Exercices — Séries numériques

Étudier une série, c'est étudier la suite de ses sommes partielles, rien de plus. Les questions ci-dessous se traitent toutes en revenant à la définition, sans aucun théorème de comparaison.

Pour une suite $(u_n{)}_{n⩾0}$, on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ la somme partielle de rang $n$.

1. Soit $u_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ pour $n⩾0$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$, puis déterminer la nature de $\sum u_n$ et, en cas de convergence, sa somme.

2. Mêmes questions pour $u_n=(-1{)}^n$.

3. Soit $u_n=\ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)$ pour $n⩾1$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$ et conclure.

4. On suppose que les sommes partielles d'une série ${\sum }_{n⩾0}{u}_n$ vérifient $S_n={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}$ pour tout $n⩾0$. Retrouver $u_n$ pour tout $n⩾0$, puis donner la nature de la série et sa somme.

5. Quatre objets se ressemblent à l'écrit : $u_n$, $S_n$, $S={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$ et $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$. Pour chacun, dire s'il s'agit d'un nombre ou d'une suite et donner sa définition. Lesquels n'ont de sens que si la série converge ? Écrire enfin la relation qui lie $S$, $S_n$ et $R_n$.

Le tout premier réflexe devant une série est de regarder son terme général : s'il ne tend pas vers $0$, l'affaire est réglée en une ligne. Encore faut-il savoir reconnaître les cas où ce réflexe ne donne rien, et ne pas lui faire dire plus qu'il ne dit.

1. Pour chacun des termes généraux suivants, déterminer la limite éventuelle de $(u_n)$ et dire si le théorème de divergence grossière permet de conclure. Conclure quand c'est le cas.

2. Pour les items où le théorème ne s'applique pas, dire précisément ce que l'on ne peut pas conclure, et donner la nature réelle de la série concernée.

3. Énoncer le théorème utilisé, puis sa contraposée. Expliquer en une phrase pourquoi sa réciproque est fausse.

La série géométrique est la seule série usuelle dont on sait calculer la somme sans effort. La formule est simple, mais elle dépend du rang auquel on démarre : c'est là que se concentrent les erreurs.

1. Déterminer la nature de chacune des séries suivantes et, en cas de convergence, calculer sa somme.

2. Soit $q={\displaystyle \frac{1+i}{3}}$. Calculer $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$, en déduire la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{q}^n}$, puis calculer sa somme sous forme algébrique.

3. Pour quelles valeurs du réel $x$ la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}(2x-1{)}^n}$ converge-t-elle ? Donner alors sa somme en fonction de $x$.

Quand le terme général se présente sous la forme $a_n-a_{n+1}$, la somme partielle se calcule exactement : presque tout se simplifie et il ne reste que les termes de bord. C'est le seul cas, avec les séries géométriques, où l'on obtient la somme sans machinerie.

Dans chacune des quatre premières questions, on demande la somme partielle en fonction de $N$, la nature de la série, et sa somme en cas de convergence.

1. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$

2. ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$

3. ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\ln (1-\frac{1}{n^2})}$

4. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}})}$

5. Dégager de ces quatre calculs la méthode générale, et énoncer le lien entre la nature de $\sum (a_{n+1}-a_n)$ et le comportement de la suite $(a_n)$.

Les séries de Riemann sont les séries de référence de tout le chapitre : leur nature se lit sur un seul nombre, l'exposant. Encore faut-il savoir le lire, y compris quand il est déguisé en racine.

1. Déterminer la nature des séries de terme général suivant, en identifiant à chaque fois l'exposant.

2. Énoncer précisément le critère utilisé et rappeler où se situe le seuil.

3. Les items e. et f. ont des exposants presque égaux et des natures opposées. On donne les sommes partielles au rang $N={10}^6$ :

$$\sum _{n=1}^{{10}^6}\frac{1}{n^{\mathrm{0,99}}}\approx \mathrm{15,39},\sum _{n=1}^{{10}^6}\frac{1}{n}\approx \mathrm{14,39},\sum _{n=1}^{{10}^6}\frac{1}{n^{\mathrm{1,01}}}\approx \mathrm{13,48}$$

Quelle leçon en tirer sur ce qu'un calcul numérique peut, ou ne peut pas, prouver ?

Comparer, c'est encadrer le terme général par celui d'une série connue. Le théorème est court, mais il ne fonctionne que dans un sens à la fois, et seulement sur des termes positifs : chaque rédaction doit donc commencer par vérifier le signe.

1. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{n^2+n+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ pour tout $n⩾1$, puis en déduire la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2+n+1}}$.

