PCSI · Chapitre 17 · Second semestre

Fonctions de deux variables

Ouverts de R², continuité, dérivées partielles, fonctions de classe C¹, gradient, règle de la chaîne, points critiques, extremums.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Le cours

Toute l'analyse de l'année a porté sur des fonctions d'une seule variable réelle : on dérive $x \mapsto x e^{- x}$ , on dresse un tableau de variations, on lit un maximum. Or presque aucune grandeur de la physique ou de la chimie ne dépend d'un seul paramètre. La pression d'un gaz dépend du volume et de la température, la température d'une plaque métallique dépend du point où on la mesure, l'énergie d'un système masse-ressort dépend de la position et de la vitesse, le coût d'une pièce dépend des quantités de deux matériaux. Toutes ces situations relèvent d'un même objet mathématique : une fonction qui, à un couple de réels, associe un réel. Ce chapitre construit les outils permettant de la dériver, de l'approcher au voisinage d'un point, et d'en chercher les extremums.

Ce qui est nouveau tient en une phrase : il y a désormais une infinité de directions. Sur la droite réelle, on ne s'approche d'un point que par la gauche ou par la droite, et le taux d'accroissement n'a qu'une limite à examiner. Dans le plan, on peut s'approcher d'un point en suivant n'importe quelle direction du cercle unité, voire en suivant une courbe. Trois conséquences immédiates. D'abord, la dérivée n'est plus un nombre mais un vecteur, le gradient, qui contient d'un seul coup la pente dans toutes les directions. Ensuite, la tangente devient un plan tangent, et l'approximation affine de première année devient une approximation par une expression du type $(x, y) \mapsto α x + β y + γ$ . Enfin, et c'est le plus déroutant, il n'y a aucun ordre sur le plan : les mots « croissante » et « décroissante » perdent leur sens, le tableau de variations disparaît, et avec lui la méthode de première année pour trouver les extremums.

Quatre idées structurent le chapitre entier, et il vaut la peine de les avoir en tête dès maintenant. Première idée : figer une variable. Si l'on bloque $y$ à la valeur $a_{2}$ et qu'on ne laisse bouger que $x$ , on retrouve une fonction d'une seule variable, et tout l'arsenal de l'année redevient disponible : c'est exactement la définition des dérivées partielles. Ce va-et-vient entre deux variables et une seule est le mouvement fondamental du chapitre, on le retrouve dans presque chaque démonstration. Deuxième idée : au premier ordre, une surface est un plan. Le développement limité à l'ordre $1$ dit que, tout près d'un point, la fonction se confond avec une expression affine dont les coefficients sont les deux dérivées partielles : toute l'information locale tient dans le gradient. Troisième idée : la règle de la chaîne. Savoir dériver $t \mapsto f (x (t), y (t))$ est la formule qui fait tourner tout le reste, la dérivée suivant un vecteur, l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau, les changements de variables, la résolution des équations aux dérivées partielles. Quatrième idée : la condition nécessaire du premier ordre. En un extremum local situé dans un ouvert, le gradient est nul ; cette condition sélectionne une poignée de candidats, et le tri se fait ensuite entièrement à la main.

Un mot sur l'esprit du chapitre, qui est délibérément pratique. On n'y fait pas de topologie : le seul mot emprunté à ce vocabulaire est celui de partie ouverte, introduit pour une raison très concrète, garantir qu'il reste un peu de place autour de chaque point pour y faire bouger les variables. On n'y étudie pas non plus la continuité : le programme précise explicitement que son étude n'est pas un objectif, et toutes les fonctions rencontrées sont continues parce qu'elles sont fabriquées à partir des fonctions usuelles par sommes, produits, quotients et composées. Enfin, aucun outil d'ordre supérieur n'est disponible pour classer un point où le gradient s'annule : la nature d'un tel point se détermine toujours à la main, par mise sous forme canonique, par majoration ou minoration directe, par restriction à des droites, ou par un changement de variables. C'est plus artisanal, mais c'est beaucoup plus formateur.

