Exercices — Variables aléatoires discrètes

Soit $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé et soit $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'événements. Pour $N\in \mathbb{N}$ fixé, on pose $B_N={\displaystyle \bigcup _{n⩾N}{A}_n}$.

1. Traduire à l'aide de quantificateurs, pour $\omega \in \mathrm{\Omega }$, chacune des appartenances suivantes, puis énoncer en français ce que signifie la réalisation de l'événement correspondant.

2. Justifier que ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n}$, ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n}$ et $B_N$ sont bien des événements, c'est-à-dire des éléments de $\mathcal{A}$.

3. On note $C$ l'ensemble des $\omega \in \mathrm{\Omega }$ qui réalisent tous les $A_n$ sauf un nombre fini d'entre eux. Exprimer $C$ à l'aide d'unions et d'intersections des $A_n$, puis vérifier que $C\in \mathcal{A}$.

4. On note $D$ l'ensemble des $\omega \in \mathrm{\Omega }$ qui réalisent une infinité de $A_n$. Exprimer $D$ à l'aide d'unions et d'intersections des $A_n$, puis vérifier que $D\in \mathcal{A}$. Montrer enfin que $C\subset D$.

5. Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A)=\mathrm{0,6}$, $P(B)=\mathrm{0,5}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$. Calculer les probabilités suivantes.

Soit $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé. On utilisera librement les trois résultats du cours : la continuité croissante, la continuité décroissante et la sous-additivité dénombrable.

1. Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\mathrm{\Omega }$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $A_n=(X⩽n)$.

a. Montrer que la suite $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante pour l'inclusion et déterminer ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n}$.

b. En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(X⩽n)}$, puis ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(X>n)}$.

c. Vérifier ces deux limites par le calcul direct dans le cas où $X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P(X=k)={\displaystyle \frac{1}{2^k}}$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

2. Soit $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite décroissante d'événements telle que $P(B_n)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. On pose $B={\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{B}_n}$.

a. Calculer $P(B)$.

b. En déduire $P({\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb{N}}\overline{B_n})}$.

c. L'événement $B$ est-il négligeable ? presque sûr ?

3. Soit $(C_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'événements, non supposée monotone, telle que $P(C_n)⩽{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Pour $N\in \mathbb{N}$, on pose $U_N={\displaystyle \bigcup _{n⩾N}{C}_n}$.

a. Montrer que $P(U_N)⩽{\displaystyle \frac{2}{2^N}}$.

b. En déduire que $D={\displaystyle \bigcap _{N\in \mathbb{N}}{U}_N}$ est négligeable.

4. Soit $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'événements presque sûrs, c'est-à-dire tels que $P(A_n)=1$ pour tout $n$. Montrer que ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n}$ est presque sûr. Qu'en déduit-on pour une réunion dénombrable d'événements négligeables ?

Dans chacune des quatre situations suivantes, déterminer $X(\mathrm{\Omega })$ puis la loi de la variable considérée, en vérifiant à chaque fois que la somme des probabilités vaut $1$. On reconnaîtra une loi usuelle chaque fois que c'est possible.

1. Soit $A$ un événement de probabilité $p\in ]0,1[$ et soit $X={\mathbb{1}}_A$ son indicatrice.

2. On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la somme des deux résultats.

3. Une urne contient $6$ boules indiscernables au toucher, dont $2$ blanches. On effectue $3$ tirages successifs avec remise et on note $Y$ le nombre de boules blanches obtenues.

4. On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants, et on note $T$ le rang du premier six obtenu. Que dit le calcul de la somme des probabilités au sujet de l'événement « on n'obtient jamais de six » ?

5. Déterminer enfin la loi des deux variables suivantes.

Soit $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$. On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, et on note $X\sim \mathcal{G}(p)$, lorsque $X(\mathrm{\Omega })={\mathbb{N}}^{\ast }$ et

$$P(X=k)=p{q}^{k-1}\text{pour tout }k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

On rappelle les résultats du cours $E(X)={\displaystyle \frac{1}{p}}$ et $V(X)={\displaystyle \frac{q}{p^2}}$, qu'on ne redémontrera pas ici.

1. Vérifier que la formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité.

2. Montrer que $P(X>k)=q^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis que $P(X⩾k)=q^{k-1}$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

3. Calculer $P(X\text{ pair})$ et $P(X\text{ impair})$. Laquelle de ces deux probabilités est la plus grande ?

4. Soient $k$ et $\mathrm{\ell }$ deux entiers tels que $1⩽k⩽\mathrm{\ell }$. Calculer $P(k⩽X⩽\mathrm{\ell })$.

5. Application numérique. On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces et on note $X$ le rang du premier six obtenu, de sorte que $X\sim \mathcal{G}\left(\frac{1}{6}\right)$. Donner les valeurs suivantes sous forme de fraction, puis arrondies à ${10}^{-3}$.

6. Toujours pour $p=\frac{1}{6}$, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X⩽n)⩾\mathrm{0,9}$. Comparer à $E(X)$ et commenter.

