Devoir surveillé — Variables aléatoires discrètes

On associe à une variable aléatoire réelle une fonction d'une variable réelle, et on lit sur elle tout ce qui concerne la loi. L'outil unique est la continuité monotone, appliquée à des suites d'événements que l'on doit fabriquer soi-même. L'exercice se termine sur l'existence d'une médiane, qui est exactement le point où les deux continuités, à droite et à gauche, servent ensemble.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète définie sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ et à valeurs réelles : $X(\mathrm{\Omega })$ est une partie au plus dénombrable de $\mathbb{R}$ et $(X=x)\in \mathcal{A}$ pour tout réel $x$. On appelle fonction de répartition de $X$ l'application

$$F:\mathbb{R}⟶\mathbb{R},F(x)=P(X⩽x)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $(X⩽x)$ est un événement pour tout réel $x$, puis que $F$ est croissante et à valeurs dans $[0,1]$.

2. (0,5 pt) On admet que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1}$. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0}$, en construisant explicitement la suite d'événements utilisée et en précisant sa monotonie. En déduire que, pour tout $\alpha \in ]0,1[$, l'ensemble

$$S_{\alpha }=\{x\in \mathbb{R};F(x)⩾\alpha \}$$

est non vide, minoré, et non majoré.

3. (0,75 pt) Soit $x\in \mathbb{R}$. On pourra utiliser les suites d'événements $C_n=(X⩽x+\frac{1}{n})$ et $D_n=(X⩽x-\frac{1}{n})$, définies pour $n⩾1$.

a. Démontrer que $F$ est continue à droite en $x$.

b. Démontrer que $F$ admet une limite à gauche en $x$, notée $F(x^{-})$, et que $F(x^{-})=P(X<x)$.

c. En déduire que $F(x)-F(x^{-})=P(X=x)$, puis décrire l'ensemble des points de discontinuité de $F$.

4. (0,25 pt) En déduire que deux variables aléatoires discrètes réelles ayant la même fonction de répartition ont la même loi.

5. (0,5 pt) On appelle médiane de $X$ tout réel $\mu$ vérifiant simultanément

$$P(X⩽\mu )⩾\frac{1}{2}\text{et}P(X⩾\mu )⩾\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Démontrer que $X$ admet au moins une médiane. On considérera $\mu =\inf S_{1\mathrm{/}2}$, dont la question 2 garantit l'existence.

6. (0,5 pt) Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle de fonction de répartition

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0\\ \frac{1}{6}& \text{si }0⩽x<1\\ \frac{1}{2}& \text{si }1⩽x<3\\ \frac{5}{6}& \text{si }3⩽x<4\\ 1& \text{si }x⩾4\end{array}$$

Déterminer la loi de $X$, puis vérifier que $E(X)=2$ et $\sigma (X)=\sqrt{2}$. Démontrer enfin que l'ensemble des médianes de $X$ est le segment $[1,3]$ : la médiane est-elle unique ?

Une urne dans laquelle chaque tirage rend la couleur tirée plus probable. Le premier résultat est que chaque tirage donne blanc avec la probabilité $\frac{1}{2}$, exactement comme si l'urne ne changeait pas ; le second est que la composition de l'urne, elle, ne se stabilise pas du tout. L'exercice montre donc sur un exemple précis ce que la loi faible des grands nombres exige vraiment, et ce qui se passe quand on retire cette exigence.

Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On répète indéfiniment l'expérience suivante : on tire une boule au hasard, uniformément parmi celles que contient l'urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne en y ajoutant une boule neuve de la même couleur. Après $n$ tirages, l'urne contient donc $n+2$ boules.

Pour $n⩾1$, on note $X_n$ la variable aléatoire valant $1$ si la $n$-ième boule tirée est blanche et $0$ sinon. Pour $n⩾0$, on note $W_n$ le nombre de boules blanches contenues dans l'urne après le $n$-ième tirage, de sorte que $W_0=1$.

