Exercices — Équations différentielles linéaires

On rappelle qu'une équation différentielle linéaire résolue d'ordre $1$ est une équation de la forme

$$x^{\mathrm{\prime }}(t)=a(t)(x(t))+b(t)$$

où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $a:I\to \mathcal{L}(E)$ et $b:I\to E$ deux applications continues. Elle est dite homogène lorsque $b$ est l'application nulle. Lorsque $E={\mathbb{K}}^n$, l'application $a(t)$ s'identifie à une matrice $A(t)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

1. Pour chacune des six équations ci-dessous, répondre à trois questions : est-elle linéaire ? est-elle résolue ? est-elle homogène ?

2. Pour celles qui sont linéaires et résolues, préciser un intervalle $I$ de travail, l'espace $E$, l'application $a$ (ou la matrice $A(t)$) et le second membre $b$. Écrire explicitement la mise sous forme d'un système du premier ordre lorsque c'est nécessaire, puis énoncer précisément ce que le théorème de Cauchy linéaire garantit.

3. Pour les autres, expliquer pourquoi le théorème de Cauchy linéaire ne s'applique pas.

4. L'équation c mérite un traitement particulier. Déterminer l'ensemble de ses solutions sur $\mathbb{R}$ tout entier, puis exhiber un problème de Cauchy associé qui n'a aucune solution et un autre qui en a une infinité. Que devient la situation si l'on se place sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ?

5. Rédiger en quelques lignes la différence de nature entre « équation non résolue » et « équation non linéaire ».

1. Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle indiqué. On donnera à chaque fois l'ensemble complet des solutions.

2. Pour l'équation e, on demande de reconnaître le membre de gauche comme la dérivée d'un produit, et de résoudre ainsi sans aucun calcul de primitive du coefficient.

3. Vérifier par le calcul direct que la fonction obtenue à la question 1.f est bien solution.

1. Résoudre le problème de Cauchy

$$y^{\mathrm{\prime }}-3y={\mathrm{e}}^t,y(0)=2$$

sur $\mathbb{R}$.

2. Résoudre le problème de Cauchy

$$y^{\mathrm{\prime }}-\frac{2y}{t}=t^3,y(1)=0$$

sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. On justifiera au passage pourquoi on ne travaille pas sur $\mathbb{R}$.

3. On considère le problème de Cauchy

$$y^{\mathrm{\prime }}+y=\frac{1}{1+t^2},y(0)=0$$

sur $\mathbb{R}$.

a. Résoudre ce problème. On exprimera la solution à l'aide d'une intégrale, sans chercher à la calculer.

b. Déterminer le signe de la solution sur $\mathbb{R}$, ainsi que son sens de variation au voisinage de $0$.

4. Pour chacun des trois problèmes précédents, énoncer précisément ce que le théorème de Cauchy linéaire garantissait avant tout calcul : existence, unicité, et intervalle de définition de la solution.

On rappelle que, pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, l'exponentielle de $M$ est la somme de la série

$$\exp (M)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{M^k}{k!}$$

avec la convention $M^0=I_n$.

1. Justifier brièvement que cette série converge pour toute matrice $M$.

2. Calculer $\exp (M)$, puis $\exp (tM)$ pour $t\in \mathbb{R}$, pour chacune des matrices suivantes.

3. Dans le cas de la matrice $J$, on a séparé la série en indices pairs et indices impairs. Rédiger soigneusement la justification de ce découpage.

4. Vérifier, sur chacun des cinq résultats, que la fonction $t\mapsto \exp (tM)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que sa dérivée vaut $M\exp (tM)$.

5. En déduire, pour la matrice $J$, la solution du problème de Cauchy $X^{\mathrm{\prime }}=JX$, $X(0)=X_0$, et en donner une interprétation géométrique.

On considère les quatre équations différentielles suivantes, chacune sur l'intervalle indiqué.

1. $y^{\mathrm{\prime }}+(\sin t)y=0$ sur $I_1=\mathbb{R}$.

2. $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+t{y}^{\mathrm{\prime }}+{\mathrm{e}}^{t}y=0$ sur $I_2=\mathbb{R}$.

3. $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X$ sur $I_3=\mathbb{R}$, où $X$ est à valeurs dans ${\mathbb{R}}^3$ et

$$A(t)=\left(\begin{array}{ccc}0& t& 1\\ -t& 0& \cos t\\ 1& 0& t^2\end{array}\right)$$

4. $y^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{y}{t}}=\ln t$ sur $I_4=]0,+\mathrm{\infty }[$.

Pour chacune d'elles, répondre aux trois questions suivantes.

a. Quelle est la dimension de l'espace ${\mathcal{S}}_H$ des solutions de l'équation homogène associée ?

b. Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'équation complète ?

c. Soit $t_0$ un point de l'intervalle. Décrire l'application d'évaluation qui, à une solution, associe sa donnée initiale en $t_0$ : quel est son espace d'arrivée, et est-elle bijective ?

On explicitera de plus les solutions dans les cas 1 et 4, où le calcul est faisable.

