MP · Chapitre 09

Variables aléatoires discrètes

Ensembles dénombrables, espaces probabilisés, conditionnement et indépendance, variables discrètes, lois géométrique et de Poisson, espérance, variance, loi faible des grands nombres, fonctions génératrices.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Le cours

En première année, l'univers $Ω$ était fini. Cette hypothèse rendait tout confortable : toute partie de $Ω$ était un événement, toute somme était une somme finie, toute variable aléatoire avait une espérance. Elle rendait aussi le modèle impuissant. Impossible d'y décrire le rang du premier pile dans une suite illimitée de lancers, le nombre d'appels reçus par un standard en une heure, ou le nombre de tentatives avant un premier succès : ces quantités prennent une infinité de valeurs, et l'univers fini les exclut par construction.

Ce chapitre lève cette restriction, mais pas complètement : on passe du fini au dénombrable, pas au continu. Les variables étudiées prennent leurs valeurs dans un ensemble au plus dénombrable, typiquement $N$ ou $N^{*}$ . Ce changement d'échelle a trois conséquences. D'abord, on ne peut plus prendre pour événements toutes les parties de $Ω$ : il faut se donner une tribu, c'est-à-dire une collection de parties stable par les opérations dénombrables. Ensuite, les sommes finies deviennent des sommes de familles indexées par un ensemble infini : c'est la théorie des familles sommables qui légitime les manipulations, et notamment les interversions de sommes qui apparaîtront à chaque calcul un peu sérieux. Enfin, une variable aléatoire n'a plus nécessairement d'espérance : la question de la sommabilité devient une question préalable à tout calcul.

Une fois ce cadre posé, presque tout ce que vous savez de la première année se transporte sans changement : conditionnement, formule des probabilités totales, formule de Bayes, indépendance, linéarité de l'espérance, variance, covariance, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. S'y ajoutent deux nouveautés : deux lois qui n'existaient pas en univers fini, la loi géométrique et la loi de Poisson, et un outil de calcul d'une efficacité remarquable, la fonction génératrice, qui transforme une loi sur $N$ en une série entière et une somme de variables indépendantes en un produit de fonctions. Le chapitre se referme sur la loi faible des grands nombres, qui donne enfin un contenu mathématique à l'intuition selon laquelle une fréquence observée se rapproche d'une probabilité.

Notations valables dans tout le chapitre. L'espace probabilisé est $(Ω, A, P)$ . Les événements sont notés $A$ , $B$ , $A_{n}$ , et $\overline{A}$ désigne le complémentaire de $A$ dans $Ω$ . Une variable aléatoire discrète est notée $X$ , $Y$ , $X_{n}$ , et $X (Ω)$ est l'ensemble de ses valeurs. L'événement « $X$ prend la valeur $k$ » s'écrit avec des parenthèses, $(X = k)$ , et sa probabilité $P (X = k)$ . On note $1_{A}$ l'indicatrice de $A$ , $E (X)$ l'espérance, $V (X)$ la variance, $σ (X)$ l'écart type, $Cov (X, Y)$ la covariance et $G_{X}$ la fonction génératrice. Pour la loi géométrique et la loi de Bernoulli, on pose systématiquement $q = 1 - p$ .

Ensembles dénombrables et familles sommables

Cette première section est une boîte à outils, pas un objet d'étude. Le programme la présente a minima : tous les résultats y sont admis, et ils ne font l'objet d'aucune évaluation spécifique. On ne vous demandera jamais de démontrer qu'un ensemble est dénombrable, ni d'étudier une famille sommable pour elle-même. Ces énoncés n'ont qu'un seul emploi : légitimer les interversions de sommes dans les calculs probabilistes. Lisez-les comme on lit une liste de permis de manœuvre.

Ensembles au plus dénombrables

Définition

Un ensemble $E$ est dénombrable lorsqu'il existe une bijection de $N$ sur $E$ . Il est au plus dénombrable lorsqu'il est fini ou dénombrable, ce qui équivaut à l'existence d'une injection de $E$ dans $N$ .

Propriété

Résultats admis.

$N$ , $N^{*}$ et $Z$ sont dénombrables.
Toute partie d'un ensemble au plus dénombrable est au plus dénombrable.
Un produit cartésien fini d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable ; en particulier $N^{2}$ et $Z^{n}$ sont dénombrables.
Une union au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable.

Ces quatre points suffisent à tout ce qui suit. Ils garantissent par exemple que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes, l'ensemble $X (Ω) \times Y (Ω)$ qui indexe la loi du couple est encore au plus dénombrable, et donc que les sommes écrites plus loin ont un sens.

Familles sommables

Définition

Soit $I$ un ensemble au plus dénombrable et $(u_{i})_{i \in I}$ une famille de réels positifs. On pose

i \in I \sum u_{i} = sup {i \in J \sum u_{i}; J \subset I, J finie} \in [0, + \infty] .

La famille est dite sommable lorsque cette borne supérieure est finie.

Une famille $(u_{i})_{i \in I}$ de nombres complexes est sommable lorsque la famille positive $(∣ u_{i} ∣)_{i \in I}$ est sommable. On définit alors sa somme $\sum_{i \in I} u_{i}$ , qui ne dépend d'aucun ordre d'énumération de $I$ .

Propriété

Résultats admis, valables pour des familles indexées par des ensembles au plus dénombrables.

Cas de $I = N$ . La famille $(u_{n})_{n \in N}$ est sommable si et seulement si la série $\sum u_{n}$ est absolument convergente, et alors $\sum_{n \in N} u_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ . C'est le pont entre ce vocabulaire et les séries de première année.

Linéarité et croissance. Si $(u_{i})$ et $(v_{i})$ sont sommables et $λ \in C$ , alors $(u_{i} + λ v_{i})$ est sommable et $\sum_{i} (u_{i} + λ v_{i}) = \sum_{i} u_{i} + λ \sum_{i} v_{i}$ . Si de plus $u_{i} ⩽ v_{i}$ pour tout $i$ avec des familles réelles, alors $\sum_{i} u_{i} ⩽ \sum_{i} v_{i}$ .

Propriété

Sommation par paquets. Soit $(u_{i})_{i \in I}$ une famille positive, ou une famille sommable, et soit $(I_{n})_{n \in N}$ une partition de $I$ indexée par un ensemble $N$ au plus dénombrable. Alors

i \in I \sum u_{i} = n \in N \sum (i \in I_{n} \sum u_{i}),

égalité valable dans $[0, + \infty]$ pour une famille positive.

Théorème de Fubini. Soit $(u_{i, j})_{(i, j) \in I \times J}$ une famille positive, ou sommable. Alors

(i, j) \in I \times J \sum u_{i, j} = i \in I \sum j \in J \sum u_{i, j} = j \in J \sum (i \in I \sum u_{i, j}) .

Produit de deux sommes. Si $(u_{i})_{i \in I}$ et $(v_{j})_{j \in J}$ sont sommables, alors la famille $(u_{i} v_{j})_{(i, j) \in I \times J}$ est sommable et

(i, j) \in I \times J \sum u_{i} v_{j} = (i \in I \sum u_{i}) j \in J \sum v_{j} .

Retenez le mode d'emploi. Devant une double somme à intervertir, il n'y a qu'une chose à vérifier : les termes sont-ils positifs ? Si oui, Fubini s'applique sans autre précaution, l'égalité ayant lieu dans $[0, + \infty]$ . Sinon, on établit d'abord la sommabilité en travaillant sur les modules, puis on intervertit. En probabilités, les termes manipulés sont presque toujours des probabilités ou des produits de probabilités, donc positifs : l'interversion est licite d'emblée, et c'est exactement ce qui rend ces énoncés si commodes.

Espaces probabilisés

Tribu et espace probabilisable

Définition

Soit $Ω$ un ensemble non vide. Une tribu sur $Ω$ est une partie $A$ de $P (Ω)$ telle que :

$Ω \in A$ ;
pour tout $A \in A$ , $\overline{A} \in A$ (stabilité par complémentaire) ;
pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'éléments de $A$ , $n \in N ⋃ A_{n} \in A$ (stabilité par union dénombrable).

Le couple $(Ω, A)$ est un espace probabilisable, les éléments de $A$ sont les événements.

Propriété

Une tribu $A$ contient $\emptyset$ , et elle est stable par union et intersection finies ou dénombrables ainsi que par différence.

Démonstration. On a $\emptyset = \overline{Ω} \in A$ . Pour une intersection dénombrable, les lois de De Morgan donnent

n \in N ⋂ A_{n} = \overline{n \in N ⋃ \overline{A_{n}}},

et le membre de droite est dans $A$ par stabilité par complémentaire puis par union dénombrable. Pour une union finie $A_{0} \cup \dots \cup A_{p}$ , on complète la famille en posant $A_{n} = \emptyset$ pour $n > p$ et on applique la stabilité dénombrable ; même procédé pour une intersection finie en complétant par $Ω$ . Enfin $A ∖ B = A \cap \overline{B} \in A$ . $□$

Le vocabulaire ensembliste se traduit terme à terme en vocabulaire probabiliste, et cette traduction doit être automatique. L'événement $A \cap B$ est « $A$ et $B$ », l'événement $A \cup B$ est « $A$ ou $B$ », $\overline{A}$ est « $A$ n'est pas réalisé », l'inclusion $A \subset B$ signifie « $A$ implique $B$ », et $A \cap B = \emptyset$ signifie que $A$ et $B$ sont incompatibles. Pour les familles infinies, les quantificateurs sont à écrire une fois pour toutes :

ω \in n \in N ⋃ A_{n} ω \in n \in N ⋂ A_{n} ⟺ \exists n \in N, ω \in A_{n}, ⟺ \forall n \in N, ω \in A_{n} .

Autrement dit, $⋃_{n} A_{n}$ est l'événement « au moins un des $A_{n}$ est réalisé » et $⋂_{n} A_{n}$ l'événement « tous les $A_{n}$ sont réalisés ». Toute la difficulté des exercices de modélisation tient dans le passage correct d'une phrase en français à l'une de ces deux écritures.

Probabilité

Définition

Soit $(Ω, A)$ un espace probabilisable. Une probabilité sur $(Ω, A)$ est une application $P : A \to [0, 1]$ telle que :

$P (Ω) = 1$ ;
( $σ$ -additivité) pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements deux à deux incompatibles, la série $\sum P (A_{n})$ converge et

P (n \in N ⋃ A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .

Le triplet $(Ω, A, P)$ est un espace probabilisé.

Propriété

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et $A, B$ deux événements.

$P (\emptyset) = 0$ , et $P$ est additive sur toute famille finie d'événements deux à deux incompatibles.
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .
Si $A \subset B$ , alors $P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$ et $P (A) ⩽ P (B)$ (croissance).
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

Démonstration. Pour le point 1, la suite constante $A_{n} = \emptyset$ est formée d'événements deux à deux incompatibles et d'union $\emptyset$ , donc $P (\emptyset) = \sum_{n ⩾ 0} P (\emptyset)$ : une série de terme général constant converge seulement si ce terme est nul, d'où $P (\emptyset) = 0$ . L'additivité finie s'en déduit en complétant une famille finie par des $\emptyset$ . Le point 2 vient de $Ω = A ⊔ \overline{A}$ . Pour le point 3, $B = A ⊔ (B ∖ A)$ donne $P (B) = P (A) + P (B ∖ A)$ , et $P (B ∖ A) ⩾ 0$ fournit la croissance. Pour le point 4, on écrit $A \cup B = A ⊔ (B ∖ (A \cap B))$ , d'où $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ grâce au point 3 appliqué à $A \cap B \subset B$ . $□$

Continuité monotone et sous-additivité

Voici les deux résultats vraiment nouveaux de la section. Ce sont eux qui permettent de faire tendre un nombre de répétitions vers l'infini, et ils servent dans presque tous les exercices d'événements limites.

Propriété

Continuité croissante. Si $(A_{n})_{n \in N}$ est une suite croissante d'événements, c'est-à-dire $A_{n} \subset A_{n + 1}$ pour tout $n$ , alors

P (n \in N ⋃ A_{n}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .

Continuité décroissante. Si $(A_{n})_{n \in N}$ est une suite décroissante d'événements, c'est-à-dire $A_{n + 1} \subset A_{n}$ pour tout $n$ , alors

P (n \in N ⋂ A_{n}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .

Démonstration. Traitons d'abord le cas croissant. Posons $B_{0} = A_{0}$ et, pour $n ⩾ 1$ , $B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1} = A_{n} \cap \overline{A_{n - 1}}$ : ce sont des événements, comme intersections d'éléments de $A$ .

Ces événements sont deux à deux incompatibles. En effet, soit $m < n$ : alors $B_{m} \subset A_{m} \subset A_{n - 1}$ par croissance de la suite, tandis que $B_{n} \subset \overline{A_{n - 1}}$ , donc $B_{m} \cap B_{n} = \emptyset$ .

Montrons ensuite par récurrence que $⋃_{k = 0}^{n} B_{k} = A_{n}$ . C'est vrai pour $n = 0$ . Si c'est vrai au rang $n$ , alors

k = 0 ⋃ n + 1 B_{k} = A_{n} \cup (A_{n + 1} \cap \overline{A_{n}}) = (A_{n} \cup A_{n + 1}) \cap (A_{n} \cup \overline{A_{n}}) = A_{n + 1} \cap Ω = A_{n + 1},

puisque $A_{n} \subset A_{n + 1}$ . En passant à l'union sur tous les indices, on obtient $⋃_{k \in N} B_{k} = ⋃_{n \in N} A_{n}$ .

La $σ$ -additivité appliquée à la famille $(B_{k})$ donne alors

P (n \in N ⋃ A_{n}) = k = 0 \sum + \infty P (B_{k}) = n \to + \infty lim k = 0 \sum n P (B_{k}) = n \to + \infty lim P (k = 0 ⋃ n B_{k}) = n \to + \infty lim P (A_{n}),

la troisième égalité utilisant l'additivité finie. La convergence de la suite $(P (A_{n}))$ est donc acquise en même temps que sa valeur.

Pour le cas décroissant, on passe aux complémentaires : la suite $(\overline{A_{n}})$ est croissante, et De Morgan donne $⋃_{n} \overline{A_{n}} = \overline{⋂_{n} A_{n}}$ . Le cas croissant fournit

1 - P (n \in N ⋂ A_{n}) = P (\overline{n \in N ⋂ A_{n}}) = n \to + \infty lim P (\overline{A_{n}}) = n \to + \infty lim (1 - P (A_{n})) = 1 - n \to + \infty lim P (A_{n}),

d'où le résultat en retranchant à $1$ . $□$

Propriété

Sous-additivité dénombrable. Pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements, sans aucune hypothèse d'incompatibilité,

P (n \in N ⋃ A_{n}) ⩽ n = 0 \sum + \infty P (A_{n}),

l'inégalité étant triviale si la série diverge, auquel cas le membre de droite vaut $+ \infty$ .

Démonstration. Posons $B_{0} = A_{0}$ et, pour $n ⩾ 1$ ,

B_{n} = A_{n} ∖ (A_{0} \cup A_{1} \cup \dots \cup A_{n - 1}) = A_{n} \cap \overline{A_{0}} \cap \dots \cap \overline{A_{n - 1}},

qui est un événement. Ces événements sont deux à deux incompatibles : si $m < n$ , alors $B_{m} \subset A_{m}$ alors que $B_{n} \subset \overline{A_{m}}$ . De plus $B_{n} \subset A_{n}$ pour tout $n$ , et une récurrence immédiate donne $⋃_{k = 0}^{n} B_{k} = ⋃_{k = 0}^{n} A_{k}$ , donc $⋃_{n} B_{n} = ⋃_{n} A_{n}$ .

La $σ$ -additivité puis la croissance de $P$ donnent

P (n \in N ⋃ A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (B_{n}) ⩽ n = 0 \sum + \infty P (A_{n}),

la majoration terme à terme étant licite pour des séries à termes positifs. $□$

Événements négligeables, presque sûrs, systèmes complets

Définition

Un événement $A$ est négligeable lorsque $P (A) = 0$ , et presque sûr lorsque $P (A) = 1$ . Une propriété est dite vraie presque sûrement lorsque l'événement sur lequel elle est réalisée est presque sûr.

Propriété

Une union au plus dénombrable d'événements négligeables est négligeable. Par passage au complémentaire, une intersection au plus dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre.

Démonstration. Si $P (A_{n}) = 0$ pour tout $n$ , la sous-additivité dénombrable donne $0 ⩽ P (⋃_{n} A_{n}) ⩽ \sum_{n} 0 = 0$ . $□$

Attention à ne pas confondre « négligeable » et « impossible » : $\emptyset$ est le seul événement impossible, alors qu'un événement négligeable peut parfaitement être non vide. Dans un jeu de pile ou face illimité, l'événement « on n'obtient jamais pile » est non vide, et pourtant négligeable, comme on le vérifiera plus bas.

Définition

Soit $I$ un ensemble au plus dénombrable et $(A_{i})_{i \in I}$ une famille d'événements deux à deux incompatibles.

C'est un système complet d'événements lorsque $i \in I ⋃ A_{i} = Ω$ .
C'est un système quasi-complet d'événements lorsque $P (i \in I ⋃ A_{i}) = 1$ .

Dans les deux cas, $\sum_{i \in I} P (A_{i}) = 1$ .

Un système complet est un système quasi-complet, et la différence entre les deux est un événement négligeable. C'est précisément la souplesse dont on a besoin : la famille $((X = k))_{k \in N^{*}}$ associée au rang du premier succès n'est complète que si l'on a pris soin de traiter le cas, négligeable, où aucun succès n'apparaît.

Conditionnement et indépendance

Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $B$ un événement tel que $P (B) > 0$ . Pour tout événement $A$ , on appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ le nombre

P (A ∣ B) = P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .

Propriété

Si $P (B) > 0$ , l'application $P_{B} : A \to [0, 1]$ est une probabilité sur $(Ω, A)$ .

Démonstration. Soit $A \in A$ . Comme $A \cap B \subset B$ , la croissance de $P$ donne $0 ⩽ P (A \cap B) ⩽ P (B)$ , donc $P_{B} (A) \in [0, 1]$ : l'application est bien à valeurs dans $[0, 1]$ . Ensuite $P_{B} (Ω) = \frac{P ( Ω \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( B )}{P ( B )} = 1$ .

Soit enfin $(A_{n})_{n \in N}$ une suite d'événements deux à deux incompatibles. Les événements $A_{n} \cap B$ sont eux aussi deux à deux incompatibles, puisque $(A_{m} \cap B) \cap (A_{n} \cap B) \subset A_{m} \cap A_{n} = \emptyset$ pour $m \neq = n$ . Par distributivité, $(⋃_{n} A_{n}) \cap B = ⋃_{n} (A_{n} \cap B)$ , donc la $σ$ -additivité de $P$ donne

P_{B} (n \in N ⋃ A_{n}) = \frac{1}{P ( B )} n = 0 \sum + \infty P (A_{n} \cap B) = n = 0 \sum + \infty P_{B} (A_{n}),

la constante $\frac{1}{P ( B )} > 0$ pouvant entrer dans la série convergente à termes positifs. $□$

Cette propriété n'est pas une curiosité : elle signifie que tous les résultats du chapitre s'appliquent à $P_{B}$ . Croissance, continuité monotone, sous-additivité, espérance, tout reste vrai « sachant $B$ ».

Propriété

Formule des probabilités composées. Si $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont des événements tels que $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) > 0$ , alors

P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) \dots \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) .

Démonstration. L'hypothèse et la croissance de $P$ assurent que tous les conditionnements écrits portent sur des événements de probabilité strictement positive. Le produit du membre de droite se télescope :

P (A_{1}) \times \frac{P ( A _{1} \cap A _{2} )}{P ( A _{1} )} \times \frac{P ( A _{1} \cap A _{2} \cap A _{3} )}{P ( A _{1} \cap A _{2} )} \times \dots \times \frac{P ( A _{1} \cap \dots \cap A _{n} )}{P ( A _{1} \cap \dots \cap A _{n - 1} )} = P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n}) . □

Probabilités totales et formule de Bayes

Propriété

Formule des probabilités totales. Soit $(A_{i})_{i \in I}$ un système complet ou quasi-complet d'événements, avec $I$ au plus dénombrable. Alors, pour tout événement $B$ , la famille $(P (B \cap A_{i}))_{i \in I}$ est sommable et

P (B) = i \in I \sum P (B \cap A_{i}) = i \in I \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}),

la seconde écriture supposant $P (A_{i}) > 0$ pour tout $i$ , les indices tels que $P (A_{i}) = 0$ pouvant simplement être retirés de la somme.