Soit $\lambda >0$. On dit que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, et on note $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$, lorsque $X(\mathrm{\Omega })=\mathbb{N}$ et

$$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\text{pour tout }k\in \mathbb{N}$$

On rappelle le résultat du cours $E(X)=\lambda$.

1. Vérifier que la formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité.

2. Calculer $P(X⩾1)$ et $P(X⩽2)$ en fonction de $\lambda$.

3. Pour $k\in \mathbb{N}$, calculer le rapport ${\displaystyle \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}}$. En déduire la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $P(X=k)$ est maximale, en distinguant selon que $\lambda$ est entier ou non.

4. Calculer $E(X(X-1))$ par la formule de transfert, en déduire $E(X^2)$, puis retrouver $V(X)=\lambda$.

5. Application numérique. Un standard téléphonique reçoit en moyenne $2$ appels par heure, et on modélise par $X\sim \mathcal{P}(2)$ le nombre d'appels reçus au cours d'une heure donnée. Donner les valeurs suivantes, arrondies à ${10}^{-3}$.

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes défini sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, avec $X(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$ et $Y(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}$. La loi conjointe du couple est donnée par le tableau suivant, dans lequel le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ vaut $P(X=i,Y=j)$, et où $a$ désigne un réel inconnu.

1. Déterminer $a$.

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? On justifiera en examinant une seule case du tableau.

4. Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=2)$, puis calculer l'espérance de cette loi conditionnelle et la comparer à $E(Y)$.

5. Calculer $E(X)$, $E(Y)$, $E(XY)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$. Retrouver ainsi la réponse de la question 3.

On rappelle la formule de transfert : si $X$ est une variable aléatoire discrète et $f$ une application réelle définie sur $X(\mathrm{\Omega })$, alors $f(X)$ est d'espérance finie si et seulement si la famille $(f(x)P(X=x){)}_{x\in X(\mathrm{\Omega })}$ est sommable, et dans ce cas

$$E(f(X))=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}f(x)P(X=x)$$

On rappelle également, pour $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<1$, les deux sommes obtenues en dérivant terme à terme la série géométrique :

$$\sum _{k⩾1}k{t}^{k-1}=\frac{1}{(1-t{)}^2}\text{et}\sum _{k⩾2}k(k-1)t^{k-2}=\frac{2}{(1-t{)}^3}$$

Dans les questions 1 à 4, on ne suppose connues ni l'espérance ni la variance des lois usuelles : ce sont précisément ces valeurs que l'on redémontre. Pour chacune des variables proposées, justifier l'existence de $E(X)$, la calculer, puis calculer $E(X^2)$ par transfert et en déduire $V(X)$.

1. $X\sim \mathcal{G}(p)$, avec $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$.

2. $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$, avec $\lambda >0$.

3. $X(\mathrm{\Omega })=\mathbb{N}$ et $P(X=k)={\displaystyle \frac{c}{2^k}}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, où $c$ est une constante que l'on déterminera au préalable.

4. $X(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2,3\}$, de loi donnée par le tableau suivant.

5. Soit $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{X+1}}$ est d'espérance finie et que

$$E\left(\frac{1}{X+1}\right)=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{\lambda }$$

Comparer cette valeur à ${\displaystyle \frac{1}{E(X)+1}}$ pour $\lambda =2$, et conclure.

Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ et sont à valeurs dans $\mathbb{N}$. On rappelle que la fonction génératrice de $X$ est définie par

$$G_X(t)=E\left(t^X\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(X=n)t^n$$

Chaque fois qu'un paramètre $p$ intervient, on suppose $0<p<1$ et l'on pose $q=1-p$.

1. Déterminer $G_X(t)$ sous forme close ainsi que le rayon de convergence $R$ de la série entière qui la définit, dans chacun des cas suivants.

2. Soit $X\sim \mathcal{G}(p)$. Justifier que $G_X$ est deux fois dérivable en $1$, puis retrouver $E(X)$ à l'aide de $G_X^{\mathrm{\prime }}(1)$ et $V(X)$ à l'aide de $G_X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)$.

3. Reprendre la question 2 pour $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$.

1. Le nombre $X$ de connexions reçues en une minute par un serveur est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, d'espérance $E(X)=20$. On ne dispose d'aucune information sur sa loi.

a. Majorer $P(X⩾50)$.

b. Que donne la même inégalité appliquée à $P(X⩾10)$ ? Commenter.

c. On suppose de plus que $E(X^2)=500$. En appliquant l'inégalité de Markov à la variable $X^2$, améliorer la majoration de la question a.

d. Toujours avec $E(X^2)=500$, obtenir une majoration encore meilleure de $P(X⩾50)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

2. Soit $X\sim \mathcal{P}(4)$.

a. Rappeler $E(X)$ et $V(X)$, puis majorer $P(\mathrm{\mid }X-E(X)\mathrm{\mid }⩾4)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

b. Calculer la valeur exacte de $P(\mathrm{\mid }X-E(X)\mathrm{\mid }⩾4)$, puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près. Comparer avec la majoration précédente.

