lambda }=(3,\lambda ,1)$.

a. Déterminer la valeur de $\lambda$ pour laquelle $u$ et $v_{\lambda }$ sont orthogonaux.

b. Pour cette valeur de $\lambda$, vérifier le théorème de Pythagore en calculant $\parallel u+v_{\lambda }{\parallel }^2$ de deux façons.

2. On pose $a=(1,1,0)$, $b=(1,-1,0)$ et $c=(0,0,1)$. Montrer que ces trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux, en déduire que $(a,b,c)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis calculer $\parallel a+b+c\parallel$ par le théorème de Pythagore et vérifier le résultat par un calcul direct.

3. On munit $\mathcal{C}([-1,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$. Montrer que les fonctions $f:t\mapsto t$ et $g:t\mapsto t^2$ sont orthogonales, puis en déduire $\parallel f+g\parallel$.

4. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs d'un espace préhilbertien réel. Montrer que $\parallel x+y\parallel =\parallel x-y\parallel$ si et seulement si $x$ et $y$ sont orthogonaux.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et l'on pose

$$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),e_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\mathrm{.}$$

1. Montrer que la famille $(e_1,e_2)$ est orthonormale. Qu'en déduit-on immédiatement quant à sa liberté ?

2. Déterminer tous les vecteurs $e_3$ de ${\mathbb{R}}^3$ tels que $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ soit une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$. On retiendra dans la suite $e_3={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}(1,1,-2)$.

3. Soit $x=(1,2,3)$. Calculer les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal{B}$ à l'aide de la formule $x={\displaystyle \sum _{i=1}^3⟨x,e_i⟩e_i}$, puis vérifier le résultat en recomposant $x$.

4. Vérifier sur cet exemple que $\parallel x{\parallel }^2={\displaystyle \sum _{i=1}^3⟨x,e_i{⟩}^2}$.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et l'on pose

$$u_1=(1,1,0),u_2=(1,0,1),u_3=(0,1,1)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à cette base, en détaillant les trois étapes : construction de $e_1$, puis de $e_2$, puis de $e_3$.

3. Vérifier que la famille $(e_1,e_2,e_3)$ obtenue est bien orthonormée.

4. Vérifier que $\mathrm{Vect}(e_1,e_2)=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)$.

Dans les questions 1. et 2., l'espace ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨x,y⟩={\displaystyle \sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k}$.

1. Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose $u=(1,2,-1)$ et $D=\mathrm{Vect}(u)$.

a. Déterminer une équation cartésienne de $D^{\perp }$, puis une base de $D^{\perp }$.

b. Vérifier que $\dim D+\dim D^{\perp }=3$.

2. Dans ${\mathbb{R}}^4$, on pose $v_1=(1,1,0,0)$, $v_2=(0,1,1,1)$ et $F=\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$.

a. Écrire le système caractérisant $F^{\perp }$, puis le résoudre.

b. En déduire une base de $F^{\perp }$ et vérifier que $\dim F+\dim F^{\perp }=4$.

3. Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $A$ une partie de $E$.

1. Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $u$ un vecteur non nul de $E$ et $D=\mathrm{Vect}(u)$. Montrer que le projeté orthogonal d'un vecteur $x$ de $E$ sur $D$ est

$$p_D(x)={\displaystyle \frac{⟨x,u⟩}{\parallel u{\parallel }^2}}u,$$

et rappeler comment s'exprime la distance $d(x,D)$.

2. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, on prend $x=(1,2,3)$, $u=(1,1,1)$ et $D=\mathrm{Vect}(u)$.

a. Calculer $p_D(x)$ et le vecteur résiduel $x-p_D(x)$, puis vérifier que ce dernier est orthogonal à $u$.

b. En déduire $d(x,D)$, et contrôler le résultat par le théorème de Pythagore.

3. On munit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$. On note $\mathbf{1}$ la fonction constante égale à $1$ et $D=\mathrm{Vect}(\mathbf{1})$.

a. Montrer que pour toute $f\in E$, $p_D(f)$ est la fonction constante égale à la valeur moyenne de $f$ sur $[0,1]$.

b. Pour $f:t\mapsto t^2$, calculer $p_D(f)$, vérifier que $f-p_D(f)$ est orthogonale à $\mathbf{1}$, puis calculer $d(f,D)$.