5. Soit $I$ un intervalle, $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n$, et $a:I\to \mathcal{L}(E)$ continue.

a. Montrer qu'une solution de l'équation homogène $x^{\mathrm{\prime }}=a(t)(x)$ qui s'annule en un point de $I$ est identiquement nulle sur $I$.

b. En déduire que deux solutions distinctes d'une même équation complète $x^{\mathrm{\prime }}=a(t)(x)+b(t)$ ne prennent jamais la même valeur.

c. Cette dernière conclusion signifie-t-elle que les graphes de deux solutions distinctes d'une équation scalaire du second ordre ne se croisent jamais ? Justifier.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$$

et le système différentiel $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, où $X={}^t(x,y)$ est une fonction inconnue de $\mathbb{R}$ dans ${\mathbb{R}}^2$.

1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $A$. En déduire une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, et calculer $P^{-1}$.

2. Résoudre le système $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ sur $\mathbb{R}$, en effectuant le changement de fonction inconnue $Y=P^{-1}X$. On donnera séparément les expressions de $x(t)$ et $y(t)$.

3. Résoudre le problème de Cauchy associé à la condition initiale $X(0)={}^t(1,0)$, et vérifier le résultat.

4. Calculer $\exp (tA)$, et vérifier la cohérence avec la question 3.

5. Contrôler le résultat de la question 4 de trois manières : valeur en $t=0$, calcul du déterminant, et écriture à l'aide des fonctions hyperboliques.

6. Décrire le comportement des solutions quand $t\to +\mathrm{\infty }$. Existe-t-il des solutions non nulles qui tendent vers $0$ ?

Partie A. Une équation scalaire du second ordre.

On considère l'équation

$$t^2{x}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2t{x}^{\mathrm{\prime }}+2x=0\text{sur }I=]0,+\mathrm{\infty }[$$

1. Mettre l'équation sous forme résolue sur $I$ et préciser la dimension de son espace de solutions.

2. Vérifier que $x_1:t\mapsto t$ et $x_2:t\mapsto t^2$ sont solutions sur $I$.

3. Calculer le wronskien $W$ de $(x_1,x_2)$. En déduire que $(x_1,x_2)$ est un système fondamental de solutions, puis décrire toutes les solutions sur $I$.

4. Retrouver l'expression de $W$ sans utiliser les expressions de $x_1$ et $x_2$, en établissant l'équation différentielle satisfaite par $W$.

5. Résoudre le problème de Cauchy $x(1)=0$, $x^{\mathrm{\prime }}(1)=1$.

Partie B. Un système $2\times 2$.

On considère le système $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ sur $\mathbb{R}$, où

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

6. Vérifier que les deux fonctions suivantes sont solutions sur $\mathbb{R}$ :

$$X_1(t)={\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),X_2(t)={\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}t+1\\ t\end{array}\right)$$

7. Calculer leur wronskien et conclure. Vérifier au passage la relation $W^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{tr}(A)W$.

Partie C. Une question de discernement.

8. Deux fonctions dont le wronskien s'annule en un point sont-elles nécessairement liées ? On distinguera soigneusement deux situations, et on donnera un contre-exemple explicite là où la réponse est négative.

Résoudre les trois équations suivantes par la méthode de variation de la constante. Dans chaque cas, on détaillera les trois temps de la méthode : résolution de l'équation homogène, détermination de la fonction $\lambda$, puis conclusion.

1. $y^{\mathrm{\prime }}+y={\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^t}}$ sur $\mathbb{R}$.

2. $y^{\mathrm{\prime }}-{\displaystyle \frac{2y}{t}}=t^2\ln t$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

3. $y^{\mathrm{\prime }}+y\cos t=\sin t\cos t$ sur $\mathbb{R}$. Pour le calcul de la primitive, on pourra poser $u=\sin t$.

4. Parmi les solutions de l'équation 3, lesquelles sont bornées sur $\mathbb{R}$ ? Lesquelles sont $2\pi$-périodiques ?

5. Justification de la méthode. Soient $\alpha$ et $\beta$ continues sur un intervalle $I$, et $\mathcal{A}$ une primitive de $\alpha$ sur $I$.

a. Montrer que l'application $\lambda \mapsto \lambda {\mathrm{e}}^{-\mathcal{A}}$ est une bijection de ${\mathcal{C}}^1(I,\mathbb{R})$ sur lui-même. Pourquoi cela garantit-il que la méthode ne « perd » aucune solution ?

b. Montrer que, pour toute $\lambda$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, la fonction $y=\lambda {\mathrm{e}}^{-\mathcal{A}}$ vérifie $y^{\mathrm{\prime }}+\alpha y={\lambda }^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^{-\mathcal{A}}$. À quoi tient la disparition des termes en $\lambda$ ?

Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel non nul et $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ d'une norme sous-multiplicative $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, et l'on rappelle que pour toute matrice $M$ la série $\sum {\displaystyle \frac{M^k}{k!}}$ est absolument convergente, de somme $\exp (M)$.

1. Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telles que $AB=BA$.

a. Justifier la formule du binôme de Newton pour $(A+B{)}^k$, en indiquant précisément où l'hypothèse de commutation intervient. En déduire que

$$\frac{(A+B{)}^k}{k!}=\sum _{j+l=k}\frac{A^j}{j!}\frac{B^l}{l!}$$

b. On note $S_N$, $T_N$ et $U_N$ les sommes partielles d'ordre $N$ des séries définissant respectivement $\exp (A)$, $\exp (B)$ et $\exp (A+B)$. Exprimer $S_N{T}_N-U_N$ comme une somme indexée par une partie de ${\mathbb{N}}^2$ que l'on décrira.

c. Majorer $\mathrm{\parallel }{S}_N{T}_N-U_N\mathrm{\parallel }$ et conclure que $\exp (A+B)=\exp (A)\exp (B)$.

2. En déduire que $\exp (A)$ est inversible pour toute matrice $A$, et préciser son inverse. Que vaut $\exp (tA)\exp (sA)$ pour $(t,s)\in {\mathbb{R}}^2$ ?

3. Soit $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(PA{P}^{-1}\right)=P\exp (A)P^{-1}$.

4. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

a. Calculer $AB$ et $BA$. Ces matrices commutent-elles ?

b. Calculer $\exp (A)$, $\exp (B)$, puis $\exp (A)\exp (B)$ et $\exp (B)\exp (A)$.

c. Calculer $\exp (A+B)$.

d. Conclure quant à l'hypothèse de commutation de la question 1.

5. a. Montrer que $\exp \left({}^{t}A\right)={}^t\exp (A)$ pour toute matrice $A$.

b. En déduire que l'exponentielle d'une matrice antisymétrique réelle est une matrice orthogonale.

c. Montrer de plus que son déterminant vaut $1$.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, on rappelle que la série ${\sum }_{k⩾0}\frac{A^k}{k!}$ converge dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et que l'on note $\exp (A)$ sa somme. L'objectif est d'établir la formule $\det (\exp A)={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}A}$ et d'en tirer quelques conséquences.

1. Soit $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Montrer que $\exp \left(PA{P}^{-1}\right)=P\exp (A)P^{-1}$.

2. On suppose dans cette question que $A$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Montrer que $\det (\exp A)={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}A}$.

3. On admet désormais le résultat suivant : toute matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Soit $T\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

a. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$, la matrice $T^k$ est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux ${\lambda }_1^k,\dots ,{\lambda }_n^k$.

b. En déduire que $\exp T$ est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_1},\dots ,{\mathrm{e}}^{{\lambda }_n}$.

c. Conclure que $\det (\exp A)={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}A}$ pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

4. En déduire que $\exp A$ est inversible et préciser son inverse.

5. Soit maintenant $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

a. Quel est le signe de $\det (\exp A)$ ?

b. En déduire que l'application $\exp$ n'est pas surjective de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ sur ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$.

c. Un élève écrit : « la matrice $-I_2$ n'est l'exponentielle d'aucune matrice réelle, car son déterminant est strictement négatif ». Critiquer cette phrase. On calculera ensuite $\exp (\theta J)$, où $\theta \in \mathbb{R}$ et $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, puis on conclura.

6. Application. Soient $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $M$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, vérifiant

$$M^{\mathrm{\prime }}(t)=AM(t)\text{pour tout }t\in \mathbb{R},M(0)=I_n\mathrm{.}$$

Calculer $\det M(t)$ et en déduire son signe. Une telle solution peut-elle cesser d'être inversible ?

Soit $n⩾2$. On se donne deux vecteurs colonnes non nuls $U$ et $V$ de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ et l'on pose

$$A=U{}^{t}V\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),\alpha ={}^{t}VU,$$

où l'on identifie la matrice ${}^{t}VU\in {\mathcal{M}}_1(\mathbb{R})$ au réel qu'elle contient.

1. Montrer que $A^2=\alpha A$, puis que $A^k={\alpha }^{k-1}A$ pour tout $k⩾1$. Vérifier que $\alpha =\mathrm{tr}A$.

2. Calculer $\exp (tA)$ pour $t\in \mathbb{R}$, en distinguant les cas $\alpha \mathrm{\ne }0$ et $\alpha =0$.

3. Application numérique : on prend $n=2$, $U={}^t(1,2)$ et $V={}^t(3,-1)$.

a. Écrire $A$, calculer $\alpha$ et expliciter la matrice $\exp (tA)$.

b. Résoudre le système différentiel $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ avec la condition initiale $X(0)={}^t(a,b)$.

c. Retrouver la solution générale en réduisant $A$.

4. Vérifier sur cet exemple la formule $\det (\exp (tA))={\mathrm{e}}^{t\mathrm{tr}A}$.

5. Reprendre les questions 3. a et 4 avec $U={}^t(1,1)$ et $V={}^t(1,-1)$, et décrire le comportement des solutions de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

Partie A. Le principe

On suppose que $A$ est annulée par un polynôme $P\in \mathbb{K}[X]$ de degré $p⩾1$, scindé sur $\mathbb{K}$ et à racines simples ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$.

1. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$, la matrice $A^k$ appartient à $F=\mathrm{Vect}(I_n,A,\dots ,A^{p-1})$. En déduire qu'il existe des fonctions $c_0,\dots ,c_{p-1}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{K}$ telles que

$$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},\exp (tA)=\sum _{j=0}^{p-1}{c}_j(t)A^j\mathrm{.}$$

2. Soit $t\in \mathbb{R}$ fixé et soit $R_t$ l'unique polynôme de degré au plus $p-1$ vérifiant $R_t({\lambda }_i)={\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}$ pour tout $i\in \{1,\dots ,p\}$. Montrer que $\exp (tA)=R_t(A)$.

Partie B. Deux exemples

3. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$.

a. Vérifier que le polynôme $(X-2)(X-4)$ annule $A$.

b. En déduire $\exp (tA)$ sous la forme $\alpha (t)I_2+\beta (t)A$, avec $\alpha$ et $\beta$ explicites, puis expliciter la matrice.

c. Retrouver le résultat en diagonalisant $A$.

4. Cas d'une racine multiple. On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

a. Vérifier que $(X-1{)}^2$ annule $A$. Pourquoi la partie A ne s'applique-t-elle pas ?

b. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ et $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $(B-\lambda I_n{)}^2=0$. Montrer que pour tout polynôme $R$ de degré au plus $1$,

$$R(B)=R(\lambda )I_n+R^{\mathrm{\prime }}(\lambda )(B-\lambda I_n)\mathrm{.}$$

c. Calculer $\exp (tB)$ et en déduire les conditions d'interpolation que doit vérifier le polynôme $R_t$ de degré au plus $1$ tel que $\exp (tB)=R_t(B)$. Conclure sur l'exemple.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 3\\ 1& -2& 3\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$$

et le système différentiel $(S):X^{\mathrm{\prime }}=AX$, d'inconnue $X={}^t(x,y,z)$ fonction de $\mathbb{R}$ dans ${\mathbb{R}}^3$.

1. Calculer le polynôme caractéristique de $A$ et justifier que $A$ est diagonalisable.

2. Déterminer les trois sous-espaces propres de $A$ et vérifier chaque vecteur propre obtenu.

3. Résoudre $(S)$ sur $\mathbb{R}$ : on donnera la solution générale sous forme vectorielle, puis les expressions de $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$.

4. Résoudre le problème de Cauchy associé à la condition initiale $X(0)={}^t(2,3,2)$, et vérifier le résultat.

5. Décrire le comportement des solutions quand $t\to +\mathrm{\infty }$. Quelles sont les solutions bornées sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ ? Celles qui tendent vers $0$ ? Que peut-on dire de la direction de $X(t)$ pour une solution « générique » ?

On considère le système différentiel

$$(S):X^{\mathrm{\prime }}=AX+B(t),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),B(t)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^t\\ 0\end{array}\right),$$

d'inconnue $X={}^t(x,y)$ fonction de $\mathbb{R}$ dans ${\mathbb{R}}^2$.

1. Résoudre le système homogène $X^{\mathrm{\prime }}=AX$.

2. Écrire la matrice wronskienne $W$ du système fondamental de solutions obtenu, calculer $\det W(t)$ et vérifier qu'il ne s'annule pas. Retrouver ce déterminant par la formule de Liouville.

3. Méthode de variation des constantes. On cherche une solution de $(S)$ sous la forme $X=W\mathrm{\Lambda }$, où $\mathrm{\Lambda }={}^t(\lambda ,\mu )$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Montrer que $X$ est solution de $(S)$ si et seulement si $W(t){\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{\prime }}(t)=B(t)$, puis résoudre ce système et en déduire une solution particulière.

4. Donner la solution générale de $(S)$, puis la solution vérifiant $X(0)={}^t(0,0)$.

5. Vérifier la solution particulière obtenue au 3 par substitution directe dans $(S)$.

6. Le second membre est ici résonant. Retrouver la solution particulière en la cherchant sous la forme $X_p(t)={\mathrm{e}}^t(t{W}_0+Z)$, avec $W_0$ et $Z$ vecteurs constants. Que se passerait-il si le second membre était $B(t)={}^t({\mathrm{e}}^{3t},0)$ ?

1. Soient $a$, $b$, $c$ des fonctions continues sur un intervalle $I$ et $(y_1,y_2)$ un système fondamental de solutions de l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0$. On cherche une solution particulière de

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=c(t)$$

sous la forme $y=\lambda y_1+\mu y_2$, où $\lambda$ et $\mu$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et soumises à la condition supplémentaire ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}{y}_1+{\mu }^{\mathrm{\prime }}{y}_2=0$. Montrer que $y$ est alors solution de $(E)$ si et seulement si ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}{y}_1^{\mathrm{\prime }}+{\mu }^{\mathrm{\prime }}{y}_2^{\mathrm{\prime }}=c$, puis exprimer ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ et ${\mu }^{\mathrm{\prime }}$ à l'aide du wronskien $w=y_1{y}_2^{\mathrm{\prime }}-y_1^{\mathrm{\prime }}{y}_2$.