3. Soit $(X_k{)}_{k⩾1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi $\mathcal{B}(p)$, avec $0<p<1$. On pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$ et l'on fixe $\epsilon >0$.

a. Déterminer $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$ et $V\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$.

b. Montrer que $P\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mid {\displaystyle \frac{S_n}{n}}-p\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}}$, puis que cette quantité est majorée par ${\displaystyle \frac{1}{4n{\epsilon }^2}}$.

c. Un sondage estime une proportion inconnue $p$ par la fréquence observée ${\displaystyle \frac{S_n}{n}}$. Déterminer un entier $n$ garantissant que la majoration obtenue en b soit inférieure ou égale à $\mathrm{0,05}$ pour $\epsilon =\mathrm{0,01}$, sans aucune hypothèse sur $p$.

Partie A. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$, dont la loi conjointe est donnée par

$$P(X=i,Y=j)=\frac{c}{2^{i+j}}\text{pour tous }i⩾1,j⩾1$$

où $c$ est une constante réelle.

1. Justifier que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{2^{i+j}}}\right)}_{(i,j)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est sommable, puis déterminer $c$.

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$, et les reconnaître.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

4. Calculer $P(X=Y)$, puis $P(X<Y)$.

5. Déterminer la loi de $X+Y$, vérifier qu'elle est bien normalisée, et l'identifier. Contrôler le résultat à l'aide des fonctions génératrices.

Partie B. Soit $(U,V)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ dont la loi conjointe est donnée par

$$P(U=i,V=j)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{c^{\mathrm{\prime }}}{2^{i+j}}}& \text{si }1⩽i⩽j\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$

6. Déterminer $c^{\mathrm{\prime }}$.

7. Déterminer les lois marginales de $U$ et de $V$. Reconnaître celle de $U$.

8. Les variables $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ? Calculer enfin $P(U=V)$.

Partie A. On lance indéfiniment une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité $p$, les lancers étant indépendants. On suppose $0<p<1$ et l'on pose $q=1-p$. On note $N$ le rang du premier pile obtenu. On lance ensuite $N$ dés équilibrés à six faces, ces lancers étant indépendants entre eux et indépendants de ceux de la pièce.

1. Justifier que $N\sim \mathcal{G}(p)$, puis que la famille $((N=n){)}_{n⩾1}$ est un système quasi-complet d'événements.

2. Soit $B$ l'événement « aucun des dés lancés ne donne un $6$ ». Calculer $P(B)$ en fonction de $p$, puis donner sa valeur pour $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Soit $C$ l'événement « exactement un des dés lancés donne un $6$ ». Calculer $P(C)$ en fonction de $p$, puis donner sa valeur pour $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Partie B. Une poule pond $N$ œufs au cours d'une saison, où $N\sim \mathcal{P}(\lambda )$ avec $\lambda >0$. Chaque œuf éclot avec la probabilité $a\in ]0,1[$, indépendamment des autres : autrement dit, conditionnellement à l'événement $(N=n)$, le nombre $Z$ d'éclosions suit la loi $\mathcal{B}(n,a)$. On convient que $Z=0$ lorsque $N=0$.

4. Justifier que la famille $((N=n){)}_{n⩾0}$ est un système complet d'événements.

5. Déterminer la loi de $Z$ et la reconnaître.

6. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$. Application numérique pour $\lambda =5$ et $a=\mathrm{0,8}$ : calculer la probabilité qu'aucun œuf n'éclose, à ${10}^{-4}$ près.

Partie A. Une maladie touche une personne sur mille dans la population générale. On dispose d'un test de dépistage dont la sensibilité est de $99\mathrm{\%}$ (probabilité que le test soit positif chez un malade) et la spécificité de $98\mathrm{\%}$ (probabilité que le test soit négatif chez un individu sain). On choisit une personne au hasard dans la population ; on note $M$ l'événement « elle est malade » et $T$ l'événement « son test est positif ».

1. Traduire les trois données de l'énoncé en probabilités, et préciser le système complet d'événements utilisé.

2. Calculer $P(T)$.

3. Calculer la valeur prédictive positive du test, c'est-à-dire $P(M\mid T)$, à ${10}^{-3}$ près. Commenter.

4. Calculer la valeur prédictive négative $P(\bar{M}\mid \bar{T})$.

5. À sensibilité et spécificité inchangées, à partir de quelle prévalence $\pi =P(M)$ la valeur prédictive positive atteint-elle ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ? Conclure sur l'usage d'un tel test.

Partie B. Un émetteur envoie $N$ signaux, où $N\sim \mathcal{G}(p)$ avec $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Chaque signal émis parvient au récepteur avec la probabilité $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, indépendamment des autres : conditionnellement à $(N=n)$, le nombre $R$ de signaux reçus suit la loi $\mathcal{B}(n,a)$. Le récepteur constate qu'il n'a rien reçu.

6. Justifier que $((N=n){)}_{n⩾1}$ est un système quasi-complet d'événements, puis calculer $P(R=0)$.

7. Déterminer la loi conditionnelle de $N$ sachant $(R=0)$, et la reconnaître.

8. Donner les valeurs de $P(N=n\mid R=0)$ pour $n\in \{1,2,3\}$ à ${10}^{-3}$ près, les comparer aux probabilités correspondantes avant observation, et calculer l'espérance de la loi conditionnelle obtenue.