2. Montrer que ${\displaystyle \frac{2+\sin n}{n^2}}⩽{\displaystyle \frac{3}{n^2}}$ pour tout $n⩾1$, puis conclure sur la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{2+\sin n}{n^2}}$.

3. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{\ln n}}⩾{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾2$, puis en déduire la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{\ln n}}$.

4. Montrer que $n!⩾2^{n-1}$ pour tout $n⩾1$, puis en déduire la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n!}}$ ainsi qu'une majoration de sa somme.

5. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites positives telles que $u_n⩽v_n$ pour tout $n$. On suppose que $\sum v_n$ diverge. Que peut-on en conclure sur $\sum u_n$ ? Donner deux exemples de natures opposées.

Chercher un équivalent du terme général, c'est remplacer une expression compliquée par une série de Riemann. La rédaction attendue tient toujours en trois temps : vérifier que le terme est positif à partir d'un certain rang, donner un équivalent de la forme ${\displaystyle \frac{c}{n^{\alpha }}}$, conclure par le critère de Riemann.

1. Déterminer la nature des séries de terme général suivant.

2. Reprendre l'item g. : expliquer pourquoi l'écriture $1-\cos \frac{1}{n}\sim 1-1=0$ n'a aucun sens, et détailler l'obtention du bon équivalent.

3. Pourquoi l'hypothèse de signe constant est-elle indispensable dans le théorème de comparaison par équivalents ?

Les théorèmes de comparaison exigent des termes positifs. Quand le terme général change de signe, ou même quand il est complexe, on se ramène au cas positif en passant à la valeur absolue (ou au module) : c'est la convergence absolue.

La rédaction attendue tient en trois temps : majorer $\mid u_n\mid$ par le terme général d'une série convergente connue, en déduire que $\sum \mid u_n\mid$ converge, puis conclure par le théorème.

1. Montrer que chacune des séries de terme général suivant est absolument convergente, et en déduire sa nature.

2. Dans l'item f., les termes sont complexes. Que signifie alors « la série converge », et le théorème employé reste-t-il valable ?

3. Énoncer le théorème utilisé. Sa réciproque est-elle vraie ?

La linéarité permet de couper une somme en morceaux, mais seulement si chacun d'eux converge : c'est le point où l'on se fait prendre. Les cinq questions ci-dessous font le tour de ce que l'on a le droit d'écrire, et de ce que l'on n'a pas le droit d'écrire.

1. Justifier la convergence de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{2^{n+1}+3^n}{6^n}}$, puis calculer sa somme.

2. Mêmes questions pour ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{3\times 2^n-2\times 3^n}{6^n}}$.

3. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge. Montrer, en raisonnant par l'absurde, que $\sum (u_n+v_n)$ diverge.

4. Montrer par un contre-exemple que la somme de deux séries divergentes peut, elle, converger.

5. Vrai ou faux : « modifier les $100$ premiers termes d'une série ne change ni sa nature, ni sa somme. » Justifier.

Le cours établit que pour tout $z\in \mathbb{C}$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{z^n}{n!}}$ converge et que

$$e^z=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$$

Avec la série géométrique, c'est la seule série dont le cours donne la somme en toute généralité. Tout l'art consiste donc à ramener la série proposée à celle-là, par un décalage d'indice ou par une décomposition du numérateur.

1. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}}$, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}}$ et ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n!}}$.

2. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{n}{n!}}$ converge et calculer sa somme.

3. Même question pour ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{n^2}{n!}}$ (on écrira $n^2=n(n-1)+n$).

4. En déduire ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n^2+n+1}{n!}}$.

5. Soit $\theta \in \mathbb{R}$. En appliquant le résultat du cours à $z=e^{i\theta }$, démontrer que

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos (n\theta )}{n!}=e^{\cos \theta }\cos (\sin \theta )$$

On sait sommer $\sum x^n$. Que vaut $\sum n{x}^n$ ? La réponse est un grand classique, et elle s'obtient sans aucun outil nouveau : uniquement en calculant la somme partielle, comme on l'a fait pour la série géométrique elle-même.

Dans tout l'exercice, $x$ désigne un réel de $]-1,1[$, et l'on pose pour $n\in \mathbb{N}$

$$T_n=\sum _{k=0}^{n}k{x}^k\text{et}{U}_n=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)x^k$$

1. Calculer $(1-x)T_n$, en déduire une expression close de $T_n$, puis démontrer que la série $\sum n{x}^n$ converge et que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}}$.

2. En déduire les valeurs de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n}}$ et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n}{3^n}}$.