Le plan suit l'ordre logique. La section 1 installe le cadre géométrique : norme, boules, parties ouvertes. La section 2 définit les fonctions de deux variables et leurs deux modes de lecture, la surface et les lignes de niveau. La section 3 construit les dérivées partielles, la section 4 la classe $C^{1}$ . La section 5 énonce le développement limité à l'ordre $1$ , introduit le gradient et le plan tangent. La section 6 traite la dérivée suivant un vecteur, la section 7 la règle de la chaîne et ses applications, la section 8 les extremums. Une neuvième section, clairement identifiée comme hors programme, ouvre sur les dérivées partielles d'ordre $2$ que l'on rencontrera en seconde année.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes. La lettre $U$ désigne toujours une partie ouverte de $R^{2}$ et $f$ une fonction de $U$ dans $R$ . Un point générique du plan s'écrit $(x, y)$ ou $m$ , un point fixé $a = (a_{1}, a_{2})$ , parfois $(x_{0}, y_{0})$ lorsque les indices $1$ et $2$ sont déjà pris. Un accroissement se note $h = (h_{1}, h_{2})$ , et l'on écrit indifféremment $f (a + h)$ ou $f (a_{1} + h_{1}, a_{2} + h_{2})$ . La norme euclidienne est $∥(x, y)∥ = x^{2} + y^{2}$ , la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est notée $B (a, r)$ , et $⟨ u, v ⟩$ désigne le produit scalaire canonique de $R^{2}$ , étudié au chapitre sur les espaces préhilbertiens réels. Les dérivées partielles se notent $\frac{\partial f}{\partial x} (a)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (a)$ , et le gradient est le vecteur $\nabla f (a) = (\frac{\partial f}{\partial x} (a), \frac{\partial f}{\partial y} (a))$ . Enfin, « de classe $C^{1}$ » est la seule expression employée pour dire qu'une fonction de deux variables est régulière : elle sera définie en section 4, et toutes les hypothèses des théorèmes s'y ramèneront. Le carré $□$ marque la fin d'une démonstration.

Le plan $R^{2}$ : norme euclidienne, boules ouvertes, parties ouvertes

Norme euclidienne et distance

Avant de dériver quoi que ce soit, il faut pouvoir dire que deux points du plan sont proches. En une variable, cette mesure était fournie par la valeur absolue de la différence. Dans le plan, elle est fournie par la norme euclidienne, celle du théorème de Pythagore, qui n'est rien d'autre que la longueur usuelle d'un segment.

Définition

Pour $m = (x, y) \in R^{2}$ , on appelle norme euclidienne de $m$ le réel positif

∥ m ∥ = x^{2} + y^{2} .

Pour deux points $m$ et $m^{'}$ du plan, la distance de $m$ à $m^{'}$ est le réel $d (m, m^{'}) = ∥ m - m^{'} ∥$ .

Cette norme est celle associée au produit scalaire canonique $⟨ (u_{1}, u_{2}), (v_{1}, v_{2}) ⟩ = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$ : on a $∥ u ∥ = ⟨ u, u ⟩$ . Toutes les propriétés ci-dessous ont donc déjà été établies dans le cadre général des espaces préhilbertiens réels, sauf la quatrième.

Propriété

Soient $u = (u_{1}, u_{2})$ et $v = (v_{1}, v_{2})$ deux vecteurs de $R^{2}$ et $λ \in R$ .

$∥ u ∥ ⩾ 0$ , et $∥ u ∥ = 0$ si et seulement si $u = (0, 0)$ .
$∥ λ u ∥ = ∣ λ ∣ ∥ u ∥$ .
Inégalité triangulaire : $∥ u + v ∥ ⩽ ∥ u ∥ + ∥ v ∥$ .
Contrôle des coordonnées : $∣ u_{1} ∣ ⩽ ∥ u ∥$ et $∣ u_{2} ∣ ⩽ ∥ u ∥$ .
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $∣ ⟨ u, v ⟩ ∣ ⩽ ∥ u ∥ ∥ v ∥$ .