Partie A. On lance deux fois une pièce équilibrée. On note $A$ l'événement « le premier lancer donne pile », $B$ l'événement « le second lancer donne pile », et $C$ l'événement « les deux lancers donnent le même résultat ».

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ et la probabilité $P$, puis calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.

2. Montrer que les événements $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants.

3. Les événements $A$, $B$ et $C$ sont-ils mutuellement indépendants ?

4. Calculer $P(C\mid A\cap B)$ et interpréter le résultat.

Partie B. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi $\mathcal{B}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)$. On pose $Z={\mathbb{1}}_{(X\mathrm{\ne }Y)}$.

5. Déterminer la loi de $Z$.

6. Montrer que les variables $X$, $Y$ et $Z$ sont deux à deux indépendantes, et vérifier que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Z)=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(Y,Z)=0$.

7. Montrer que $X$, $Y$ et $Z$ ne sont pas mutuellement indépendantes.

8. On pose $S=X+Y+Z$.

a. Calculer $V(S)$ à l'aide de la formule de la variance d'une somme, puis retrouver le résultat en déterminant directement la loi de $S$.

b. Comparer $E(XYZ)$ et $E(X)E(Y)E(Z)$.

c. Conclure sur ce que l'indépendance deux à deux permet et ne permet pas.

Soit $(X_k{)}_{k⩾1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi $\mathcal{B}(p)$, avec $0<p<1$. On pose $q=1-p$. On dit qu'il y a succès à l'épreuve $k$ lorsque $X_k=1$.

Pour $r⩾1$, on note $T_r$ le rang du $r$-ième succès, avec la convention $T_r=+\mathrm{\infty }$ si la suite comporte moins de $r$ succès. On note simplement $T_1$ le rang du premier succès.

1. Soit $k\in \mathbb{N}$. Exprimer l'événement $(T_1>k)$ à l'aide des variables $X_i$, en déduire $P(T_1>k)$, puis la loi de $T_1$.

2. Montrer que $P(T_1<+\mathrm{\infty })=1$.

3. Soit $r⩾1$. Déterminer $P(T_r=k)$ pour tout $k⩾r$, puis vérifier que la loi obtenue est bien normalisée. Qu'en déduit-on sur $T_r$ ?

4. On pose $T_0=0$ et, pour $1⩽i⩽r$, $D_i=T_i-T_{i-1}$ : la variable $D_i$ est le nombre d'épreuves écoulées entre le $(i-1)$-ième succès et le $i$-ième.

a. Montrer que, pour tous entiers $j_1,\dots ,j_r$ de ${\mathbb{N}}^{\ast }$,

$$P(D_1=j_1,\dots ,D_r=j_r)=\prod _{i=1}^{r}p{q}^{j_i-1}$$

b. En déduire que $D_1,\dots ,D_r$ sont indépendantes et suivent toutes la loi $\mathcal{G}(p)$.

5. En déduire $E(T_r)$ et $V(T_r)$.

6. Retrouver $E(T_r)$ à l'aide de la fonction génératrice de $T_r$.

Dans tout l'exercice, $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ est un espace probabilisé et $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$.

1. Soit $X\sim \mathcal{G}(p)$.

a. Retrouver, par un calcul de série géométrique, la valeur de $P(X>n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

b. En déduire que pour tous entiers $n⩾1$ et $k⩾1$, le conditionnement par $(X>n)$ est licite et

$$P(X>n+k\mid X>n)=P(X>k)$$

2. Réciproque. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ telle que $P(X>n)\mathrm{\ne }0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et vérifiant la propriété d'absence de mémoire : pour tous $n⩾1$ et $k⩾1$, $P(X>n+k\mid X>n)=P(X>k)$. On pose $u_n=P(X>n)$ pour $n\in \mathbb{N}$.

a. Montrer que $u_0=1$, puis que $u_{n+k}=u_n{u}_k$ pour tous $n⩾1$ et $k⩾1$.

b. En déduire que $u_n=u_1^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

c. Montrer que le cas $u_1=1$ est impossible. On utilisera la continuité décroissante appliquée à la suite d'événements $((X>n){)}_{n⩾1}$.

d. Conclure : $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

3. Un joueur lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six. Il a déjà effectué dix lancers sans succès. Déterminer la loi conditionnelle du nombre de lancers qu'il lui reste à faire, sachant cet échec initial, et commenter l'idée reçue selon laquelle il serait « en retard ».

Sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, on considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ telles que $X\sim \mathcal{G}(p)$ et $Y\sim \mathcal{G}(q)$, avec $p\in ]0,1[$ et $q\in ]0,1[$.

Attention à la notation : dans cet exercice la lettre $q$ désigne le paramètre de $Y$, et non $1-p$. On écrira donc systématiquement $1-p$ et $1-q$.