Démonstration. Posons $S = ⋃_{i \in I} A_{i}$ et $N = \overline{S}$ , de sorte que $P (N) = 1 - P (S) = 0$ : l'événement $N$ est négligeable, et il est vide dans le cas d'un système complet.

Les événements $B \cap A_{i}$ , pour $i \in I$ , sont deux à deux incompatibles car les $A_{i}$ le sont, et $B \cap N$ est incompatible avec chacun d'eux puisque $N \cap A_{i} = \emptyset$ . Comme $Ω = S ⊔ N$ , on obtient la décomposition

B = (B \cap S) ⊔ (B \cap N) = (i \in I ⨆ (B \cap A_{i})) ⊔ (B \cap N) .

La $σ$ -additivité donne alors, la famille d'indices étant au plus dénombrable,

P (B) = i \in I \sum P (B \cap A_{i}) + P (B \cap N) .

Or $B \cap N \subset N$ , donc $0 ⩽ P (B \cap N) ⩽ P (N) = 0$ par croissance : ce terme est nul. Il reste $P (B) = \sum_{i \in I} P (B \cap A_{i})$ , la sommabilité étant assurée par la $σ$ -additivité elle-même. La seconde écriture s'obtient en remplaçant $P (B \cap A_{i})$ par $P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$ , ce qui est licite dès que $P (A_{i}) > 0$ ; et si $P (A_{i}) = 0$ , alors $P (B \cap A_{i}) = 0$ et le terme correspondant ne contribue pas. $□$

Propriété

Formule de Bayes. Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles. Alors

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )} .

Si de plus $(A_{i})_{i \in I}$ est un système complet ou quasi-complet d'événements de probabilités non nulles, alors pour tout $j \in I$

P (A_{j} ∣ B) = \frac{P ( A _{j} ) P ( B ∣ A _{j} )}{i \in I \sum P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )} .

Démonstration. La première formule résulte de la double écriture $P (A \cap B) = P (B) P (A ∣ B) = P (A) P (B ∣ A)$ . La seconde s'en déduit en remplaçant $P (B)$ au dénominateur par la formule des probabilités totales. $□$

Indépendance

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Lorsque $P (B) > 0$ , cela équivaut à $P (A ∣ B) = P (A)$ .

Une famille finie d'événements $(A_{1}, \dots, A_{n})$ est mutuellement indépendante lorsque

\forall J \subset {1, \dots, n}, J \neq = \emptyset, P (i \in J ⋂ A_{i}) = i \in J \prod P (A_{i}) .

L'indépendance mutuelle exige donc bien davantage que l'indépendance deux à deux, qui n'est que le cas des parties $J$ à deux éléments. Ces deux notions ne coïncident pas : il existe des familles de trois événements deux à deux indépendants qui ne sont pas mutuellement indépendants, et un contre-exemple classique est traité dans la fiche d'exercices de ce chapitre. Retenez seulement qu'aucune des vérifications ne se déduit des autres, et qu'il faut donc les faire toutes.

Propriété

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi, de même que $\overline{A}$ et $B$ , et $\overline{A}$ et $\overline{B}$ .

Démonstration. L'événement $A$ se décompose en $A = (A \cap B) ⊔ (A \cap \overline{B})$ , donc par additivité $P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A \cap B)$ . En utilisant l'indépendance de $A$ et $B$ , il vient

P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (\overline{B}),

ce qui est exactement l'indépendance de $A$ et $\overline{B}$ . Le rôle de $A$ et $B$ étant symétrique, $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants, et en appliquant à nouveau le résultat au couple $(\overline{A}, B)$ , on obtient l'indépendance de $\overline{A}$ et $\overline{B}$ . $□$

Variables aléatoires discrètes

Définition, loi, variable image

Définition

Soit $(Ω, A)$ un espace probabilisable et $E$ un ensemble. Une variable aléatoire discrète sur $(Ω, A)$ à valeurs dans $E$ est une application $X : Ω \to E$ telle que :

$X (Ω)$ est au plus dénombrable ;
pour tout $x \in X (Ω)$ , l'ensemble $(X = x) = {ω \in Ω; X (ω) = x}$ est un événement, c'est-à-dire un élément de $A$ .

Lorsque $E \subset R$ , on parle de variable aléatoire discrète réelle.

Définition

La loi de $X$ est la donnée de l'ensemble $X (Ω)$ et de la famille $(P (X = x))_{x \in X (Ω)}$ . On la note $P_{X}$ .

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ , éventuellement définies sur des espaces différents, suivent la même loi, ce qu'on note $X \sim Y$ , lorsque $X (Ω) = Y (Ω)$ et $P (X = x) = P (Y = x)$ pour tout $x$ .

Propriété

La famille $((X = x))_{x \in X (Ω)}$ est un système complet d'événements. En particulier $x \in X (Ω) \sum P (X = x) = 1$ .

Réciproquement, si $(p_{x})_{x \in E}$ est une famille de réels positifs indexée par un ensemble $E$ au plus dénombrable et de somme $1$ , il existe une variable aléatoire discrète de loi $(p_{x})_{x \in E}$ .

Définition

Si $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $E$ et si $f : E \to F$ est une application quelconque, alors $f (X) = f \circ X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $F$ , dont la loi est donnée par

P (f (X) = u) = x \in X (Ω), f (x) = u \sum P (X = x) .

Lois usuelles

Les trois premières lois sont connues depuis la première année, on les rappelle sans démonstration.

Définition

Loi uniforme $X \sim U (E)$ sur un ensemble fini $E$ de cardinal $n$ : $P (X = x) = \frac{1}{n}$ pour tout $x \in E$ .
Loi de Bernoulli $X \sim B (p)$ , avec $p \in [0, 1]$ : $X (Ω) = {0, 1}$ , $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = q = 1 - p$ . On a $E (X) = p$ et $V (X) = pq$ .
Loi binomiale $X \sim B (n, p)$ : $X (Ω) = {0, 1, \dots, n}$ et $P (X = k) = (k n) p^{k} q^{n - k}$ . C'est la loi du nombre de succès lors de $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ . On a $E (X) = n p$ et $V (X) = n pq$ .

Les deux lois suivantes sont les nouveautés du chapitre : leur support est infini, elles n'ont donc pas d'équivalent en univers fini.

Définition

Soit $p \in] 0, 1 [$ et $q = 1 - p$ . Une variable aléatoire $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ , ce qu'on note $X \sim G (p)$ , lorsque $X (Ω) = N^{*}$ et

\forall k \in N^{*}, P (X = k) = p q^{k - 1} .

Propriété

Si $X \sim G (p)$ , alors $k = 1 \sum + \infty P (X = k) = 1$ et

\forall k \in N, P (X > k) = q^{k} = (1 - p)^{k}, P (X ⩾ k) = q^{k - 1} pour k ⩾ 1.

Démonstration. La série géométrique de raison $q \in] 0, 1 [$ converge, et

k = 1 \sum + \infty p q^{k - 1} = p j = 0 \sum + \infty q^{j} = \frac{p}{1 - q} = \frac{p}{p} = 1,

ce qui confirme qu'on a bien défini une loi. Ensuite, pour $k \in N$ , l'événement $(X > k)$ est la réunion disjointe des $(X = j)$ pour $j ⩾ k + 1$ , donc

P (X > k) = j = k + 1 \sum + \infty p q^{j - 1} = p q^{k} i = 0 \sum + \infty q^{i} = \frac{p q ^{k}}{1 - q} = q^{k},

où l'on a posé $i = j - k - 1$ . Enfin $(X ⩾ k) = (X > k - 1)$ pour $k ⩾ 1$ , d'où $P (X ⩾ k) = q^{k - 1}$ . $□$

Exemple

Le rang du premier succès. On répète indéfiniment, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p \in] 0, 1 [$ , et l'on note $X$ le rang du premier succès. L'événement $(X = k)$ signifie « les $k - 1$ premières épreuves sont des échecs et la $k$ -ième est un succès », donc par indépendance

P (X = k) = q^{k - 1} p .

Ainsi $X \sim G (p)$ . De même, $(X > k)$ signifie « les $k$ premières épreuves sont des échecs », ce qui redonne directement $P (X > k) = q^{k}$ : c'est la lecture la plus rapide de cette formule, et c'est celle à retenir. La loi géométrique est la loi du temps d'attente du premier succès.

Définition

Soit $λ > 0$ . Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $λ$ , ce qu'on note $X \sim P (λ)$ , lorsque $X (Ω) = N$ et

\forall k \in N, P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} .

Vérification que la somme vaut $1$ . Tous les termes sont positifs et la série exponentielle converge pour tout réel, donc

k = 0 \sum + \infty e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} k = 0 \sum + \infty \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} e^{λ} = 1. □

Exemple

La loi de Poisson comme loi des événements rares. Fixons $λ > 0$ et, pour $n > λ$ , soit $X_{n} \sim B (n, \frac{λ}{n})$ : un très grand nombre $n$ d'épreuves indépendantes, chacune de probabilité de succès très faible, le nombre moyen de succès $n \times \frac{λ}{n} = λ$ restant constant. Fixons $k \in N$ et calculons la limite du nombre $P (X_{n} = k)$ :

P (X_{n} = k) = (k n) (\frac{λ}{n})^{k} (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} = \to 1 \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} \times \frac{λ ^{k}}{k !} \times \to e^{- λ} (1 - \frac{λ}{n})^{n} \times \to 1 (1 - \frac{λ}{n})^{- k} .

Le premier facteur est un quotient de $k$ facteurs équivalents à $n$ par $n^{k}$ , il tend vers $1$ à $k$ fixé ; le troisième s'écrit $exp (n ln (1 - \frac{λ}{n}))$ avec $n ln (1 - \frac{λ}{n}) = - λ + o (1)$ . Ainsi

P (X_{n} = k) n \to + \infty e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} .

Il s'agit ici d'une limite de nombres, à $k$ fixé, et de rien d'autre. Elle justifie l'emploi de la loi de Poisson pour modéliser un nombre d'occurrences d'un événement rare sur une longue période : appels reçus par un standard, désintégrations radioactives, pannes d'un parc de machines.

Couples, lois marginales, lois conditionnelles

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes sur le même espace, à valeurs dans $E$ et $F$ . Le couple $Z = (X, Y)$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $E \times F$ , d'ensemble de valeurs inclus dans $X (Ω) \times Y (Ω)$ , qui est au plus dénombrable.

La loi conjointe de $(X, Y)$ est la famille $(P (X = x, Y = y))_{(x, y)}$ , où $(X = x, Y = y)$ désigne l'événement $(X = x) \cap (Y = y)$ . Les lois de $X$ et de $Y$ s'appellent alors les lois marginales du couple. Tout ceci s'étend à un $n$ -uplet $(X_{1}, \dots, X_{n})$ .

Propriété

Passage de la loi conjointe aux lois marginales.

\forall x \in X (Ω), P (X = x) = y \in Y (Ω) \sum P (X = x, Y = y),

et symétriquement pour $Y$ . En revanche, la donnée des deux lois marginales ne détermine pas la loi conjointe.

Démonstration. La famille $((Y = y))_{y \in Y (Ω)}$ est un système complet d'événements, indexé par un ensemble au plus dénombrable. La formule des probabilités totales appliquée à l'événement $B = (X = x)$ donne exactement

P (X = x) = y \in Y (Ω) \sum P ((X = x) \cap (Y = y)) = y \in Y (Ω) \sum P (X = x, Y = y) . □

Définition

Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La loi conditionnelle de $X$ sachant $B$ est la loi de $X$ pour la probabilité $P_{B}$ , c'est-à-dire la famille $(P (X = x ∣ B))_{x \in X (Ω)}$ . Comme $P_{B}$ est une probabilité, cette famille est bien une loi : elle est positive et de somme $1$ .

Le cas le plus fréquent est $B = (Y = y)$ avec $P (Y = y) > 0$ : la loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y = y)$ est donnée par

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{P ( X = x , Y = y )}{P ( Y = y )} .

Indépendance de variables aléatoires

Définition

Deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes lorsque

\forall (x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω), P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) .

Les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont (mutuellement) indépendantes lorsque

\forall (x_{1}, \dots, x_{n}) \in X_{1} (Ω) \times \dots \times X_{n} (Ω), P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}) = i = 1 \prod n P (X_{i} = x_{i}) .

Une suite $(X_{n})_{n \in N}$ est une suite de variables indépendantes lorsque toute sous-famille finie l'est. Elle est dite i.i.d. (indépendante et identiquement distribuée) lorsque, de plus, toutes les $X_{n}$ suivent la même loi.

Pour des variables indépendantes, la loi conjointe est donc entièrement déterminée par les lois marginales : c'est exactement ce que l'indépendance apporte, et c'est pourquoi elle simplifie tant les calculs.

Propriété

Modélisation du pile ou face infini (résultat admis). Pour tout $p \in [0, 1]$ , il existe un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ portant une suite $(X_{n})_{n ⩾ 1}$ de variables aléatoires i.i.d. de loi $B (p)$ , où $(X_{n} = 1)$ modélise « la $n$ -ième épreuve est un succès ». La construction d'un tel espace est hors programme : on l'utilise, on ne la refait pas.

Exemple

« On n'obtient jamais de succès » est négligeable. Reprenons la suite précédente avec $p \in] 0, 1 [$ et posons $A_{N} = ⋂_{n = 1}^{N} (X_{n} = 0)$ , l'événement « les $N$ premières épreuves sont des échecs ». Par indépendance, $P (A_{N}) = q^{N}$ . La suite $(A_{N})_{N ⩾ 1}$ est décroissante, d'intersection $A = ⋂_{n ⩾ 1} (X_{n} = 0)$ . La continuité décroissante donne

P (A) = N \to + \infty lim P (A_{N}) = N \to + \infty lim q^{N} = 0,

puisque $0 < q < 1$ . L'événement $A$ est donc négligeable, bien que non vide. On en déduit que le rang $T$ du premier succès est défini sur l'événement presque sûr $\overline{A}$ ; en le prolongeant arbitrairement sur $A$ , ce qui ne modifie aucune des probabilités $P (T = k)$ , on obtient une variable aléatoire telle que $T \sim G (p)$ .

Propriété

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors pour toutes applications $f$ et $g$ définies respectivement sur $X (Ω)$ et $Y (Ω)$ , les variables $f (X)$ et $g (Y)$ sont indépendantes.

Démonstration. Fixons $u$ dans $f (X) (Ω)$ et $v$ dans $g (Y) (Ω)$ , et posons $A_{u} = {x \in X (Ω); f (x) = u}$ et $B_{v} = {y \in Y (Ω); g (y) = v}$ . L'événement $(f (X) = u) \cap (g (Y) = v)$ est la réunion, disjointe et au plus dénombrable, des événements $(X = x) \cap (Y = y)$ pour $(x, y) \in A_{u} \times B_{v}$ . La $σ$ -additivité, l'indépendance de $X$ et $Y$ , puis le produit de deux sommes de familles positives sommables donnent

P (f (X) = u, g (Y) = v) = (x, y) \in A_{u} \times B_{v} \sum P (X = x) P (Y = y) = (x \in A_{u} \sum P (X = x)) y \in B_{v} \sum P (Y = y) = P (f (X) = u) P (g (Y) = v) . □

Propriété

Lemme des coalitions (démonstration hors programme, résultat admis). Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et $m$ un entier avec $1 ⩽ m < n$ . Alors, pour toutes applications $f$ et $g$ définies sur les ensembles de valeurs correspondants, les variables aléatoires

f (X_{1}, \dots, X_{m}) et g (X_{m + 1}, \dots, X_{n})

sont indépendantes.

C'est l'énoncé qui autorise, par exemple, à affirmer que $X_{1} + X_{2}$ et $X_{3} X_{4}$ sont indépendantes dès que $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ le sont. Sans lui, chaque situation de ce type devrait être vérifiée à la main. Il se généralise à un découpage en plusieurs blocs d'indices deux à deux disjoints.

Espérance

Définition et sommabilité

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive, à valeurs dans $[0, + \infty]$ , avec la convention $x P (X = x) = 0$ lorsque $x = + \infty$ et $P (X = + \infty) = 0$ . Comme la famille $(x P (X = x))_{x \in X (Ω)}$ est positive, sa somme est toujours définie dans $[0, + \infty]$ et l'on pose

E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x) \in [0, + \infty] .

Soit maintenant $X$ une variable aléatoire discrète réelle quelconque. On dit que $X$ est d'espérance finie lorsque la famille $(x P (X = x))_{x \in X (Ω)}$ est sommable, c'est-à-dire lorsque $E (∣ X ∣) < + \infty$ , et l'on pose alors

E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x) .

Une variable est centrée lorsque $E (X) = 0$ .

Deux remarques d'usage. Pour une variable positive, l'espérance existe toujours, éventuellement infinie : on peut donc écrire $E (X)$ sans précaution préalable, ce qui est très commode dans les démonstrations. Pour une variable de signe quelconque, en revanche, écrire $E (X)$ sans avoir justifié la sommabilité est une faute : c'est la première chose que cherche un correcteur.

Propriété

Si $A$ est un événement, $1_{A}$ est une variable aléatoire de loi $B (P (A))$ et

E (1_{A}) = P (A) .

La formule des queues

Propriété

Formule des queues. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N$ . Alors, dans $[0, + \infty]$ ,

E (X) = n = 1 \sum + \infty P (X ⩾ n) = n = 0 \sum + \infty P (X > n) .

En particulier, $X$ est d'espérance finie si et seulement si la série $\sum_{n ⩾ 1} P (X ⩾ n)$ converge.

Démonstration. Pour tout $n ⩾ 1$ , l'événement $(X ⩾ n)$ est la réunion disjointe des $(X = k)$ pour $k ⩾ n$ , donc $P (X ⩾ n) = \sum_{k ⩾ n} P (X = k)$ par $σ$ -additivité. On en déduit

n = 1 \sum + \infty P (X ⩾ n) = n ⩾ 1 \sum k ⩾ n \sum P (X = k) = (n, k) \in D \sum P (X = k),

où $D = {(n, k) \in N^{*} \times N; n ⩽ k}$ . Tous les termes sont positifs, donc la sommation par paquets et le théorème de Fubini s'appliquent sans hypothèse supplémentaire, l'égalité ayant lieu dans $[0, + \infty]$ . Regroupons cette fois selon la valeur de $k$ : pour $k$ fixé, les entiers $n$ tels que $(n, k) \in D$ sont exactement $1, 2, \dots, k$ , au nombre de $k$ . D'où

(n, k) \in D \sum P (X = k) = k = 0 \sum + \infty (n = 1 \sum k P (X = k)) = k = 0 \sum + \infty k P (X = k) = E (X) .

Enfin $(X ⩾ n) = (X > n - 1)$ pour $n ⩾ 1$ , ce qui donne la seconde écriture par décalage d'indice. $□$

La formule de transfert

Propriété

Formule de transfert. Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $E$ et $f : E \to R$ .

Si $f$ est positive, alors, dans $[0, + \infty]$ , $E (f (X)) = x \in X (Ω) \sum f (x) P (X = x)$ .
Dans le cas général, $f (X)$ est d'espérance finie si et seulement si la famille $(f (x) P (X = x))_{x \in X (Ω)}$ est sommable, et alors

E (f (X)) = x \in X (Ω) \sum f (x) P (X = x) .

Cas d'un couple. Si $(X, Y)$ est un couple de variables discrètes et $f$ une fonction de deux variables, alors $f (X, Y)$ est d'espérance finie si et seulement si la famille $(f (x, y) P (X = x, Y = y))_{(x, y)}$ est sommable, et alors

E (f (X, Y)) = (x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω) \sum f (x, y) P (X = x, Y = y) .

L'énoncé s'étend à un $n$ -uplet.

