Devoir surveillé — Séries numériques

Dans tout l'exercice, $(u_n)$ et $(v_n)$ désignent des suites réelles, et l'on note $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_n$.

1. (0,5 pt) Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs. Démontrer que la série $\sum u_n$ converge si et seulement si la suite $\left(S_n\right)$ de ses sommes partielles est majorée.

2. (0,75 pt) Énoncer le théorème de comparaison des séries à termes positifs, puis le démontrer. Préciser ce qu'il fournit par contraposée.

3. (0,25 pt) Soit $\sum u_n$ une série convergente, de somme $S$, et soit $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k}$ son reste d'ordre $n$. Démontrer que $S_n+R_n=S$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis que $R_n\to 0$.

4. (1,5 pt) Déterminer la nature des séries suivantes, en justifiant chaque réponse en une ligne. Lorsque la série converge et que sa somme est une valeur du cours, préciser cette somme.

Les questions 1. et 2. se suivent ; les questions 3. et 4. sont indépendantes du reste.

1. (0,5 pt) Décomposer en éléments simples ${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$, puis démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+1)}}$ converge et calculer sa somme.

2. (1 pt) Décomposer en éléments simples ${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$, puis démontrer l'identité

$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})\mathrm{.}$$

En déduire la nature et la somme de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$.

3. Soit $x\in ]-1,1[$. Pour $N⩾1$, on pose $T_N={\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n{x}^n}$.

a. (1 pt) Démontrer que $(1-x)T_N={\displaystyle \sum _{n=1}^N{x}^n-N{x}^{N+1}}$, puis que la série $\sum n{x}^n$ converge et que sa somme vaut ${\displaystyle \frac{x}{(1-x{)}^2}}$.

b. (0,5 pt) En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n}{3^n}}$.

4. (1 pt) Démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{n^2+1}{n!}}$ converge et calculer sa somme. On pourra écrire $n^2+1=n(n-1)+n+1$.

Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque série, la nature doit être justifiée par une comparaison explicite avec une série de référence, en vérifiant les hypothèses de signe du théorème utilisé.

1. (3 pt) Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ dans chacun des cas suivants.

2. (1 pt) Mêmes questions pour les deux séries suivantes, dont le terme général n'est pas de signe constant.

Les questions se suivent. Toutes les intégrales de l'énoncé portent sur des segments.

1. (0,75 pt) Lemme des rectangles. Soit $f$ une fonction continue et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Démontrer que, pour tout entier $k⩾1$,

$$f(k+1)⩽{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽f(k)\mathrm{.}$$

Partie A — une série divergente. Pour $n⩾1$, on pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}$.

2. (1,25 pt) Démontrer que, pour tout $n⩾1$,

$$2\sqrt{n+1}-2⩽S_n⩽2\sqrt{n}-1.$$

3. (0,75 pt) En déduire un équivalent simple de $S_n$, puis la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{\sqrt{n}}}$.

Partie B — une série convergente et son reste. On s'intéresse maintenant à ${\displaystyle \sum _{k⩾1}\frac{1}{k^{3\mathrm{/}2}}}$.

4. (0,75 pt) En majorant ses sommes partielles, démontrer que cette série converge et que sa somme est inférieure ou égale à $3$.

5. (1 pt) On note $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{3\mathrm{/}2}}}$ son reste d'ordre $n$. Démontrer que, pour tout $n⩾1$,

$$\frac{2}{\sqrt{n+1}}⩽R_n⩽\frac{2}{\sqrt{n}},$$

puis en déduire un équivalent simple de $R_n$.

6. (0,5 pt) On souhaite calculer la somme de la série de la partie B à ${10}^{-2}$ près en la remplaçant par une somme partielle. Démontrer que $n=40000$ termes suffisent, et qu'aucun entier $n⩽39998$ ne convient.

Les questions se suivent. Soit $u_0>0$. On définit la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ par

$$u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie et que $u_n>0$ pour tout $n$. Démontrer ensuite qu'elle est strictement décroissante, puis qu'elle converge vers $0$.

2. (1 pt) On pose $v_n={\displaystyle \frac{1}{u_n}}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Démontrer que $v_{n+1}-v_n=1$, puis, par télescopage, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et de $u_0$. En déduire que

$$u_n=\frac{u_0}{1+n{u}_0}\text{puis que}{u}_n\sim \frac{1}{n}\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) Déterminer la nature de la série $\sum u_n$. La condition nécessaire de convergence d'une série permettait-elle de conclure ?

4. (0,75 pt) Déterminer la nature de la série $\sum u_n^2$.

5. (0,75 pt) Démontrer que $u_n{u}_{n+1}=u_n-u_{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En déduire la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{u}_n{u}_{n+1}}$ et la valeur de sa somme.