Démonstration. Les points 1, 2, 3 et 5 sont ceux de la norme associée à un produit scalaire, démontrés au chapitre sur les espaces préhilbertiens réels. Rappelons seulement l'inégalité triangulaire : en développant,

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2} ⩽ ∥ u ∥^{2} + 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ + ∥ v ∥^{2} = (∥ u ∥ + ∥ v ∥)^{2},

où l'on a majoré $⟨ u, v ⟩$ par Cauchy-Schwarz ; on conclut en prenant la racine carrée de deux réels positifs.

Pour le point 4, on écrit $u_{1}^{2} ⩽ u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$ , et la croissance de la racine carrée sur $R^{+}$ donne $∣ u_{1} ∣ = u_{1}^{2} ⩽ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = ∥ u ∥$ . Le raisonnement est identique pour $u_{2}$ . $□$

Remarque

Le point 4 est le cheval de bataille de toute la section. Il dit qu'un point proche de $a$ au sens de la norme a chacune de ses coordonnées proche de la coordonnée correspondante de $a$ :

∥ m - a ∥ < r ⟹ ∣ x - a_{1} ∣ < r et ∣ y - a_{2} ∣ < r .

C'est ce qui permet, dans chaque démonstration, de passer d'une hypothèse portant sur la distance à une conclusion portant sur chaque coordonnée séparément.

Boules ouvertes

Définition

Soient $a \in R^{2}$ et $r > 0$ . On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble

B (a, r) = {m \in R^{2}; ∥ m - a ∥ < r} .

Remarque

Dans le plan, une boule ouverte est simplement le disque de centre $a$ et de rayon $r$ , privé du cercle qui le borde : l'inégalité $∥ m - a ∥ < r$ est stricte. Le mot « boule » est celui que l'on emploie en toute dimension, il n'y a pas lieu de s'en étonner.

Plus le rayon est petit, plus la boule est un « petit voisinage » du point $a$ . Dans tout ce chapitre, écrire « il existe $r > 0$ tel que … pour tout $m \in B (a, r)$ » signifie exactement « … dès que l'on reste assez près de $a$ ».

Parties ouvertes

Définition

Une partie $U$ de $R^{2}$ est dite ouverte, ou est appelée un ouvert de $R^{2}$ , lorsque

\forall a \in U, \exists r > 0, B (a, r) \subset U .

Remarque

Comment lire cette définition. Elle dit qu'aucun point de $U$ n'est « au bord » de $U$ : quel que soit le point $a$ choisi dans $U$ , on peut faire un petit pas dans n'importe quelle direction sans sortir de $U$ , à condition que le pas soit assez court. Deux précisions capitales.

Le rayon $r$ dépend du point $a$ : on ne demande pas un rayon qui conviendrait à tous les points à la fois. Plus $a$ est proche du bord, plus $r$ doit être petit, et c'est parfaitement autorisé.
L'ensemble vide est ouvert : la propriété à vérifier commence par « pour tout $a \in \emptyset$ », elle est donc vraie sans rien avoir à faire.

Propriété

Toute boule ouverte $B (a, r)$ est un ouvert de $R^{2}$ .
$R^{2}$ et $\emptyset$ sont des ouverts de $R^{2}$ .
Une réunion quelconque d'ouverts de $R^{2}$ est un ouvert de $R^{2}$ .
L'intersection de deux ouverts de $R^{2}$ est un ouvert de $R^{2}$ , et par récurrence immédiate, l'intersection d'un nombre fini d'ouverts également.

Démonstration. Point 1. Soit $b \in B (a, r)$ et posons $ρ = r - ∥ b - a ∥$ , qui est strictement positif puisque $∥ b - a ∥ < r$ . Montrons que $B (b, ρ) \subset B (a, r)$ . Soit $m \in B (b, ρ)$ ; l'inégalité triangulaire donne

∥ m - a ∥ ⩽ ∥ m - b ∥ + ∥ b - a ∥ < ρ + ∥ b - a ∥ = r,

donc $m \in B (a, r)$ .