3. Sur le même principe, calculer $(1-x)U_n$ et établir que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)x^n=\frac{2x^2}{(1-x{)}^3}}$, puis que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{n}^2{x}^n=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}}$.

4. En déduire ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{2^n}}$.

5. La formule de la question 1. est la dérivée de $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$, multipliée par $x$. Expliquer pourquoi on ne pouvait pas se contenter de « dériver terme à terme ».

Une suite et une série, c'est le même objet vu de deux façons. Le théorème qui suit tient en trois lignes de démonstration, et c'est pourtant l'outil qui permet de prouver qu'une suite converge sans jamais calculer sa limite.

1. Soit $(a_n{)}_{n⩾1}$ une suite réelle. Démontrer que la suite $(a_n)$ converge si et seulement si la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(a_{n+1}-a_n)}$ converge, et qu'en cas de convergence

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-a_1$$

2. Application. Montrer que la suite définie par $a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}}$ converge.

3. Application. En posant $a_n=\ln n$, retrouver la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\ln (1+\frac{1}{n})}$.

4. Application. Soit $(a_n{)}_{n⩾1}$ définie par $a_1=0$ et $a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ pour $n⩾1$. Montrer que $(a_n)$ converge.

5. Application. Montrer que ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})}$ converge et calculer sa somme.

Dans tous les termes généraux qui suivent, deux quantités qui tendent vers la même limite se soustraient : l'équivalent ne se lit pas, il se calcule. Le réflexe est toujours le même, poser $u=\frac{1}{n}\to 0$ et écrire un développement limité en $0$ à l'ordre qu'il faut.

1. Pour chacune des séries de terme général suivant, donner un équivalent simple de $u_n$, préciser son signe, et en déduire la nature de la série.

2. Trois de ces huit termes généraux sont négatifs. Rappeler pourquoi le théorème de comparaison par équivalents exige une hypothèse de signe, et dire comment on procède dans ce cas.

Comparer à une série de Riemann, c'est bien ; le faire en une ligne, c'est mieux. Le critère qui suit consiste à multiplier le terme général par la bonne puissance de $n$ et à regarder ce qui se passe. Tout le savoir-faire tient dans le choix de $\alpha$.

1. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. Démontrer les deux énoncés suivants.

a. S'il existe $\alpha >1$ tel que $n^{\alpha }{u}_n$ tende vers une limite finie $\mathrm{\ell }$, alors $\sum u_n$ converge.

b. Si $n{u}_n$ tend vers une limite $\mathrm{\ell }>0$, alors $\sum u_n$ diverge.

2. Déterminer la nature des séries de terme général suivant, en choisissant à chaque fois un $\alpha$ adapté.

3. L'un des six cas résiste. Expliquer précisément pourquoi le critère n'y dit rien, ni dans un sens ni dans l'autre.

Pour une série à termes positifs, la question de la convergence se réduit à une question de majoration : il n'y a plus qu'un majorant à trouver, et il ne dépend pas de $n$. Encore faut-il savoir en fabriquer un, et savoir reconnaître les cas où il n'en existe aucun.

1. Soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ une suite de réels positifs et $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$. Démontrer que $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite $(S_n)$ est majorée, et que dans le cas contraire $S_n\to +\mathrm{\infty }$.

2. Démontrer que pour tout $n⩾1$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}⩽2-\frac{1}{n}}$, et conclure.

3. Démontrer que pour tout $n⩾0$, ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}⩽3}$, et conclure.

4. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+k}}$ est majorée, et calculer la somme de la série correspondante.

5. Un cas où toute majoration est vouée à l'échec. Pour $p\in \mathbb{N}$, en regroupant les termes par paquets, démontrer que $H_{2^p}⩾1+{\displaystyle \frac{p}{2}}$, où $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$. Que peut-on en conclure ?

Équivalents et comparaisons par inégalités réclament tous une hypothèse de signe. Que faire quand le terme général change de signe, ou pire, quand il est complexe ? On passe au module, on majore, et l'on invoque la convergence absolue. C'est la seule porte d'entrée du chapitre pour les séries de signe quelconque.

1. Soient $(u_n)$ une suite complexe et $(v_n)$ une suite de réels positifs telles que $u_n=O(v_n)$. Démontrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge absolument, donc converge.

2. Déterminer la nature des séries de terme général suivant.

3. Démontrer que si $\sum u_n$ converge absolument et si $(v_n)$ est bornée, alors $\sum u_n{v}_n$ converge absolument.

4. Majorer le module de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{i^n}{n^2}}$.

Quand le terme général est une fraction rationnelle en $n$ dont le dénominateur est factorisé, la somme se calcule exactement : on décompose en éléments simples, la somme partielle se télescope, et il ne reste que quelques termes de bord. Encore faut-il les repérer sans se tromper.

