Devoir surveillé — Espaces préhilbertiens réels

Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée, et aucune valeur numérique approchée n'est exigée. Un résultat non justifié ne rapporte aucun point, et la qualité de la rédaction entre pour une part importante dans l'appréciation des copies. Sauf mention contraire, ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique.

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. On rappelle que l'angle entre deux vecteurs non nuls $x$ et $y$ d'un espace préhilbertien réel est l'unique réel $\theta \in [0,\pi ]$ tel que $\cos \theta ={\displaystyle \frac{⟨x,y⟩}{\parallel x\parallel \parallel y\parallel }}$.

1. (1 pt) On munit ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{\mathrm{t}}AB)$, et l'on pose

$$T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),K=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

a. Calculer l'angle entre $I_2$ et chacune des matrices $T$, $K$ et $N$.

b. Exhiber une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ de norme $1$ faisant un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ avec $I_2$.

2. (0,75 pt) Soit $E$ un espace préhilbertien réel, soient $x$, $y$ deux vecteurs unitaires de $E$, et soit $\theta$ l'angle qu'ils forment.

a. Démontrer que $\parallel x-y\parallel =2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$.

b. En déduire que $\parallel x-y\parallel ⩽2$, avec égalité si et seulement si $y=-x$.

3. (0,75 pt) On munit ${\mathbb{R}}_2[X]$ du produit scalaire $⟨P,Q⟩={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$. Déterminer $\{X{\}}^{\perp }$, en donner une base et la dimension, puis décomposer $P_0=1+2X+3X^2$ dans la somme directe $\mathrm{Vect}(X)\oplus \{X{\}}^{\perp }$.

Dans la question 1. seulement, $n⩾1$ est un entier, $a_1,\dots ,a_n$ sont des réels quelconques et $b_1,\dots ,b_n$ des réels strictement positifs ; les questions suivantes utilisent leurs propres notations.

1. (1,25 pt) Démontrer l'inégalité

$$(\star )\sum _{k=1}^n\frac{a_k^2}{b_k}⩾\frac{{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}\right)}^2}{{\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k}},$$

et démontrer qu'il y a égalité si et seulement s'il existe un réel $\mu$ tel que $a_k=\mu b_k$ pour tout $k$.

2. (0,75 pt) Soient $x$, $y$, $z$ trois réels strictement positifs de somme $1$. Démontrer que

$$\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y}+\frac{z^2}{1-z}⩾\frac{1}{2},$$

et déterminer le cas d'égalité.

3. (1 pt) Soient $a$, $b$, $c$ trois réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité de Nesbitt

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}⩾\frac{3}{2},$$

et déterminer le cas d'égalité. (On pourra commencer par écrire chaque terme sous la forme d'un quotient dont le numérateur est un carré.)

4. (0,5 pt) On note $S(a,b,c)$ le membre de gauche de l'inégalité de Nesbitt. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $S$ lorsque $(a,b,c)$ décrit $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^3$.

Soit $n⩾2$ un entier. Pour $x=(x_1,\dots ,x_n)$ et $y=(y_1,\dots ,y_n)$ dans ${\mathbb{R}}^n$, on pose

$$⟨x,y{⟩}_{\ast }=x_1{y}_1+\sum _{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)(y_{k+1}-y_k)\mathrm{.}$$

On voit $x$ comme la ligne brisée qui joint les points de hauteurs successives $x_1,x_2,\dots ,x_n$ : le premier terme retient l'altitude de départ, la somme retient les dénivelés. On note $\parallel \cdot {\parallel }_{\ast }$ la norme associée, lorsqu'elle existe, et l'on pose $J=(1,1,\dots ,1)$ et $D=\mathrm{Vect}(J)$.

1. (1 pt) Démontrer que $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\ast }$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^n$. On soignera le caractère défini.

2. (0,75 pt) Calculer $⟨J,y{⟩}_{\ast }$ pour $y\in {\mathbb{R}}^n$ quelconque. En déduire $\parallel J{\parallel }_{\ast }$, puis démontrer que

$$D^{\perp }=\{y\in {\mathbb{R}}^n:y_1=0\},$$

l'orthogonal étant pris pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\ast }$. Vérifier la relation attendue entre $\dim D$ et $\dim D^{\perp }$.

