Devoir surveillé — Équations différentielles linéaires

Les cinq exercices de ce devoir sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre. La clarté et la rigueur de la rédaction sont prises en compte dans la notation : un résultat exact mais mal justifié ne vaut pas un résultat démontré. Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Pour chacune des cinq assertions ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, la réfuter par un contre-exemple entièrement explicité (matrice, solutions, intervalle, calculs conduits jusqu'au bout). Une réponse sans justification ne rapporte aucun point.

1. (0,6 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Si toute solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ est bornée sur ${\mathbb{R}}_{+}$, alors toute solution de $X^{\mathrm{\prime }}=AX$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

2. (0,6 pt) Soient $I$ un intervalle non réduit à un point, $A:I\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ continue, et $X$ et $Y$ deux solutions sur $I$ de $X^{\mathrm{\prime }}=A(t)X$. S'il existe $t_0\in I$ tel que la famille $(X(t_0),Y(t_0))$ soit liée, alors la famille $(X(t),Y(t))$ est liée pour tout $t\in I$.

3. (0,6 pt) Il existe une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que

$$\exp (A)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

4. (0,6 pt) Soient $I$ un intervalle non réduit à un point et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ qui ne s'annule en aucun point de $I$. Alors il existe une fonction $q$ continue sur $I$ telle que $f$ soit solution sur $I$ de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+q(t)y=0$.

5. (0,6 pt) Soient $A$ et $B$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telles que $\exp (tA)=\exp (tB)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$. Alors $A=B$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -5\\ 1& -1\end{array}\right)$$

et le système différentiel $(S):X^{\mathrm{\prime }}=AX$, d'inconnue $X={}^t(x,y)$ fonction de $\mathbb{R}$ dans ${\mathbb{R}}^2$.

1. (0,5 pt) Calculer le polynôme caractéristique de $A$ et déterminer son spectre. La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ? dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ ?

2. (1 pt) Déterminer un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $2i$, en déduire une solution complexe de $(S)$, puis, en séparant partie réelle et partie imaginaire, un système fondamental de solutions réelles $(X_1,X_2)$. On vérifiera qu'il s'agit bien d'un système fondamental.

3. (0,5 pt) Résoudre le problème de Cauchy formé par $(S)$ et la condition initiale $X(0)={}^t(5,3)$, puis vérifier le résultat obtenu.

4. (0,5 pt) Montrer que toute solution de $(S)$ est périodique, préciser une période, et en déduire que toute solution est bornée sur $\mathbb{R}$. Relier ces deux propriétés au spectre de $A$.

5. (1 pt) On cherche une forme quadratique $Q(x,y)=\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2$ non nulle qui soit constante le long de toute solution de $(S)$.

a. Déterminer toutes les formes qui conviennent.

b. Montrer que celle obtenue pour $\alpha =1$ est définie positive et en déduire, sans résoudre le système, que toute solution de $(S)$ est bornée et que la trajectoire d'une solution non nulle est incluse dans une ellipse centrée à l'origine.

c. Contrôler ce résultat sur la solution obtenue à la question 3.

On étudie sur l'intervalle $I=]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ l'équation différentielle

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(\tan t)y^{\mathrm{\prime }}+({\cos }^{2}t)y=0.$$

1. (0,5 pt) Justifier que $(E)$ est une équation linéaire scalaire du second ordre résolue à coefficients continus sur $I$, et préciser la dimension de son espace de solutions $\mathcal{S}$. Expliquer pourquoi on ne travaille pas sur $\mathbb{R}$ tout entier.