Dans tout l'exercice, on demande de justifier la convergence et de calculer la somme.

1. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}}$.

2. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+2)}}$.

3. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-1}}$.

5. Calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}}$.

6. Dégager de ces cinq calculs une méthode générale, et dire où se situe le risque d'erreur.

Savoir qu'une série converge ne donne pas sa somme. En pratique, on calcule une somme partielle et l'on remplace la somme par elle : l'erreur commise est exactement le reste. Majorer le reste, c'est donc répondre à la seule question qui intéresse le calculateur, combien de termes faut-il additionner ?

On note $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ la somme partielle et, lorsque la série converge, $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ son reste, de sorte que $S=S_n+R_n$.

1. Soit $q$ un réel tel que $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$. Démontrer que le reste de la série ${\displaystyle \sum _{k⩾0}{q}^k}$ vaut $R_n={\displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q}}$.

2. Combien faut-il de termes de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{1}{2^n}}$ pour obtenir sa somme à ${10}^{-3}$ près ? À ${10}^{-6}$ près ?

3. Mêmes questions pour ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{1}{3^n}}$. Commenter l'effet de la raison sur la rapidité de la convergence.

4. Majorer le reste de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{1}{n!}}$ par le reste d'une série géométrique et en déduire que $R_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n!n}}$ pour $n⩾1$. Combien de termes faut-il pour obtenir $e$ à ${10}^{-4}$ près ? Donner la valeur approchée correspondante.

5. Comparer, pour une même précision, le nombre de termes nécessaires pour ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{1}{2^n}}$ et pour ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}}$. Qu'en conclure ?

Une somme de $n$ termes ne se calcule presque jamais. En revanche, dès que le terme général s'écrit $f(k)$ avec $f$ monotone, on sait l'encadrer par des intégrales sur des segments de longueur $1$ : c'est la méthode des rectangles, l'outil de base de tout le chapitre.

1. Soit $k$ un entier et $f$ une fonction continue et décroissante sur un intervalle contenant $[k,k+1]$. Démontrer que

$$f(k+1)⩽{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽f(k)$$

puis interpréter cet encadrement en termes d'aires.

2. Énoncer et démontrer l'encadrement analogue lorsque $f$ est croissante.

3. Démontrer que pour tout $n⩾1$, $2\sqrt{n+1}-2⩽{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}⩽2\sqrt{n}-1}$, puis en déduire un équivalent de cette somme.

4. Démontrer que pour tout $n⩾1$, $n\ln n-n+1⩽\ln (n!)⩽(n+1)\ln (n+1)-n$, puis en déduire que $\ln (n!)\sim n\ln n$.

5. Encadrer de même ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3}$ par deux intégrales. Comparer à la valeur exacte ${\left({\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\right)}^2$ et commenter la précision de la méthode.

La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ est l'exemple à connaître par cœur : son terme général tend vers $0$, et pourtant elle diverge. On en donne ici deux démonstrations indépendantes, puis on mesure à quel point cette divergence est lente. Pour $n⩾1$, on pose

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

1. À l'aide du lemme des rectangles (exercice 19) appliqué à $f(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}$, démontrer que pour tout $n⩾1$

$$\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$$

En déduire la limite de $(H_n)$, puis que $H_n\sim \ln n$.

2. Deuxième démonstration, due à Oresme et sans aucune intégrale. En regroupant les termes dont l'indice appartient à $]2^j,2^{j+1}]$, démontrer que $H_{2^p}⩾1+{\displaystyle \frac{p}{2}}$ pour tout entier $p⩾0$, et conclure.

3. Un élève écrit : « $\frac{1}{n}\to 0$, donc la série $\sum \frac{1}{n}$ converge. » Où est la faute ? Énoncer correctement le théorème du cours qu'il croit utiliser.

4. À partir de quel rang $H_n$ dépasse-t-il $10$ ? Et $20$ ? Encadrer ces rangs grâce à la question 1, puis commenter.

Presque toutes les erreurs commises sur les séries consistent à appliquer un théorème hors de ses hypothèses, en général en oubliant que les termes doivent être positifs. Cet exercice recense les pièges classiques.