L'intérêt est considérable : pour calculer $E (f (X))$ , on n'a pas besoin de déterminer la loi de $f (X)$ . On somme sur les valeurs de $X$ , avec la loi de $X$ . C'est ce qui rend possibles, plus loin, les calculs de $E (X^{2})$ et de $E (X Y)$ .

Propriétés de l'espérance

Propriété

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles.

Domination. Si $∣ X ∣ ⩽ Y$ et si $Y$ est d'espérance finie, alors $X$ est d'espérance finie.
Linéarité. Si $X$ et $Y$ sont d'espérance finie et $λ \in R$ , alors $X + λY$ est d'espérance finie et $E (X + λY) = E (X) + λ E (Y)$ .
Positivité. Si $X ⩾ 0$ et $X$ d'espérance finie, alors $E (X) ⩾ 0$ .
Croissance. Si $X ⩽ Y$ et si $X$ et $Y$ sont d'espérance finie, alors $E (X) ⩽ E (Y)$ .
Si $X$ est constante égale à $c$ , alors $E (X) = c$ . Enfin $∣ E (X) ∣ ⩽ E (∣ X ∣)$ .

Démonstration. Pour le point 1, la formule de transfert appliquée au couple $(X, Y)$ et à la fonction positive $(x, y) \mapsto ∣ x ∣$ donne $E (∣ X ∣) ⩽ E (Y) < + \infty$ par croissance des sommes de familles positives, puisque $∣ X ∣ ⩽ Y$ ponctuellement.

Pour le point 2, la formule de transfert pour le couple appliquée à $(x, y) \mapsto ∣ x + λ y ∣ ⩽ ∣ x ∣ + ∣ λ ∣∣ y ∣$ donne la sommabilité, puis la linéarité de la somme d'une famille sommable donne

E (X + λY) = (x, y) \sum (x + λ y) P (X = x, Y = y) = (x, y) \sum x P (X = x, Y = y) + λ (x, y) \sum y P (X = x, Y = y) .

En regroupant la première somme par paquets selon la valeur de $x$ , la formule de passage aux lois marginales donne $\sum_{x} x P (X = x) = E (X)$ , et de même pour la seconde. D'où le résultat.

Le point 3 est immédiat : une somme de termes positifs est positive. Le point 4 s'en déduit en appliquant le point 3 à $Y - X ⩾ 0$ , d'espérance finie par linéarité. Le point 5 vient de l'inégalité triangulaire pour les familles sommables. $□$

Propriété

Soit $X$ une variable aléatoire discrète telle que $X ⩾ 0$ et $E (X) = 0$ . Alors l'événement $(X = 0)$ est presque sûr.

Démonstration. Par définition, $E (X) = \sum_{x \in X (Ω)} x P (X = x) = 0$ , et tous les termes de cette somme sont positifs puisque $X (Ω) \subset [0, + \infty [$ . Une somme nulle de termes positifs a tous ses termes nuls : pour tout $x \in X (Ω)$ tel que $x > 0$ , on a donc $x P (X = x) = 0$ , c'est-à-dire $P (X = x) = 0$ .

L'événement $(X > 0)$ est la réunion, au plus dénombrable, des événements négligeables $(X = x)$ pour $x \in X (Ω)$ avec $x > 0$ . Par sous-additivité dénombrable, $P (X > 0) = 0$ , donc $P (X = 0) = 1 - P (X > 0) = 1$ . $□$

Propriété

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et d'espérance finie, alors $X Y$ est d'espérance finie et

E (X Y) = E (X) E (Y) .

Démonstration. Étudions d'abord la sommabilité. Par indépendance, puis par le théorème du produit de deux sommes appliqué aux familles positives sommables $(∣ x ∣ P (X = x))_{x}$ et $(∣ y ∣ P (Y = y))_{y}$ ,

(x, y) \sum ∣ x y ∣ P (X = x, Y = y) = (x, y) \sum ∣ x ∣ P (X = x) \times ∣ y ∣ P (Y = y) = E (∣ X ∣) E (∣ Y ∣) < + \infty.

La famille $(x y P (X = x, Y = y))$ est donc sommable, et la formule de transfert pour le couple s'applique. Le même calcul sans valeurs absolues donne

E (X Y) = (x, y) \sum x y P (X = x) P (Y = y) = (x \sum x P (X = x)) (y \sum y P (Y = y)) = E (X) E (Y) . □

Attention : la réciproque est fausse. L'égalité $E (X Y) = E (X) E (Y)$ n'entraîne pas l'indépendance, comme on le verra à la section suivante.

Espérance des lois géométrique et de Poisson

Exemple

Espérance d'une loi géométrique. Soit $X \sim G (p)$ avec $q = 1 - p \in] 0, 1 [$ .

Première méthode, par la formule des queues. La variable $X$ est à valeurs dans $N^{*}$ et $P (X ⩾ n) = q^{n - 1}$ , donc

E (X) = n = 1 \sum + \infty P (X ⩾ n) = n = 1 \sum + \infty q^{n - 1} = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{p},

la série géométrique convergeant puisque $0 < q < 1$ . L'espérance est en particulier finie.

Seconde méthode, par la définition. La série entière $\sum_{k ⩾ 1} k x^{k - 1}$ a pour somme $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ sur $] - 1, 1 [$ , comme dérivée terme à terme de la série géométrique. Donc

E (X) = k = 1 \sum + \infty k p q^{k - 1} = p k = 1 \sum + \infty k q^{k - 1} = \frac{p}{( 1 - q ) ^{2}} = \frac{p}{p ^{2}} = \frac{1}{p} .

Conclusion : $E (X) = \frac{1}{p}$ . Le résultat est conforme à l'intuition : si une épreuve réussit une fois sur dix, il faut en moyenne dix essais pour obtenir un premier succès.

Exemple

Espérance d'une loi de Poisson. Soit $X \sim P (λ)$ avec $λ > 0$ . La famille $(k e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !})_{k \in N}$ est positive, et le terme d'indice $0$ est nul. Pour $k ⩾ 1$ , on simplifie $\frac{k}{k !} = \frac{1}{( k - 1 )!}$ , d'où

E (X) = k = 1 \sum + \infty k e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} λ k = 1 \sum + \infty \frac{λ ^{k - 1}}{( k - 1 )!} = e^{- λ} λ j = 0 \sum + \infty \frac{λ ^{j}}{j !} = e^{- λ} λ e^{λ} = λ .

La série exponentielle étant convergente, la famille est sommable et l'espérance est finie. Conclusion : $E (X) = λ$ . Le paramètre d'une loi de Poisson est donc son espérance, ce qui justifie sa lecture comme « nombre moyen d'occurrences ».

Variance et covariance

Moments d'ordre deux

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle et $r \in N^{*}$ . Lorsque $X^{r}$ est d'espérance finie, on appelle moment d'ordre $r$ de $X$ le réel $E (X^{r})$ , qui se calcule par la formule de transfert :

E (X^{r}) = x \in X (Ω) \sum x^{r} P (X = x) .

Propriété

Si $X^{2}$ est d'espérance finie, alors $X$ est d'espérance finie.

Démonstration. Pour tout réel $t$ , l'inégalité $(∣ t ∣ - 1)^{2} ⩾ 0$ donne $t^{2} - 2∣ t ∣ + 1 ⩾ 0$ , c'est-à-dire

∣ t ∣ ⩽ \frac{1}{2} (1 + t^{2}) .

Appliquée en $t = X (ω)$ , elle fournit $∣ X ∣ ⩽ \frac{1}{2} (1 + X^{2})$ . Or la variable $\frac{1}{2} (1 + X^{2})$ est d'espérance finie par linéarité, puisque $X^{2}$ l'est. La propriété de domination donne alors que $X$ est d'espérance finie. $□$

Propriété

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles telles que $X^{2}$ et $Y^{2}$ soient d'espérance finie. Alors $X Y$ est d'espérance finie et

E (X Y)^{2} ⩽ E (X^{2}) E (Y^{2}) .

Il y a égalité si et seulement si $X$ et $Y$ sont presque sûrement liées, c'est-à-dire s'il existe $(α, β) \neq = (0, 0)$ tel que l'événement $(α X + β Y = 0)$ soit presque sûr.

Démonstration. Existence de $E (X Y)$ . L'inégalité $(∣ X ∣ - ∣ Y ∣)^{2} ⩾ 0$ donne $∣ X Y ∣ ⩽ \frac{1}{2} (X^{2} + Y^{2})$ , variable d'espérance finie par linéarité. Par domination, $X Y$ est d'espérance finie.

Remarque préliminaire, utilisée deux fois. Si une variable $W$ d'espérance finie vérifie « $(W = 0)$ est presque sûr », alors $E (W) = 0$ . En effet, pour $w \neq = 0$ , on a $(W = w) \subset (W \neq = 0)$ , événement négligeable, donc $P (W = w) = 0$ par croissance : tous les termes de la somme définissant $E (W)$ sont nuls.

L'inégalité. Si $E (Y^{2}) = 0$ , alors $(Y^{2} = 0)$ , c'est-à-dire $(Y = 0)$ , est presque sûr, donc $(X Y = 0)$ l'est aussi, donc $E (X Y) = 0$ par la remarque, et les deux membres sont nuls. Supposons maintenant $E (Y^{2}) > 0$ et considérons, pour $t \in R$ ,

φ (t) = E ((X + t Y)^{2}) = E (X^{2}) + 2 t E (X Y) + t^{2} E (Y^{2}),

le développement étant licite par linéarité, chacune des trois variables $X^{2}$ , $X Y$ , $Y^{2}$ étant d'espérance finie. Par positivité de l'espérance, $φ (t) ⩾ 0$ pour tout $t$ . C'est un trinôme du second degré en $t$ , de coefficient dominant $E (Y^{2}) > 0$ , qui garde un signe constant : son discriminant est donc négatif ou nul,

4 E (X Y)^{2} - 4 E (X^{2}) E (Y^{2}) ⩽ 0,

ce qui est l'inégalité annoncée.

Cas d'égalité, sens direct. Supposons $E (X Y)^{2} = E (X^{2}) E (Y^{2})$ . Si $E (Y^{2}) = 0$ , alors $(Y = 0)$ est presque sûr et le couple $(α, β) = (0, 1)$ convient. Sinon, le discriminant du trinôme $φ$ est nul, donc $φ$ admet une racine double $t_{0}$ , et $φ (t_{0}) = 0$ signifie $E ((X + t_{0} Y)^{2}) = 0$ . La variable $(X + t_{0} Y)^{2}$ étant positive d'espérance nulle, l'événement $((X + t_{0} Y)^{2} = 0)$ , c'est-à-dire $(X + t_{0} Y = 0)$ , est presque sûr : le couple $(α, β) = (1, t_{0}) \neq = (0, 0)$ convient.

Cas d'égalité, réciproque. Supposons $(α X + β Y = 0)$ presque sûr avec $(α, β) \neq = (0, 0)$ . Si $α = 0$ , alors $β \neq = 0$ et $(Y = 0)$ est presque sûr : la remarque préliminaire donne $E (Y^{2}) = 0$ et $E (X Y) = 0$ , donc les deux membres sont nuls et l'égalité a lieu.

Supposons donc $α \neq = 0$ et posons $c = - \frac{β}{α}$ , de sorte que $(X = c Y)$ est presque sûr. En appliquant la remarque préliminaire à $W = X Y - c Y^{2}$ puis à $W = X^{2} - c^{2} Y^{2}$ , qui sont presque sûrement nulles et d'espérance finie, on obtient $E (X Y) = c E (Y^{2})$ et $E (X^{2}) = c^{2} E (Y^{2})$ . Alors

E (X Y)^{2} = c^{2} E (Y^{2})^{2} = (c^{2} E (Y^{2})) E (Y^{2}) = E (X^{2}) E (Y^{2}) . □

Variance et écart type

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle dont $X^{2}$ est d'espérance finie. La variable $X$ est alors d'espérance finie, et l'on appelle variance de $X$ le réel positif

V (X) = E ((X - E (X))^{2}),

et écart type de $X$ le réel $σ (X) = V (X)$ .

Si $σ (X) > 0$ , la variable $X^{*} = \frac{X - E ( X )}{σ ( X )}$ est la variable centrée réduite associée : elle vérifie $E (X^{*}) = 0$ et $V (X^{*}) = 1$ .

Propriété

Sous les mêmes hypothèses, et pour tous réels $a$ et $b$ :

Formule de Kœnig-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ ;
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , donc $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ ;
$V (X) = 0$ si et seulement si l'événement $(X = E (X))$ est presque sûr.

Démonstration. Notons $m = E (X)$ . Pour le point 1, on développe le carré et on applique la linéarité, licite car $X^{2}$ , $X$ et la variable constante $1$ sont d'espérance finie :

V (X) = E (X^{2} - 2 m X + m^{2}) = E (X^{2}) - 2 m E (X) + m^{2} = E (X^{2}) - 2 m^{2} + m^{2} = E (X^{2}) - m^{2} .

Pour le point 2, on a $E (a X + b) = am + b$ par linéarité, donc

(a X + b) - E (a X + b) = a (X - m), d’o \overset{u}{ˋ} V (a X + b) = E (a^{2} (X - m)^{2}) = a^{2} V (X) .

On notera au passage que la variance est insensible à la translation : ajouter $b$ décale la variable sans modifier sa dispersion.

Pour le point 3, la variable $(X - m)^{2}$ est positive, et son espérance est nulle si et seulement si l'événement $((X - m)^{2} = 0) = (X = m)$ est presque sûr, d'après le résultat démontré à la section précédente. $□$

Exemple

Variance d'une loi géométrique. Soit $X \sim G (p)$ , $q = 1 - p$ . On calcule d'abord $E (X (X - 1))$ par la formule de transfert, en utilisant la somme de la série entière $\sum_{k ⩾ 2} k (k - 1) x^{k - 2} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}$ sur $] - 1, 1 [$ , obtenue en dérivant deux fois la série géométrique :

E (X (X - 1)) = k = 1 \sum + \infty k (k - 1) p q^{k - 1} = p q k = 2 \sum + \infty k (k - 1) q^{k - 2} = \frac{2 pq}{( 1 - q ) ^{3}} = \frac{2 pq}{p ^{3}} = \frac{2 q}{p ^{2}} .

Tous les termes étant positifs, cette somme est finie, donc $X^{2}$ est d'espérance finie et

E (X^{2}) = E (X (X - 1)) + E (X) = \frac{2 q}{p ^{2}} + \frac{1}{p} = \frac{2 q + p}{p ^{2}} = \frac{2 - p}{p ^{2}},

en utilisant $2 q + p = 2 (1 - p) + p = 2 - p$ . Enfin, par Kœnig-Huygens,

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = \frac{2 - p}{p ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}} = \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{q}{p ^{2}} .

Conclusion : $E (X) = \frac{1}{p}$ et $V (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ .

Exemple

Variance d'une loi de Poisson. Soit $X \sim P (λ)$ . Les termes d'indices $0$ et $1$ de la somme suivante sont nuls, et pour $k ⩾ 2$ on simplifie $\frac{k ( k - 1 )}{k !} = \frac{1}{( k - 2 )!}$ :

E (X (X - 1)) = k = 2 \sum + \infty k (k - 1) e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} λ^{2} k = 2 \sum + \infty \frac{λ ^{k - 2}}{( k - 2 )!} = e^{- λ} λ^{2} e^{λ} = λ^{2} .

Cette quantité étant finie, $X^{2}$ est d'espérance finie, avec $E (X^{2}) = λ^{2} + E (X) = λ^{2} + λ$ , puis

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = λ^{2} + λ - λ^{2} = λ .

Conclusion : $E (X) = V (X) = λ$ . L'égalité de l'espérance et de la variance est une signature de la loi de Poisson.

Covariance

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles dont les carrés sont d'espérance finie. On appelle covariance de $X$ et $Y$ le réel

Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y))),

qui existe d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Les variables sont dites décorrélées lorsque $Cov (X, Y) = 0$ .

Propriété

Sous ces hypothèses :

Kœnig-Huygens bivariée : $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ ;
$Cov$ est symétrique, bilinéaire, et $Cov (X, X) = V (X)$ ;
$Cov (X, Y) ⩽ σ (X) σ (Y)$ ;
si $X$ et $Y$ sont indépendantes, elles sont décorrélées ; la réciproque est fausse.

Démonstration. Posons $m = E (X)$ et $m^{'} = E (Y)$ . Pour le point 1, on développe par linéarité :

Cov (X, Y) = E (X Y - m^{'} X - mY + m m^{'}) = E (X Y) - m^{'} m - m m^{'} + m m^{'} = E (X Y) - m m^{'} .

Le point 2 découle de la linéarité de l'espérance appliquée au développement du produit, et $Cov (X, X) = E ((X - m)^{2}) = V (X)$ par définition. Le point 3 est l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux variables centrées $X - m$ et $Y - m^{'}$ , qui donne $Cov (X, Y)^{2} ⩽ V (X) V (Y)$ . Pour le point 4, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E (X Y) = E (X) E (Y)$ , donc $Cov (X, Y) = 0$ par le point 1. $□$

Exemple

Décorrélées mais dépendantes. Soit $X$ de loi uniforme sur ${- 1, 0, 1}$ et $Y = X^{2}$ . Alors $E (X) = \frac{1}{3} (- 1 + 0 + 1) = 0$ et $X Y = X^{3} = X$ , donc $E (X Y) = E (X) = 0$ et

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0.

Les variables sont donc décorrélées. Elles ne sont pourtant pas indépendantes : $Y$ est une fonction de $X$ , et le calcul le confirme, puisque $P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0) = \frac{1}{3}$ alors que

P (X = 0) P (Y = 0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \neq = \frac{1}{3} .

Décorrélation et indépendance sont donc deux notions distinctes : la première ne mesure qu'une absence de liaison affine.

Propriété

Variance d'une somme finie. Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires discrètes réelles dont les carrés sont d'espérance finie. Alors $(\sum_{k} X_{k})^{2}$ est d'espérance finie et

V (k = 1 \sum n X_{k}) = k = 1 \sum n V (X_{k}) + 2 1 ⩽ i < j ⩽ n \sum Cov (X_{i}, X_{j}) .

Si les variables sont deux à deux indépendantes, ou plus généralement deux à deux décorrélées, alors

V (k = 1 \sum n X_{k}) = k = 1 \sum n V (X_{k}) .

Démonstration. Posons $S = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ et $m_{k} = E (X_{k})$ , de sorte que $E (S) = \sum_{k} m_{k}$ par linéarité. Chaque produit $X_{i} X_{j}$ est d'espérance finie par Cauchy-Schwarz, donc $S^{2} = \sum_{i, j} X_{i} X_{j}$ l'est aussi par linéarité, cette somme étant finie. On écrit alors

S - E (S) (S - E (S))^{2} = k = 1 \sum n (X_{k} - m_{k}), = i = 1 \sum n j = 1 \sum n (X_{i} - m_{i}) (X_{j} - m_{j}) .

La linéarité de l'espérance sur une somme finie de variables d'espérance finie donne

V (S) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n Cov (X_{i}, X_{j}) = i = 1 \sum n Cov (X_{i}, X_{i}) + i \neq = j \sum Cov (X_{i}, X_{j}),

où l'on a isolé les termes diagonaux. Or $Cov (X_{i}, X_{i}) = V (X_{i})$ , et par symétrie de la covariance les termes hors diagonale se regroupent deux par deux : $\sum_{i \neq = j} Cov (X_{i}, X_{j}) = 2 \sum_{i < j} Cov (X_{i}, X_{j})$ . D'où la formule.

Si les variables sont deux à deux décorrélées, toutes les covariances d'indices distincts sont nulles et il ne reste que la somme des variances. L'indépendance deux à deux entraîne la décorrélation deux à deux, d'où le cas particulier annoncé. $□$

Fonctions génératrices

Dans toute cette section, $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $N$ . L'idée est de coder la suite $(P (X = n))_{n \in N}$ dans les coefficients d'une série entière, puis de laisser les théorèmes du chapitre sur les séries entières faire le travail.

Définition

La fonction génératrice de $X$ est la fonction

G_{X} : t ⟼ E (t^{X}) = n = 0 \sum + \infty P (X = n) t^{n},

définie au moins sur $[- 1, 1]$ d'après la propriété suivante.