Soit $n\in \mathbb{N}$ avec $n⩾2$. Pour $P,Q\in {\mathbb{R}}_n[X]$, on pose $⟨P,Q⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$.

1. Montrer que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$. On soignera particulièrement le caractère défini.

2. Calculer les quantités suivantes.

c. Vérifier l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le couple $(1,X)$ et dire si elle est stricte.

3. On pose maintenant, pour $P,Q\in \mathbb{R}[X]$, $\phi (P,Q)={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P(k)Q(k)}$.

a. Montrer que la restriction de $\phi$ à ${\mathbb{R}}_n[X]$ est un produit scalaire.

b. Montrer que $\phi$ n'est pas un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, en exhibant un polynôme non nul $P_0$ tel que $\phi (P_0,P_0)=0$. Quelle propriété est exactement en défaut ?

Soit $n⩾1$. Pour $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)$.

1. Montrer que $⟨A,B⟩={\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}}$.

2. En déduire que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, puis que $\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AA\right)=0$ entraîne $A=0$.

3. Calculer $\parallel A\parallel$ et $\parallel B\parallel$ pour

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 1& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),$$

et contrôler la valeur de $\parallel A\parallel$ en calculant la matrice ${}^{\mathrm{t}}AA$.

4. Montrer que la base canonique ${\left(E_{ij}\right)}_{1⩽i,j⩽n}$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est orthonormale, puis calculer $\parallel I_n\parallel$.

5. Montrer que $⟨A,B⟩=⟨{}^{\mathrm{t}}A,{}^{\mathrm{t}}B⟩$ pour toutes matrices $A$ et $B$.

Dans tout l'exercice, $n⩾1$ et ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique.

1. Soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels. Montrer que ${\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}\right)}^2⩽n{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k^2}$, et préciser le cas d'égalité.

2. Soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels strictement positifs. Montrer que $\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}\right)\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{a_k}}}\right)⩾n^2$, et préciser le cas d'égalité.

3. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\sqrt{k}⩽n\sqrt{{\displaystyle \frac{n+1}{2}}}}$, puis vérifier numériquement l'inégalité pour $n=4$.

4. Soient $a,b,c$ trois réels tels que $a+b+c=1$.

a. Montrer que $a^2+b^2+c^2⩾{\displaystyle \frac{1}{3}}$, et déterminer le cas d'égalité.

b. On suppose de plus $a,b,c$ strictement positifs. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}⩾9$.

Soient $a<b$ deux réels. On munit $E=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ de $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$.

1. Justifier que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$, puis énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité dans ce cadre.

2. Montrer que pour toute fonction $f$ continue sur $[0,1]$, ${\left({\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}\right)}^2⩽{\displaystyle {\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t}$, et caractériser le cas d'égalité.

3. Soit $f$ continue et strictement positive sur $[0,1]$. Montrer que $\left({\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}\right)\left({\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{f(t)}}}\right)⩾1$, et préciser le cas d'égalité.

4. Majorer ${\displaystyle {\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t}$ par l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Calculer exactement les deux membres obtenus, puis les comparer à ${10}^{-2}$ près. L'inégalité est-elle stricte ?

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, dont la norme est définie par $\parallel x\parallel =\sqrt{⟨x,x⟩}$.

1.a. Démontrer, à partir de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que $\parallel x+y\parallel ⩽\parallel x\parallel +\parallel y\parallel$ pour tous $x,y\in E$.

1.b. Montrer qu'il y a égalité si et seulement si l'un des deux vecteurs est un multiple positif de l'autre.

2. En déduire l'inégalité triangulaire renversée : $\mid \parallel x\parallel -\parallel y\parallel \mid ⩽\parallel x-y\parallel$.

3. On pose $d(x,y)=\parallel x-y\parallel$. Montrer que $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ pour tous $x,y,z\in E$, et que $d(x,y)=0$ équivaut à $x=y$.

4. On munit $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$, et l'on pose $f:t\mapsto t$ et $g:t\mapsto 1-t$. Calculer $\parallel f\parallel$ et $\parallel g\parallel$, en déduire la majoration de $\parallel f+g\parallel$ fournie par la question 1.a, puis calculer la valeur exacte de $\parallel f+g\parallel$. Expliquer pourquoi l'inégalité est stricte.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un espace préhilbertien réel, de produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de norme associée $\parallel \cdot \parallel$.