2. Résoudre par cette méthode chacune des trois équations suivantes, sur l'intervalle indiqué.

Partie A. Un exemple

On considère l'équation différentielle

$$(E):t^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-t(t+2)y^{\mathrm{\prime }}+(t+2)y=0\text{sur }]0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{.}$$

1. Vérifier que la fonction $y_1:t\mapsto t$ est solution de $(E)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. On pose $y=tz$, où $z$ est deux fois dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=z^{\mathrm{\prime }}$, c'est-à-dire si et seulement si $z^{\mathrm{\prime }}$ est solution d'une équation du premier ordre.

3. En déduire la solution générale de $(E)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, en précisant un système fondamental de solutions. Résoudre ensuite le problème de Cauchy $y(1)=0$, $y^{\mathrm{\prime }}(1)=1$.

Partie B. Le cas général

Soient $a$ et $b$ continues sur un intervalle $J$, et soit $y_1$ une solution de

$$(H):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0$$

qui ne s'annule pas sur $J$.

4. Montrer que $y=z{y}_1$ est solution de $(H)$ si et seulement si $y_1{z}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2y_1^{\mathrm{\prime }}+a{y}_1)z^{\mathrm{\prime }}=0$.

5. Résoudre cette équation en $z^{\mathrm{\prime }}$, en déduire une seconde solution $y_2$ sous forme intégrale, et montrer que $(y_1,y_2)$ est un système fondamental de solutions de $(H)$.

6. Calculer le wronskien $w=y_1{y}_2^{\mathrm{\prime }}-y_1^{\mathrm{\prime }}{y}_2$ des deux solutions obtenues et retrouver la formule $w(t)=w(t_0)\exp (-{\int }_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s)$.

7. Appliquer la méthode générale à l'équation $(E)$ de la partie A et retrouver le résultat de la question 3.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels. On appelle équation d'Euler l'équation différentielle

$$(E_{\alpha ,\beta }):t^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\alpha t{y}^{\mathrm{\prime }}+\beta y=0\text{sur }]0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{.}$$

1. Soit $y$ deux fois dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. On pose $z(u)=y\left({\mathrm{e}}^u\right)$ pour $u\in \mathbb{R}$. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{u}^2}}$ en fonction de $y^{\mathrm{\prime }}$ et $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, puis montrer que $y$ est solution de $(E_{\alpha ,\beta })$ si et seulement si $z$ est solution d'une équation linéaire à coefficients constants que l'on précisera. Vérifier que son équation caractéristique s'écrit $r(r-1)+\alpha r+\beta =0$.

2. Résoudre sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ les trois équations suivantes.

3. Résoudre sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation avec second membre $t^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2y=t^3$.

4. Comment obtenir les solutions d'une équation d'Euler sur $]-\mathrm{\infty },0[$ ?

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et soient $a$, $b$, $c$ trois fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{K}$. On considère

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=c(t),(H):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0,$$

et l'on note $S_H$ l'ensemble des solutions de $(H)$ sur $I$.

1. Pour une fonction $y$ deux fois dérivable sur $I$, on pose $X={}^t(y,y^{\mathrm{\prime }})$. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $X$ est solution d'un système différentiel $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X+B(t)$ que l'on explicitera. Énoncer précisément ce que le théorème de Cauchy linéaire fournit alors pour $(E)$.

2. Montrer que $S_H$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et que, pour tout $t_0\in I$, l'application ${\phi }_{t_0}:y\mapsto (y(t_0),y^{\mathrm{\prime }}(t_0))$ est un isomorphisme de $S_H$ sur ${\mathbb{K}}^2$. En déduire la dimension de $S_H$.

3. Soit $y\in S_H$ non nulle. Montrer que $y$ n'admet aucun zéro double, puis que ses zéros sont isolés. En déduire que $y$ n'a qu'un nombre fini de zéros sur tout segment inclus dans $I$.

4. Soient $y_1$ et $y_2$ deux éléments de $S_H$ et $w=y_1{y}_2^{\mathrm{\prime }}-y_1^{\mathrm{\prime }}{y}_2$ leur wronskien. Montrer que $w^{\mathrm{\prime }}=-aw$, puis que $w$ est soit identiquement nulle, soit partout non nulle. Montrer enfin que $w$ ne s'annule pas si et seulement si $(y_1,y_2)$ est un système fondamental de solutions.

5. En déduire que deux solutions non proportionnelles de $(H)$ ne peuvent pas s'annuler en un même point. Illustrer sur l'exemple de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+y=0$.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et soit $A:I\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une application continue. On considère le système différentiel linéaire homogène

$$(S):X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X,$$

d'inconnue $X:I\to {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$. Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ une famille de $n$ solutions de $(S)$. On note $W(t)$ la matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont les colonnes sont $X_1(t),\dots ,X_n(t)$, et l'on pose $w=\det W$ : la fonction $w$ s'appelle le wronskien de la famille $(X_1,\dots ,X_n)$.