2. (1 pt) On pose $u=\sin t$. Justifier que $\phi =\sin$ réalise un ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$-difféomorphisme de $I$ sur $J=]-1,1[$, puis que l'application $z\mapsto z\circ \phi$ est une bijection de ${\mathcal{C}}^2(J,\mathbb{R})$ sur ${\mathcal{C}}^2(I,\mathbb{R})$. Montrer qu'une fonction $y$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $I$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $z=y\circ {\phi }^{-1}$ est solution sur $J$ de

$$(F):z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+z=0.$$

3. (0,5 pt) En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $I$. Vérifier que le couple $(y_1,y_2)$ défini par $y_1(t)=\cos (\sin t)$ et $y_2(t)=\sin (\sin t)$ est un système fondamental de solutions, en calculant son wronskien et en contrôlant le résultat par la formule de Liouville.

4. (0,5 pt) Résoudre le problème de Cauchy $y(0)=1$, $y^{\mathrm{\prime }}(0)=2$.

5. (0,5 pt) Soit $y$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que $y$ admet au plus un zéro sur $I$. Déterminer ensuite le zéro de la solution de la question 4.

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$, à valeurs réelles. On étudie l'équation différentielle

$$(E):y^{\mathrm{\prime }}+y=f(t)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$ par la méthode de variation de la constante, en exprimant la solution vérifiant $y(0)=y_0$ sous la forme

$$y(t)=y_0{\mathrm{e}}^{-t}+{\int }_0^t{\mathrm{e}}^{s-t}f(s)\mathrm{d}s\mathrm{.}$$

2. (1 pt) On suppose dans cette question que $f(t)⟶\mathrm{\ell }$ lorsque $t\to +\mathrm{\infty }$, où $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$. Montrer que toute solution de $(E)$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$.

3. (0,75 pt) On suppose maintenant $f$ bornée sur $\mathbb{R}$, de borne $M={\sup }_{\mathbb{R}}\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution bornée sur $\mathbb{R}$ tout entier, donnée par

$$y_{\star }(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{\mathrm{e}}^{s-t}f(s)\mathrm{d}s,$$

et que $\mathrm{\parallel }{y}_{\star }{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽M$.

4. (0,75 pt) Application : $f(t)=\cos (\omega t)$, où $\omega >0$. Déterminer $y_{\star }$, l'écrire sous la forme ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\omega }^2}}}\cos (\omega t-\theta )$ avec $\theta$ à préciser, et interpréter.

5. (0,5 pt) Question de discernement. On remplace $(E)$ par $(E^{\mathrm{\prime }}):y^{\mathrm{\prime }}-y=f(t)$, avec toujours $f(t)\to \mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$. Montrer que $(E^{\mathrm{\prime }})$ admet au plus une solution ayant une limite finie en $+\mathrm{\infty }$, et que cette limite ne peut valoir que $-\mathrm{\ell }$. Commenter l'écart avec la question 2.

Dans tout le problème, $f$ désigne une fonction continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ et $\lambda$ un nombre réel. On cherche des fonctions $y$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0,1]$ soumises non pas à une condition de Cauchy en un point, mais à une condition en chacune des deux extrémités de l'intervalle :

$$y(0)=0\text{et}y(1)=0.$$

Un tel énoncé s'appelle un problème aux limites. Le théorème de Cauchy linéaire règle définitivement le sort d'un problème de Cauchy ; on va voir qu'il ne dit rien d'un problème aux limites, et l'on construira l'outil qui le résout.

Pour toute fonction $g$ continue sur $[0,1]$, on note $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }$ ; cette borne supérieure est finie et atteinte, car $g$ est continue sur un segment.

Partie A. Le problème aux limites homogène (2 points)

Pour $\lambda$ réel, on note ${\mathcal{S}}_{\lambda }$ l'ensemble des solutions sur $[0,1]$ de l'équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\lambda y=0$, et $(P_{\lambda })$ le problème suivant : trouver $y$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0,1]$ telle que

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\lambda y=0\text{sur }[0,1],y(0)=0,y(1)=0.$$

On note $V_{\lambda }$ l'ensemble des solutions de $(P_{\lambda })$.