1. (0,25 pt) Déterminer $W_n(\mathrm{\Omega })$, exprimer $W_n$ en fonction de $X_1,\dots ,X_n$, et donner $P(X_1=1)$.

2. (0,5 pt) Calculer $P(X_1=1,X_2=1)$ et $P(X_1=0,X_2=1)$, puis en déduire $P(X_2=1)$. Commenter la valeur obtenue.

3. (0,25 pt) Les variables $X_1$ et $X_2$ sont-elles indépendantes ? Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_1,X_2)$ et interpréter son signe.

4. (1 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, la variable $W_n$ suit la loi uniforme sur $\{1,2,\dots ,n+1\}$.

5. (0,25 pt) En déduire que $P(X_n=1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout $n⩾1$.

6. (0,5 pt) On note $F_n={\displaystyle \frac{W_n}{n+2}}$ la proportion de boules blanches dans l'urne après $n$ tirages. Calculer $E(F_n)$ et $V(F_n)$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }V(F_n)}$. On admettra que la loi uniforme sur $\{1,\dots ,N\}$ a pour espérance ${\displaystyle \frac{N+1}{2}}$ et pour variance ${\displaystyle \frac{N^2-1}{12}}$.

7. (0,5 pt) Démontrer que $P(F_n⩾\frac{3}{4})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{1}{4}$. On introduira $c_n=\lceil \frac{3(n+2)}{4}\rceil$ et l'on encadrera le résultat. Comparer ensuite avec ce que donnerait la loi faible des grands nombres pour la fréquence de succès d'une suite i.i.d. de loi $\mathcal{B}\left(\frac{1}{2}\right)$, et dire précisément quelle hypothèse fait défaut ici.

8. (0,25 pt) Les trois premiers tirages ont donné une boule blanche. Quelle est la probabilité que le quatrième la donne aussi ?

Une variable aléatoire positive, à valeurs entières, parfaitement explicite, et qui n'a pas d'espérance. Le cours affirme qu'une telle chose existe et qu'il faut donc justifier la sommabilité avant d'écrire toute espérance ; cet exercice en construit un exemple et en tire les conséquences pratiques, jusqu'à ce qui reste vrai quand on renonce à l'espérance.

Une pièce équilibrée est lancée indéfiniment, les lancers étant indépendants. On note $T$ le rang du premier pile obtenu, de sorte que $T\sim \mathcal{G}\left(\frac{1}{2}\right)$, et l'on considère la variable aléatoire

$$X=2^T,$$

que l'on interprète comme le gain, en euros, d'un joueur qui reçoit $2$ euros si le premier pile sort au premier lancer, $4$ euros s'il sort au deuxième, $8$ euros au troisième, et ainsi de suite.

1. (0,5 pt) Justifier que $X$ est une variable aléatoire discrète, déterminer $X(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $X$, et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

2. (0,5 pt) Démontrer que $X$ n'est pas d'espérance finie. Que peut-on en conclure quant à l'existence d'une mise équitable pour ce jeu ?

3. (0,5 pt) Soit $\alpha >0$. Démontrer que $X^{\alpha }$ est d'espérance finie si et seulement si $\alpha <1$, et calculer $E(X^{\alpha })$ dans ce cas. Donner la valeur exacte puis approchée à ${10}^{-4}$ près de $E\left(\sqrt{X}\right)$.

4. (0,75 pt) Un casino plafonne le gain à $2^n$ euros, où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est fixé : le joueur reçoit $Y_n=\min (X,2^n)$. Démontrer que

$$E(Y_n)=n+1.$$

Combien le casino doit-il accepter de payer au maximum pour qu'une mise de $21$ euros soit équitable ? Commenter.