On pose $M=\min (X,Y)$ et $N=\max (X,Y)$, et on rappelle que $P(X>k)=(1-p{)}^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

1. En calculant $P(M>k)$ pour $k\in \mathbb{N}$, montrer que $M$ suit une loi géométrique de paramètre $r=1-(1-p)(1-q)$.

2. En calculant $P(N⩽k)$, déterminer la loi de $N$. Dans le cas particulier $p=q$, calculer $E(N)$.

3. Calculer $P(X<Y)$, $P(X=Y)$ et $P(X>Y)$, et vérifier que la somme de ces trois probabilités vaut $1$.

4. Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes, toutes de loi $\mathcal{G}(p)$. Déterminer la loi de $M_n=\min (X_1,\dots ,X_n)$ et son espérance, puis étudier le comportement de $E(M_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, on considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ telles que $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $Y\sim \mathcal{P}(\mu )$, avec $\lambda >0$ et $\mu >0$. On pose $S=X+Y$.

1. Déterminer la loi de $S$ par le calcul direct, en appliquant la formule des probabilités totales au système complet d'événements $((X=i){)}_{i⩾0}$. Vérifier ensuite, par sommation par paquets, que la loi obtenue est bien normalisée.

2. Retrouver ce résultat en quelques lignes à l'aide des fonctions génératrices.

3. Soient $U\sim \mathcal{B}(n,p)$ et $V\sim \mathcal{B}(m,p)$ deux variables indépendantes de même paramètre $p\in ]0,1[$. Déterminer la loi de $U+V$ par les fonctions génératrices. Que se passe-t-il si les deux paramètres $p$ diffèrent ?

4. Soient enfin $T_1$ et $T_2$ deux variables indépendantes de même loi $\mathcal{G}(p)$. Déterminer la loi de $T_1+T_2$ et montrer que ce n'est pas une loi géométrique.

1. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$. Démontrer, par sommation par paquets, que $X$ est d'espérance finie si et seulement si la série $\sum P(X⩾n)$ converge, et qu'alors

$$E(X)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}P(X⩾n)$$

2. Appliquer cette formule à $X\sim \mathcal{G}(p)$ pour retrouver $E(X)={\displaystyle \frac{1}{p}}$.

3. Soient $n⩾1$ et $k⩾1$ deux entiers. On effectue $k$ tirages indépendants d'un nombre uniforme dans $\{1,\dots ,n\}$, modélisés par des variables $U_1,\dots ,U_k$ indépendantes de même loi $\mathcal{U}(\{1,\dots ,n\})$, et on pose $M_k=\max (U_1,\dots ,U_k)$.

a. Montrer que $P(M_k⩽j)={\left({\displaystyle \frac{j}{n}}\right)}^k$ pour tout $j\in \{0,1,\dots ,n\}$.

b. En déduire que $E(M_k)=n-{\displaystyle \frac{1}{n^k}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}{j}^k}$.

c. Retrouver la valeur de $E(M_1)$, puis calculer $E(M_2)$.

4. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que $P(X⩾n)={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$ pour tout $n⩾1$.

a. Vérifier qu'une telle variable existe, en explicitant sa loi.

b. Calculer $E(X)$.

c. Montrer que $X^2$ n'est pas d'espérance finie.

Toutes les variables considérées sont définies sur un même espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$. On dit que $X$ est de carré intégrable lorsque $X^2$ est d'espérance finie.

1. Soit $X\sim \mathcal{U}(\{-1,0,1\})$ et $Y=X^2$.

a. Déterminer la loi de $Y$, puis calculer $E(X)$, $E(Y)$ et $E(XY)$.

b. En déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, puis montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

2. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par le tableau suivant.

Déterminer les lois marginales, montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$, puis que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

3. Réciproquement, soient $X$ et $Y$ indépendantes et de carré intégrable. Démontrer soigneusement que $XY$ est d'espérance finie et que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$.

4. Soient $X$ et $Y$ de carré intégrable.

a. Montrer que $\mid \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)\mid ⩽\sigma (X)\sigma (Y)$.

b. Caractériser le cas d'égalité.

1. Soit $A\in \mathcal{A}$ un événement d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$. Déterminer la loi de la variable indicatrice ${\mathbb{1}}_A$ et montrer que $E\left({\mathbb{1}}_A\right)=P(A)$.

2. Dans chacune des trois situations suivantes, on demande l'espérance de la variable considérée. On la décomposera en somme d'indicatrices.

a. Une urne contient $N$ boules dont $R$ sont rouges. On tire $n$ boules sans remise ($1⩽n⩽N$) et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. Calculer $E(X)$ sans déterminer la loi de $X$, et préciser si les indicatrices utilisées sont indépendantes.

b. On considère $n$ personnes dont les dates d'anniversaire $D_1,\dots ,D_n$ sont modélisées par des variables indépendantes de loi uniforme sur $\{1,\dots ,365\}$. Soit $Y$ le nombre de paires de personnes ayant le même anniversaire. Calculer $E(Y)$, et donner sa valeur pour $n=23$.

c. Soient $U_1,\dots ,U_n$ des variables indépendantes de même loi uniforme sur $\{1,\dots ,N\}$, avec $n⩾2$. On appelle montée tout indice $i\in \{1,\dots ,n-1\}$ tel que $U_i<U_{i+1}$, et on note $Z$ le nombre de montées. Calculer $E(Z)$.