Point 2. Pour $R^{2}$ , n'importe quel rayon convient, par exemple $r = 1$ , puisque toute boule est incluse dans $R^{2}$ . Le cas de $\emptyset$ a été traité dans la remarque ci-dessus.

Point 3. Soient $(U_{i})_{i \in I}$ des ouverts et $a$ un point de leur réunion. Alors $a$ appartient à l'un d'eux, disons $U_{i_{0}}$ , qui est ouvert : il existe $r > 0$ tel que $B (a, r) \subset U_{i_{0}}$ , et a fortiori $B (a, r)$ est inclus dans la réunion.

Point 4. Soient $U_{1}$ et $U_{2}$ deux ouverts et $a \in U_{1} \cap U_{2}$ . Il existe $r_{1} > 0$ tel que $B (a, r_{1}) \subset U_{1}$ et $r_{2} > 0$ tel que $B (a, r_{2}) \subset U_{2}$ . Posons $r = min (r_{1}, r_{2}) > 0$ : alors $B (a, r) \subset B (a, r_{1}) \subset U_{1}$ , et de même $B (a, r) \subset U_{2}$ , donc $B (a, r) \subset U_{1} \cap U_{2}$ . $□$

La figure ci-dessous représente la partie $U = {(x, y) \in R^{2}; y > x^{2} - 1}$ , c'est-à-dire la région du plan située strictement au-dessus de la parabole d'équation $y = x^{2} - 1$ . La parabole est tracée en pointillés parce qu'elle est exclue de $U$ : l'inégalité est stricte. On a dessiné deux boules ouvertes, $B (a, r)$ autour d'un point $a$ situé bien au-dessus de la parabole, et $B (b, r^{'})$ autour d'un point $b$ beaucoup plus proche du bord. Toutes deux sont incluses dans $U$ , mais la seconde est nettement plus petite : c'est l'illustration exacte du fait que le rayon dépend du point choisi, et qu'il doit être d'autant plus petit que le point est proche du bord.

Une partie ouverte du plan et une boule ouverte centrée en chacun de ses points

Les exemples à connaître

Exemple

La partie de la figure est bien un ouvert. Soit $U = {(x, y) \in R^{2}; y > x^{2} - 1}$ et soit $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ . La marge dont on dispose est

δ = a_{2} - a_{1}^{2} + 1 > 0.

Posons $r = min (1, \frac{δ}{4 ( 1 + ∣ a _{1} ∣ )}) > 0$ et soit $m = (x, y) \in B (a, r)$ . Le contrôle des coordonnées donne $∣ x - a_{1} ∣ < r$ et $∣ y - a_{2} ∣ < r$ , donc d'une part $y > a_{2} - r$ , et d'autre part

x^{2} - a_{1}^{2} = (x - a_{1}) (x + a_{1}) ⩽ ∣ x - a_{1} ∣ (∣ x - a_{1} ∣ + 2 ∣ a_{1} ∣) < r (r + 2 ∣ a_{1} ∣) ⩽ 2 r (1 + ∣ a_{1} ∣),

la dernière majoration utilisant $r ⩽ 1$ . En combinant les deux,

y - x^{2} + 1 > (a_{2} - r) - a_{1}^{2} - 2 r (1 + ∣ a_{1} ∣) + 1 ⩾ δ - 4 r (1 + ∣ a_{1} ∣) ⩾ 0.

Ainsi $y > x^{2} - 1$ , c'est-à-dire $m \in U$ : la boule $B (a, r)$ est incluse dans $U$ .