5. (0,25 pt) Calculer $P(X⩾2^m)$ pour $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Expliquer pourquoi l'inégalité de Markov ne permet ici aucune majoration de cette quantité, et dire ce qu'elle donne si on l'applique à $\sqrt{X}$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité d'un écart des DEUX côtés de la moyenne. Quand on ne s'intéresse qu'à un seul côté, elle devient nettement améliorable, et l'exercice construit l'inégalité optimale. La méthode, un décalage libre puis une optimisation, est celle de toutes les inégalités de concentration. On en tire pour finir un résultat de comparaison entre moyenne et médiane que rien, dans l'énoncé de départ, ne laisse deviner.

Dans tout l'exercice, $X$ est une variable aléatoire discrète réelle définie sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, telle que $X^2$ soit d'espérance finie. On pose $m=E(X)$ et $\sigma =\sigma (X)$, et l'on suppose $\sigma >0$. On fixe enfin un réel $\epsilon >0$.

1. (0,75 pt) Soit $u⩾0$.

a. Justifier que $(X-m+u{)}^2$ est d'espérance finie et démontrer que $E((X-m+u{)}^2)={\sigma }^2+u^2$.

b. Démontrer l'inclusion d'événements $(X-m⩾\epsilon )\subset ((X-m+u{)}^2⩾(\epsilon +u{)}^2)$, puis en déduire que

$$P(X-m⩾\epsilon )⩽\frac{{\sigma }^2+u^2}{(\epsilon +u{)}^2}\mathrm{.}$$

Décrire enfin l'événement $((X-m+u{)}^2⩾(\epsilon +u{)}^2)$ comme réunion de deux événements, et dire ce que la présence du paramètre $u$ apporte.

2. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout réel $u⩾0$,

$$({\sigma }^2+u^2)({\sigma }^2+{\epsilon }^2)-{\sigma }^2(\epsilon +u{)}^2={({\sigma }^2-\epsilon u)}^2\mathrm{.}$$

En déduire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev unilatérale

$$P(X-m⩾\epsilon )⩽\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+{\epsilon }^2},$$

et préciser l'unique valeur de $u$ pour laquelle la majoration de la question 1.b coïncide avec ce majorant.

3. (0,5 pt) Version bilatérale. En appliquant la question 2 à $X$ puis à $-X$, démontrer que

$$P(\mid X-m\mid ⩾\epsilon )⩽\frac{2{\sigma }^2}{{\sigma }^2+{\epsilon }^2}\mathrm{.}$$

Déterminer les $\epsilon >0$ pour lesquels cette majoration est meilleure que celle de Bienaymé-Tchebychev, puis démontrer que sur ce domaine les deux majorations valent au moins $1$. Où se situe donc réellement le gain apporté par la question 2 ?

4. (0,75 pt) Optimalité. Soient $\sigma >0$ et $\epsilon >0$ fixés. On pose $p={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+{\epsilon }^2}}$ et l'on considère une variable aléatoire $Z$ telle que

$$P(Z=\epsilon )=p\text{et}P(Z=-\frac{{\sigma }^2}{\epsilon })=1-p\mathrm{.}$$

Vérifier que $p\in ]0,1[$, puis calculer $E(Z)$, $V(Z)$ et $P(Z⩾\epsilon )$. Que peut-on en conclure sur l'inégalité de la question 2 ?

5. (0,75 pt) On appelle médiane de $X$ tout réel $\mu$ vérifiant $P(X⩽\mu )⩾\frac{1}{2}$ et $P(X⩾\mu )⩾\frac{1}{2}$. Démontrer que toute médiane $\mu$ de $X$ vérifie

$$\mid \mu -m\mid ⩽\sigma \mathrm{.}$$

On traitera d'abord le cas $\mu >m$, puis on s'y ramènera par le changement de variable $X^{\mathrm{\prime }}=-X$ déjà utilisé à la question 3.