3. Calculer $V(Z)$, en développant le carré ${\left({\sum }_i{\mathbb{1}}_{A_i}\right)}^2$ et en traitant séparément les termes diagonaux et les termes croisés.

Toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ et de carré intégrable (c'est-à-dire que leur carré est d'espérance finie).

1. Soient $X_1,\dots ,X_n$ de carré intégrable et $S={\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$. Démontrer que $S$ est de carré intégrable, puis que

$$V\left(\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=\sum _{k=1}^{n}V(X_k)+2\sum _{1⩽i<j⩽n}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)$$

2. En déduire la variance d'une somme de variables deux à deux indépendantes, puis retrouver la variance de la loi $\mathcal{B}(n,p)$.

3. Une urne contient $N$ boules dont $R$ sont rouges. On tire $n$ boules sans remise ($1⩽n⩽N$) et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. On pose $\pi ={\displaystyle \frac{R}{N}}$ et on rappelle (voir l'exercice sur les indicatrices) que, en notant $A_i$ l'événement « la $i$-ième boule tirée est rouge », on a $P(A_i)=\pi$ et $P(A_i\cap A_j)={\displaystyle \frac{R(R-1)}{N(N-1)}}$ pour $i\mathrm{\ne }j$.

a. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbb{1}}_{A_i},{\mathbb{1}}_{A_j})$ pour $i\mathrm{\ne }j$ et commenter son signe.

b. En déduire $V(X)$, et comparer au cas d'un tirage avec remise.

4. Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables i.i.d. de variance ${\sigma }^2$ et d'espérance $m$, et $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$. Calculer $V\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$ et interpréter le résultat.

Dans tout l'exercice, $X$ désigne une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, et $G_X$ sa fonction génératrice,

$$G_X(t)=E\left(t^X\right)=\sum _{n⩾0}P(X=n)t^n$$

1. On suppose que $G_X$ est deux fois dérivable en $1$, au sens de la dérivée à gauche sur $[0,1]$ lorsque le rayon de convergence vaut exactement $1$.

a. Rappeler pourquoi $E(X)=G_X^{\mathrm{\prime }}(1)$.

b. Établir que $G_X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=E(X(X-1))$.

c. En déduire que $V(X)=G_X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)+G_X^{\mathrm{\prime }}(1)-G_X^{\mathrm{\prime }}(1{)}^2$.

2. Retrouver, par cette méthode, l'espérance et la variance de la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$, puis de la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$ avec $\lambda >0$.

3. On ne connaît de $X$ que sa fonction génératrice. Dans chacun des deux cas suivants, identifier la loi de $X$ par développement en série entière, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$ de deux façons : à partir de la loi, puis à partir des dérivées de $G_X$.

a. $G_X(t)={\displaystyle \frac{1}{(2-t{)}^2}}$.

b. $G_X(t)={\mathrm{e}}^{\lambda (t^2-1)}$, où $\lambda >0$.

4. À quoi sert la vérification $G_X(1)=1$ ? Que lit-on sur la valeur $G_X(0)$ ?

Sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, on considère deux variables aléatoires indépendantes $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $Y\sim \mathcal{P}(\mu )$, avec $\lambda >0$ et $\mu >0$. On pose $S=X+Y$.

1. Déterminer la loi de $S$.

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant l'événement $(S=n)$, c'est-à-dire les nombres $P(X=k\mid S=n)$ pour $k\in \mathbb{N}$. Reconnaître une loi usuelle.

3. Interpréter concrètement le résultat sur l'exemple suivant : dans une agence, $X$ est le nombre de clients qui se présentent au guichet $A$ pendant une heure et $Y$ le nombre de clients au guichet $B$.

4. Réciproque. Soient maintenant $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$, et $S=X+Y$. On suppose que $P(S=n)>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et qu'il existe un réel $p\in ]0,1[$, le même pour tout $n$, tel que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }k\in \{0,1,\dots ,n\},P(X=k\mid S=n)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k},q=1-p$$

On note $a_k=P(X=k)$, $b_k=P(Y=k)$ et $s_n=P(S=n)$.

a. Montrer que $a_k{b}_{n-k}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}{s}_n$ pour tous $0⩽k⩽n$, puis que $a_k>0$ et $b_k>0$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

b. On pose $u_k={\displaystyle \frac{a_k}{a_0}}$ et $v_k={\displaystyle \frac{b_k}{b_0}}$. Montrer que $u_k={\left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)}^k{v}_k$, puis que $v_k{v}_{n-k}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)v_n$ pour tous $0⩽k⩽n$.

c. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ et de $v_1$, que l'on notera $\mu$, puis conclure que $Y$ et $X$ suivent des lois de Poisson dont on précisera les paramètres.

d. Vérifier la cohérence de ce résultat avec la question 2.

5. Variante binomiale. Soient $X\sim \mathcal{B}(m,p)$ et $Y\sim \mathcal{B}(r,p)$ indépendantes, de même paramètre $p\in ]0,1[$. Déterminer la loi de $S=X+Y$, puis la loi conditionnelle de $X$ sachant $(S=n)$. Commenter la disparition de $p$.