1. Démontrer que, pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $E$,

$$\parallel x+y{\parallel }^2+\parallel x-y{\parallel }^2=2\parallel x{\parallel }^2+2\parallel y{\parallel }^2\mathrm{.}$$

2. Interpréter cette égalité dans le parallélogramme de sommets $0$, $x$, $x+y$ et $y$. Que devient-elle lorsque $x$ et $y$ sont orthogonaux ?

3. Soient $a$ et $b$ deux vecteurs de $E$, et $m={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$. Démontrer le théorème de la médiane : pour tout $x\in E$,

$$\parallel x-a{\parallel }^2+\parallel x-b{\parallel }^2=2{\parallel x-\frac{a+b}{2}\parallel }^2+\frac{\parallel a-b{\parallel }^2}{2}\mathrm{.}$$

4. Soit $k$ un réel. On pose ${\mathcal{S}}_k=\{x\in E|\parallel x-a{\parallel }^2+\parallel x-b{\parallel }^2=k\}$.

a. Déterminer ${\mathcal{S}}_k$ en discutant selon la valeur de $k$.

b. Dans $E={\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, avec $a=(1,2,0)$ et $b=(3,0,2)$ : préciser ${\mathcal{S}}_k$ selon $k$, puis vérifier directement que $x_0=(2+\sqrt{7},1,1)$ appartient à ${\mathcal{S}}_{20}$.

L'espace ${\mathbb{R}}^4$ est muni de son produit scalaire canonique. On pose

$$u_1=(1,1,0,0),u_2=(1,0,1,0),u_3=(0,1,1,1),$$

et l'on note $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3)$.

1. Montrer que la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est libre et préciser $\dim F$.

2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à $(u_1,u_2,u_3)$ pour construire une base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)$ de $F$.

3. Déterminer $F^{\perp }$, puis en donner un vecteur unitaire $e_4$.

4. Justifier que $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^4$, et vérifier explicitement toutes les relations d'orthogonalité.

Sur $E={\mathbb{R}}_2[X]$, on pose

$$⟨P,Q⟩={\int }_{-1}^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$, et calculer ${\displaystyle {\int }_{-1}^1{t}^n\mathrm{d}t}$ pour $n\in \{0,1,2,3,4\}$.

2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique $(1,X,X^2)$ de $E$. On note $(L_0,L_1,L_2)$ la base orthonormée obtenue.

3. Constater que chaque $L_k$ a la parité de son degré, et expliquer ce phénomène sans refaire les calculs.

4. Déterminer les coordonnées de $P=X^2+X+1$ dans la base $(L_0,L_1,L_2)$, puis contrôler le résultat en calculant $\parallel P{\parallel }^2$ de deux manières.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie.

1. On suppose $F\mathrm{\ne }\{0\}$ et l'on note $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_p)$ une base orthonormée de $F$.

a. Démontrer que $F\cap F^{\perp }=\{0\}$.

b. Soit $x\in E$. On pose $y={\displaystyle \sum _{i=1}^p⟨x,{\epsilon }_i⟩{\epsilon }_i}$. Démontrer que $x-y\in F^{\perp }$, puis conclure que $E=F\oplus F^{\perp }$.

2. On suppose de plus $E$ euclidien de dimension $n$. Démontrer que $\dim F^{\perp }=n-\dim F$, puis que ${\left(F^{\perp }\right)}^{\perp }=F$.

3. Dans ${\mathbb{R}}^4$ muni du produit scalaire canonique, on considère

$$F=\{x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4|x_1+x_2+x_3+x_4=0\text{ et }{x}_1-x_2+x_3-x_4=0\}\mathrm{.}$$

a. Déterminer une base de $F$ et $\dim F$.

b. Déterminer $F^{\perp }$ et vérifier la relation entre les dimensions.

c. Décomposer $x=(1,2,3,4)$ sous la forme $x=x_F+x_{F^{\perp }}$, et contrôler le résultat par le théorème de Pythagore.

4. Vigilance. Sur $E=\mathbb{R}[X]$, on pose $⟨P,Q⟩={\displaystyle \sum _{k=0}^n{p}_k{q}_k}$, où $n$ majore les degrés de $P=\sum p_k{X}^k$ et $Q=\sum q_k{X}^k$ (c'est un produit scalaire, on l'admet). Soit $F=\{P\in \mathbb{R}[X]\mid P(1)=0\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ vérifiant $F^{\perp }=\{0\}$ et $F\mathrm{\ne }E$. Quelle hypothèse du théorème de la question 1 est ici mise en défaut ?