3. (1 pt) En déduire, pour tout $x\in {\mathbb{R}}^n$, l'expression du projeté orthogonal $p_D(x)$ et celle de la distance $d(x,D)$. Commenter : quelle est la ligne brisée constante la plus proche de $x$, et que mesure la distance obtenue ? Traiter le cas $n=4$ et $x=(2,5,3,4)$, en contrôlant le résultat par le théorème de Pythagore.

4. (1,25 pt) Soit $\mathcal{A}=\{x\in {\mathbb{R}}^n:x_1=0\text{ et }{x}_n=1\}$. Déterminer

$$\underset{x\in \mathcal{A}}{\min }\sum _{k=1}^{n-1}{(x_{k+1}-x_k)}^2$$

ainsi que l'ensemble des $x$ qui le réalisent. Interpréter le résultat sur les lignes brisées.

On pose $a_1=-3$, $a_2=-1$, $a_3=1$, $a_4=3$, et l'on munit $E={\mathbb{R}}_3[X]$ de

$$⟨P,Q⟩=\sum _{k=1}^{4}P\left(a_k\right)Q\left(a_k\right)\mathrm{.}$$

On admet que c'est un produit scalaire sur $E$. Pour $k\in \{1,2,3,4\}$, on note $L_k$ l'unique polynôme de $E$ vérifiant $L_k(a_j)=1$ si $j=k$ et $L_k(a_j)=0$ sinon (polynômes interpolateurs de Lagrange associés aux nœuds $a_1,\dots ,a_4$).

Ce produit scalaire ne retient d'un polynôme que ses quatre valeurs aux nœuds. L'exercice montre qu'il contrôle pourtant sa valeur ailleurs, et donne la meilleure constante de ce contrôle.

1. (0,75 pt) Démontrer, sans calculer les $L_k$, que $(L_1,L_2,L_3,L_4)$ est une base orthonormée de $E$. En déduire que tout $P\in E$ s'écrit $P={\displaystyle \sum _{k=1}^{4}P(a_k)L_k}$.

2. (0,75 pt) Démontrer qu'il existe un unique polynôme $\mathrm{\Lambda }\in E$ tel que

$$\mathrm{\forall }P\in E,P(0)=⟨P,\mathrm{\Lambda }⟩,$$

et l'exprimer dans la base de Lagrange. En déduire que $\parallel \mathrm{\Lambda }{\parallel }^2=\mathrm{\Lambda }(0)$.

3. (0,75 pt) Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^4{a}_k^m}$ pour $m\in \{0,1,\dots ,6\}$. En écrivant $\mathrm{\Lambda }=\alpha +\beta X+\gamma X^2+\delta X^3$ et en traduisant la question 2. pour $P=1$, $X$, $X^2$ puis $X^3$, déterminer $\mathrm{\Lambda }$ explicitement. Contrôler le résultat à l'aide de la relation $\parallel \mathrm{\Lambda }{\parallel }^2=\mathrm{\Lambda }(0)$.

4. (0,75 pt) En déduire la plus petite constante $C$ telle que

$$\mathrm{\forall }P\in {\mathbb{R}}_3[X],\mathrm{\mid }P(0)\mathrm{\mid }⩽C\sqrt{\sum _{k=1}^{4}P(a_k{)}^2},$$

et déterminer tous les polynômes qui réalisent l'égalité. Un tel contrôle subsiste-t-il sur ${\mathbb{R}}_4[X]$ ?

Combien peut-on placer de directions deux à deux « écartées » dans un espace euclidien de dimension $n$ ? Deux vecteurs unitaires orthogonaux font un angle droit, et l'on n'en trouve pas plus de $n$ deux à deux orthogonaux. Ce problème construit une famille de $n+1$ vecteurs unitaires faisant tous le même angle, obtus, et démontre qu'on ne peut pas faire mieux.