Dans tout ce qui suit, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont des suites réelles. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : la démontrer si elle est vraie, l'infirmer par un contre-exemple explicite sinon.

a. Si $u_n\to 0$, alors $\sum u_n$ converge.

b. Si $\sum u_n$ converge, alors $\sum u_n^2$ converge.

c. Si $u_n\sim v_n$, alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

d. Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ divergent, alors $\sum (u_n+v_n)$ diverge.

e. Si $\sum u_n$ converge et si $(v_n)$ est bornée, alors $\sum u_n{v}_n$ converge.

f. Si $u_n⩾0$ et si $\sum u_n$ converge, alors $n{u}_n\to 0$.

g. Si $(u_n)$ est positive, décroissante, et si $\sum u_n$ converge, alors $n{u}_n\to 0$.

h. Si $\sum u_n$ converge, alors son reste $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ tend vers $0$.

On pourra utiliser librement le résultat de l'exercice 28 : la série $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}$ converge pour tout $\alpha >0$.

Un développement décimal illimité n'est rien d'autre qu'une série : écrire $x=\mathrm{0,}{a}_1{a}_2{a}_3\dots$, c'est écrire $x={\sum }_{k⩾1}\frac{a_k}{{10}^k}$. Tout ce que l'on sait des séries géométriques s'applique donc à l'écriture décimale des nombres, y compris à l'égalité déroutante $\mathrm{0,999}\dots =1$.

Dans tout l'exercice, $(a_k{)}_{k⩾1}$ désigne une suite de chiffres, c'est-à-dire d'entiers de $\{0,1,\dots ,9\}$.

1. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{9}{{10}^n}}$ converge et vaut exactement $1$. Que signifie donc l'écriture $\mathrm{0,999}\dots$ ?

2. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k⩾1}\frac{a_k}{{10}^k}}$ converge et que sa somme appartient à $[0,1]$.

3. On suppose le développement périodique de période $p⩾1$, c'est-à-dire $a_{k+p}=a_k$ pour tout $k⩾1$. Démontrer que la somme est un rationnel, que l'on exprimera à l'aide de l'entier $A$ dont l'écriture décimale est $a_1{a}_2\dots a_p$. Appliquer à $\mathrm{0,}\overline{142857}$.

4. Poser la division de $1$ par $7$ et retrouver la périodicité précédente. Expliquer pourquoi le développement décimal d'un quotient de deux entiers est toujours périodique à partir d'un certain rang.

5. Calculer ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{a}{{10}^n}}$ pour un chiffre $a$ fixé, puis donner l'écriture fractionnaire de $\mathrm{0,}\bar{3}$ et de $\mathrm{0,}\overline{12}$.

Les séries de Riemann sont le mètre étalon du chapitre : c'est à elles que l'on compare tout le reste. Encore faut-il savoir démontrer le critère, et la seule preuve disponible en PCSI est la méthode des rectangles. On la mène ici jusqu'au bout, en discutant tous les cas.

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $n⩾1$, on pose $S_n(\alpha )={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha }}}$.

1. On suppose $\alpha >1$. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=2}^n\frac{1}{k^{\alpha }}⩽{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}$, en déduire que $S_n(\alpha )⩽{\displaystyle \frac{\alpha }{\alpha -1}}$ pour tout $n$, puis conclure quant à la nature de la série.

2. Traiter le cas $\alpha =1$.

3. Traiter le cas $0<\alpha <1$.

4. Traiter le cas $\alpha ⩽0$.

5. Énoncer le critère complet, puis déterminer la nature des séries suivantes :

L'équivalent $H_n\sim \ln n$ ne dit rien de l'écart $H_n-\ln n$ : deux suites équivalentes peuvent parfaitement s'éloigner l'une de l'autre. Ici, cet écart converge, et sa limite est un nombre qui traverse toute l'analyse : la constante d'Euler.

Pour $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$, puis

$$u_n=H_n-\ln n\text{et}{v}_n=H_n-\ln (n+1)$$

1. Démontrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. En déduire qu'elle converge ; sa limite est notée $\gamma$.

2. Démontrer que $(v_n)$ est croissante, puis que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. En déduire l'encadrement $v_n⩽\gamma ⩽u_n$, et en donner la traduction numérique pour $n=10$, puis pour $n=100$.

3. En déduire le développement asymptotique $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$.

4. Application : déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(H_{2n}-H_n)}$.

5. Application : exprimer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2k-1}}$ à l'aide de $H_n$ et $H_{2n}$, puis en donner un équivalent.

Entre $\sum \frac{1}{n}$ qui diverge et $\sum \frac{1}{n^{\mathrm{1,0001}}}$ qui converge, il y a la place pour toute une famille de séries : celles de Bertrand, $\sum \frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}$. Elles ne sont au programme d'aucun cours, mais elles tombent à l'oral, et elles se traitent entièrement à la méthode des rectangles.