Une collection comporte $n$ vignettes différentes, numérotées de $1$ à $n$. On achète des paquets successifs, chaque paquet contenant une vignette tirée uniformément parmi les $n$ types, indépendamment des paquets précédents. On modélise cette situation par une suite $(V_i{)}_{i⩾1}$ de variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme sur $E=\{1,2,\dots ,n\}$, définies sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$.

Pour $k\in \{1,\dots ,n\}$, on note ${\tau }_k$ le rang du paquet qui fait passer le nombre de vignettes distinctes possédées de $k-1$ à $k$, et l'on pose ${\tau }_0=0$ ainsi que $Y_k={\tau }_k-{\tau }_{k-1}$. Enfin, $T_n={\tau }_n$ est le nombre total de paquets nécessaires pour compléter la collection.

1. Montrer que $T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{Y}_k}$, que $Y_k$ suit la loi géométrique $\mathcal{G}\left({\displaystyle \frac{n-k+1}{n}}\right)$, et que les variables $Y_1,\dots ,Y_n$ sont indépendantes. On justifiera soigneusement ce dernier point.

2. En déduire $E(T_n)=n{H}_n$, où $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$, puis l'équivalent $E(T_n)\sim n\ln n$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Calculer $V(T_n)$, puis montrer que $V(T_n)⩽{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}{n}^2$. On utilisera ${\displaystyle \sum _{j⩾1}\frac{1}{j^2}=\frac{{\pi }^2}{6}}$.

4. Soit $\epsilon >0$. Majorer $P(\mid T_n-n{H}_n\mid ⩾\epsilon n\ln n)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et commenter la qualité de cette majoration.

5. Application numérique : donner une valeur approchée de $E(T_{100})$ et de l'écart type $\sigma (T_{100})$, et commenter.

Soit $n⩾2$. On tire une permutation $\sigma$ uniformément dans le groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_n$ : l'univers est $\mathrm{\Omega }={\mathfrak{S}}_n$, muni de la tribu $\mathcal{A}$ de toutes ses parties et de la probabilité uniforme. On note

$$X_n=\mathrm{card}\{i\in \{1,\dots ,n\};\sigma (i)=i\}$$

le nombre de points fixes de $\sigma$, et, pour $i\in \{1,\dots ,n\}$, $A_i=(\sigma (i)=i)$.

1. Écrire $X_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\mathbb{1}}_{A_i}}$, calculer $P(A_i)$ et en déduire $E(X_n)$.

2. Calculer $P(A_i\cap A_j)$ pour $i\mathrm{\ne }j$, en déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbb{1}}_{A_i},{\mathbb{1}}_{A_j})$, puis $V(X_n)$.

3. Les événements $A_1,\dots ,A_n$ sont-ils indépendants ?

4. Pour $1⩽k⩽n$, calculer le moment factoriel $E(X_n(X_n-1)\cdots (X_n-k+1))$, en comptant les $k$-uplets de points fixes.

5. Soit $N$ une variable de loi $\mathcal{P}(1)$.

a. Calculer $E(N(N-1)\cdots (N-k+1))$ et comparer à la question 4.

b. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}x(x-1)\cdots (x-k+1)}$ vaut $1$ si $x=0$ et $0$ si $x$ est un entier de $\{1,\dots ,n\}$. En déduire la valeur exacte de $P(X_n=0)$.

c. Comparer numériquement $P(X_n=0)$ et ${\mathrm{e}}^{-1}$ pour $n=5$ puis $n=10$, et majorer l'écart pour $n$ quelconque.

Soit $(p_n{)}_{n⩾1}$ une suite d'éléments de $[0,1]$ telle que $n{p}_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\lambda$, où $\lambda >0$. Pour chaque $n$, soit $X_n$ une variable aléatoire de loi binomiale $\mathcal{B}(n,p_n)$, et l'on note $q_n=1-p_n$.

1. Soit $k\in \mathbb{N}$ fixé. Montrer que la suite numérique $(P(X_n=k){)}_{n⩾1}$ converge et que

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(X_n=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$$

On commencera par établir que $p_n$ tend vers $0$, et l'on utilisera le développement de $\ln (1-p_n)$.

2. Retrouver ce phénomène sur les fonctions génératrices : montrer que, pour tout $t\in [-1,1]$ fixé, $G_{X_n}(t)$ converge vers ${\mathrm{e}}^{\lambda (t-1)}$. Que vaut cette limite ? Comparer aussi les espérances et les variances.

3. Application numérique. On prend $n=1000$ et $p=\mathrm{0,002}$. Comparer, à ${10}^{-4}$ près, les valeurs exactes de $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X⩾3)$ pour $X\sim \mathcal{B}(1000;\mathrm{0,002})$ et les valeurs approchées fournies par la loi de Poisson correspondante.

4. Question de modélisation : pourquoi parle-t-on de « loi des événements rares » ?

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, de fonction génératrice $G_X(t)={\displaystyle \sum _{n⩾0}P(X=n)t^n}$.

1. Justifier que $G_X$ est définie et continue sur $[-1,1]$, puis montrer que

$$P(X\text{ est pair})=\frac{G_X(1)+G_X(-1)}{2}=\frac{1+G_X(-1)}{2}$$

Donner de même $P(X\text{ est impair})$.