Soit $n⩾2$ un entier. On munit ${\mathbb{R}}^{n+1}$ de son produit scalaire canonique et de sa base canonique $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{n+1})$. On pose

$$J=(1,1,\dots ,1)\in {\mathbb{R}}^{n+1},H=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}:\sum _{k=1}^{n+1}{x}_k=0\},$$

puis, pour $i\in \{1,\dots ,n+1\}$,

$$u_i={\epsilon }_i-\frac{1}{n+1}J\mathrm{.}$$

Partie A — Une famille remarquable de l'hyperplan $H$

1. (0,5 pt) Démontrer que $H=\{J{\}}^{\perp }$, que $H$ est un hyperplan de ${\mathbb{R}}^{n+1}$, et préciser $\dim H$.

2. (0,75 pt) Démontrer que $u_i\in H$ pour tout $i$, puis que

$$⟨u_i,u_j⟩=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{n}{n+1}}& \text{si }i=j,\\ -{\displaystyle \frac{1}{n+1}}& \text{si }i\mathrm{\ne }j\mathrm{.}\end{array}$$

3. (0,25 pt) Démontrer que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}{u}_i=0}$. Que peut-on en conclure sur la famille $(u_1,\dots ,u_{n+1})$ ?

4. (0,75 pt) Démontrer que $(u_1,\dots ,u_n)$ est une base de $H$. En déduire que la famille $(u_1,\dots ,u_{n+1})$ engendre $H$.

Partie B — Le simplexe régulier

On pose désormais $v_i=\sqrt{{\displaystyle \frac{n+1}{n}}}{u}_i$ pour $i\in \{1,\dots ,n+1\}$.

5. (0,5 pt) Démontrer que les $v_i$ sont unitaires et que $⟨v_i,v_j⟩=-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour $i\mathrm{\ne }j$. En déduire que deux vecteurs distincts de la famille font toujours le même angle ${\theta }_n$, que l'on exprimera.

6. (0,25 pt) Démontrer que $\parallel v_i-v_j{\parallel }^2=2+{\displaystyle \frac{2}{n}}$ pour tous $i\mathrm{\ne }j$. Commenter la terminologie « simplexe régulier ».

7. (0,25 pt) Expliciter $v_1$, $v_2$ et $v_3$ dans le cas $n=2$, et vérifier sur ces trois vecteurs les résultats des questions 3., 5. et 6.

8. (0,5 pt) Démontrer que ${\theta }_n\in ]{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi [$ pour tout $n⩾2$, et déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\theta }_n}$. Interpréter ce résultat.

Partie C — Une famille trop grande, et pourtant maximale

9. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $x\in H$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}⟨x,u_i⟩u_i=x}$. En déduire que

$$\mathrm{\forall }x\in H,\sum _{i=1}^{n+1}⟨x,v_i⟩v_i=\frac{n+1}{n}x\text{et}\sum _{i=1}^{n+1}{⟨x,v_i⟩}^2=\frac{n+1}{n}\parallel x{\parallel }^2\mathrm{.}$$

10. (0,5 pt) Comparer ces formules à celles qui valent pour une base orthonormée de $H$, et à l'inégalité de Bessel. Commenter la présence du facteur ${\displaystyle \frac{n+1}{n}}$.

11. (0,75 pt) Soit $F$ un espace euclidien et soient $w_1,\dots ,w_p$ des vecteurs unitaires de $F$ tels que $⟨w_i,w_j⟩=c$ pour tous $i\mathrm{\ne }j$, où $c$ est un réel strictement négatif fixé. Démontrer que $p⩽1-{\displaystyle \frac{1}{c}}$, et que l'égalité entraîne ${\displaystyle \sum _{i=1}^p{w}_i=0}$. En déduire que la famille $(v_1,\dots ,v_{n+1})$ est maximale pour cette propriété.

12. (1,25 pt) Soit $m⩾1$ et soit $F$ un espace euclidien de dimension $m$. On dit qu'une famille $(w_1,\dots ,w_p)$ de vecteurs non nuls de $F$ est obtusangle lorsque $⟨w_i,w_j⟩<0$ pour tous $i\mathrm{\ne }j$. Démontrer par récurrence sur $m$ qu'une telle famille vérifie $p⩽m+1$. (Pour l'hérédité, avec $p⩾3$, on projettera $w_1,\dots ,w_{p-1}$ sur l'hyperplan $\{w_p{\}}^{\perp }$ et l'on vérifiera que les projetés forment encore une famille obtusangle de vecteurs non nuls.)