1. Déterminer la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{n\ln n}}$.

2. Soit $\beta \in \mathbb{R}$. Déterminer, selon $\beta$, la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{n(\ln n{)}^{\beta }}}$.

3. Soient $\alpha \mathrm{\ne }1$ et $\beta \in \mathbb{R}$. Déterminer la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}}$. On pourra comparer le terme général à $\frac{1}{n^{\theta }}$ pour un réel $\theta$ bien choisi entre $\alpha$ et $1$.

4. Récapituler les résultats dans un tableau.

5. Applications. Déterminer la nature des séries suivantes :

Quand le terme général contient des factorielles ou des puissances $n$-ièmes, les équivalents usuels ne servent à rien : c'est le quotient de deux termes consécutifs qui parle. L'idée est de comparer la série à une série géométrique. Ce critère ne figure pas au programme de PCSI : on ne l'invoque donc jamais tel quel, on le redémontre, et c'est l'objet des deux premières questions.

Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs telle que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }$, avec $\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }[$.

1. a. On suppose $\mathrm{\ell }<1$. En posant $q={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }+1}{2}}$, démontrer qu'il existe un rang $N$ tel que $u_n⩽u_N{q}^{n-N}$ pour tout $n⩾N$, puis que $\sum u_n$ converge.

b. On suppose $\mathrm{\ell }>1$. Démontrer que $\sum u_n$ diverge grossièrement.

2. Démontrer, à l'aide de deux exemples, que le cas $\mathrm{\ell }=1$ ne permet aucune conclusion.

3. Déterminer la nature des séries suivantes, toutes indexées par $n⩾1$ :

Une fois la nature d'une série connue, il reste à la quantifier. Si elle converge, l'objet intéressant est le reste $R_n$, qui mesure l'erreur commise en s'arrêtant au rang $n$. Si elle diverge, c'est la somme partielle $S_n$ et sa vitesse d'explosion. Dans les deux cas, ce sont les rectangles qui répondent, et toutes les intégrales écrites ci-dessous sont prises sur des segments.

Pour $\alpha >0$ et $n⩾1$, on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha }}}$ la somme partielle. Si $\alpha >1$, la série converge (exercice 23) et l'on note $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}}$ son reste.

1. Soit $\alpha >1$ et soient deux entiers $N>n⩾1$. Encadrer la somme finie ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^N\frac{1}{k^{\alpha }}}$ par deux intégrales, puis, en faisant tendre $N$ vers $+\mathrm{\infty }$ dans l'encadrement obtenu, démontrer que

$$\frac{1}{(\alpha -1)(n+1{)}^{\alpha -1}}⩽R_n⩽\frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}$$

En déduire un équivalent de $R_n$.

2. Écrire l'encadrement obtenu dans le cas $\alpha =2$ et le vérifier numériquement pour $n=10$.

3. Soit $0<\alpha <1$. Démontrer que $S_n\sim {\displaystyle \frac{n^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$.

4. Déterminer un équivalent de $T_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2+k}}$ par un calcul exact, puis comparer au résultat de la question 2.

5. Énoncer en une phrase la règle de choix entre reste et somme partielle.

Les théorèmes de comparaison sont réservés aux séries à termes positifs. Quand le signe du terme général change, il faut revenir à la définition et travailler directement sur la suite des sommes partielles. La méthode de référence consiste à isoler les sommes partielles de rang pair et de rang impair, et à montrer qu'elles sont adjacentes.

Pour $n⩾1$, on pose

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\text{et}{H}_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

1. a. Montrer que $(S_{2n}{)}_{n⩾1}$ est croissante, que $(S_{2n+1}{)}_{n⩾0}$ est décroissante, et que $S_{2n+1}-S_{2n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$.

b. En déduire que ces deux suites convergent vers une même limite $S$, puis démontrer soigneusement que $(S_n)$ converge vers $S$.

2. Démontrer, sans utiliser d'intégrale, que $H_n\to +\mathrm{\infty }$. La série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}$ est-elle absolument convergente ? Qu'en conclure sur l'usage des théorèmes de comparaison pour cette série ?

3. Établir $S_{2n}=H_{2n}-H_n$. En admettant le résultat de l'exercice 24, à savoir $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$, calculer $S$.

4. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Déterminer, par la même méthode, la nature de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}}$, et préciser pour quels $\alpha$ la convergence est absolue.

Quand le terme général est défini par une récurrence, aucune formule explicite n'est disponible : la nature de la série se lit sur la vitesse avec laquelle la suite tend vers $0$. Deux récurrences très voisines donnent ici deux comportements opposés.

Partie A. Soit $u_0\in ]0,\frac{\pi }{2}]$ et, pour $n⩾0$, $u_{n+1}=1-\cos u_n$.