1. (0,5 pt) Montrer que $V_{\lambda }$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{S}}_{\lambda }$, puis que $\dim V_{\lambda }⩽1$. Expliquer précisément pourquoi le théorème de Cauchy linéaire ne permet pas d'affirmer que $V_{\lambda }=\{0\}$.

2. (1 pt) Déterminer $V_{\lambda }$ pour tout réel $\lambda$. On distinguera les cas $\lambda <0$, $\lambda =0$ et $\lambda >0$.

3. (0,5 pt) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que l'application

$${\mathrm{\Phi }}_{\lambda }:{\mathcal{S}}_{\lambda }⟶{\mathbb{R}}^2,y⟼(y(0),y(1))$$

soit un isomorphisme. Comparer avec l'application $y⟼(y(0),y^{\mathrm{\prime }}(0))$.

Partie B. Le problème avec second membre et son noyau (3 points)

On étudie maintenant le problème $(Q_f)$ : trouver $y$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0,1]$ telle que

$$-y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=f\text{sur }[0,1],y(0)=0,y(1)=0.$$

4. (0,75 pt) Montrer que $(Q_f)$ admet une solution et une seule, et l'expliciter. (Indication : on pourra étudier la fonction $F$ définie sur $[0,1]$ par $F(t)={\int }_0^t(t-s)f(s)\mathrm{d}s$.)

5. (0,75 pt) On définit $G$ sur le carré $[0,1{]}^2$ par

$$G(t,s)=\{\begin{array}{ll}s(1-t)& \text{si }0⩽s⩽t⩽1,\\ t(1-s)& \text{si }0⩽t⩽s⩽1.\end{array}$$

Vérifier que $G$ est bien définie et continue sur $[0,1{]}^2$, puis montrer que la solution de $(Q_f)$ s'écrit

$$y(t)={\int }_0^{1}G(t,s)f(s)\mathrm{d}s\text{pour tout }t\in [0,1]\mathrm{.}$$

Établir enfin trois propriétés de $G$ : sa symétrie, son signe, son annulation sur le bord du carré.

6. (0,75 pt) En déduire les deux conséquences suivantes, où $y$ désigne la solution de $(Q_f)$.

a. Si $f⩾0$ sur $[0,1]$, alors $y$ est positive ou nulle sur $[0,1]$.

b. Calculer ${\int }_0^{1}G(t,s)\mathrm{d}s$ pour $t\in [0,1]$, puis en déduire que $\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽\frac{1}{8}\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

7. (0,75 pt) Deux exemples.

a. Pour $f=1$, déterminer la solution de $(Q_f)$ et en déduire que la constante $\frac{1}{8}$ de la question 6 est optimale.

b. Pour $f(t)={\pi }^2\sin (\pi t)$, déterminer la solution et vérifier l'inégalité de la question 6.

Partie C. L'alternative (2 points)

On revient au paramètre $\lambda$ et l'on note $(R_{\lambda ,f})$ le problème : trouver $y$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[0,1]$ telle que

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\lambda y=f\text{sur }[0,1],y(0)=0,y(1)=0.$$

8. (1 pt) Démontrer l'alternative suivante.

a. Si $\lambda$ n'est égal à aucun des $n^2{\pi }^2$, $n⩾1$, alors $(R_{\lambda ,f})$ admet une solution et une seule, quelle que soit la fonction continue $f$.

b. Si $\lambda =n^2{\pi }^2$ pour un entier $n⩾1$, alors $(R_{\lambda ,f})$ admet soit aucune solution, soit une infinité, et l'ensemble des solutions est dans ce second cas une droite affine.

9. (1 pt) Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ et $\lambda =n^2{\pi }^2$.

a. Montrer que si $(R_{\lambda ,f})$ admet une solution, alors ${\int }_0^{1}f(t)\sin (n\pi t)\mathrm{d}t=0$.

b. Application avec $n=1$, donc $\lambda ={\pi }^2$. Traiter le cas $f(t)=\sin (2\pi t)$, puis le cas $f(t)=\sin (\pi t)$.