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique. On pose

$$u_1=(1,1,0),u_2=(1,0,1),P=\mathrm{Vect}(u_1,u_2),x=(1,2,3)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $P$ est un plan vectoriel et en donner une équation cartésienne.

2. Première méthode. Construire une base orthonormée $(e_1,e_2)$ de $P$ par le procédé de Gram-Schmidt, puis calculer $p_P(x)$.

3. Deuxième méthode. Chercher $p_P(x)$ sous la forme $y=\alpha u_1+\beta u_2$ en écrivant que $⟨x-y,u_1⟩=⟨x-y,u_2⟩=0$. Comparer avec la question 2.

4. Troisième méthode. Déterminer $P^{\perp }$, puis utiliser la relation $p_P=\mathrm{id}-p_{P^{\perp }}$.

5. Calculer $d(x,P)$ et contrôler le résultat par le théorème de Pythagore.

Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de manière unique en $x=x_F+x_{\perp }$ avec $x_F\in F$ et $x_{\perp }\in F^{\perp }$, et l'on pose $p_F(x)=x_F$.

1. Démontrer les propriétés suivantes.

a. $p_F$ est un endomorphisme de $E$.

b. $p_F\circ p_F=p_F$, $\mathrm{Im}{p}_F=F$ et $\ker p_F=F^{\perp }$.

c. $p_F+p_{F^{\perp }}={\mathrm{id}}_E$.

2. Démontrer que $\parallel p_F(x)\parallel ⩽\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$, et déterminer le cas d'égalité.

3. Démontrer que $⟨p_F(x),y⟩=⟨x,p_F(y)⟩$ pour tous $x,y\in E$.

4. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, on prend pour $F$ le plan d'équation $x_1+x_2+x_3=0$. Écrire la matrice $M$ de $p_F$ dans la base canonique, vérifier que $M^2=M$, et calculer $p_F((1,2,3))$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et $H$ un hyperplan de $E$, c'est-à-dire un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$.

1. a. Démontrer que $H^{\perp }$ est une droite vectorielle, et que $H=\{a{\}}^{\perp }$ pour tout vecteur non nul $a$ de $H^{\perp }$. Un tel vecteur $a$ est appelé vecteur normal à $H$.

b. Démontrer que deux vecteurs normaux à $H$ sont colinéaires : le vecteur normal est unique à un facteur non nul près.

2. a. Démontrer que, pour tout $x\in E$, $d(x,H)={\displaystyle \frac{\mid ⟨a,x⟩\mid }{\parallel a\parallel }}$.

b. Préciser l'unique vecteur de $H$ qui réalise cette distance, et justifier son unicité.

3. Applications numériques.

a. Dans ${\mathbb{R}}^3$ : distance de $x=(1,2,3)$ au plan $H_1$ d'équation $2x_1-x_2+2x_3=0$, et point de $H_1$ le plus proche de $x$.

b. Dans ${\mathbb{R}}^4$ : distance de $x=(1,1,1,1)$ à l'hyperplan $H_2$ d'équation $x_1+2x_2-x_3+3x_4=0$.

4. Variante affine. Dans ${\mathbb{R}}^3$, soit $\mathcal{P}$ le plan affine d'équation $a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=d$, avec $(a,b,c)\mathrm{\ne }(0,0,0)$. Démontrer que la distance d'un point $x^0=(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$ à $\mathcal{P}$ vaut ${\displaystyle \frac{\mid a{x}_1^0+b{x}_2^0+c{x}_3^0-d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$, puis l'appliquer au point $A=(1,1,1)$ et au plan d'équation $2x_1-x_2+2x_3=6$.

L'espace $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ est muni du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$. On note $u_0:t\mapsto 1$, $u_1:t\mapsto t$, $F=\mathrm{Vect}(u_0,u_1)$ et $f:t\mapsto {\mathrm{e}}^t$. On cherche

$$m=\underset{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2}{\min }{\int }_0^1{({\mathrm{e}}^t-a-bt)}^2\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Justifier que ce minimum existe et qu'il vaut $d(f,F{)}^2$.