1. Rappeler que le déterminant est une forme $n$-linéaire des colonnes et en déduire que $w$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, avec

$$w^{\mathrm{\prime }}(t)=\sum _{j=1}^n\det (X_1(t),\dots ,X_{j-1}(t),X_j^{\mathrm{\prime }}(t),X_{j+1}(t),\dots ,X_n(t))\mathrm{.}$$

En décomposant la colonne dérivée $X_j^{\mathrm{\prime }}(t)=A(t)X_j(t)$ sur les colonnes de $W(t)$, établir que $w^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{tr}(A(t))w$ sur $I$.

2. En déduire la formule de Liouville : pour tous $t$ et $t_0$ de $I$,

$$w(t)=w(t_0)\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}({\int }_{t_0}^t\mathrm{tr}A(s)\mathrm{d}s)\mathrm{.}$$

Montrer que $w$ est soit identiquement nul sur $I$, soit partout non nul, et interpréter en termes de système fondamental de solutions.

3. Application au second ordre scalaire. Soit $a$ et $b$ deux fonctions continues sur $I$ et $(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0$. Pour deux solutions $y_1$ et $y_2$ de $(E)$, on pose $w=y_1{y}_2^{\mathrm{\prime }}-y_2{y}_1^{\mathrm{\prime }}$. Montrer que $w^{\mathrm{\prime }}=-a(t)w$, puis que $w$ est constant lorsque $a$ est la fonction nulle.

4. Application numérique. On travaille sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et l'on considère

$$(E_0):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\frac{2}{t}{y}^{\mathrm{\prime }}+y=0.$$

Montrer que le wronskien de deux solutions de $(E_0)$ est proportionnel à ${\displaystyle \frac{1}{t^2}}$. Vérifier ensuite que $y_1:t\mapsto {\displaystyle \frac{\sin t}{t}}$ et $y_2:t\mapsto {\displaystyle \frac{\cos t}{t}}$ sont solutions de $(E_0)$, calculer leur wronskien et conclure.

On étudie sur $\mathbb{R}$ tout entier les trois équations différentielles suivantes, d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ :

$$(a):t{y}^{\mathrm{\prime }}-2y=0,(b):t{y}^{\mathrm{\prime }}-y=t^2,(c):t{y}^{\mathrm{\prime }}+y=1.$$

Pour chacune d'elles, on suivra le plan suivant.

1. Résoudre l'équation sur $I_{-}=]-\mathrm{\infty },0[$, puis sur $I_{+}=]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Déterminer toutes les solutions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ entier, en examinant successivement la continuité en $0$, la dérivabilité en $0$, puis la validité de l'équation au point $0$.

3. Préciser la structure de l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ (dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée, description de l'ensemble des solutions).

4. Expliquer pourquoi ces résultats ne contredisent pas le théorème de Cauchy linéaire.

On considère l'équation différentielle

$$(E):(1-t^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2t{y}^{\mathrm{\prime }}+2y=0.$$

1. Vérifier que $y:t\mapsto t$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

2. On cherche les solutions de $(E)$ développables en série entière au voisinage de $0$. Soit donc $y:t\mapsto {\sum }_{n⩾0}{a}_n{t}^n$, de rayon de convergence $R>0$, solution de $(E)$ sur $]-R,R[$. Après report dans l'équation et réindexation, montrer que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(n+2)(n+1)a_{n+2}=(n^2+n-2)a_n,$$

puis simplifier cette relation en $a_{n+2}={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}{a}_n$.

3. Séparer les indices pairs et les indices impairs et calculer explicitement tous les coefficients en fonction de $a_0$ et $a_1$.

4. Déterminer le rayon de convergence de la série obtenue, selon les valeurs de $(a_0,a_1)$.

5. Identifier la somme de la série. On pourra utiliser le développement en série entière de $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{1+t}{1-t}}$ sur $]-1,1[$.

6. Comparer l'espace vectoriel des solutions ainsi obtenues à l'espace des solutions de $(E)$ sur $]-1,1[$, dont on rappellera la dimension. Commenter ce que la méthode a effectivement trouvé.

Soit $n⩾1$, soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice fixée. On s'intéresse à l'équation différentielle matricielle

$$(\mathcal{E}):M^{\mathrm{\prime }}=AM,$$

d'inconnue une fonction $M:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dérivable.

1. Justifier que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, que $(\mathcal{E})$ y est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre, puis montrer que $t\mapsto \exp (tA)$ est l'unique solution de $(\mathcal{E})$ vérifiant $M(0)=I_n$.

2. En déduire, par un argument d'unicité, que

$$\mathrm{\forall }(s,t)\in {\mathbb{R}}^2,\exp ((s+t)A)=\exp (sA)\exp (tA)\mathrm{.}$$

En déduire que $\exp (tA)$ est inversible, d'inverse $\exp (-tA)$.

3. Soit $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $AB=BA$. Montrer, de deux façons différentes (par la série, puis par unicité), que $B$ commute avec $\exp (tA)$ pour tout réel $t$.