Exemple

Le demi-plan strict. L'ensemble $H = {(x, y) \in R^{2}; y > 0}$ est un ouvert. Soit en effet $a = (a_{1}, a_{2}) \in H$ , donc $a_{2} > 0$ ; posons $r = a_{2} > 0$ . Si $m = (x, y) \in B (a, r)$ , le contrôle des coordonnées donne $∣ y - a_{2} ∣ ⩽ ∥ m - a ∥ < a_{2}$ , d'où $y - a_{2} > - a_{2}$ , c'est-à-dire $y > 0$ .

Un produit d'intervalles ouverts. Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts de $R$ . L'ensemble $I \times J$ est un ouvert de $R^{2}$ , appelé pavé ouvert. En effet, si $a = (a_{1}, a_{2}) \in I \times J$ , il existe $r_{1} > 0$ tel que $] a_{1} - r_{1}, a_{1} + r_{1} [\subset I$ et $r_{2} > 0$ tel que $] a_{2} - r_{2}, a_{2} + r_{2} [\subset J$ ; le rayon $r = min (r_{1}, r_{2})$ convient, par contrôle des coordonnées. En particulier le quart de plan $] 0, + \infty [\times] 0, + \infty [$ , le carré $] 0, 1 [\times] 0, 1 [$ et la bande $R \times] - 1, 1 [$ sont ouverts.

Exemple

Le plan privé d'un point. Soit $c \in R^{2}$ et $U = R^{2} ∖ {c}$ . Soit $a \in U$ , donc $a \neq = c$ ; posons $r = ∥ a - c ∥ > 0$ . Si $m \in B (a, r)$ , alors $∥ m - a ∥ < ∥ c - a ∥$ , donc $m$ ne peut pas être égal à $c$ . Ainsi $B (a, r) \subset U$ .

Le plan privé d'une droite. Soit $D$ la droite d'équation $α x + β y = γ$ , avec $(α, β) \neq = (0, 0)$ , et $U = R^{2} ∖ D$ . Soit $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ : le réel $δ = ∣ α a_{1} + β a_{2} - γ ∣$ est strictement positif. Posons $N = α^{2} + β^{2} > 0$ et $r = δ / N$ . Pour $m = (x, y) \in B (a, r)$ , l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $(α, β)$ et $m - a$ donne

∣ α (x - a_{1}) + β (y - a_{2}) ∣ ⩽ N ∥ m - a ∥ < δ,

puis, par inégalité triangulaire dans $R$ ,

∣ α x + β y - γ ∣ ⩾ δ - ∣ α (x - a_{1}) + β (y - a_{2}) ∣ > δ - δ = 0,

la dernière inégalité étant stricte grâce à la ligne précédente. Donc $α x + β y \neq = γ$ et $m \in U$ .

Exemple

Trois parties qui ne sont PAS ouvertes. Dans chaque cas, on exhibe un point de la partie autour duquel aucune boule, si petite soit-elle, ne tient à l'intérieur.

Le disque défini par une inégalité large, $\overline{D} = {(x, y); x^{2} + y^{2} ⩽ 1}$ . Prenons $a = (1, 0) \in \overline{D}$ et $r > 0$ quelconque. Le point $m = (1 + \frac{r}{2}, 0)$ vérifie $∥ m - a ∥ = \frac{r}{2} < r$ , donc $m \in B (a, r)$ , mais $∥ m ∥ > 1$ , donc $m \in / \overline{D}$ .

Une droite, par exemple $D = {(x, 0); x \in R}$ . Prenons $a = (0, 0)$ et $r > 0$ : le point $(0, \frac{r}{2})$ appartient à $B (a, r)$ mais pas à $D$ . Une droite est « d'épaisseur nulle », elle ne contient aucun disque.

Le demi-plan large ${(x, y); y ⩾ 0}$ . Avec $a = (0, 0)$ et $r > 0$ , le point $(0, - \frac{r}{2})$ est dans $B (a, r)$ et vérifie $y < 0$ . C'est l'inégalité large qui fait échouer la propriété.

Méthode

Justifier qu'une partie du plan est ouverte. Deux stratégies, à essayer dans cet ordre.