1. Montrer que pour tout $n$, $u_n\in ]0,\frac{\pi }{2}]$ et $u_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{u_n^2}{2}}$. En déduire que $(u_n)$ décroît et converge vers $0$.

2. Établir $u_{n+1}\sim {\displaystyle \frac{u_n^2}{2}}$.

3. Montrer qu'à partir d'un certain rang $u_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{u_n}{2}}$, puis déterminer la nature de $\sum u_n$.

Partie B. Soit $v_0\in ]0,\pi [$ et, pour $n⩾0$, $v_{n+1}=\sin v_n$.

4. Montrer que pour $n⩾1$, $v_n\in ]0,1]$, que $(v_n{)}_{n⩾1}$ décroît et converge vers $0$.

5. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{v_{n+1}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{v_n^2}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

6. En déduire, par sommation d'un encadrement, que ${\displaystyle \frac{1}{n{v}_n^2}}\to {\displaystyle \frac{1}{3}}$, puis que $v_n\sim \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{n}}}$.

7. Conclure sur la nature de $\sum v_n$ et de $\sum v_n^3$.

Regrouper les termes d'une série par paquets de longueurs $1,2,4,8,\dots$ est l'idée d'Oresme (vers 1350) pour la série harmonique. On la formalise ici, avant de voir sur un exemple qu'un regroupement de termes n'est pas une opération anodine.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite positive et décroissante. Pour $p⩾0$, on pose

$$P_p=\sum _{k=2^p}^{2^{p+1}-1}{u}_k\text{(le paquet }\{u_{2^p},\dots ,u_{2^{p+1}-1}\}\text{)}$$

1. Combien de termes comporte $P_p$ ? En déduire l'encadrement $2^p{u}_{2^{p+1}-1}⩽P_p⩽2^p{u}_{2^p}$.

2. Vérifier que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2^{P+1}-1}{u}_k=\sum _{p=0}^P{P}_p}$, puis démontrer que $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite ${\left({\sum }_{p=0}^P{P}_p\right)}_{P⩾0}$ est majorée.

3. Application. Retrouver par cette méthode la divergence de ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n}$, puis la convergence de ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^2}$ avec une majoration explicite de sa somme.

4. On considère maintenant ${\sum }_{n⩾0}(-1{)}^n$. Quelle est sa nature ? Que vaut le regroupement de ses termes deux par deux : $(1-1)+(1-1)+\cdots$ ? Quelle morale en tirer ?

Une série ne se calcule explicitement que dans deux situations : quand elle est géométrique, ou quand son terme général s'écrit $a_{n+1}-a_n$. Reconnaître un tel télescopage derrière une arctangente est un classique d'oral.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $ab>-1$. Démontrer que

$$\mathrm{Arctan}a-\mathrm{Arctan}b=\mathrm{Arctan}\frac{a-b}{1+ab}$$

Indication : poser $\alpha =\mathrm{Arctan}a$ et $\beta =\mathrm{Arctan}b$, puis calculer $\cos (\alpha -\beta )$.

2. Montrer que l'hypothèse $ab>-1$ ne peut pas être supprimée, en comparant les deux membres pour $a=2$ et $b=-1$.

3. En déduire que pour tout entier $n⩾0$,

$$\mathrm{Arctan}\frac{1}{n^2+n+1}=\mathrm{Arctan}(n+1)-\mathrm{Arctan}(n)$$

puis calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{Arctan}\frac{1}{n^2+n+1}}$.

4. Sur le même principe, calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{Arctan}\frac{2}{n^2}}$.

La série exponentielle donne $e={\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$. Elle converge si vite que le reste, multiplié par $n!$, reste strictement compris entre $0$ et $1$ : c'est exactement ce qu'il faut pour démontrer, en une page, que $e$ est irrationnel (Fourier, 1815).

Pour $n⩾1$, on pose

$$S_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\text{et}{R}_n=e-S_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$$

1. Démontrer que pour tout $n⩾1$,

$$\frac{1}{(n+1)!}<R_n<\frac{1}{n!n}$$

Indication : pour $k⩾n+1$, majorer ${\displaystyle \frac{1}{k!}}$ par ${\displaystyle \frac{1}{(n+1)!(n+1{)}^{k-n-1}}}$, sommer de $n+1$ à $N$ à l'aide d'une somme géométrique, puis faire tendre $N$ vers $+\mathrm{\infty }$.

2. En déduire que $0<n!R_n<{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$.

3. Supposons $e={\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls.

a. Justifier que $q⩾2$.

b. Montrer que $q!S_q$ et $q!e$ sont des entiers.

c. Conclure.