2. Calculer les six produits scalaires $⟨u_0,u_0⟩$, $⟨u_0,u_1⟩$, $⟨u_1,u_1⟩$, $⟨f,u_0⟩$, $⟨f,u_1⟩$ et $⟨f,f⟩$.

3. Déterminer le couple $(a,b)$ optimal en écrivant que $f-(a{u}_0+b{u}_1)$ est orthogonal à $F$.

4. En déduire la valeur exacte de $m$, puis une valeur approchée.

5. Contrôler le résultat en construisant une base orthonormée de $F$, et expliquer ce que signifie « meilleure approximation au sens des moindres carrés » en comparant avec l'approximation affine $t\mapsto 1+t$ issue de la formule de Taylor en $0$.

Soit $n⩾2$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de l'application

$$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right),$$

et l'on note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid {}^{\mathrm{t}}M=M\}$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid {}^{\mathrm{t}}M=-M\}$.

1. Montrer que $⟨A,B⟩={\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}{b}_{ij}}$, puis que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Montrer que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\oplus {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

3. Montrer que tout élément de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est orthogonal à tout élément de ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$, puis en déduire que ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}{)}^{\perp }$.

4. En déduire, pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, l'expression du projeté orthogonal $p_{{\mathcal{S}}_n}(M)$ de $M$ sur ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, puis celle de la distance $d(M,{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}))$ en fonction de $M-{}^{\mathrm{t}}M$.

5. Application : calculer $p_{{\mathcal{S}}_3}(M)$ et $d(M,{\mathcal{S}}_3(\mathbb{R}))$ pour

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

et vérifier le résultat par le théorème de Pythagore.

6. Déterminer $\dim {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ en exhibant une base, puis en déduire $\dim {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

Soit $n⩾1$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)$ et l'on note $\parallel A\parallel =\sqrt{\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AA\right)}$ la norme associée, dite norme de Frobenius.

1. Montrer que $⟨A,B⟩={\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}{b}_{ij}}$, et en déduire que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est bien un produit scalaire. Vérifier que $\parallel {}^{\mathrm{t}}A\parallel =\parallel A\parallel$.

2. Démontrer que pour toute $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, ${(\mathrm{tr}A)}^2⩽n\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AA\right)$, et déterminer le cas d'égalité.

3. Démontrer que pour toutes $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, ${(\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right))}^2⩽\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AA\right)\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}BB\right)$.

4. Démontrer que $\mid \mathrm{tr}(AB)\mid ⩽\parallel A\parallel \parallel B\parallel$, puis en déduire que $\mathrm{tr}\left(A^2\right)⩽\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AA\right)$.

5. Application : comparer les deux membres de chacune de ces inégalités pour

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $(e_1,\dots ,e_p)$ une famille orthonormée finie de $E$. On pose $F=\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_p)$.

1. Montrer que la famille $(e_1,\dots ,e_p)$ est libre, puis que le projeté orthogonal de $x\in E$ sur $F$ est $p_F(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^p⟨x,e_k⟩e_k}$.

2. En déduire l'inégalité de Bessel : pour tout $x\in E$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^p⟨x,e_k{⟩}^2⩽\parallel x{\parallel }^2}$. Exprimer au passage $d(x,F{)}^2$.

3. Déterminer le cas d'égalité.

4. Application dans ${\mathbb{R}}^4$ muni du produit scalaire canonique : vérifier que $e_1=\frac{1}{2}(1,1,1,1)$ et $e_2=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)$ forment une famille orthonormée, puis vérifier l'inégalité de Bessel pour $x=(1,2,3,4)$ et calculer $d(x,F)$.

5. Application dans $\mathcal{C}([-\pi ,\pi ],\mathbb{R})$ muni de $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)\mathrm{d}t}$ : montrer que les fonctions $u:t\mapsto \frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos t$ et $v:t\mapsto \frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin t$ forment une famille orthonormée, et en déduire une inégalité portant sur ${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos t\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sin t\mathrm{d}t}$. Tester cette inégalité sur $f:t\mapsto t$.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.

1. Démontrer que si $F\subset G$, alors $G^{\perp }\subset F^{\perp }$.

2. Démontrer que $(F+G{)}^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$.

3. Démontrer que $F\subset {\left(F^{\perp }\right)}^{\perp }$, puis que l'égalité a lieu dès que $F$ est de dimension finie.

4. Démontrer que $F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G{)}^{\perp }$, puis que l'égalité a lieu lorsque $E$ est de dimension finie.