Propriété

La série entière $\sum P (X = n) t^{n}$ a un rayon de convergence $R ⩾ 1$ , elle converge normalement sur $[- 1, 1]$ , et $G_{X}$ est continue sur $[- 1, 1]$ . De plus

G_{X} (1) = 1, G_{X} (0) = P (X = 0), \forall t \in [- 1, 1], G_{X} (t) ⩽ 1.

Démonstration. Posons $f_{n} (t) = P (X = n) t^{n}$ pour $t \in [- 1, 1]$ . Pour tout $t$ de cet intervalle, $∣ t^{n} ∣ ⩽ 1$ , donc

∥ f_{n} ∥_{\infty, [- 1, 1]} = t \in [- 1, 1] sup P (X = n) t^{n} = P (X = n),

la borne supérieure étant atteinte en $t = 1$ . Or $\sum_{n ⩾ 0} P (X = n) = 1 < + \infty$ : la série $\sum ∥ f_{n} ∥_{\infty}$ converge, donc $\sum f_{n}$ converge normalement sur $[- 1, 1]$ , donc uniformément, donc simplement.

En particulier la série numérique $\sum P (X = n) 1^{n}$ converge, ce qui donne $R ⩾ 1$ . Chaque $f_{n}$ étant continue sur $[- 1, 1]$ et la convergence y étant uniforme, la somme $G_{X}$ est continue sur $[- 1, 1]$ , y compris aux extrémités, ce qui n'est pas garanti par la seule théorie des séries entières.

Enfin $G_{X} (1) = \sum_{n} P (X = n) = 1$ , $G_{X} (0) = P (X = 0)$ , et pour $∣ t ∣ ⩽ 1$ l'inégalité triangulaire donne $∣ G_{X} (t) ∣ ⩽ \sum_{n} P (X = n) ∣ t ∣^{n} ⩽ \sum_{n} P (X = n) = 1$ . $□$

Propriété

$G_{X}$ caractérise la loi. Deux variables aléatoires à valeurs dans $N$ ont la même loi si et seulement si elles ont la même fonction génératrice. Précisément,

\forall n \in N, P (X = n) = \frac{G _{X}^{(n)} ( 0 )}{n !} .

Démonstration. Si $X \sim Y$ , les coefficients coïncident, donc $G_{X} = G_{Y}$ . Réciproquement, $G_{X}$ est la somme d'une série entière de rayon $R ⩾ 1 > 0$ : par unicité du développement en série entière, ses coefficients sont ses coefficients de Taylor en $0$ , et l'égalité $G_{X} = G_{Y}$ sur un voisinage de $0$ force l'égalité des coefficients, c'est-à-dire $P (X = n) = P (Y = n)$ pour tout $n$ . $□$

Loi de $X$	$G_{X} (t)$	Validité
$B (p)$	$1 - p + pt$	$t \in R$
$B (n, p)$	$(1 - p + pt)^{n}$	$t \in R$
$G (p)$	$\frac{pt}{1 - ( 1 - p ) t}$	$
$P (λ)$	$e^{λ (t - 1)}$	$t \in R$

Les deux premières lignes sont immédiates, la seconde par la formule du binôme. Pour la géométrique, $G_{X} (t) = \sum_{k ⩾ 1} p q^{k - 1} t^{k} = pt \sum_{j ⩾ 0} (q t)^{j} = \frac{pt}{1 - q t}$ dès que $∣ q t ∣ < 1$ . Pour la loi de Poisson, $G_{X} (t) = \sum_{k ⩾ 0} e^{- λ} \frac{( λ t ) ^{k}}{k !} = e^{- λ} e^{λ t} = e^{λ (t - 1)}$ , valable pour tout réel $t$ .

Propriété

Espérance et variance par $G_{X}$ .

$X$ est d'espérance finie si et seulement si $G_{X}$ est dérivable en $1$ , et alors $E (X) = G_{X}^{'} (1)$ .
$X^{2}$ est d'espérance finie si et seulement si $G_{X}$ est deux fois dérivable en $1$ , et alors

E (X (X - 1)) = G_{X}^{''} (1), V (X) = G_{X}^{''} (1) + G_{X}^{'} (1) - (G_{X}^{'} (1))^{2} .

Démonstration du sens direct du point 1. Supposons $X$ d'espérance finie, c'est-à-dire $\sum_{n ⩾ 1} n P (X = n) < + \infty$ . Posons $f_{n} (t) = P (X = n) t^{n}$ sur $[- 1, 1]$ : chaque $f_{n}$ est de classe $C^{1}$ , la série $\sum f_{n}$ converge simplement sur $[- 1, 1]$ , et pour tout $t \in [- 1, 1]$

f_{n}^{'} (t) = n P (X = n) t^{n - 1} ⩽ n P (X = n),

majoration indépendante de $t$ dont la série converge par hypothèse. La série des dérivées $\sum f_{n}^{'}$ converge donc normalement sur $[- 1, 1]$ . Le théorème de dérivation terme à terme s'applique : $G_{X}$ est de classe $C^{1}$ sur $[- 1, 1]$ , en particulier dérivable en $1$ , et

G_{X}^{'} (1) = n = 1 \sum + \infty n P (X = n) = E (X) .

La réciproque, qui affirme que la dérivabilité de $G_{X}$ en $1$ entraîne l'existence de $E (X)$ , est admise : elle n'est pas exigible. Le point 2 s'obtient de la même manière avec la majoration $∣ f_{n}^{''} (t) ∣ ⩽ n (n - 1) P (X = n)$ , la formule de transfert donnant $G_{X}^{''} (1) = \sum_{n} n (n - 1) P (X = n) = E (X (X - 1))$ , puis $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ avec $E (X^{2}) = E (X (X - 1)) + E (X)$ . $□$

Exemple

Contrôle sur la loi de Poisson. Pour $X \sim P (λ)$ , $G_{X} (t) = e^{λ (t - 1)}$ , donc $G_{X}^{'} (t) = λ e^{λ (t - 1)}$ et $G_{X}^{''} (t) = λ^{2} e^{λ (t - 1)}$ . En $t = 1$ : $E (X) = G_{X}^{'} (1) = λ$ et $E (X (X - 1)) = G_{X}^{''} (1) = λ^{2}$ , d'où $V (X) = λ^{2} + λ - λ^{2} = λ$ . On retrouve bien les résultats de la section précédente.

Propriété

Somme de variables indépendantes. Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $N$ indépendantes, alors

\forall t \in [- 1, 1], G_{X + Y} (t) = G_{X} (t) G_{Y} (t) .

Plus généralement, si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes à valeurs dans $N$ , alors $G_{X_{1} + \dots + X_{n}} = G_{X_{1}} \times \dots \times G_{X_{n}}$ .

Démonstration. Déterminons d'abord la loi de $X + Y$ , qui est à valeurs dans $N$ . La famille $((X = k))_{k \in N}$ est un système complet d'événements, et pour $n$ fixé l'événement $(X + Y = n) \cap (X = k)$ est égal à $(X = k) \cap (Y = n - k)$ , vide si $k > n$ . La formule des probabilités totales puis l'indépendance donnent donc

P (X + Y = n) = k = 0 \sum n P (X = k, Y = n - k) = k = 0 \sum n P (X = k) P (Y = n - k) .

Reconnaissons maintenant un produit de Cauchy. Fixons $t \in [- 1, 1]$ : les séries $\sum_{k} P (X = k) t^{k}$ et $\sum_{j} P (Y = j) t^{j}$ sont absolument convergentes, puisque majorées terme à terme par $P (X = k)$ et $P (Y = j)$ . Le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes s'applique : la série de terme général

c_{n} = k = 0 \sum n P (X = k) t^{k} \times P (Y = n - k) t^{n - k} = (k = 0 \sum n P (X = k) P (Y = n - k)) t^{n} = P (X + Y = n) t^{n}

converge absolument, et sa somme est le produit des deux sommes. Autrement dit

G_{X + Y} (t) = n = 0 \sum + \infty P (X + Y = n) t^{n} = (k = 0 \sum + \infty P (X = k) t^{k}) (j = 0 \sum + \infty P (Y = j) t^{j}) = G_{X} (t) G_{Y} (t) .

Le cas général s'obtient par récurrence sur $n$ , le lemme des coalitions garantissant que $X_{1} + \dots + X_{n - 1}$ et $X_{n}$ sont indépendantes. $□$

Inégalités et loi faible des grands nombres

Propriété

Inégalité de Markov. Soit $X$ une variable aléatoire positive d'espérance finie et $a > 0$ . Alors

P (X ⩾ a) ⩽ \frac{E ( X )}{a} .

Démonstration. L'ensemble $X (Ω)$ est inclus dans $[0, + \infty [$ et tous les termes de la somme définissant $E (X)$ sont positifs. En ne conservant que les valeurs $x ⩾ a$ , puis en minorant chacune d'elles par $a$ , il vient

E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x) ⩾ x \in X (Ω), x ⩾ a \sum x P (X = x) ⩾ a x \in X (Ω), x ⩾ a \sum P (X = x) = a P (X ⩾ a),

la dernière égalité venant de ce que $(X ⩾ a)$ est la réunion disjointe et au plus dénombrable des $(X = x)$ pour $x ⩾ a$ . On divise par $a > 0$ . $□$

Propriété

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle dont $X^{2}$ est d'espérance finie, et soit $ε > 0$ . En notant $m = E (X)$ ,

P (∣ X - m ∣ ⩾ ε) ⩽ \frac{V ( X )}{ε ^{2}} .

Démonstration. Posons $Y = (X - m)^{2}$ : c'est une variable aléatoire discrète positive, d'espérance finie égale à $V (X)$ . Comme $ε > 0$ , on a l'égalité d'événements

(∣ X - m ∣ ⩾ ε) = ((X - m)^{2} ⩾ ε^{2}) = (Y ⩾ ε^{2}),

la fonction carré étant croissante sur $[0, + \infty [$ . L'inégalité de Markov appliquée à $Y$ avec le seuil $a = ε^{2} > 0$ donne

P (∣ X - m ∣ ⩾ ε) = P (Y ⩾ ε^{2}) ⩽ \frac{E ( Y )}{ε ^{2}} = \frac{V ( X )}{ε ^{2}} . □

Lisez cette inégalité comme un contrôle universel de la dispersion : quelle que soit la loi, la probabilité de s'écarter de la moyenne de plus de $k$ écarts types est majorée par $\frac{1}{k ^{2}}$ , ce qu'on obtient en posant $ε = k σ (X)$ . C'est grossier, mais cela ne suppose rien sur la loi.

Propriété

Loi faible des grands nombres. Soit $(X_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. dont le carré est d'espérance finie. On note $m = E (X_{1})$ , $σ = σ (X_{1})$ et $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ . Alors, pour tout $ε > 0$ et tout $n ⩾ 1$ ,

P (\frac{S _{n}}{n} - m ⩾ ε) ⩽ \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} n \to + \infty 0.

Démonstration. Fixons $n ⩾ 1$ et posons $M_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ , la moyenne des $n$ premières variables.

Espérance de $M_{n}$ . Chaque $X_{k}$ est d'espérance finie, puisque son carré l'est, et suit la même loi que $X_{1}$ , donc $E (X_{k}) = m$ . Par linéarité de l'espérance sur une somme finie,

E (M_{n}) = \frac{1}{n} k = 1 \sum n E (X_{k}) = \frac{1}{n} \times nm = m .

Variance de $M_{n}$ . Les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes, donc en particulier deux à deux indépendantes, et leurs carrés sont d'espérance finie. La formule de la variance d'une somme finie de variables deux à deux indépendantes donne

V (S_{n}) = k = 1 \sum n V (X_{k}) = n σ^{2},

toutes les $X_{k}$ ayant la même loi donc la même variance $σ^{2}$ . Puis, avec $V (a X) = a^{2} V (X)$ appliqué à $a = \frac{1}{n}$ ,

V (M_{n}) = V (\frac{1}{n} S_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} V (S_{n}) = \frac{n σ ^{2}}{n ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{n} .

Conclusion. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_{n}$ , dont l'espérance vaut $m$ , donne pour tout $ε > 0$

P (∣ M_{n} - m ∣ ⩾ ε) ⩽ \frac{V ( M _{n} )}{ε ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} .

À $ε > 0$ fixé, le majorant est le terme général d'une suite de limite nulle, donc $P (\frac{S _{n}}{n} - m ⩾ ε) \to 0$ par encadrement, cette probabilité étant positive. $□$

Exemple

Interprétation fréquentiste. Prenons $X_{k} \sim B (p)$ i.i.d., où $(X_{k} = 1)$ signifie « la $k$ -ième épreuve est un succès ». Alors $S_{n}$ est le nombre de succès en $n$ épreuves et $\frac{S _{n}}{n}$ est la fréquence observée des succès. Ici $m = p$ et $σ^{2} = p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$ , cette majoration résultant de l'étude du trinôme $p \mapsto p (1 - p)$ , maximal en $p = \frac{1}{2}$ . La loi faible des grands nombres donne donc, pour tout $ε > 0$ ,

P (\frac{S _{n}}{n} - p ⩾ ε) ⩽ \frac{p ( 1 - p )}{n ε ^{2}} ⩽ \frac{1}{4 n ε ^{2}} n \to + \infty 0.

Voilà le contenu mathématique exact de l'intuition « la fréquence se rapproche de la probabilité » : pour $n$ assez grand, il est très peu probable que la fréquence observée s'écarte de $p$ de plus de $ε$ . L'énoncé ne dit rien de plus, et il ne faut rien lui faire dire de plus.

Méthodes types

Méthode

Reconnaître une loi géométrique dans un énoncé. Trois conditions doivent être réunies, et il faut les vérifier explicitement dans la copie.

1. Une même épreuve, à deux issues (succès ou échec), est répétée. 2. Les répétitions sont indépendantes et la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition. 3. La variable étudiée est le rang du premier succès, à valeurs dans $N^{*}$ .

On conclut alors $X \sim G (p)$ , d'où immédiatement $P (X = k) = p (1 - p)^{k - 1}$ , $P (X > k) = (1 - p)^{k}$ , $E (X) = \frac{1}{p}$ et $V (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ .

Deux pièges classiques. Si la variable compte le nombre d'échecs avant le premier succès, elle vaut $X - 1$ et prend ses valeurs dans $N$ : sa loi n'est pas $G (p)$ , mais on obtient tout par translation, $E (X - 1) = \frac{1}{p} - 1 = \frac{q}{p}$ et $V (X - 1) = V (X)$ . Et si l'énoncé laisse une chance que le succès n'arrive jamais, penser à traiter cet événement : il est négligeable dès que $p > 0$ , par continuité décroissante.

Méthode

Déterminer une loi par la méthode des événements $(X > k)$ . Lorsque l'événement $(X = k)$ est pénible à décrire mais que $(X > k)$ ou $(X ⩽ k)$ est simple, on procède en trois temps.

1. Calculer $P (X > k)$ pour tout $k$ . C'est le cas typique d'un maximum ou d'un minimum : si $X = max (Y_{1}, \dots, Y_{n})$ , alors $(X ⩽ k) = ⋂_{i} (Y_{i} ⩽ k)$ , ce qui se factorise par indépendance. Si $X = min (Y_{1}, \dots, Y_{n})$ , c'est $(X > k) = ⋂_{i} (Y_{i} > k)$ qui se factorise.

2. Revenir à la loi par différence. Comme $(X > k - 1) = (X = k) ⊔ (X > k)$ pour une variable à valeurs entières,

P (X = k) = P (X > k - 1) - P (X > k) .

3. Vérifier. Contrôler que les $P (X = k)$ obtenus sont positifs et de somme $1$ : c'est gratuit et cela détecte la quasi-totalité des erreurs d'indice.

Méthode

Calculer une espérance par la formule des queues. Réflexe à avoir dès que $X$ est à valeurs dans $N$ et que $P (X ⩾ n)$ est plus simple que $P (X = n)$ , ce qui est exactement la situation produite par la méthode précédente.

On écrit $E (X) = \sum_{n ⩾ 1} P (X ⩾ n)$ , la formule étant valable dans $[0, + \infty]$ : on peut donc l'appliquer avant de savoir si l'espérance est finie, et c'est même souvent ainsi qu'on l'établit. Si la série converge, $X$ est d'espérance finie et on a sa valeur ; si elle diverge, $E (X) = + \infty$ et il n'y a rien de plus à dire.

Méthode

Calculer une espérance par décomposition en indicatrices. C'est la méthode la plus rentable du chapitre, et elle contourne complètement la détermination de la loi.

1. Écrire $X = \sum_{i = 1}^{n} 1_{A_{i}}$ , où les $A_{i}$ sont des événements bien choisis, typiquement « l'objet $i$ possède la propriété étudiée ». 2. Appliquer la linéarité sur cette somme finie :

E (X) = i = 1 \sum n E (1_{A_{i}}) = i = 1 \sum n P (A_{i}) .

3. Calculer chaque $P (A_{i})$ , ce qui est en général très simple.

Le point décisif est que la linéarité de l'espérance ne demande aucune indépendance : les $A_{i}$ peuvent être fortement liés, la formule reste vraie. Pour la variance, en revanche, il faudra reprendre la formule de la variance d'une somme et calculer les covariances $Cov (1_{A_{i}}, 1_{A_{j}}) = P (A_{i} \cap A_{j}) - P (A_{i}) P (A_{j})$ .

Méthode

Utiliser une fonction génératrice pour identifier la loi d'une somme. Trois étapes, à condition que les variables soient à valeurs dans $N$ et indépendantes.

1. Écrire les fonctions génératrices des variables en jeu, en citant le tableau des lois usuelles. 2. Multiplier : $G_{X + Y} = G_{X} G_{Y}$ . 3. Reconnaître le résultat dans le tableau et conclure par le fait que la fonction génératrice caractérise la loi.

Exemple. Soient $X \sim P (λ)$ et $Y \sim P (μ)$ indépendantes. Pour tout $t \in [- 1, 1]$ ,

G_{X + Y} (t) = e^{λ (t - 1)} e^{μ (t - 1)} = e^{(λ + μ) (t - 1)},

qui est la fonction génératrice de $P (λ + μ)$ . Donc $X + Y \sim P (λ + μ)$ . Le même raisonnement avec $X \sim B (n, p)$ et $Y \sim B (n^{'}, p)$ indépendantes, de même paramètre $p$ , donne $G_{X + Y} (t) = (1 - p + pt)^{n + n^{'}}$ , donc $X + Y \sim B (n + n^{'}, p)$ .

Méthode

Dimensionner un échantillon par Bienaymé-Tchebychev. Situation type : on estime une proportion inconnue $p$ par la fréquence observée $\frac{S _{n}}{n}$ sur $n$ observations indépendantes, et l'on veut garantir une précision $ε$ avec un risque au plus $α$ .

1. Majorer la variance. Pour des variables de Bernoulli, $σ^{2} = p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$ , majoration valable sans connaître $p$ , ce qui est indispensable puisque $p$ est justement l'inconnue. 2. Écrire l'inégalité : $P (\frac{S _{n}}{n} - p ⩾ ε) ⩽ \frac{1}{4 n ε ^{2}}$ . 3. Résoudre en $n$ l'inéquation $\frac{1}{4 n ε ^{2}} ⩽ α$ , soit $n ⩾ \frac{1}{4 α ε ^{2}}$ .

Application numérique. Pour $ε = 0, 01$ et $α = 0, 05$ , on obtient

n ⩾ \frac{1}{4 \times 0 , 05 \times ( 0 , 01 ) ^{2}} = \frac{1}{4 \times 0 , 05 \times 1 0 ^{- 4}} = \frac{1}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 50 000.

Un échantillon de $50000$ observations suffit donc à garantir un écart inférieur à $0, 01$ avec une probabilité d'au moins $0, 95$ . La majoration est volontairement pessimiste : c'est le prix à payer pour une garantie valable quelle que soit la loi.

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Les exercices

36 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Vocabulaire des événements et opérations dénombrables

Univers, tribu, espace probabilisé, continuité monotone, sous-additivité, événements négligeables et presque sûrs

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et soit $(A_{n})_{n \in N}$ une suite d'événements. Pour $N \in N$ fixé, on pose $B_{N} = n ⩾ N ⋃ A_{n}$ .