4. Soit $t_0\in \mathbb{R}$ et $X_0\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$. Montrer que l'unique solution du problème de Cauchy $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, $X(t_0)=X_0$ est

$$X:t⟼\exp ((t-t_0)A)X_0,$$

en rédigeant soigneusement l'argument fondé sur la dérivée de $t\mapsto \exp (-tA)X(t)$.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, soit $t_0\in I$, soit $a$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et $b$ une fonction continue sur $I$, toutes deux à valeurs réelles. On considère

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(t)y^{\mathrm{\prime }}+b(t)y=0,$$

et l'on pose

$$\phi (t)=\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t}a(s)\mathrm{d}s)\mathrm{.}$$

1. Montrer que le changement de fonction inconnue $y=z\phi$ transforme $(E)$ en une équation de la forme

$$(F):z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+q(t)z=0,$$

et exprimer $q$ en fonction de $a$, $a^{\mathrm{\prime }}$ et $b$. L'équation $(F)$ s'appelle la forme normale de $(E)$ : le terme en $z^{\mathrm{\prime }}$ a disparu.

2. Applications sur $I=\mathbb{R}$.

a. Mettre l'équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2t{y}^{\mathrm{\prime }}+(t^2-3)y=0$ sous forme normale, puis la résoudre complètement.

b. Même travail pour $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2t{y}^{\mathrm{\prime }}+(t^2-1)y=0$.

3. Zéros et oscillation.

a. Montrer que $y$ et $z=y\mathrm{/}\phi$ ont exactement les mêmes zéros sur $I$.

b. On suppose $q⩽0$ sur $I$. Montrer que toute solution non nulle de $(F)$ admet au plus un zéro sur $I$, et en déduire le même énoncé pour $(E)$. Vérifier la conclusion sur l'exemple de la question 2.a.

c. Expliquer pourquoi la forme normale est le cadre naturel pour étudier l'oscillation des solutions.

Soit $n⩾1$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ une matrice diagonalisable. On considère le système différentiel

$$(S):X^{\mathrm{\prime }}=AX,$$

d'inconnue $X:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$. On note ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ les valeurs propres de $A$, répétées selon leur multiplicité. L'espace ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{C})$ étant de dimension finie, toutes ses normes sont équivalentes : les propriétés « tendre vers $0$ » et « être bornée » ne dépendent pas de la norme choisie, et l'on en fixe une, notée $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$.

1. Montrer que toute solution de $(S)$ tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle strictement négative.

2. Montrer que toute solution de $(S)$ est bornée sur ${\mathbb{R}}_{+}$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle négative ou nulle.

3. Étudier les trois exemples suivants, en illustrant chacun des trois régimes possibles :

4. Question de discernement. Les résultats des questions 1 et 2 subsistent-ils sans l'hypothèse de diagonalisabilité ? On traitera le cas $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$ en calculant $\exp (tA)$, puis le cas $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Soit $T>0$ et soit $a$ et $b$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$, à valeurs réelles et $T$-périodiques. On considère

$$(E):y^{\mathrm{\prime }}+a(t)y=b(t),$$

et l'on pose

$$A(t)={\int }_0^{t}a(s)\mathrm{d}s,\mu =A(T)={\int }_0^{T}a(s)\mathrm{d}s\mathrm{.}$$

1. Montrer que si $y$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$, alors la fonction $y_T:t\mapsto y(t+T)$ l'est aussi.

2. En déduire qu'une solution $y$ de $(E)$ est $T$-périodique si et seulement si $y(T)=y(0)$.

3. Écrire la solution du problème de Cauchy $y(0)=y_0$ et montrer que

$$y(T)={\mathrm{e}}^{-\mu }{y}_0+c,$$

où $c$ est une constante indépendante de $y_0$ que l'on explicitera.

4. En déduire la discussion suivante : si $\mu \mathrm{\ne }0$, l'équation $(E)$ admet une unique solution $T$-périodique ; si $\mu =0$, elle en admet une infinité lorsque $c=0$ et aucune lorsque $c\mathrm{\ne }0$.

5. Illustrer avec les trois équations suivantes, en calculant $\mu$ dans chaque cas et en cherchant les solutions $2\pi$-périodiques :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point et soit $A:I\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une application continue. On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée associée, notée de la même façon, de sorte que $\mathrm{\parallel }MX\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }X\mathrm{\parallel }$ pour toute matrice $M$ et tout vecteur colonne $X$. On étudie le système homogène

$$(H):X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X\mathrm{.}$$

On admet le lemme de Gronwall dans sa version à coefficient variable (le chapitre « Fonctions vectorielles » en établit le cas où $k$ est constant) : si $u$ et $k$ sont continues et positives sur un segment $[a,b]$, si $C⩾0$ et si

$$\mathrm{\forall }t\in [a,b],u(t)⩽C+{\int }_a^{t}k(s)u(s)\mathrm{d}s,$$

alors

$$\mathrm{\forall }t\in [a,b],u(t)⩽C\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}({\int }_a^{t}k(s)\mathrm{d}s)\mathrm{.}$$

1. Soit $X$ une solution de $(H)$ sur $I$ et soit $t_0\in I$. Montrer que

$$\mathrm{\forall }t\in I\text{ tel que }t⩾t_0,\mathrm{\parallel }X(t)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }X(t_0)\mathrm{\parallel }+{\int }_{t_0}^t\mathrm{\parallel }A(s)\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }X(s)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}s\mathrm{.}$$

Expliquer au passage pourquoi on raisonne sur l'écriture intégrale de $X$ plutôt qu'en dérivant la fonction $t\mapsto \mathrm{\parallel }X(t)\mathrm{\parallel }$.