5. Application. Dans ${\mathbb{R}}^4$ muni du produit scalaire canonique, on pose

$$F=\mathrm{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1))\text{et}G=\mathrm{Vect}((1,0,1,0),(0,1,0,1))\mathrm{.}$$

Déterminer $F^{\perp }$, $G^{\perp }$, $F\cap G$ et $F+G$, puis vérifier sur cet exemple chacune des formules des questions 2, 3 et 4.

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. On dit qu'une norme $N$ sur $E$ provient d'un produit scalaire lorsqu'il existe un produit scalaire $\phi$ sur $E$ tel que $N(x)=\sqrt{\phi (x,x)}$ pour tout $x\in E$.

1. Démontrer que si $N$ provient d'un produit scalaire, alors elle vérifie l'identité du parallélogramme :

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,N(x+y{)}^2+N(x-y{)}^2=2(N(x{)}^2+N(y{)}^2)\mathrm{.}$$

Quel critère de rejet en déduit-on ?

2. Sur ${\mathbb{R}}^2$, on pose $N_1(x)=\mid x_1\mid +\mid x_2\mid$. Démontrer que $N_1$ ne provient d'aucun produit scalaire.

3. Même question pour $N_{\mathrm{\infty }}(x)=\max (\mid x_1\mid ,\mid x_2\mid )$.

4. Sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, on pose $\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \underset{t\in [0,1]}{\sup }\mid f(t)\mid }$. Démontrer, à l'aide des fonctions $f:t\mapsto t$ et $g:t\mapsto 1-t$, que cette norme ne provient d'aucun produit scalaire.

5. Dans l'autre sens. Sur ${\mathbb{R}}^2$, on pose $N(x)=\sqrt{x_1^2+3x_2^2+2x_1{x}_2}$. Démontrer que cette expression a bien un sens, qu'elle définit une norme provenant d'un produit scalaire que l'on exhibera, et vérifier l'identité du parallélogramme sur un exemple numérique.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$, et soit $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }x\in E,\parallel f(x)\parallel =\parallel x\parallel \mathrm{.}$$

1. Démontrer l'identité de polarisation $⟨x,y⟩={\displaystyle \frac{1}{2}}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x{\parallel }^2-\parallel y{\parallel }^2)$, puis en déduire que

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩\mathrm{.}$$

2. Démontrer que $f$ est injectif, puis bijectif.

3. Démontrer que l'image par $f$ d'une base orthonormée de $E$ est une base orthonormée de $E$.

4. Réciproquement, soit $g$ un endomorphisme de $E$ tel qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$ dont l'image $(g(e_1),\dots ,g(e_n))$ soit encore une base orthonormée. Démontrer que $g$ conserve la norme.

5. Application. Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni du produit scalaire canonique, déterminer tous les couples $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que l'endomorphisme $u$ de matrice $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ dans la base canonique conserve la norme. Retrouver le résultat par un calcul direct sur $\parallel u(x){\parallel }^2$.

On munit ${\mathbb{R}}_3[X]$ de $⟨P,Q⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$, et l'on cherche à calculer

$$m=\underset{(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3}{\min }{\int }_0^1{(t^3-a{t}^2-bt-c)}^2\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Démontrer que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_3[X]$.

2. Démontrer que la borne inférieure ci-dessus est atteinte en un unique triplet $(a,b,c)$, et qu'elle vaut $d{(X^3,{\mathbb{R}}_2[X])}^2$.

3. Écrire le système linéaire caractérisant le projeté orthogonal de $X^3$ sur ${\mathbb{R}}_2[X]$, puis le résoudre. On donnera $a$, $b$ et $c$ sous forme de fractions exactes.

4. En déduire la valeur exacte de $m$.

5. Vérifier ce résultat en recalculant directement l'intégrale avec les valeurs trouvées.

6. Quel est le lien entre le polynôme $X^3-a{X}^2-bX-c$ obtenu et le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt appliqué à $(1,X,X^2,X^3)$ ?