On lance une pièce indéfiniment et l'on attend d'y voir apparaître deux Piles consécutifs. Le sujet demande la loi complète de ce temps d'attente, par deux voies qui se répondent : une récurrence linéaire sur la queue en partie A, une équation fonctionnelle sur la fonction génératrice en partie B. La partie C reprend la même méthode pour le motif « Pile puis Face », et confronte les deux réponses. Le résultat final n'est pas celui qu'on attend : deux motifs de même longueur, et de même probabilité $\frac{1}{4}$ d'apparaître à une position donnée quand la pièce est équilibrée, ne s'attendent pas le même temps.

Une pièce est lancée indéfiniment, les lancers étant indépendants. Pour $n⩾1$, on note $A_n$ l'événement « le $n$-ième lancer donne Pile », et l'on pose $P(A_n)=p$ avec $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$. On s'intéresse au premier instant où deux Piles consécutifs se produisent :

$$T=\min \{n⩾2;A_{n-1}\cap A_n\text{ est r}\acute{\text{e}}\text{alis}\acute{\text{e}}\},$$

avec la convention $T=+\mathrm{\infty }$ si aucun couple de Piles consécutifs ne se produit jamais. On pose enfin, pour $n\in \mathbb{N}$,

$$a_n=P(T>n),$$

probabilité qu'aucun couple de Piles consécutifs ne figure parmi les $n$ premiers lancers.

Partie A. La queue de la loi de $T$

A.1 (0,5 pt) Justifier que $(T>n)$ est un événement, et calculer $a_0$, $a_1$ et $a_2$.

A.2 (0,75 pt) En appliquant la formule des probabilités totales au système complet d'événements $(\overline{A_1},A_1\cap \overline{A_2},A_1\cap A_2)$, démontrer que

$$\mathrm{\forall }n⩾2,a_n=q{a}_{n-1}+pq{a}_{n-2}\mathrm{.}$$

On justifiera avec soin l'indépendance utilisée à chaque étape, ainsi que le fait que la suite des lancers $2,3,\dots$ se comporte comme la suite des lancers $1,2,\dots$, et l'on vérifiera la relation obtenue pour $n=2$.

A.3 (0,75 pt) On note $\chi (r)=r^2-qr-pq$ et $r_1$, $r_2$ ses racines. Démontrer que ces racines sont réelles et vérifient $r_2<0<r_1<1$ et $\mathrm{\mid }{r}_2\mathrm{\mid }<r_1$ ; pour majorer $r_1$, on calculera $\chi (1)$. En déduire l'existence de deux réels $A$ et $B$ tels que $a_n=A{r}_1^n+B{r}_2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis que $A>0$ et $a_n\sim A{r}_1^n$.

A.4 (0,25 pt) En déduire que $T$ est presque sûrement finie, puis qu'elle est d'espérance finie.

Dans toute la suite, on convient de poser $T=2$ sur l'événement négligeable $(T=+\mathrm{\infty })$, ce qui ne modifie ni la loi de $T$ sur $\mathbb{N}$, ni ses moments, et permet de la traiter comme une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$.

Partie B. La fonction génératrice de $T$

B.1 (0,5 pt) Démontrer que $P(T=2)=p^2$, que $P(T=n)=0$ pour $n⩽1$, et que

$$\mathrm{\forall }n⩾3,P(T=n)=qP(T=n-1)+pqP(T=n-2)\mathrm{.}$$

B.2 (0,75 pt) On pose $\psi (t)=1-qt-pq{t}^2$. Démontrer que $\psi$ ne s'annule pas sur $[-1,1]$, puis que

$$\mathrm{\forall }t\in [-1,1],G_T(t)=\frac{p^2{t}^2}{1-qt-pq{t}^2}\mathrm{.}$$

B.3 (1 pt) Justifier que $G_T$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ au voisinage de $1$, puis démontrer que

$$E(T)=\frac{1+p}{p^2}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}\text{et}V(T)=\frac{q(1+3p+p^2)}{p^4}\mathrm{.}$$

On dérivera l'identité $\psi (t)G_T(t)=p^2{t}^2$ plutôt que le quotient, et l'on utilisera $\psi (1)=p^2$, ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(1)=-q(1+2p)$ et ${\psi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=-2pq$. Pour la régularité, on remarquera que $\psi (t)=t^2\chi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{t}\right)$ pour $t\mathrm{\ne }0$.