1. Traduire à l'aide de quantificateurs, pour $ω \in Ω$ , chacune des appartenances suivantes, puis énoncer en français ce que signifie la réalisation de l'événement correspondant.

a. $ω \in n \in N ⋃ A_{n}$

b. $ω \in n \in N ⋂ A_{n}$

c. $ω \in B_{N}$

2. Justifier que $n \in N ⋃ A_{n}$ , $n \in N ⋂ A_{n}$ et $B_{N}$ sont bien des événements, c'est-à-dire des éléments de $A$ .

3. On note $C$ l'ensemble des $ω \in Ω$ qui réalisent tous les $A_{n}$ sauf un nombre fini d'entre eux. Exprimer $C$ à l'aide d'unions et d'intersections des $A_{n}$ , puis vérifier que $C \in A$ .

4. On note $D$ l'ensemble des $ω \in Ω$ qui réalisent une infinité de $A_{n}$ . Exprimer $D$ à l'aide d'unions et d'intersections des $A_{n}$ , puis vérifier que $D \in A$ . Montrer enfin que $C \subset D$ .

5. Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ et $P (A \cap B) = 0, 3$ . Calculer les probabilités suivantes.

a. $P (A \cup B)$

b. $P (A ∖ B)$

c. $P (\overline{A} \cap \overline{B})$

d. $P (\overline{A} \cup \overline{B})$

e. $P ((A ∖ B) \cup (B ∖ A))$

Exercice 2 ★★★★ — Continuité monotone et sous-additivité

Univers, tribu, espace probabilisé, continuité monotone, sous-additivité, événements négligeables et presque sûrs

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé. On utilisera librement les trois résultats du cours : la continuité croissante, la continuité décroissante et la sous-additivité dénombrable.

1. Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $Ω$ et à valeurs dans $N$ . Pour $n \in N$ , on pose $A_{n} = (X ⩽ n)$ .

a. Montrer que la suite $(A_{n})_{n \in N}$ est croissante pour l'inclusion et déterminer $n \in N ⋃ A_{n}$ .

b. En déduire $n \to + \infty lim P (X ⩽ n)$ , puis $n \to + \infty lim P (X > n)$ .

c. Vérifier ces deux limites par le calcul direct dans le cas où $X (Ω) = N^{*}$ et $P (X = k) = \frac{1}{2 ^{k}}$ pour tout $k \in N^{*}$ .

2. Soit $(B_{n})_{n \in N}$ une suite décroissante d'événements telle que $P (B_{n}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{n + 2}$ pour tout $n \in N$ . On pose $B = n \in N ⋂ B_{n}$ .

a. Calculer $P (B)$ .

b. En déduire $P (n \in N ⋃ \overline{B_{n}})$ .

c. L'événement $B$ est-il négligeable ? presque sûr ?

3. Soit $(C_{n})_{n \in N}$ une suite d'événements, non supposée monotone, telle que $P (C_{n}) ⩽ \frac{1}{2 ^{n}}$ pour tout $n \in N$ . Pour $N \in N$ , on pose $U_{N} = n ⩾ N ⋃ C_{n}$ .

a. Montrer que $P (U_{N}) ⩽ \frac{2}{2 ^{N}}$ .

b. En déduire que $D = N \in N ⋂ U_{N}$ est négligeable.

4. Soit $(A_{n})_{n \in N}$ une suite d'événements presque sûrs, c'est-à-dire tels que $P (A_{n}) = 1$ pour tout $n$ . Montrer que $n \in N ⋂ A_{n}$ est presque sûr. Qu'en déduit-on pour une réunion dénombrable d'événements négligeables ?

Exercice 3 ★★★★ — Reconnaître une variable aléatoire discrète et donner sa loi

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Dans chacune des quatre situations suivantes, déterminer $X (Ω)$ puis la loi de la variable considérée, en vérifiant à chaque fois que la somme des probabilités vaut $1$ . On reconnaîtra une loi usuelle chaque fois que c'est possible.

1. Soit $A$ un événement de probabilité $p \in] 0, 1 [$ et soit $X = 1_{A}$ son indicatrice.

2. On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la somme des deux résultats.

3. Une urne contient $6$ boules indiscernables au toucher, dont $2$ blanches. On effectue $3$ tirages successifs avec remise et on note $Y$ le nombre de boules blanches obtenues.

4. On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants, et on note $T$ le rang du premier six obtenu. Que dit le calcul de la somme des probabilités au sujet de l'événement « on n'obtient jamais de six » ?

5. Déterminer enfin la loi des deux variables suivantes.

a. $Z = U^{2}$ , où $U$ suit la loi uniforme sur ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

b. $W = min (T, 3)$ , où $T$ est la variable de la question 4

Exercice 4 ★★★★ — Premiers calculs avec la loi geometrique

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Soit $p \in] 0, 1 [$ et $q = 1 - p$ . On dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ , et on note $X \sim G (p)$ , lorsque $X (Ω) = N^{*}$ et

P (X = k) = p q^{k - 1} pour tout k \in N^{*}

On rappelle les résultats du cours $E (X) = \frac{1}{p}$ et $V (X) = \frac{q}{p ^{2}}$ , qu'on ne redémontrera pas ici.

1. Vérifier que la formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité.

2. Montrer que $P (X > k) = q^{k}$ pour tout $k \in N$ , puis que $P (X ⩾ k) = q^{k - 1}$ pour tout $k \in N^{*}$ .

3. Calculer $P (X pair)$ et $P (X impair)$ . Laquelle de ces deux probabilités est la plus grande ?

4. Soient $k$ et $ℓ$ deux entiers tels que $1 ⩽ k ⩽ ℓ$ . Calculer $P (k ⩽ X ⩽ ℓ)$ .

5. Application numérique. On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces et on note $X$ le rang du premier six obtenu, de sorte que $X \sim G (\frac{1}{6})$ . Donner les valeurs suivantes sous forme de fraction, puis arrondies à $1 0^{- 3}$ .

a. $P (X ⩽ 5)$

b. $P (X pair)$

c. $P (3 ⩽ X ⩽ 6)$

d. $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$

6. Toujours pour $p = \frac{1}{6}$ , déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P (X ⩽ n) ⩾ 0, 9$ . Comparer à $E (X)$ et commenter.

Exercice 5 ★★★★ — Premiers calculs avec la loi de Poisson

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Soit $λ > 0$ . On dit que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $λ$ , et on note $X \sim P (λ)$ , lorsque $X (Ω) = N$ et

P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} pour tout k \in N

On rappelle le résultat du cours $E (X) = λ$ .

1. Vérifier que la formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité.

2. Calculer $P (X ⩾ 1)$ et $P (X ⩽ 2)$ en fonction de $λ$ .

3. Pour $k \in N$ , calculer le rapport $\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )}$ . En déduire la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $P (X = k)$ est maximale, en distinguant selon que $λ$ est entier ou non.

4. Calculer $E (X (X - 1))$ par la formule de transfert, en déduire $E (X^{2})$ , puis retrouver $V (X) = λ$ .

5. Application numérique. Un standard téléphonique reçoit en moyenne $2$ appels par heure, et on modélise par $X \sim P (2)$ le nombre d'appels reçus au cours d'une heure donnée. Donner les valeurs suivantes, arrondies à $1 0^{- 3}$ .

a. $P (X = 0)$ et $P (X ⩾ 1)$

b. $P (X ⩽ 2)$ et $P (X ⩾ 3)$

c. le ou les modes et la probabilité correspondante

d. $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$

Exercice 6 ★★★★ — Loi conjointe, lois marginales et loi conditionnelle

Couples et n-uplets de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes défini sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , avec $X (Ω) = {1, 2, 3}$ et $Y (Ω) = {0, 1, 2}$ . La loi conjointe du couple est donnée par le tableau suivant, dans lequel le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ vaut $P (X = i, Y = j)$ , et où $a$ désigne un réel inconnu.

$X \ Y$	$0$	$1$	$2$
$1$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{20}$
$2$	$\frac{5}{20}$	$a$	$\frac{2}{20}$
$3$	$\frac{2}{20}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{2}{20}$

1. Déterminer $a$ .

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$ .

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? On justifiera en examinant une seule case du tableau.

4. Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X = 2)$ , puis calculer l'espérance de cette loi conditionnelle et la comparer à $E (Y)$ .

5. Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ , $E (X Y)$ et $Cov (X, Y)$ . Retrouver ainsi la réponse de la question 3.

Exercice 7 ★★★★ — Esperance et variance par la formule de transfert

Espérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une somme

On rappelle la formule de transfert : si $X$ est une variable aléatoire discrète et $f$ une application réelle définie sur $X (Ω)$ , alors $f (X)$ est d'espérance finie si et seulement si la famille $(f (x) P (X = x))_{x \in X (Ω)}$ est sommable, et dans ce cas

E (f (X)) = x \in X (Ω) \sum f (x) P (X = x)

On rappelle également, pour $∣ t ∣ < 1$ , les deux sommes obtenues en dérivant terme à terme la série géométrique :

k ⩾ 1 \sum k t^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - t ) ^{2}} et k ⩾ 2 \sum k (k - 1) t^{k - 2} = \frac{2}{( 1 - t ) ^{3}}

Dans les questions 1 à 4, on ne suppose connues ni l'espérance ni la variance des lois usuelles : ce sont précisément ces valeurs que l'on redémontre. Pour chacune des variables proposées, justifier l'existence de $E (X)$ , la calculer, puis calculer $E (X^{2})$ par transfert et en déduire $V (X)$ .

1. $X \sim G (p)$ , avec $p \in] 0, 1 [$ et $q = 1 - p$ .

2. $X \sim P (λ)$ , avec $λ > 0$ .

3. $X (Ω) = N$ et $P (X = k) = \frac{c}{2 ^{k}}$ pour tout $k \in N$ , où $c$ est une constante que l'on déterminera au préalable.

4. $X (Ω) = {0, 1, 2, 3}$ , de loi donnée par le tableau suivant.

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = k)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10}$

5. Soit $X \sim P (λ)$ . Montrer que $\frac{1}{X + 1}$ est d'espérance finie et que

E (\frac{1}{X + 1}) = \frac{1 - e ^{- λ}}{λ}

Comparer cette valeur à $\frac{1}{E ( X ) + 1}$ pour $λ = 2$ , et conclure.

Exercice 8 ★★★★ — Fonctions generatrices des lois usuelles

Fonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applicationsVariables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ et sont à valeurs dans $N$ . On rappelle que la fonction génératrice de $X$ est définie par

G_{X} (t) = E (t^{X}) = n = 0 \sum + \infty P (X = n) t^{n}

Chaque fois qu'un paramètre $p$ intervient, on suppose $0 < p < 1$ et l'on pose $q = 1 - p$ .

1. Déterminer $G_{X} (t)$ sous forme close ainsi que le rayon de convergence $R$ de la série entière qui la définit, dans chacun des cas suivants.

a. $X \sim B (p)$

b. $X \sim B (n, p)$

c. $X \sim G (p)$

d. $X \sim P (λ)$ , avec $λ > 0$

e. $X \sim U ({0, 1, \dots, n})$

2. Soit $X \sim G (p)$ . Justifier que $G_{X}$ est deux fois dérivable en $1$ , puis retrouver $E (X)$ à l'aide de $G_{X}^{'} (1)$ et $V (X)$ à l'aide de $G_{X}^{''} (1)$ .

3. Reprendre la question 2 pour $X \sim P (λ)$ .

Exercice 9 ★★★★ — Premieres majorations de Markov et de Bienayme-Tchebychev

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres

1. Le nombre $X$ de connexions reçues en une minute par un serveur est une variable aléatoire à valeurs dans $N$ , d'espérance $E (X) = 20$ . On ne dispose d'aucune information sur sa loi.

a. Majorer $P (X ⩾ 50)$ .

b. Que donne la même inégalité appliquée à $P (X ⩾ 10)$ ? Commenter.

c. On suppose de plus que $E (X^{2}) = 500$ . En appliquant l'inégalité de Markov à la variable $X^{2}$ , améliorer la majoration de la question a.

d. Toujours avec $E (X^{2}) = 500$ , obtenir une majoration encore meilleure de $P (X ⩾ 50)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

2. Soit $X \sim P (4)$ .

a. Rappeler $E (X)$ et $V (X)$ , puis majorer $P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ 4)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

b. Calculer la valeur exacte de $P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ 4)$ , puis en donner une valeur approchée à $1 0^{- 4}$ près. Comparer avec la majoration précédente.

3. Soit $(X_{k})_{k ⩾ 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi $B (p)$ , avec $0 < p < 1$ . On pose $S_{n} = k = 1 \sum n X_{k}$ et l'on fixe $ε > 0$ .

a. Déterminer $E (\frac{S _{n}}{n})$ et $V (\frac{S _{n}}{n})$ .

b. Montrer que $P (\frac{S _{n}}{n} - p ⩾ ε) ⩽ \frac{p ( 1 - p )}{n ε ^{2}}$ , puis que cette quantité est majorée par $\frac{1}{4 n ε ^{2}}$ .

c. Un sondage estime une proportion inconnue $p$ par la fréquence observée $\frac{S _{n}}{n}$ . Déterminer un entier $n$ garantissant que la majoration obtenue en b soit inférieure ou égale à $0, 05$ pour $ε = 0, 01$ , sans aucune hypothèse sur $p$ .

Exercice 10 ★★★★ — Sommes doubles et familles sommables en probabilites

Ensembles dénombrables et familles sommables au service du calcul des probabilitésCouples et n-uplets de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles

Partie A. Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , à valeurs dans $N^{*} \times N^{*}$ , dont la loi conjointe est donnée par

P (X = i, Y = j) = \frac{c}{2 ^{i + j}} pour tous i ⩾ 1, j ⩾ 1

où $c$ est une constante réelle.

1. Justifier que la famille $(\frac{1}{2 ^{i + j}})_{(i, j) \in N^{*} \times N^{*}}$ est sommable, puis déterminer $c$ .

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$ , et les reconnaître.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

4. Calculer $P (X = Y)$ , puis $P (X < Y)$ .

5. Déterminer la loi de $X + Y$ , vérifier qu'elle est bien normalisée, et l'identifier. Contrôler le résultat à l'aide des fonctions génératrices.

Partie B. Soit $(U, V)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $N^{*} \times N^{*}$ dont la loi conjointe est donnée par

P (U = i, V = j) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{c ^{'}}{2 ^{i + j}} 0 si 1 ⩽ i ⩽ j sinon

6. Déterminer $c^{'}$ .

7. Déterminer les lois marginales de $U$ et de $V$ . Reconnaître celle de $U$ .

8. Les variables $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ? Calculer enfin $P (U = V)$ .

Exercice 11 ★★★★ — Formule des probabilites totales avec un systeme denombrable

Probabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événements

Partie A. On lance indéfiniment une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité $p$ , les lancers étant indépendants. On suppose $0 < p < 1$ et l'on pose $q = 1 - p$ . On note $N$ le rang du premier pile obtenu. On lance ensuite $N$ dés équilibrés à six faces, ces lancers étant indépendants entre eux et indépendants de ceux de la pièce.

1. Justifier que $N \sim G (p)$ , puis que la famille $((N = n))_{n ⩾ 1}$ est un système quasi-complet d'événements.

2. Soit $B$ l'événement « aucun des dés lancés ne donne un $6$ ». Calculer $P (B)$ en fonction de $p$ , puis donner sa valeur pour $p = \frac{1}{2}$ .

3. Soit $C$ l'événement « exactement un des dés lancés donne un $6$ ». Calculer $P (C)$ en fonction de $p$ , puis donner sa valeur pour $p = \frac{1}{2}$ .

Partie B. Une poule pond $N$ œufs au cours d'une saison, où $N \sim P (λ)$ avec $λ > 0$ . Chaque œuf éclot avec la probabilité $a \in] 0, 1 [$ , indépendamment des autres : autrement dit, conditionnellement à l'événement $(N = n)$ , le nombre $Z$ d'éclosions suit la loi $B (n, a)$ . On convient que $Z = 0$ lorsque $N = 0$ .

4. Justifier que la famille $((N = n))_{n ⩾ 0}$ est un système complet d'événements.

5. Déterminer la loi de $Z$ et la reconnaître.

6. En déduire $E (Z)$ et $V (Z)$ . Application numérique pour $λ = 5$ et $a = 0, 8$ : calculer la probabilité qu'aucun œuf n'éclose, à $1 0^{- 4}$ près.

Exercice 12 ★★★★ — Formule de Bayes en pratique

Probabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événements

Partie A. Une maladie touche une personne sur mille dans la population générale. On dispose d'un test de dépistage dont la sensibilité est de $99 %$ (probabilité que le test soit positif chez un malade) et la spécificité de $98 %$ (probabilité que le test soit négatif chez un individu sain). On choisit une personne au hasard dans la population ; on note $M$ l'événement « elle est malade » et $T$ l'événement « son test est positif ».

1. Traduire les trois données de l'énoncé en probabilités, et préciser le système complet d'événements utilisé.

2. Calculer $P (T)$ .

3. Calculer la valeur prédictive positive du test, c'est-à-dire $P (M ∣ T)$ , à $1 0^{- 3}$ près. Commenter.

4. Calculer la valeur prédictive négative $P (\overline{M} ∣ \overline{T})$ .

5. À sensibilité et spécificité inchangées, à partir de quelle prévalence $π = P (M)$ la valeur prédictive positive atteint-elle $\frac{1}{2}$ ? Conclure sur l'usage d'un tel test.

Partie B. Un émetteur envoie $N$ signaux, où $N \sim G (p)$ avec $p = \frac{1}{3}$ . Chaque signal émis parvient au récepteur avec la probabilité $a = \frac{1}{2}$ , indépendamment des autres : conditionnellement à $(N = n)$ , le nombre $R$ de signaux reçus suit la loi $B (n, a)$ . Le récepteur constate qu'il n'a rien reçu.

6. Justifier que $((N = n))_{n ⩾ 1}$ est un système quasi-complet d'événements, puis calculer $P (R = 0)$ .

7. Déterminer la loi conditionnelle de $N$ sachant $(R = 0)$ , et la reconnaître.

8. Donner les valeurs de $P (N = n ∣ R = 0)$ pour $n \in {1, 2, 3}$ à $1 0^{- 3}$ près, les comparer aux probabilités correspondantes avant observation, et calculer l'espérance de la loi conditionnelle obtenue.

Exercice 13 ★★★★ — Independance deux a deux et independance mutuelle

Probabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événements

Partie A. On lance deux fois une pièce équilibrée. On note $A$ l'événement « le premier lancer donne pile », $B$ l'événement « le second lancer donne pile », et $C$ l'événement « les deux lancers donnent le même résultat ».

1. Décrire l'univers $Ω$ et la probabilité $P$ , puis calculer $P (A)$ , $P (B)$ et $P (C)$ .

2. Montrer que les événements $A$ , $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants.

3. Les événements $A$ , $B$ et $C$ sont-ils mutuellement indépendants ?

4. Calculer $P (C ∣ A \cap B)$ et interpréter le résultat.

Partie B. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi $B (\frac{1}{2})$ . On pose $Z = 1_{(X \neq = Y)}$ .

5. Déterminer la loi de $Z$ .

6. Montrer que les variables $X$ , $Y$ et $Z$ sont deux à deux indépendantes, et vérifier que $Cov (X, Y) = Cov (X, Z) = Cov (Y, Z) = 0$ .

7. Montrer que $X$ , $Y$ et $Z$ ne sont pas mutuellement indépendantes.

8. On pose $S = X + Y + Z$ .

a. Calculer $V (S)$ à l'aide de la formule de la variance d'une somme, puis retrouver le résultat en déterminant directement la loi de $S$ .

b. Comparer $E (X Y Z)$ et $E (X) E (Y) E (Z)$ .

c. Conclure sur ce que l'indépendance deux à deux permet et ne permet pas.

Exercice 14 ★★★★ — Pile ou face infini et rang du n-ieme succes

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, PoissonVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitions

Soit $(X_{k})_{k ⩾ 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi $B (p)$ , avec $0 < p < 1$ . On pose $q = 1 - p$ . On dit qu'il y a succès à l'épreuve $k$ lorsque $X_{k} = 1$ .