2. Expliciter $P(X\text{ est pair})$ pour $X\sim \mathcal{G}(p)$, puis pour $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$, puis pour $X\sim \mathcal{B}(n,p)$. Commenter chaque résultat.

3. On note $j={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \mathrm{/}3}$.

a. Justifier que la série $\sum P(X=n)z^n$ converge absolument pour tout complexe $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽1$, ce qui prolonge $G_X$ au disque unité fermé.

b. Montrer que, pour $m\in \mathbb{Z}$, la somme $\frac{1}{3}(1+j^m+j^{2m})$ vaut $1$ si $3$ divise $m$, et $0$ sinon.

c. En déduire, pour $r\in \{0,1,2\}$, une expression de $P(X\equiv r[3])$ à l'aide de $G_X(j)$ et $G_X\left(j^2\right)$, puis une forme réelle. Appliquer à $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$.

4. Montrer que $P(X=0)=G_X(0)$ et que $P(X=k)={\displaystyle \frac{G_X^{(k)}(0)}{k!}}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$. Identifier alors la loi de $X$ sachant que $G_X(t)={\displaystyle \frac{1}{3-2t}}$, et calculer $E(X)$, $V(X)$, $P(X\text{ est pair})$ et $P(X\equiv 0[3])$.

Sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, on considère une suite i.i.d. $(X_k{)}_{k⩾1}$ de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$, et une variable aléatoire $N$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, indépendante de la suite $(X_k{)}_{k⩾1}$. On pose

$$S=\sum _{k=1}^N{X}_k$$

c'est-à-dire $S(\omega )=X_1(\omega )+\cdots +X_{N(\omega )}(\omega )$, avec la convention $S(\omega )=0$ lorsque $N(\omega )=0$. Pour $j\in \mathbb{N}$, on note $T_j=X_1+\cdots +X_j$, avec $T_0=0$, de sorte que $S$ coïncide avec $T_j$ sur l'événement $(N=j)$.

1. Justifier que $S$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$, puis exprimer $P(S=n)$ à l'aide de la formule des probabilités totales appliquée au système complet $((N=j){)}_{j⩾0}$.

2. Montrer que $G_S=G_N\circ G_{X_1}$ sur $[-1,1]$, en justifiant soigneusement l'interversion des deux sommations par un argument de sommabilité.

3. On suppose $N$ et $X_1$ d'espérance finie. En déduire la formule de Wald

$$E(S)=E(N)E(X_1)$$

puis, en supposant de plus que $N$ et $X_1$ admettent une variance, la formule

$$V(S)=E(N)V(X_1)+V(N)E(X_1{)}^2$$

4. Application. On suppose $N\sim \mathcal{P}(\lambda )$ avec $\lambda >0$, et $X_k\sim \mathcal{B}(p)$ avec $p\in ]0,1[$. Montrer par composition des fonctions génératrices que $S\sim \mathcal{P}(\lambda p)$, et retrouver ce résultat par le calcul direct de la question 1.

5. Application concrète. Un magasin reçoit en une journée un nombre $N$ de clients de loi $\mathcal{P}(\lambda )$ ; chaque client achète, indépendamment des autres et de $N$, avec probabilité $p$. Interpréter le résultat de la question 4, puis montrer que le nombre $S$ d'acheteurs et le nombre $R=N-S$ de visiteurs repartis sans rien acheter sont indépendants.

Soit $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé et $(A_n{)}_{n⩾0}$ une suite d'événements. On pose

$$B=\bigcap _{m⩾0}\bigcup _{n⩾m}{A}_n$$

1. Justifier que $B$ est un événement, puis montrer que $\omega \in B$ si et seulement si $\omega$ appartient à une infinité de $A_n$. On dira désormais que $B$ est l'événement « une infinité de $A_n$ sont réalisés ».

2. Premier lemme de Borel-Cantelli. Montrer que si la série $\sum P(A_n)$ converge, alors $B$ est négligeable.

3. Application. On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants ; on note $D_i$ le résultat du $i$-ième lancer. Pour $n⩾1$, soit $A_n$ l'événement « les lancers numéros $n^2+1,n^2+2,\dots ,n^2+n$ donnent tous un $6$ ». Montrer que l'événement « $A_n$ est réalisé pour une infinité de $n$ » est négligeable.

4. Application. Soit $(X_n{)}_{n⩾1}$ une suite i.i.d. de variables de loi $\mathcal{G}(p)$, avec $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$ et, pour $\alpha >0$ et $n⩾1$,

$$c_n=\alpha \frac{\ln n}{\ln (1\mathrm{/}q)}$$

Montrer que si $\alpha >1$, l'événement « $X_n⩾c_n$ pour une infinité de $n$ » est négligeable. Que peut-on dire lorsque $\alpha ⩽1$ ?

5. Énoncer le second lemme de Borel-Cantelli (cas d'une suite d'événements mutuellement indépendants) ; on l'admettra. Montrer par un exemple que l'hypothèse d'indépendance y est indispensable.