4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_n$ approche $e$ à ${10}^{-9}$ près.

Pour une suite positive décroissante, la nature de $\sum u_n$ ne dépend que des termes d'indices $1,2,4,8,\dots$ : c'est le théorème de condensation de Cauchy. Il remplace avantageusement la comparaison somme-intégrale quand la fonction est pénible à primitiver, et il redonne tous les critères usuels sans écrire une seule intégrale.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite positive et décroissante.

1. Démontrer que pour tout entier $p⩾0$ :

a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2^{p+1}-1}{u}_k⩽\sum _{j=0}^p{2}^j{u}_{2^j}}$ ;

b. ${\displaystyle \sum _{j=0}^p{2}^j{u}_{2^j}⩽u_1+2\sum _{k=1}^{2^p}{u}_k}$.

2. En déduire que les séries ${\sum }_{n⩾1}{u}_n$ et ${\sum }_{n⩾0}{2}^n{u}_{2^n}$ sont de même nature.

3. Application 1. Retrouver, pour $\alpha \in \mathbb{R}$, la nature de ${\sum }_{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}$.

4. Application 2. Déterminer, pour $\beta \in \mathbb{R}$ et sans utiliser d'intégrale, la nature de ${\sum }_{n⩾2}{\displaystyle \frac{1}{n(\ln n{)}^{\beta }}}$.

5. Application 3. Même question pour ${\sum }_{n⩾3}{\displaystyle \frac{1}{n\ln n(\ln \ln n{)}^{\beta }}}$.

Sujet d'oral typique : une récurrence en apparence anodine, dont on demande l'équivalent, puis la nature de trois séries associées. Tout repose sur une idée : chercher une puissance de $u_n$ dont les accroissements ont une limite finie non nulle.

Soit $u_0>0$ et, pour $n⩾0$, $u_{n+1}=\ln (1+u_n)$.

1. Montrer que la suite est bien définie, strictement positive, décroissante, et qu'elle converge vers $0$.

2. Écrire le développement limité de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ à l'ordre $3$.

3. En déduire que ${\displaystyle \frac{1}{u_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{u_n}}\to {\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis, en sommant un encadrement, que $u_n\sim {\displaystyle \frac{2}{n}}$.

4. Déterminer la nature de $\sum u_n$ et de $\sum u_n^2$.

5. Déterminer la nature de $\sum (-1{)}^n{u}_n$. Cette série est-elle absolument convergente ?

Savoir qu'une série converge ne dit rien sur le coût du calcul de sa somme. On le mesure ici sur $\zeta (2)={\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^2}$, dont on admet la valeur $\frac{{\pi }^2}{6}$ : sommer un million de termes ou quatre-vingts, la différence tient à une identité algébrique de deux lignes.

Pour $n⩾1$, on note $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}}$.

1. Par la méthode des rectangles, démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}⩽R_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

2. Combien de termes faut-il sommer pour obtenir $\zeta (2)$ à ${10}^{-6}$ près ?

3. a. Vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2(n+1)}}$, puis en déduire ${\displaystyle \zeta (2)=1+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2(n+1)}}$.

b. Majorer le reste de cette nouvelle série par ${\displaystyle \frac{1}{2n^2}}$. Combien de termes suffisent maintenant pour la précision ${10}^{-6}$ ?

4. Recommencer une fois : vérifier ${\displaystyle \frac{1}{n^2(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}+{\displaystyle \frac{2}{n^2(n+1)(n+2)}}$, en déduire une troisième écriture de $\zeta (2)$, puis le nombre de termes nécessaires. Commenter le gain.

Ce problème rassemble tout le chapitre autour d'un même objet : la fonction $\zeta$, définie pour $s>1$ par

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$$

1. Justifier que $\zeta (s)$ existe pour $s>1$, et que la série diverge pour $s⩽1$.

2. Démontrer que $\zeta$ est strictement décroissante sur $]1,+\mathrm{\infty }[$.

3. Par la méthode des rectangles, établir que pour tout $s>1$,

$$\frac{1}{s-1}⩽\zeta (s)⩽1+\frac{1}{s-1}$$

En déduire la limite de $\zeta (s)$ quand $s\to +\mathrm{\infty }$, puis un équivalent de $\zeta (s)$ quand $s\to 1^{+}$.

4. Démontrer que ${\sum }_{n⩾2}(\zeta (n)-1)$ converge, et calculer sa somme.

5. Soit $s>1$. Montrer que ${\sum }_{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^s}}$ converge absolument, puis exprimer sa somme à l'aide de $\zeta (s)$.