Pour $r ⩾ 1$ , on note $T_{r}$ le rang du $r$ -ième succès, avec la convention $T_{r} = + \infty$ si la suite comporte moins de $r$ succès. On note simplement $T_{1}$ le rang du premier succès.

1. Soit $k \in N$ . Exprimer l'événement $(T_{1} > k)$ à l'aide des variables $X_{i}$ , en déduire $P (T_{1} > k)$ , puis la loi de $T_{1}$ .

2. Montrer que $P (T_{1} < + \infty) = 1$ .

3. Soit $r ⩾ 1$ . Déterminer $P (T_{r} = k)$ pour tout $k ⩾ r$ , puis vérifier que la loi obtenue est bien normalisée. Qu'en déduit-on sur $T_{r}$ ?

4. On pose $T_{0} = 0$ et, pour $1 ⩽ i ⩽ r$ , $D_{i} = T_{i} - T_{i - 1}$ : la variable $D_{i}$ est le nombre d'épreuves écoulées entre le $(i - 1)$ -ième succès et le $i$ -ième.

a. Montrer que, pour tous entiers $j_{1}, \dots, j_{r}$ de $N^{*}$ ,

P (D_{1} = j_{1}, \dots, D_{r} = j_{r}) = i = 1 \prod r p q^{j_{i} - 1}

b. En déduire que $D_{1}, \dots, D_{r}$ sont indépendantes et suivent toutes la loi $G (p)$ .

5. En déduire $E (T_{r})$ et $V (T_{r})$ .

6. Retrouver $E (T_{r})$ à l'aide de la fonction génératrice de $T_{r}$ .

Exercice 15 ★★★★ — Absence de memoire de la loi geometrique

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, PoissonProbabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événements

Dans tout l'exercice, $(Ω, A, P)$ est un espace probabilisé et $p \in] 0, 1 [$ . On pose $q = 1 - p$ .

1. Soit $X \sim G (p)$ .

a. Retrouver, par un calcul de série géométrique, la valeur de $P (X > n)$ pour tout $n \in N$ .

b. En déduire que pour tous entiers $n ⩾ 1$ et $k ⩾ 1$ , le conditionnement par $(X > n)$ est licite et

P (X > n + k ∣ X > n) = P (X > k)

2. Réciproque. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N^{*}$ telle que $P (X > n) \neq = 0$ pour tout $n \in N$ , et vérifiant la propriété d'absence de mémoire : pour tous $n ⩾ 1$ et $k ⩾ 1$ , $P (X > n + k ∣ X > n) = P (X > k)$ . On pose $u_{n} = P (X > n)$ pour $n \in N$ .

a. Montrer que $u_{0} = 1$ , puis que $u_{n + k} = u_{n} u_{k}$ pour tous $n ⩾ 1$ et $k ⩾ 1$ .

b. En déduire que $u_{n} = u_{1}^{n}$ pour tout $n \in N$ .

c. Montrer que le cas $u_{1} = 1$ est impossible. On utilisera la continuité décroissante appliquée à la suite d'événements $((X > n))_{n ⩾ 1}$ .

d. Conclure : $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

3. Un joueur lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six. Il a déjà effectué dix lancers sans succès. Déterminer la loi conditionnelle du nombre de lancers qu'il lui reste à faire, sachant cet échec initial, et commenter l'idée reçue selon laquelle il serait « en retard ».

Exercice 16 ★★★★ — Minimum et maximum de variables geometriques independantes

Variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitionsVariables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , on considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ telles que $X \sim G (p)$ et $Y \sim G (q)$ , avec $p \in] 0, 1 [$ et $q \in] 0, 1 [$ .

Attention à la notation : dans cet exercice la lettre $q$ désigne le paramètre de $Y$ , et non $1 - p$ . On écrira donc systématiquement $1 - p$ et $1 - q$ .

On pose $M = min (X, Y)$ et $N = max (X, Y)$ , et on rappelle que $P (X > k) = (1 - p)^{k}$ pour tout $k \in N$ .

1. En calculant $P (M > k)$ pour $k \in N$ , montrer que $M$ suit une loi géométrique de paramètre $r = 1 - (1 - p) (1 - q)$ .

2. En calculant $P (N ⩽ k)$ , déterminer la loi de $N$ . Dans le cas particulier $p = q$ , calculer $E (N)$ .

3. Calculer $P (X < Y)$ , $P (X = Y)$ et $P (X > Y)$ , et vérifier que la somme de ces trois probabilités vaut $1$ .

4. Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes, toutes de loi $G (p)$ . Déterminer la loi de $M_{n} = min (X_{1}, \dots, X_{n})$ et son espérance, puis étudier le comportement de $E (M_{n})$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .

Exercice 17 ★★★★ — Somme de deux variables de Poisson independantes

Couples et n-uplets de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales, lois conditionnellesFonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applicationsEnsembles dénombrables et familles sommables au service du calcul des probabilités

Sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , on considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ telles que $X \sim P (λ)$ et $Y \sim P (μ)$ , avec $λ > 0$ et $μ > 0$ . On pose $S = X + Y$ .

1. Déterminer la loi de $S$ par le calcul direct, en appliquant la formule des probabilités totales au système complet d'événements $((X = i))_{i ⩾ 0}$ . Vérifier ensuite, par sommation par paquets, que la loi obtenue est bien normalisée.

2. Retrouver ce résultat en quelques lignes à l'aide des fonctions génératrices.

3. Soient $U \sim B (n, p)$ et $V \sim B (m, p)$ deux variables indépendantes de même paramètre $p \in] 0, 1 [$ . Déterminer la loi de $U + V$ par les fonctions génératrices. Que se passe-t-il si les deux paramètres $p$ diffèrent ?

4. Soient enfin $T_{1}$ et $T_{2}$ deux variables indépendantes de même loi $G (p)$ . Déterminer la loi de $T_{1} + T_{2}$ et montrer que ce n'est pas une loi géométrique.

Exercice 18 ★★★★ — Calculer une esperance par la formule des queues

Espérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitEnsembles dénombrables et familles sommables au service du calcul des probabilités

1. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N$ définie sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ . Démontrer, par sommation par paquets, que $X$ est d'espérance finie si et seulement si la série $\sum P (X ⩾ n)$ converge, et qu'alors

E (X) = n = 1 \sum + \infty P (X ⩾ n)

2. Appliquer cette formule à $X \sim G (p)$ pour retrouver $E (X) = \frac{1}{p}$ .

3. Soient $n ⩾ 1$ et $k ⩾ 1$ deux entiers. On effectue $k$ tirages indépendants d'un nombre uniforme dans ${1, \dots, n}$ , modélisés par des variables $U_{1}, \dots, U_{k}$ indépendantes de même loi $U ({1, \dots, n})$ , et on pose $M_{k} = max (U_{1}, \dots, U_{k})$ .

a. Montrer que $P (M_{k} ⩽ j) = (\frac{j}{n})^{k}$ pour tout $j \in {0, 1, \dots, n}$ .

b. En déduire que $E (M_{k}) = n - \frac{1}{n ^{k}} j = 0 \sum n - 1 j^{k}$ .

c. Retrouver la valeur de $E (M_{1})$ , puis calculer $E (M_{2})$ .

4. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N$ telle que $P (X ⩾ n) = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ pour tout $n ⩾ 1$ .

a. Vérifier qu'une telle variable existe, en explicitant sa loi.

b. Calculer $E (X)$ .

c. Montrer que $X^{2}$ n'est pas d'espérance finie.

Exercice 19 ★★★★ — Covariance nulle sans independance

Variance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une sommeVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitions

Toutes les variables considérées sont définies sur un même espace probabilisé $(Ω, A, P)$ . On dit que $X$ est de carré intégrable lorsque $X^{2}$ est d'espérance finie.

1. Soit $X \sim U ({- 1, 0, 1})$ et $Y = X^{2}$ .

a. Déterminer la loi de $Y$ , puis calculer $E (X)$ , $E (Y)$ et $E (X Y)$ .

b. En déduire $Cov (X, Y)$ , puis montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

2. Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par le tableau suivant.

$P (X = x, Y = y)$	$y = - 1$	$y = 0$	$y = 1$
$x = 0$	$1/8$	$1/8$	$1/8$
$x = 1$	$1/4$	$1/8$	$1/4$

Déterminer les lois marginales, montrer que $Cov (X, Y) = 0$ , puis que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

3. Réciproquement, soient $X$ et $Y$ indépendantes et de carré intégrable. Démontrer soigneusement que $X Y$ est d'espérance finie et que $Cov (X, Y) = 0$ .

4. Soient $X$ et $Y$ de carré intégrable.

a. Montrer que $Cov (X, Y) ⩽ σ (X) σ (Y)$ .

b. Caractériser le cas d'égalité.

Exercice 20 ★★★★ — Calculer une esperance avec des indicatrices

Espérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une somme

1. Soit $A \in A$ un événement d'un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ . Déterminer la loi de la variable indicatrice $1_{A}$ et montrer que $E (1_{A}) = P (A)$ .

2. Dans chacune des trois situations suivantes, on demande l'espérance de la variable considérée. On la décomposera en somme d'indicatrices.

a. Une urne contient $N$ boules dont $R$ sont rouges. On tire $n$ boules sans remise ( $1 ⩽ n ⩽ N$ ) et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. Calculer $E (X)$ sans déterminer la loi de $X$ , et préciser si les indicatrices utilisées sont indépendantes.

b. On considère $n$ personnes dont les dates d'anniversaire $D_{1}, \dots, D_{n}$ sont modélisées par des variables indépendantes de loi uniforme sur ${1, \dots, 365}$ . Soit $Y$ le nombre de paires de personnes ayant le même anniversaire. Calculer $E (Y)$ , et donner sa valeur pour $n = 23$ .

c. Soient $U_{1}, \dots, U_{n}$ des variables indépendantes de même loi uniforme sur ${1, \dots, N}$ , avec $n ⩾ 2$ . On appelle montée tout indice $i \in {1, \dots, n - 1}$ tel que $U_{i} < U_{i + 1}$ , et on note $Z$ le nombre de montées. Calculer $E (Z)$ .

3. Calculer $V (Z)$ , en développant le carré $(\sum_{i} 1_{A_{i}})^{2}$ et en traitant séparément les termes diagonaux et les termes croisés.

Exercice 21 ★★★★ — Variance d une somme et variables decorrelees

Variance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une sommeVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitions

Toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé $(Ω, A, P)$ et de carré intégrable (c'est-à-dire que leur carré est d'espérance finie).

1. Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ de carré intégrable et $S = k = 1 \sum n X_{k}$ . Démontrer que $S$ est de carré intégrable, puis que

V (k = 1 \sum n X_{k}) = k = 1 \sum n V (X_{k}) + 2 1 ⩽ i < j ⩽ n \sum Cov (X_{i}, X_{j})

2. En déduire la variance d'une somme de variables deux à deux indépendantes, puis retrouver la variance de la loi $B (n, p)$ .

3. Une urne contient $N$ boules dont $R$ sont rouges. On tire $n$ boules sans remise ( $1 ⩽ n ⩽ N$ ) et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. On pose $π = \frac{R}{N}$ et on rappelle (voir l'exercice sur les indicatrices) que, en notant $A_{i}$ l'événement « la $i$ -ième boule tirée est rouge », on a $P (A_{i}) = π$ et $P (A_{i} \cap A_{j}) = \frac{R ( R - 1 )}{N ( N - 1 )}$ pour $i \neq = j$ .

a. Calculer $Cov (1_{A_{i}}, 1_{A_{j}})$ pour $i \neq = j$ et commenter son signe.

b. En déduire $V (X)$ , et comparer au cas d'un tirage avec remise.

4. Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables i.i.d. de variance $σ^{2}$ et d'espérance $m$ , et $S_{n} = k = 1 \sum n X_{k}$ . Calculer $V (\frac{S _{n}}{n})$ et interpréter le résultat.

Exercice 22 ★★★★ — Esperance et variance par la fonction generatrice

Fonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applicationsVariance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une somme

Dans tout l'exercice, $X$ désigne une variable aléatoire à valeurs dans $N$ définie sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , et $G_{X}$ sa fonction génératrice,

G_{X} (t) = E (t^{X}) = n ⩾ 0 \sum P (X = n) t^{n}

1. On suppose que $G_{X}$ est deux fois dérivable en $1$ , au sens de la dérivée à gauche sur $[0, 1]$ lorsque le rayon de convergence vaut exactement $1$ .

a. Rappeler pourquoi $E (X) = G_{X}^{'} (1)$ .

b. Établir que $G_{X}^{''} (1) = E (X (X - 1))$ .

c. En déduire que $V (X) = G_{X}^{''} (1) + G_{X}^{'} (1) - G_{X}^{'} (1)^{2}$ .

2. Retrouver, par cette méthode, l'espérance et la variance de la loi géométrique $G (p)$ avec $p \in] 0, 1 [$ , puis de la loi de Poisson $P (λ)$ avec $λ > 0$ .

3. On ne connaît de $X$ que sa fonction génératrice. Dans chacun des deux cas suivants, identifier la loi de $X$ par développement en série entière, puis calculer $E (X)$ et $V (X)$ de deux façons : à partir de la loi, puis à partir des dérivées de $G_{X}$ .

a. $G_{X} (t) = \frac{1}{( 2 - t ) ^{2}}$ .

b. $G_{X} (t) = e^{λ (t^{2} - 1)}$ , où $λ > 0$ .

4. À quoi sert la vérification $G_{X} (1) = 1$ ? Que lit-on sur la valeur $G_{X} (0)$ ?

Exercice 23 ★★★★ — Loi conditionnelle sachant la somme, cas de Poisson

Couples et n-uplets de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales, lois conditionnellesProbabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événementsEnsembles dénombrables et familles sommables au service du calcul des probabilités

Sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , on considère deux variables aléatoires indépendantes $X \sim P (λ)$ et $Y \sim P (μ)$ , avec $λ > 0$ et $μ > 0$ . On pose $S = X + Y$ .

1. Déterminer la loi de $S$ .

2. Soit $n \in N$ . Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant l'événement $(S = n)$ , c'est-à-dire les nombres $P (X = k ∣ S = n)$ pour $k \in N$ . Reconnaître une loi usuelle.

3. Interpréter concrètement le résultat sur l'exemple suivant : dans une agence, $X$ est le nombre de clients qui se présentent au guichet $A$ pendant une heure et $Y$ le nombre de clients au guichet $B$ .

4. Réciproque. Soient maintenant $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $N$ , et $S = X + Y$ . On suppose que $P (S = n) > 0$ pour tout $n \in N$ , et qu'il existe un réel $p \in] 0, 1 [$ , le même pour tout $n$ , tel que

\forall n \in N, \forall k \in {0, 1, \dots, n}, P (X = k ∣ S = n) = (k n) p^{k} q^{n - k}, q = 1 - p

On note $a_{k} = P (X = k)$ , $b_{k} = P (Y = k)$ et $s_{n} = P (S = n)$ .

a. Montrer que $a_{k} b_{n - k} = (k n) p^{k} q^{n - k} s_{n}$ pour tous $0 ⩽ k ⩽ n$ , puis que $a_{k} > 0$ et $b_{k} > 0$ pour tout $k \in N$ .

b. On pose $u_{k} = \frac{a _{k}}{a _{0}}$ et $v_{k} = \frac{b _{k}}{b _{0}}$ . Montrer que $u_{k} = (\frac{p}{q})^{k} v_{k}$ , puis que $v_{k} v_{n - k} = (k n) v_{n}$ pour tous $0 ⩽ k ⩽ n$ .

c. En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ et de $v_{1}$ , que l'on notera $μ$ , puis conclure que $Y$ et $X$ suivent des lois de Poisson dont on précisera les paramètres.

d. Vérifier la cohérence de ce résultat avec la question 2.

5. Variante binomiale. Soient $X \sim B (m, p)$ et $Y \sim B (r, p)$ indépendantes, de même paramètre $p \in] 0, 1 [$ . Déterminer la loi de $S = X + Y$ , puis la loi conditionnelle de $X$ sachant $(S = n)$ . Commenter la disparition de $p$ .

Exercice 24 ★★★★ — Le probleme du collectionneur de vignettes

Espérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitionsVariables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Une collection comporte $n$ vignettes différentes, numérotées de $1$ à $n$ . On achète des paquets successifs, chaque paquet contenant une vignette tirée uniformément parmi les $n$ types, indépendamment des paquets précédents. On modélise cette situation par une suite $(V_{i})_{i ⩾ 1}$ de variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme sur $E = {1, 2, \dots, n}$ , définies sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ .

Pour $k \in {1, \dots, n}$ , on note $τ_{k}$ le rang du paquet qui fait passer le nombre de vignettes distinctes possédées de $k - 1$ à $k$ , et l'on pose $τ_{0} = 0$ ainsi que $Y_{k} = τ_{k} - τ_{k - 1}$ . Enfin, $T_{n} = τ_{n}$ est le nombre total de paquets nécessaires pour compléter la collection.

1. Montrer que $T_{n} = k = 1 \sum n Y_{k}$ , que $Y_{k}$ suit la loi géométrique $G (\frac{n - k + 1}{n})$ , et que les variables $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ sont indépendantes. On justifiera soigneusement ce dernier point.

2. En déduire $E (T_{n}) = n H_{n}$ , où $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ , puis l'équivalent $E (T_{n}) \sim n ln n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

3. Calculer $V (T_{n})$ , puis montrer que $V (T_{n}) ⩽ \frac{π ^{2}}{6} n^{2}$ . On utilisera $j ⩾ 1 \sum \frac{1}{j ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ .

4. Soit $ε > 0$ . Majorer $P (∣ T_{n} - n H_{n} ∣ ⩾ ε n ln n)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et commenter la qualité de cette majoration.

5. Application numérique : donner une valeur approchée de $E (T_{100})$ et de l'écart type $σ (T_{100})$ , et commenter.

Exercice 25 ★★★★ — Points fixes d une permutation aleatoire

Espérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une somme

Soit $n ⩾ 2$ . On tire une permutation $σ$ uniformément dans le groupe symétrique $S_{n}$ : l'univers est $Ω = S_{n}$ , muni de la tribu $A$ de toutes ses parties et de la probabilité uniforme. On note

X_{n} = card {i \in {1, \dots, n}; σ (i) = i}

le nombre de points fixes de $σ$ , et, pour $i \in {1, \dots, n}$ , $A_{i} = (σ (i) = i)$ .

1. Écrire $X_{n} = i = 1 \sum n 1_{A_{i}}$ , calculer $P (A_{i})$ et en déduire $E (X_{n})$ .

2. Calculer $P (A_{i} \cap A_{j})$ pour $i \neq = j$ , en déduire $Cov (1_{A_{i}}, 1_{A_{j}})$ , puis $V (X_{n})$ .

3. Les événements $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont-ils indépendants ?

4. Pour $1 ⩽ k ⩽ n$ , calculer le moment factoriel $E (X_{n} (X_{n} - 1) \dots (X_{n} - k + 1))$ , en comptant les $k$ -uplets de points fixes.

5. Soit $N$ une variable de loi $P (1)$ .

a. Calculer $E (N (N - 1) \dots (N - k + 1))$ et comparer à la question 4.

b. Montrer que $k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !} x (x - 1) \dots (x - k + 1)$ vaut $1$ si $x = 0$ et $0$ si $x$ est un entier de ${1, \dots, n}$ . En déduire la valeur exacte de $P (X_{n} = 0)$ .

c. Comparer numériquement $P (X_{n} = 0)$ et $e^{- 1}$ pour $n = 5$ puis $n = 10$ , et majorer l'écart pour $n$ quelconque.

Exercice 26 ★★★★ — Approximation d une loi binomiale par une loi de Poisson

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, PoissonFonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applications

Soit $(p_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite d'éléments de $[0, 1]$ telle que $n p_{n} n \to + \infty λ$ , où $λ > 0$ . Pour chaque $n$ , soit $X_{n}$ une variable aléatoire de loi binomiale $B (n, p_{n})$ , et l'on note $q_{n} = 1 - p_{n}$ .

1. Soit $k \in N$ fixé. Montrer que la suite numérique $(P (X_{n} = k))_{n ⩾ 1}$ converge et que

n \to + \infty lim P (X_{n} = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}

On commencera par établir que $p_{n}$ tend vers $0$ , et l'on utilisera le développement de $ln (1 - p_{n})$ .