On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique $⟨x,y⟩={\sum }_{k=1}^4{x}_k{y}_k$ et de la norme associée. On pose

$$u_1=(1,1,0,1),u_2=(1,0,1,1),x=(1,2,3,4),F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $(u_1,u_2)$ est une base de $F$, puis justifier que $p_F(x)$ est l'unique vecteur $y\in F$ vérifiant le système normal

$$⟨x-y,u_1⟩=0\text{et}⟨x-y,u_2⟩=0.$$

2. Résoudre ce système, en déduire $p_F(x)$ puis $d(x,F)$.

3. Déterminer une base de $F^{\perp }$, calculer $p_{F^{\perp }}(x)$ par la même méthode, et vérifier que $\parallel p_{F^{\perp }}(x)\parallel$ redonne la valeur de $d(x,F)$ obtenue à la question 2.

4. Vérifier numériquement l'égalité $\parallel x{\parallel }^2=\parallel p_F(x){\parallel }^2+d(x,F{)}^2$ et nommer le théorème dont il s'agit.

5. Méthode générale. Dans ${\mathbb{R}}^n$, on cherche la distance d'un vecteur à un sous-espace $F$ de dimension $p$. Dans quels cas vaut-il mieux projeter sur $F$, dans quels cas sur $F^{\perp }$ ?

Pour $x=(x_1,x_2,x_3)$ et $y=(y_1,y_2,y_3)$ dans ${\mathbb{R}}^3$, on note $X$ et $Y$ les colonnes de leurs coordonnées dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$. Étant donnée $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ symétrique, on pose

$$⟨x,y{⟩}_A={}^{\mathrm{t}}XAY\text{et}q(x)=⟨x,x{⟩}_A\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, sauf à la dernière question,

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que pour toute matrice symétrique $A$, l'application $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$ est une forme bilinéaire symétrique sur ${\mathbb{R}}^3$. Expliciter $q(x)$ pour la matrice ci-dessus.

2. Écrire $q(x)$ comme une somme de carrés à coefficients strictement positifs (méthode de Gauss : on élimine successivement les variables). En déduire que $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^3$.

3. Calculer $\parallel e_1{\parallel }_A$, $\parallel e_2{\parallel }_A$, $\parallel e_3{\parallel }_A$ et $⟨e_1,e_2{⟩}_A$. Comparer avec la norme euclidienne usuelle.

4. Orthonormaliser la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ par le procédé de Gram-Schmidt, pour le produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_A$.

5. Donner un exemple de matrice symétrique $B$ pour laquelle $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_B$ n'est pas un produit scalaire, en précisant quel axiome échoue. Traiter les deux façons d'échouer.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour une famille $(u_1,\dots ,u_p)$ de vecteurs de $E$, on appelle matrice de Gram de la famille la matrice

$$G(u_1,\dots ,u_p)={(⟨u_i,u_j⟩)}_{1⩽i,j⩽p}\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Pour $\mathrm{\Lambda }={}^{\mathrm{t}}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p)\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$, on note $u_{\mathrm{\Lambda }}={\displaystyle \sum _{j=1}^p{\lambda }_j{u}_j}$. On écrit $G$ pour $G(u_1,\dots ,u_p)$.

1. Montrer que $G$ est symétrique, puis établir les deux identités

$${\left(G\mathrm{\Lambda }\right)}_i=⟨u_i,u_{\mathrm{\Lambda }}⟩(1⩽i⩽p)\text{et}{}^{\mathrm{t}}\mathrm{\Lambda }G\mathrm{\Lambda }=\parallel u_{\mathrm{\Lambda }}{\parallel }^2\mathrm{.}$$

2. Démontrer que la famille $(u_1,\dots ,u_p)$ est libre si et seulement si $\det G\mathrm{\ne }0$. (Pour le sens « $\det G=0$ entraîne liée », on partira d'un vecteur non nul du noyau de $G$.)

3. On suppose la famille libre et l'on note $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$. Montrer qu'il existe $M\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ telle que $G={}^{\mathrm{t}}MM$, et en déduire $\det G>0$.

4. La famille étant toujours libre, soit $x\in E$. Démontrer la formule

$$d(x,F{)}^2=\frac{\det G(u_1,\dots ,u_p,x)}{\det G(u_1,\dots ,u_p)}\mathrm{.}$$

(On effectuera une opération sur la dernière colonne de $G(u_1,\dots ,u_p,x)$.)

5. Dans ${\mathbb{R}}^3$ euclidien canonique, on pose $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(0,1,1)$ et $x=(1,0,0)$. Calculer $d(x,F)$ par la formule de la question 4, puis la retrouver par la projection orthogonale directe.