B.4 (0,5 pt) Application numérique pour une pièce équilibrée, $p=\frac{1}{2}$ : donner $E(T)$, $V(T)$ et $\sigma (T)$, cette dernière sous forme exacte. Un élève raisonne ainsi : « chaque couple de lancers consécutifs donne deux Piles avec la probabilité $\frac{1}{4}$, donc on attend en moyenne $4$ lancers ». Le résultat obtenu invalide ce raisonnement : dire précisément quelle hypothèse implicite y est fausse.

Partie C. Un autre motif de même longueur

On s'intéresse maintenant au premier instant où un Pile est immédiatement suivi d'un Face :

$$T^{\mathrm{\prime }}=\min \{n⩾2;A_{n-1}\cap \overline{A_n}\text{ est r}\acute{\text{e}}\text{alis}\acute{\text{e}}\}\mathrm{.}$$

On admet, la démonstration étant identique à celle de la partie A, que $T^{\mathrm{\prime }}$ est presque sûrement finie et d'espérance finie, et on la traite comme une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$. On note enfin $U=\min \{n⩾1;\overline{A_n}\text{ est r}\acute{\text{e}}\text{alis}\acute{\text{e}}\}$ le rang du premier Face, et $K=G_U$.

C.1 (0,75 pt) Reconnaître la loi de $U$ et donner $K(t)$ pour $t\in [-1,1]$. Démontrer ensuite, en conditionnant par le premier lancer et en distinguant les deux cas $\overline{A_1}$ et $A_1$, que $P(T^{\mathrm{\prime }}=n)=qP(T^{\mathrm{\prime }}=n-1)+pP(U=n-1)$ pour tout $n⩾2$, puis en déduire que

$$\mathrm{\forall }t\in [-1,1],G_{T^{\mathrm{\prime }}}(t)=\frac{pq{t}^2}{(1-qt)(1-pt)}\mathrm{.}$$

C.2 (0,5 pt) Reconnaître dans $G_{T^{\mathrm{\prime }}}$ un produit de deux fonctions génératrices usuelles. En déduire que $T^{\mathrm{\prime }}$ a la même loi que la somme de deux variables aléatoires indépendantes dont on précisera les lois, puis donner $E(T^{\mathrm{\prime }})$ et $V(T^{\mathrm{\prime }})$. On admet enfin que la décomposition en éléments simples de $G_{T^{\mathrm{\prime }}}$ conduit, lorsque $p\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$, à

$$\mathrm{\forall }n⩾2,P(T^{\mathrm{\prime }}=n)=\frac{pq}{p-q}(p^{n-1}-q^{n-1});$$

vérifier cette formule pour $n=2$ et $n=3$ par un dénombrement direct sur les lancers, et commenter l'égalité obtenue.

C.3 (0,75 pt) Démontrer que

$$E(T)-E(T^{\mathrm{\prime }})=\frac{1-p-p^2}{p^{2}q},$$

et en déduire que $E(T)>E(T^{\mathrm{\prime }})$ si et seulement si $p<p_0$, où $p_0$ est l'unique racine dans $]0,1[$ du trinôme $x^2+x-1$, dont on admettra la valeur $p_0={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\approx \mathrm{0,618}$. Chiffrer les deux espérances pour $p=\frac{1}{2}$ puis pour $p=\frac{4}{5}$.

C.4 (0,5 pt) On revient au cas $p=\frac{1}{2}$. Démontrer que $2^n{a}_n$ est le nombre de mots de longueur $n$ sur l'alphabet $\{P,F\}$ ne contenant pas deux $P$ consécutifs, et que cette suite d'entiers vérifie la récurrence de Fibonacci. Calculer $r_1$ dans ce cas. Quel lien avec le seuil $p_0$ de la question C.3 ?