2. Retrouver ce phénomène sur les fonctions génératrices : montrer que, pour tout $t \in [- 1, 1]$ fixé, $G_{X_{n}} (t)$ converge vers $e^{λ (t - 1)}$ . Que vaut cette limite ? Comparer aussi les espérances et les variances.

3. Application numérique. On prend $n = 1000$ et $p = 0, 002$ . Comparer, à $1 0^{- 4}$ près, les valeurs exactes de $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ et $P (X ⩾ 3)$ pour $X \sim B (1000; 0, 002)$ et les valeurs approchées fournies par la loi de Poisson correspondante.

4. Question de modélisation : pourquoi parle-t-on de « loi des événements rares » ?

Exercice 27 ★★★★ — Lire une loi sur sa fonction generatrice

Fonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applications

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N$ définie sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , de fonction génératrice $G_{X} (t) = n ⩾ 0 \sum P (X = n) t^{n}$ .

1. Justifier que $G_{X}$ est définie et continue sur $[- 1, 1]$ , puis montrer que

P (X est pair) = \frac{G _{X} ( 1 ) + G _{X} ( - 1 )}{2} = \frac{1 + G _{X} ( - 1 )}{2}

Donner de même $P (X est impair)$ .

2. Expliciter $P (X est pair)$ pour $X \sim G (p)$ , puis pour $X \sim P (λ)$ , puis pour $X \sim B (n, p)$ . Commenter chaque résultat.

3. On note $j = e^{2 i π /3}$ .

a. Justifier que la série $\sum P (X = n) z^{n}$ converge absolument pour tout complexe $z$ tel que $∣ z ∣ ⩽ 1$ , ce qui prolonge $G_{X}$ au disque unité fermé.

b. Montrer que, pour $m \in Z$ , la somme $\frac{1}{3} (1 + j^{m} + j^{2 m})$ vaut $1$ si $3$ divise $m$ , et $0$ sinon.

c. En déduire, pour $r \in {0, 1, 2}$ , une expression de $P (X \equiv r [3])$ à l'aide de $G_{X} (j)$ et $G_{X} (j^{2})$ , puis une forme réelle. Appliquer à $X \sim P (λ)$ .

4. Montrer que $P (X = 0) = G_{X} (0)$ et que $P (X = k) = \frac{G _{X}^{(k)} ( 0 )}{k !}$ pour tout $k \in N$ . Identifier alors la loi de $X$ sachant que $G_{X} (t) = \frac{1}{3 - 2 t}$ , et calculer $E (X)$ , $V (X)$ , $P (X est pair)$ et $P (X \equiv 0 [3])$ .

Exercice 28 ★★★★ — Somme d un nombre aleatoire de variables

Fonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applicationsEspérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitions

Sur un espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , on considère une suite i.i.d. $(X_{k})_{k ⩾ 1}$ de variables aléatoires à valeurs dans $N$ , et une variable aléatoire $N$ à valeurs dans $N$ , indépendante de la suite $(X_{k})_{k ⩾ 1}$ . On pose

S = k = 1 \sum N X_{k}

c'est-à-dire $S (ω) = X_{1} (ω) + \dots + X_{N (ω)} (ω)$ , avec la convention $S (ω) = 0$ lorsque $N (ω) = 0$ . Pour $j \in N$ , on note $T_{j} = X_{1} + \dots + X_{j}$ , avec $T_{0} = 0$ , de sorte que $S$ coïncide avec $T_{j}$ sur l'événement $(N = j)$ .

1. Justifier que $S$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $N$ , puis exprimer $P (S = n)$ à l'aide de la formule des probabilités totales appliquée au système complet $((N = j))_{j ⩾ 0}$ .

2. Montrer que $G_{S} = G_{N} \circ G_{X_{1}}$ sur $[- 1, 1]$ , en justifiant soigneusement l'interversion des deux sommations par un argument de sommabilité.

3. On suppose $N$ et $X_{1}$ d'espérance finie. En déduire la formule de Wald

E (S) = E (N) E (X_{1})

puis, en supposant de plus que $N$ et $X_{1}$ admettent une variance, la formule

V (S) = E (N) V (X_{1}) + V (N) E (X_{1})^{2}

4. Application. On suppose $N \sim P (λ)$ avec $λ > 0$ , et $X_{k} \sim B (p)$ avec $p \in] 0, 1 [$ . Montrer par composition des fonctions génératrices que $S \sim P (λ p)$ , et retrouver ce résultat par le calcul direct de la question 1.

5. Application concrète. Un magasin reçoit en une journée un nombre $N$ de clients de loi $P (λ)$ ; chaque client achète, indépendamment des autres et de $N$ , avec probabilité $p$ . Interpréter le résultat de la question 4, puis montrer que le nombre $S$ d'acheteurs et le nombre $R = N - S$ de visiteurs repartis sans rien acheter sont indépendants.

Exercice 29 ★★★★ — Le lemme de Borel-Cantelli

Univers, tribu, espace probabilisé, continuité monotone, sous-additivité, événements négligeables et presque sûrsProbabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événements

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et $(A_{n})_{n ⩾ 0}$ une suite d'événements. On pose

B = m ⩾ 0 ⋂ n ⩾ m ⋃ A_{n}

1. Justifier que $B$ est un événement, puis montrer que $ω \in B$ si et seulement si $ω$ appartient à une infinité de $A_{n}$ . On dira désormais que $B$ est l'événement « une infinité de $A_{n}$ sont réalisés ».

2. Premier lemme de Borel-Cantelli. Montrer que si la série $\sum P (A_{n})$ converge, alors $B$ est négligeable.

3. Application. On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants ; on note $D_{i}$ le résultat du $i$ -ième lancer. Pour $n ⩾ 1$ , soit $A_{n}$ l'événement « les lancers numéros $n^{2} + 1, n^{2} + 2, \dots, n^{2} + n$ donnent tous un $6$ ». Montrer que l'événement « $A_{n}$ est réalisé pour une infinité de $n$ » est négligeable.

4. Application. Soit $(X_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite i.i.d. de variables de loi $G (p)$ , avec $p \in] 0, 1 [$ . On pose $q = 1 - p$ et, pour $α > 0$ et $n ⩾ 1$ ,

c_{n} = α \frac{ln n}{ln ( 1/ q )}

Montrer que si $α > 1$ , l'événement « $X_{n} ⩾ c_{n}$ pour une infinité de $n$ » est négligeable. Que peut-on dire lorsque $α ⩽ 1$ ?

5. Énoncer le second lemme de Borel-Cantelli (cas d'une suite d'événements mutuellement indépendants) ; on l'admettra. Montrer par un exemple que l'hypothèse d'indépendance y est indispensable.

Exercice 30 ★★★★ — Une evolution aleatoire a deux etats

Probabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événementsVariables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson

Une puce se déplace entre deux positions $A$ et $B$ . À chaque étape :

si elle est en $A$ , elle saute en $B$ avec probabilité $a$ et reste en $A$ avec probabilité $1 - a$ ;
si elle est en $B$ , elle saute en $A$ avec probabilité $b$ et reste en $B$ avec probabilité $1 - b$ ;

et ce indépendamment de tout ce qui s'est produit avant l'étape courante. Les réels $a$ et $b$ appartiennent à $[0, 1]$ . On note $E_{n}$ l'événement « la puce est en $A$ à l'étape $n$ » et $u_{n} = P (E_{n})$ , la position initiale étant décrite par la donnée de $u_{0} \in [0, 1]$ .

1. Établir, par la formule des probabilités totales, la relation de récurrence

u_{n + 1} = (1 - a) u_{n} + b (1 - u_{n})

2. Résoudre cette récurrence arithmético-géométrique et donner $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ , $a$ , $b$ et $n$ . Étudier la limite de $(u_{n})$ lorsque $0 < a + b < 2$ , et l'interpréter.

3. Cas particulier $a = b = 1$ : que se passe-t-il, et pourquoi la suite $(u_{n})$ n'a-t-elle pas de limite en général ?

4. On suppose ici $a \in] 0, 1]$ et la puce en $A$ à l'étape $0$ (donc $u_{0} = 1$ ). Soit $T$ le nombre d'étapes nécessaires au premier passage en $B$ , c'est-à-dire $T = min {n ⩾ 1; la puce est en B \overset{a}{ˋ} l’ \overset{e}{ˊ} tape n}$ . Reconnaître la loi de $T$ et donner $E (T)$ .

5. Soit $Z_{n} = k = 1 \sum n 1_{E_{k}}$ le nombre d'étapes passées en $A$ parmi les $n$ premières. Calculer $E (Z_{n})$ et en donner un équivalent lorsque $0 < a + b < 2$ .

Exercice 31 ★★★★ — Inegalite de Cauchy-Schwarz et coefficient de correlation

Variance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une sommeEspérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produit

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et $X$ , $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles définies sur $Ω$ , telles que $X^{2}$ et $Y^{2}$ soient d'espérance finie.

1. Montrer que $X Y$ est d'espérance finie, puis établir l'inégalité de Cauchy-Schwarz

E (X Y)^{2} ⩽ E (X^{2}) E (Y^{2})

en étudiant la fonction $t \mapsto E ((X + t Y)^{2})$ . On justifiera au préalable l'existence de toutes les espérances écrites.

2. Montrer que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un couple de réels $(α, β) \neq = (0, 0)$ tel que l'événement $(α X + β Y = 0)$ soit presque sûr. On utilisera le résultat du cours : une variable aléatoire positive d'espérance nulle est presque sûrement nulle.

3. On suppose désormais que $X$ et $Y$ admettent des variances non nulles et l'on pose

ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )}

Montrer que $ρ (X, Y) \in [- 1, 1]$ , puis que $∣ ρ (X, Y) ∣ = 1$ si et seulement s'il existe des réels $u \neq = 0$ et $v$ tels que l'événement $(Y = u X + v)$ soit presque sûr. Préciser le signe de $ρ$ dans ce cas.

4. Calculer $ρ (X, Y)$ dans deux exemples.

a. $X$ et $Y$ indépendantes, de même variance $σ^{2} > 0$ , et l'on compare $X$ à la somme $S = X + Y$ : calculer $ρ (X, S)$ .

b. Le couple $(X, Y)$ de loi conjointe donnée par le tableau suivant.

$P (X = x, Y = y)$	$x = - 1$	$x = 0$	$x = 1$
$y = 0$	$1/4$	$1/8$	$1/8$
$y = 1$	$1/8$	$1/8$	$1/4$

5. Montrer que pour tous réels $a, c$ non nuls et tous réels $b, d$ ,

ρ (a X + b, c Y + d) = signe (a c) ρ (X, Y)

Exercice 32 ★★★★ — Polynomes de Bernstein et theoreme de Weierstrass

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombresEspérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une somme

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[0, 1]$ , à valeurs réelles. Pour $n \in N^{*}$ et $x \in [0, 1]$ , on pose

B_{n} (f) (x) = k = 0 \sum n (k n) x^{k} (1 - x)^{n - k} f (\frac{k}{n})

Le but du problème est de démontrer, par des arguments exclusivement probabilistes, que la suite de fonctions $(B_{n} (f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ . On note $∥ g ∥_{\infty} = sup_{t \in [0, 1]} ∣ g (t) ∣$ pour $g$ continue sur $[0, 1]$ .

1. Soit $x \in [0, 1]$ fixé et $S_{n}$ une variable aléatoire de loi $B (n, x)$ . Montrer que

B_{n} (f) (x) = E (f (\frac{S _{n}}{n}))

et vérifier que $B_{n} (f)$ est une fonction polynomiale de degré au plus $n$ .

2. Justifier que $f$ est bornée et uniformément continue sur $[0, 1]$ . Soit $ε > 0$ ; on note $δ > 0$ un réel associé à $ε$ par l'uniforme continuité.

3. Établir la majoration

∣ B_{n} (f) (x) - f (x) ∣ ⩽ ε + 2∥ f ∥_{\infty} P (\frac{S _{n}}{n} - x ⩾ δ)

en découpant l'espérance selon que $\frac{S _{n}}{n} - x < δ$ ou non.

4. Majorer $P (\frac{S _{n}}{n} - x ⩾ δ)$ par $\frac{x ( 1 - x )}{n δ ^{2}}$ , puis par $\frac{1}{4 n δ ^{2}}$ , uniformément en $x \in [0, 1]$ .

5. En déduire un rang $n_{0}$ , explicite en fonction de $ε$ , $δ$ et $∥ f ∥_{\infty}$ , à partir duquel $∥ B_{n} (f) - f ∥_{\infty} ⩽ 2 ε$ , et conclure : c'est le théorème d'approximation de Weierstrass.

6. Calculer $B_{n} (f)$ pour $f (x) = x$ , puis pour $f (x) = x^{2}$ . Commenter le fait que $B_{n}$ ne reproduit pas exactement les polynômes de degré $2$ .

Exercice 33 ★★★★ — Probabilite d extinction d une population

Fonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières et leurs applicationsProbabilités conditionnelles, probabilités composées et totales, formule de Bayes, indépendance d'événementsEspérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produit

Une population évolue par générations successives. À la génération $0$ vit un unique individu. Chaque individu donne naissance, indépendamment de tous les autres, à un nombre aléatoire d'enfants qui forment la génération suivante ; ce nombre suit une même loi $μ$ sur $N$ , où l'on note $μ (k)$ la probabilité qu'un individu donné ait exactement $k$ enfants. On pose

g (t) = k ⩾ 0 \sum μ (k) t^{k} et m = k ⩾ 0 \sum k μ (k)

et l'on suppose $m < + \infty$ : $g$ est la fonction génératrice du nombre d'enfants d'un individu et $m$ est le nombre moyen d'enfants par individu. On note $Z_{n}$ l'effectif de la génération $n$ , de sorte que $Z_{0} = 1$ .

Modèle. On se donne une famille $(X_{n, i})_{n ⩾ 1, i ⩾ 1}$ de variables aléatoires indépendantes de même loi $μ$ (l'ensemble d'indices $N^{*} \times N^{*}$ est dénombrable comme produit de deux ensembles dénombrables ; l'existence d'un tel modèle est admise), la variable $X_{n + 1, i}$ représentant le nombre d'enfants du $i$ -ième individu de la génération $n$ . On pose alors

Z_{0} = 1, Z_{n + 1} = i = 1 \sum Z_{n} X_{n + 1, i} (somme vide nulle)

Rappel admis (somme d'un nombre aléatoire de variables). Si $N$ est une variable à valeurs dans $N$ , si $(Y_{i})_{i ⩾ 1}$ est une suite i.i.d. de variables à valeurs dans $N$ de fonction génératrice commune $g$ , et si $N$ est indépendante de la suite $(Y_{i})$ , alors $S = \sum_{i = 1}^{N} Y_{i}$ vérifie $G_{S} = G_{N} \circ g$ sur $[0, 1]$ .

1. Montrer que $G_{Z_{n + 1}} = G_{Z_{n}} \circ g$ pour tout $n \in N$ , puis que $G_{Z_{n}} = g^{\circ n}$ , composée $n$ -ième de $g$ par elle-même (avec $g^{\circ 0} = id$ ).

2. En déduire que $Z_{n}$ est d'espérance finie et que $E (Z_{n}) = m^{n}$ .

3. On note $q_{n} = P (Z_{n} = 0)$ . Montrer que les événements $(Z_{n} = 0)$ sont emboîtés, que la suite $(q_{n})$ converge vers un réel $q$ égal à $P (⋃_{n ⩾ 0} (Z_{n} = 0))$ , et que $q$ vérifie $g (q) = q$ .

4. On suppose $μ (1) \neq = 1$ , c'est-à-dire que la loi $μ$ n'est pas la masse de Dirac en $1$ .

a. Montrer que $g$ est croissante et convexe sur $[0, 1]$ .

b. Montrer que $q$ est le plus petit point fixe de $g$ dans $[0, 1]$ .

c. Montrer que si $m ⩽ 1$ , alors $q = 1$ : l'extinction de la population est presque sûre.

d. Montrer que si $m > 1$ , alors $g$ admet un unique point fixe dans $[0, 1 [$ et que $q$ est ce point fixe. En particulier $q < 1$ .

5. Application numérique. Chaque individu a $0$ , $1$ ou $2$ enfants avec les probabilités respectives $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ . Calculer $m$ , écrire et résoudre l'équation $g (q) = q$ , puis donner la probabilité d'extinction de la population.

Exercice 34 ★★★★ — Inegalite de Chernoff et concentration

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombresEspérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitions

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore les grandes déviations d'une somme en $\frac{1}{n}$ . L'objet de cet exercice est d'obtenir, pour une somme de variables de Bernoulli, une majoration exponentiellement meilleure, due à Chernoff. Toutes les variables considérées sont discrètes.

1. Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $s > 0$ un réel tel que $e^{s X}$ soit d'espérance finie.

a. Montrer que pour tout réel $a$ , $P (X ⩾ a) ⩽ e^{- s a} E (e^{s X})$ .

b. En déduire que $P (X ⩾ a) ⩽ s > 0 in f e^{- s a} E (e^{s X})$ , avec la convention $e^{- s a} E (e^{s X}) = + \infty$ lorsque $e^{s X}$ n'est pas d'espérance finie.

2. Soit $p \in] 0, 1 [$ et $(X_{k})_{1 ⩽ k ⩽ n}$ une suite de variables i.i.d. de loi $B (p)$ . On pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ . Montrer que pour tout réel $s$ ,

E (e^{s S_{n}}) = (1 - p + p e^{s})^{n}

3. Soit $t \in] p, 1 [$ . En optimisant sur $s > 0$ la majoration de la question 1, montrer que

P (S_{n} ⩾ n t) ⩽ e^{- n φ (t)} o \overset{u}{ˋ} φ (t) = t ln \frac{t}{p} + (1 - t) ln \frac{1 - t}{1 - p}

On déterminera explicitement le $s$ optimal et l'on vérifiera que $φ (t) > 0$ .

4. On prend $p = \frac{1}{2}$ et $t = \frac{1}{2} + ε$ avec $ε \in] 0, \frac{1}{2} [$ . Montrer que $φ (\frac{1}{2} + ε) ⩾ 2 ε^{2}$ , puis en déduire la majoration

P (\frac{S _{n}}{n} ⩾ \frac{1}{2} + ε) ⩽ e^{- 2 n ε^{2}}

5. Pour $p = \frac{1}{2}$ , $n = 1000$ et $ε = 0, 05$ , comparer numériquement la majoration fournie par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et celle de Chernoff. Commenter l'intérêt de la seconde, et préciser comment les deux bornes se comportent lorsque $n$ double.

Exercice 35 ★★★★ — Le probleme des allumettes de Banach

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, PoissonEspérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitCouples et n-uplets de variables aléatoires : loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles

Un mathématicien fume la pipe. Il transporte en permanence deux boîtes d'allumettes, une dans chaque poche, contenant chacune $n$ allumettes au départ. Chaque fois qu'il veut allumer sa pipe, il choisit une poche au hasard, chaque poche avec la probabilité $\frac{1}{2}$ et indépendamment des choix précédents, et y prend une allumette. Un jour, il plonge la main dans une poche et découvre que la boîte qu'elle contient est vide. On note $X$ le nombre d'allumettes restant alors dans l'autre boîte.

1. Modéliser la situation à l'aide d'une suite finie de variables de Bernoulli indépendantes. On justifiera que la découverte a nécessairement lieu, en précisant à quel instant au plus tard, et l'on déterminera $X (Ω)$ .

2. Montrer que pour tout $k \in {0, 1, \dots, n}$ ,

P (X = k) = (n 2 n - k) (\frac{1}{2})^{2 n - k}

3. Vérifier par le calcul direct que $k = 0 \sum n P (X = k) = 1$ dans les cas $n = 1$ et $n = 2$ .

4. Exprimer $E (X)$ sous forme d'une somme, puis montrer que

E (X) = (2 n + 1) (n 2 n) 2^{- 2 n} - 1

5. À l'aide de la formule de Stirling, montrer que $E (X) \sim 2 \frac{n}{π}$ quand $n \to + \infty$ , et donner la valeur de $E (X)$ pour $n = 50$ .