Stratégie 1, le raccourci (à privilégier). Reconnaître la partie comme une boule ouverte, un pavé ouvert, une réunion quelconque ou une intersection finie de telles parties. Une partie décrite par plusieurs inégalités strictes est l'intersection des parties correspondantes : si chacune est ouverte, l'intersection finie l'est aussi. Ainsi

{(x, y) \in R^{2}; x > 0, y > 0, x + y < 1}

est ouvert comme intersection de trois demi-plans stricts, sans aucun calcul de rayon.

Stratégie 2, le retour à la définition, en trois temps.

Se donner un point quelconque : « soit $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ », et écrire ce que cela signifie, c'est-à-dire les inégalités strictes vérifiées par $a_{1}$ et $a_{2}$ .
Fabriquer un rayon explicite à partir de la marge, c'est-à-dire de l'écart entre les deux membres de l'inégalité stricte. Vérifier à voix haute que ce rayon est strictement positif : c'est là que le caractère strict de l'inégalité est utilisé.
Prendre $m \in B (a, r)$ et conclure en majorant, à l'aide du contrôle des coordonnées ou de l'inégalité triangulaire, la quantité qui doit rester du bon côté.

Pour montrer qu'une partie n'est PAS ouverte : exhiber un point $a$ de la partie et, pour tout $r > 0$ , un point de $B (a, r)$ qui n'y appartient pas. Le candidat naturel est un point situé sur le « bord », là où une inégalité large devient une égalité.

Remarque

Pourquoi cette notion, et rien de plus. Il serait faux de croire que l'on entame ici un cours de topologie. La notion d'ouvert est introduite pour une raison très concrète, qui apparaîtra dès la section 3 : pour dériver $f$ par rapport à $x$ au point $a$ , il faut que $f (x, a_{2})$ ait un sens pour $x$ parcourant tout un intervalle autour de $a_{1}$ , donc il faut un peu de place autour de $a$ . Dire que $U$ est ouvert, c'est exactement garantir cette place en chacun de ses points, et rien d'autre.

Fonctions de deux variables : domaine, surface, applications partielles, lignes de niveau

Domaine de définition

Définition

Soit $D$ une partie de $R^{2}$ . Une fonction de deux variables réelles définie sur $D$ est une application $f : D \to R$ , qui à tout couple $(x, y)$ de $D$ associe un réel noté $f (x, y)$ .

Lorsque $f$ est donnée par une formule, son domaine de définition est l'ensemble des couples $(x, y)$ pour lesquels cette formule a un sens.

Exemple

Trois domaines.

a. Pour $f (x, y) = ln (x + y)$ , le domaine est le demi-plan ouvert ${(x, y) \in R^{2}; x + y > 0}$ , situé strictement au-dessus de la droite d'équation $y = - x$ . C'est un ouvert.

b. Pour $g (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - 1}$ , le domaine est $R^{2}$ privé du cercle unité, c'est-à-dire la réunion du disque ouvert $B ((0, 0), 1)$ et de l'ouvert ${(x, y); x^{2} + y^{2} > 1}$ . C'est un ouvert, comme réunion de deux ouverts.

c. Pour $h (x, y) = 1 - x^{2} - y^{2}$ , le domaine est le disque fermé ${(x, y); x^{2} + y^{2} ⩽ 1}$ , qui n'est pas un ouvert. Toute la théorie des dérivées partielles se fera alors sur le disque ouvert $x^{2} + y^{2} < 1$ , et les points du cercle seront traités séparément, à la main.

Remarque

Le cas c est le cas général : dès qu'un domaine est défini par une inégalité large, il n'est pas ouvert, et il faudra scinder l'étude en deux, l'ouvert d'un côté, les points où l'inégalité devient une égalité de l'autre. C'est exactement le plan de travail des problèmes d'optimisation de la section 8.

Surface représentative

Définition

Soit $f$ définie sur $D \subset R^{2}$ . On appelle surface représentative de $f$ l'ensemble des points de l'espace

S_{f} = {(x, y, f (x, y)); (x, y) \in D},

que l'on désigne aussi comme la surface d'équation $z = f (x, y)$ .