2. En déduire que

$$\mathrm{\forall }t\in I\text{ tel que }t⩾t_0,\mathrm{\parallel }X(t)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }X(t_0)\mathrm{\parallel }\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}({\int }_{t_0}^t\mathrm{\parallel }A(s)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}s)\mathrm{.}$$

3. Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(H)$ sur $I$ telles que $X(t_0)=Y(t_0)$ pour un certain $t_0\in I$. Montrer que $X=Y$ sur $I$. On retrouve ainsi, par un argument élémentaire, la partie « unicité » du théorème de Cauchy linéaire. On prendra garde au fait que la majoration de la question 2 ne se propage que vers la droite : pour traiter $t⩽t_0$, on pourra poser $\tilde{Z}(s)=Z(2t_0-s)$, où $Z=X-Y$.

4. Soit $X$ une solution de $(H)$ sur $I$ et soit $t_0\in I$. Établir la minoration

$$\mathrm{\forall }t\in I\text{ tel que }t⩾t_0,\mathrm{\parallel }X(t)\mathrm{\parallel }⩾\mathrm{\parallel }X(t_0)\mathrm{\parallel }\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-{\int }_{t_0}^t\mathrm{\parallel }A(s)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}s)\mathrm{.}$$

On pourra fixer $t_1\in I$ avec $t_1⩾t_0$ et renverser le temps en posant $Y(s)=X(t_0+t_1-s)$ pour $s\in [t_0,t_1]$. En déduire à nouveau qu'une solution non nulle de $(H)$ ne s'annule en aucun point.

5. Application. On suppose ici que $I$ contient $[t_0,+\mathrm{\infty }[$ et que l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{t_0}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }A(s)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}s}$ converge ; on note $\beta$ sa valeur. Montrer que toute solution $X$ de $(H)$ admet une limite $L$ en $+\mathrm{\infty }$, et que $L\mathrm{\ne }0$ dès que $X$ n'est pas la solution nulle.

On étudie sur $\mathbb{R}$ l'équation d'Airy

$$(\mathcal{A}):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=ty\mathrm{.}$$

1. On cherche les solutions développables en série entière au voisinage de $0$. Soit $y:t\mapsto {\sum }_{n⩾0}{a}_n{t}^n$ une telle série, de rayon $R>0$, solution de $(\mathcal{A})$ sur $]-R,R[$. Montrer que

$$a_2=0\text{et}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(n+3)(n+2)a_{n+3}=a_n,$$

et en déduire que les coefficients se répartissent en trois familles suivant le reste de l'indice modulo $3$.

2. Expliciter les coefficients : montrer que $a_{3k+2}=0$ pour tout $k$, et que pour tout $k⩾1$

$$a_{3k}=\frac{a_0}{{\displaystyle \prod _{j=1}^k(3j-1)(3j)}},a_{3k+1}=\frac{a_1}{{\displaystyle \prod _{j=1}^k(3j)(3j+1)}}\mathrm{.}$$

3. Montrer que le rayon de convergence de la série obtenue est infini.

4. En déduire que l'on obtient ainsi toutes les solutions de $(\mathcal{A})$ sur $\mathbb{R}$.

5. Étude qualitative.

a. Une solution non nulle de $(\mathcal{A})$ peut-elle être paire ? impaire ?

b. Soit $y$ une solution de $(\mathcal{A})$ et $t_0>0$ tels que $y(t_0)>0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(t_0)⩾0$. Montrer que $y$ est strictement croissante et convexe sur $[t_0,+\mathrm{\infty }[$, et qu'elle tend vers $+\mathrm{\infty }$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et le système différentiel $(S):X^{\mathrm{\prime }}=AX$, d'inconnue $X:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

1. Écrire $A=2I_3+N$, où $N$ est une matrice que l'on précisera. Calculer $N^2$ et $N^3$, et vérifier que les matrices $2I_3$ et $N$ commutent.

2. Calculer explicitement $\exp (tA)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$.

3. Résoudre le problème de Cauchy $X^{\mathrm{\prime }}=AX$, $X(0)={}^t(1,0,1)$, et contrôler le résultat en reportant dans le système.

4. Décrire le comportement de cette solution lorsque $t\to +\mathrm{\infty }$, puis lorsque $t\to -\mathrm{\infty }$. Expliquer la compétition entre le facteur polynomial et le facteur exponentiel.

5. Généralisation. Soient $\lambda \in \mathbb{C}$, $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ nilpotente d'indice $p$ (c'est-à-dire $N^p=0$ et $N^{p-1}\mathrm{\ne }0$) et $A=\lambda I_n+N$. Donner $\exp (tA)$, puis une condition nécessaire et suffisante portant sur $\lambda$ pour que toute solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ tende vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

6. La matrice $A$ de l'énoncé est-elle diagonalisable ? Répondre de deux façons : par un argument de rang, puis par un argument qui n'exige aucun calcul.