Exercice 36 ★★★★ — Records d une suite aleatoire

Espérance, formule de transfert, linéarité et croissance, espérance d'un produitVariance, écart type, covariance, inégalité de Cauchy-Schwarz, variance d'une sommeVariables aléatoires indépendantes, suites i.i.d., lemme des coalitions

Soit $n \in N^{*}$ . On tire une permutation $σ$ au hasard, uniformément, dans le groupe symétrique $S_{n}$ : l'univers est $Ω = S_{n}$ , muni de la tribu $A = P (Ω)$ et de la probabilité uniforme $P$ . La suite $σ (1), σ (2), \dots, σ (n)$ modélise $n$ valeurs distinctes qui se présentent dans un ordre aléatoire (relevés de température, performances sportives, offres reçues…).

On dit qu'il y a un record à l'indice $i$ lorsque $σ (i) > σ (j)$ pour tout $j < i$ , autrement dit lorsque la $i$ -ième valeur dépasse toutes celles qui la précèdent. On note $A_{i}$ cet événement, et

R_{n} = i = 1 \sum n 1_{A_{i}}

le nombre total de records. Par convention, l'indice $1$ est toujours un record : $A_{1} = Ω$ .

1. Montrer que $P (A_{i}) = \frac{1}{i}$ pour tout $i \in {1, \dots, n}$ .

2. En déduire $E (R_{n}) = H_{n}$ où $H_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}$ , puis que $E (R_{n}) \sim ln n$ .

3. Pour $i \in {1, \dots, n}$ , on note $ρ_{i}$ le rang de $σ (i)$ parmi les $i$ premières valeurs, c'est-à-dire

ρ_{i} = card {j \in {1, \dots, i}; σ (j) ⩽ σ (i)}

a. Vérifier que $ρ_{i} \in {1, \dots, i}$ et que $A_{i} = (ρ_{i} = i)$ .

b. Montrer que l'application $σ ⟼ (ρ_{1}, \dots, ρ_{n})$ est une bijection de $S_{n}$ sur l'ensemble produit $E = {1} \times {1, 2} \times \dots \times {1, \dots, n}$ , et en déduire la loi du vecteur $(ρ_{1}, \dots, ρ_{n})$ .

c. En déduire que pour tous indices $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k}$ , $P (A_{i_{1}} \cap \dots \cap A_{i_{k}}) = \frac{1}{i _{1} i _{2} \dots i _{k}}$ , puis que les variables $1_{A_{1}}, \dots, 1_{A_{n}}$ sont mutuellement indépendantes.

4. En déduire que $V (R_{n}) = H_{n} - H_{n}^{(2)}$ où $H_{n}^{(2)} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i ^{2}}$ , puis que $V (R_{n}) \sim ln n$ .

5. Soit $ε > 0$ . Majorer $P (∣ R_{n} - H_{n} ∣ ⩾ ε ln n)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et commenter la concentration de $R_{n}$ .

6. Montrer que $G_{R_{n}} (t) = i = 1 \prod n \frac{t + i - 1}{i}$ , vérifier que $G_{R_{n}} (1) = 1$ , et en déduire les valeurs de $P (R_{n} = 1)$ et $P (R_{n} = n)$ .

Les exercices(PDF, 155 Ko)Les corrigés(PDF, 775 Ko)

Le devoir surveillé

Sujet type DS — 240 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (3 points) — Le contrôleur de train

Mise en jambe. Un exercice de cours sur la loi géométrique : loi, queue, espérance, fonction génératrice, application numérique. Tout y est direct pour qui connaît son cours.

Un contrôleur monte à l'avant d'une rame et contrôle les voyageurs un par un, dans l'ordre où il les rencontre. On modélise la rame par une suite infinie de voyageurs, numérotés $1, 2, 3, \dots$ Chaque voyageur est en règle avec la probabilité $p$ , indépendamment de tous les autres, et l'on suppose $p \in] 0, 1 [$ . On pose $q = 1 - p$ , probabilité qu'un voyageur donné soit en infraction.

Pour $i \in N^{*}$ , on note $B_{i}$ la variable aléatoire valant $1$ si le $i$ -ième voyageur est en règle et $0$ sinon, de sorte que $(B_{i})_{i ⩾ 1}$ est une suite i.i.d. de loi $B (p)$ . On note enfin $X$ le rang du premier voyageur en infraction.

1. (0,5 pt) Pour $k \in N^{*}$ , exprimer l'événement $(X = k)$ à l'aide des $B_{i}$ , puis déterminer $P (X = k)$ . Reconnaître une loi usuelle et préciser son paramètre. Montrer que l'événement « aucun voyageur n'est en infraction », sur lequel $X$ n'est pas définie, est négligeable, et vérifier que $k ⩾ 1 \sum P (X = k) = 1$ .

2. (0,25 pt) Montrer de deux façons différentes que $P (X > k) = p^{k}$ pour tout $k \in N$ : par une lecture directe de l'événement, puis par le calcul de la somme de la série.

3. (0,5 pt) Calculer $E (X)$ en utilisant la formule $E (X) = n ⩾ 1 \sum P (X ⩾ n)$ , valable pour une variable à valeurs dans $N$ .

4. (0,5 pt) Déterminer la fonction génératrice $G_{X}$ de $X$ : préciser le rayon de convergence de la série entière $\sum P (X = k) t^{k}$ , puis donner une expression close de $G_{X} (t)$ .

5. (0,5 pt) Retrouver $E (X)$ à partir de $G_{X}^{'} (1)$ , puis calculer $V (X)$ à l'aide de $G_{X}^{''} (1)$ .

6. (0,25 pt) Le contrôleur ne dispose en réalité que du temps nécessaire pour contrôler $m$ voyageurs, après quoi il descend. Le nombre de voyageurs qu'il contrôle effectivement est donc $M = min (X, m)$ , où $m \in N^{*}$ est fixé. Calculer $E (M)$ et vérifier le résultat sur les cas $m = 1$ et $m \to + \infty$ .

7. (0,5 pt) Application numérique : on prend $p = 0, 9$ . Donner une valeur approchée à $1 0^{- 4}$ près de chacune des quantités suivantes.

a. $E (X)$ et $σ (X)$

b. $P (X > 20)$

c. le plus petit entier $n$ tel que $P (X ⩽ n) ⩾ 0, 95$

d. $E (min (X, 20))$

Exercice 2 (4 points) — Une file d'attente à guichet unique

Un guichet, des arrivées de loi de Poisson, et des clients qui renoncent. On établit par le calcul que le nombre de clients servis suit encore une loi de Poisson, puis on démontre le fait remarquable que le nombre de servis et le nombre de partants sont indépendants, alors même que leur somme est le nombre total d'arrivées.

Le guichet unique d'une mairie ouvre à $9$ h. On note $N$ le nombre de clients qui se présentent au cours d'une heure donnée, et l'on suppose que

N \sim P (λ), λ > 0.

Devant la longueur de la file, chaque client qui se présente repart sans être servi avec la probabilité $r \in] 0, 1 [$ , indépendamment des autres clients et indépendamment de $N$ . On pose $s = 1 - r$ , probabilité qu'un client donné soit effectivement servi.

On note $X$ le nombre de clients servis pendant cette heure et $Y$ le nombre de clients repartis, de sorte que $X + Y = N$ .

1. (0,25 pt) Justifier que la famille $((N = n))_{n \in N}$ est un système complet d'événements, puis déterminer, pour $n \in N$ , la loi conditionnelle de $X$ sachant l'événement $(N = n)$ .

2. (1 pt) En appliquant la formule des probabilités totales à ce système complet, calculer $P (X = k)$ pour tout $k \in N$ . On justifiera la sommabilité mise en jeu et l'on conclura en reconnaissant une loi usuelle. On demande le calcul complet, pas la citation d'un résultat.

3. (0,25 pt) En déduire, sans nouveau calcul, la loi de $Y$ .

4. (0,75 pt) Déterminer la loi conjointe du couple $(X, Y)$ , c'est-à-dire $P (X = k, Y = m)$ pour $(k, m) \in N^{2}$ , et en déduire que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Commenter ce résultat au vu de la relation $X + Y = N$ .

5. (0,5 pt) Donner $E (X)$ , $V (X)$ , $E (Y)$ , $V (Y)$ et $Cov (X, Y)$ . Vérifier la cohérence de l'ensemble en recalculant $V (N)$ de deux façons.

6. (0,5 pt) Retrouver la loi de $X$ par une autre voie : calculer la fonction génératrice $G_{X}$ en intervertissant deux sommations, et conclure.

7. (0,5 pt) On suppose désormais que les heures d'ouverture successives $1, 2, 3, \dots$ sont indépendantes et suivent toutes le même modèle. Pour $n ⩾ 1$ , on note $B_{n}$ l'événement « au moins un client est servi au cours des $n$ premières heures ». Calculer $P (B_{n})$ , puis déterminer $n \to + \infty lim P (B_{n})$ en précisant le théorème utilisé. Que devient la conclusion si $r = 1$ ?

8. (0,25 pt) Application numérique avec $λ = 12$ et $r = 0, 25$ : donner $E (X)$ , $σ (X)$ , la loi de $Y$ , ainsi que $P (X = 0)$ et $P (X = 9)$ à $1 0^{- 5}$ près.

Exercice 3 (4 points) — Un score sans moyenne

Une loi conjointe explicite sur $N^{*} \times N^{*}$ , à manipuler à la main : sommabilité, marginales, indépendance. Le sel de l'exercice tient en un point : l'une des deux marginales n'a pas d'espérance, alors que le minimum du couple, lui, en a une.

Un studio de jeu vidéo attribue à chaque partie deux notes entières strictement positives : une note d'adresse $X$ et une note de rapidité $Y$ . Après dépouillement de plusieurs millions de parties, le studio retient le modèle suivant : le couple $(X, Y)$ est à valeurs dans $N^{*} \times N^{*}$ et il existe une constante $c > 0$ telle que

\forall (i, j) \in N^{*} \times N^{*}, P (X = i, Y = j) = \frac{c}{i ( i + 1 )} \times \frac{1}{3 ^{j}} .

1. (0,75 pt) Montrer que la famille $(\frac{1}{i ( i + 1 ) 3 ^{j}})_{(i, j) \in N^{*} \times N^{*}}$ est sommable et calculer sa somme. En déduire la valeur de $c$ .

2. (0,5 pt) Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$ . Reconnaître une loi usuelle pour $Y$ et préciser son paramètre.

3. (0,25 pt) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier.

4. (0,75 pt) a. Montrer que $X$ n'est pas d'espérance finie. Que signifie concrètement ce résultat pour le studio, qui souhaitait classer les joueurs par note d'adresse moyenne ? b. Montrer en revanche que $X$ est d'espérance finie. c. Calculer $E (Y)$ et $V (Y)$ .

5. (0,25 pt) Établir que $P (X ⩾ k) = \frac{1}{k}$ et $P (Y ⩾ k) = \frac{1}{3 ^{k - 1}}$ pour tout $k \in N^{*}$ .

6. (0,75 pt) Calculer $P (X ⩾ Y)$ par une sommation par paquets. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $1 0^{- 4}$ près.

7. (0,5 pt) On pose $Z = min (X, Y)$ . Déterminer $P (Z ⩾ k)$ pour $k \in N^{*}$ , puis la loi de $Z$ . Vérifier le résultat sur le cas $k = 1$ .

8. (0,25 pt) Calculer $E (Z)$ . Commenter au regard de la question 4.a.

Exercice 4 (5 points) — Le jeu de l'échelle

Le morceau de bravoure du sujet. Un jeton monte une échelle par sauts de une ou deux cases. La partie A détermine la probabilité qu'une case donnée soit visitée, par une récurrence linéaire d'ordre $2$ . La partie B compte le nombre de tours nécessaires, d'abord par une décomposition en indicatrices qui rebranche tout sur la partie A, puis par les fonctions génératrices. Les deux parties sont largement indépendantes : le résultat de la question 3 est rappelé au début de la partie B.

Un jeu de plateau se joue sur une échelle de cases numérotées $0, 1, 2, 3, \dots$ Un jeton part de la case $0$ . À chaque tour, il avance de $1$ case avec la probabilité $p$ , ou de $2$ cases avec la probabilité $1 - p$ , indépendamment de tous les tours précédents. On fixe $p \in] 0, 1 [$ .

On formalise ainsi : $(Z_{k})_{k ⩾ 1}$ est une suite i.i.d. de variables telles que $P (Z_{k} = 1) = p$ et $P (Z_{k} = 2) = 1 - p$ , et l'on pose

S_{0} = 0, S_{k} = Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} (k ⩾ 1),

de sorte que $S_{k}$ est la position du jeton après $k$ tours. Pour $n \in N$ , on note $A_{n}$ l'événement « le jeton passe par la case $n$ », c'est-à-dire $A_{n} = ⋃_{k ⩾ 0} (S_{k} = n)$ , et l'on pose $a_{n} = P (A_{n})$ .

Partie A. La case $n$ est-elle visitée ?

1. (0,5 pt) Montrer que les événements $(S_{k} = n)$ , pour $k \in N$ , sont deux à deux incompatibles, et en déduire que $a_{n} = k ⩾ 0 \sum P (S_{k} = n)$ . Calculer $a_{0}$ , $a_{1}$ et $a_{2}$ .

2. (0,75 pt) Justifier que la suite $(Z_{2}, Z_{3}, \dots)$ est indépendante de $Z_{1}$ et a la même loi que $(Z_{1}, Z_{2}, \dots)$ . En conditionnant par le premier saut, établir que

\forall n ⩾ 2, a_{n} = p a_{n - 1} + (1 - p) a_{n - 2} .

3. (0,75 pt) Résoudre cette récurrence et montrer que

\forall n \in N, a_{n} = \frac{1}{2 - p} (1 + (- 1)^{n} (1 - p)^{n + 1}) .

Vérifier la formule sur $n = 0$ , $n = 1$ et $n = 2$ .

4. (0,5 pt) Déterminer $n \to + \infty lim a_{n}$ et décrire la façon dont la suite s'approche de sa limite. Interpréter cette limite à l'aide de $E (Z_{1})$ . Que se passerait-il si l'on autorisait $p = 0$ ?

Partie B. Combien de tours pour atteindre la case $n$ ?

On rappelle le résultat de la question 3 : $a_{m} = \frac{1}{2 - p} (1 + (- 1)^{m} (1 - p)^{m + 1})$ .

Pour $n \in N$ , on note $T_{n}$ le nombre de tours nécessaires pour atteindre ou dépasser la case $n$ :

T_{n} = min {k \in N; S_{k} ⩾ n} .

5. (0,25 pt) Justifier que $T_{n}$ est bien définie sur $Ω$ tout entier, puis montrer que pour $n ⩾ 1$

⌈ \frac{n}{2} ⌉ ⩽ T_{n} ⩽ n .

Qu'en déduit-on sur l'existence de $E (T_{n})$ ?

6. (0,75 pt) Montrer que ${k \in N; S_{k} ⩽ n - 1} = {0, 1, \dots, T_{n} - 1}$ , puis en déduire l'identité

T_{n} = m = 0 \sum n - 1 1_{A_{m}} et E (T_{n}) = m = 0 \sum n - 1 a_{m} .

Vérifier cette dernière formule sur $n = 1$ et $n = 2$ par un calcul direct.

7. (0,75 pt) En déduire l'expression close

E (T_{n}) = \frac{n}{2 - p} + \frac{( 1 - p ) ( 1 - ( p - 1 ) ^{n} )}{( 2 - p ) ^{2}},

puis un équivalent de $E (T_{n})$ quand $n \to + \infty$ . Interpréter.

8. (0,5 pt) Pour $n \in N$ , on note $G_{n} (t) = E (t^{T_{n}})$ la fonction génératrice de $T_{n}$ . Donner $G_{0}$ et $G_{1}$ , établir que

\forall n ⩾ 2, G_{n} (t) = t (p G_{n - 1} (t) + (1 - p) G_{n - 2} (t)),

et en déduire une relation de récurrence vérifiée par la suite $(E (T_{n}))_{n \in N}$ . Contrôler la cohérence avec la question 7.

9. (0,25 pt) Application numérique avec $p = \frac{1}{2}$ et $n = 10$ : calculer $a_{10}$ et $E (T_{10})$ sous forme de fractions irréductibles, puis en valeurs approchées à $1 0^{- 4}$ près, et comparer respectivement à $m \to + \infty lim a_{m}$ et à l'équivalent de la question 7.

Exercice 5 (4 points) — Le sondage et la taille d'échantillon

Combien de personnes faut-il interroger pour garantir une marge d'erreur donnée ? On répond avec les seuls outils du chapitre : Markov, Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres. On mesure aussi, pour finir, à quel point la réponse obtenue est pessimiste.

Un institut interroge $n$ personnes choisies indépendamment les unes des autres. Chacune répond « oui » avec la probabilité $p \in] 0, 1 [$ , inconnue de l'institut. Pour $k \in {1, \dots, n}$ , on note $X_{k}$ la variable aléatoire valant $1$ si la $k$ -ième personne répond « oui » et $0$ sinon, de sorte que $(X_{1}, \dots, X_{n})$ est une famille de variables indépendantes de même loi $B (p)$ . On pose enfin

S_{n} = k = 1 \sum n X_{k} et F_{n} = \frac{S _{n}}{n},

$F_{n}$ étant la fréquence empirique de « oui » observée dans l'échantillon.

1. (0,5 pt) Déterminer la loi de $S_{n}$ et l'ensemble $F_{n} (Ω)$ . Calculer $E (F_{n})$ , $V (F_{n})$ et $σ (F_{n})$ . Commenter le comportement de ces quantités quand $n$ grandit.

2. (0,5 pt) Appliquer l'inégalité de Markov à $F_{n}$ pour majorer $P (F_{n} ⩾ a)$ , où $a > 0$ . Que vaut cette majoration pour $a = p + ε$ ? Expliquer pourquoi elle est inexploitable pour le problème posé, en l'illustrant par le cas $p = \frac{1}{2}$ et $ε = 0, 02$ .

3. (0,5 pt) Soit $ε > 0$ . En appliquant l'inégalité de Markov à la variable $(F_{n} - p)^{2}$ , démontrer que

P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ ε) ⩽ \frac{p ( 1 - p )}{n ε ^{2}} .

4. (0,25 pt) Montrer que $p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$ pour tout $p \in [0, 1]$ , avec égalité si et seulement si $p = \frac{1}{2}$ . En déduire la majoration

P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ ε) ⩽ \frac{1}{4 n ε ^{2}},

et expliquer pourquoi celle-ci est, pour l'institut, bien plus utile que la précédente.

5. (0,75 pt) Déterminer le plus petit entier $n$ que cette majoration permet de garantir pour que

P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ 0, 02) ⩽ 0, 05 quelle que soit la valeur de p .

On détaillera le calcul et l'on vérifiera que l'entier immédiatement inférieur ne convient pas. Reprendre ensuite le calcul pour une marge de $0, 01$ et un risque de $0, 01$ , et commenter le coût.

6. (0,75 pt) Énoncer et démontrer, dans ce cadre, la loi faible des grands nombres, sous la forme : pour tout $ε > 0$ , $P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ ε) n \to + \infty 0$ . Préciser exactement ce que cet énoncé affirme, et ce qu'il n'affirme pas.

7. (0,5 pt) Réécrire la majoration de la question 4 sous la forme d'une garantie du type

P (p \in] F_{n} - ε, F_{n} + ε [) ⩾ 1 - \frac{1}{4 n ε ^{2}},

en prenant soin de dire ce qui est aléatoire dans cette écriture. Application : pour un sondage de $n = 1000$ personnes et une garantie de $0, 95$ , quelle marge d'erreur $ε$ cette méthode permet-elle d'annoncer ?

8. (0,25 pt) Commenter le caractère grossier de la majoration utilisée. On expliquera d'où vient la perte, on justifiera que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne peut pas être améliorée en général, et l'on comparera la borne à la valeur exacte dans le cas $p = \frac{1}{2}$ , $n = 100$ , $ε = 0, 1$ , pour laquelle un calcul numérique donne $P (∣ F_{100} - \frac{1}{2} ∣ ⩾ 0, 1) \approx 0, 0569$ .

Le sujet du DS(PDF, 69 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 179 Ko)

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