Remarque

L'analogie de la carte de randonnée est la bonne, et il faut s'y tenir tout le chapitre : $(x, y)$ est la position au sol, $f (x, y)$ est l'altitude en ce point, et $S_{f}$ est le relief. La difficulté est que le relief vit dans l'espace, donc se dessine mal ; c'est pourquoi on lui préfère très souvent la lecture « à plat » par les lignes de niveau, exactement comme sur une carte IGN.

Deux exemples de référence. Pour $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , la surface est un paraboloïde de révolution, sorte de bol posé sur l'origine. Pour $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ , la surface monte le long de l'axe des abscisses et descend le long de l'axe des ordonnées : c'est une selle de cheval, ou un col de montagne.

Applications partielles

Définition

Soient $f$ définie sur $D \subset R^{2}$ et $a = (a_{1}, a_{2}) \in D$ . On appelle applications partielles de $f$ en $a$ les deux fonctions d'une seule variable réelle

x ⟼ f (x, a_{2}) et y ⟼ f (a_{1}, y),

définies respectivement pour les $x$ tels que $(x, a_{2}) \in D$ et pour les $y$ tels que $(a_{1}, y) \in D$ .

Remarque

Géométriquement, la première application partielle décrit ce que l'on voit en coupant la surface $S_{f}$ par le plan vertical d'équation $y = a_{2}$ , et la seconde par le plan vertical $x = a_{1}$ . On promène un couteau parallèlement à un axe, et l'on regarde le profil obtenu : c'est une courbe du plan, donc un objet de première année.

C'est le mouvement fondamental du chapitre : figer une variable pour se ramener à une seule. Toute la section 3 en découle. Attention toutefois : deux coupes ne suffisent pas à décrire un relief. Connaître le profil nord-sud et le profil est-ouest d'une montagne ne dit rien de ce qui se passe dans la direction nord-est ; on s'en souviendra en section 8.

Lignes de niveau

Définition

Soient $f$ définie sur $D \subset R^{2}$ et $k \in R$ . On appelle ligne de niveau $k$ de $f$ l'ensemble

L_{k} = {(x, y) \in D; f (x, y) = k} .

Exemple

Trois familles de lignes de niveau.

a. Pour $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , la ligne de niveau $k$ est vide si $k < 0$ , réduite à l'origine si $k = 0$ , et c'est le cercle de centre l'origine et de rayon $k$ si $k > 0$ .

b. Pour $f (x, y) = 2 x + 3 y$ , la ligne de niveau $k$ est la droite d'équation $2 x + 3 y = k$ ; on obtient une famille de droites parallèles, régulièrement espacées lorsque $k$ parcourt une progression arithmétique.

c. Pour $f (x, y) = x y$ , la ligne de niveau $0$ est la réunion des deux axes, et pour $k \neq = 0$ la ligne de niveau $k$ est l'hyperbole d'équation $y = k / x$ , tracée dans les deux quadrants où le produit $x y$ a le signe de $k$ : les premier et troisième quadrants si $k > 0$ , les deuxième et quatrième si $k < 0$ .

Remarque

Comment lire une carte de lignes de niveau. Les lignes serrées signalent une pente forte, les lignes espacées un terrain plat. Une ligne de niveau réduite à un point signale un sommet ou un fond de cuvette. Deux lignes de niveau distinctes ne peuvent jamais se croiser, puisqu'un point du domaine possède une seule altitude ; en revanche une même ligne de niveau peut se croiser elle-même, et un tel croisement signale toujours un point critique. C'est le plus souvent un col, comme on le verra en section 8, mais pas nécessairement : les lignes de niveau $0$ de $(x, y) \mapsto x^{2} y^{2}$ forment une croix à l'origine, qui est pourtant un minimum global.

Un mot sur la continuité

Le programme est explicite : l'étude de la continuité des fonctions de deux variables n'est pas un objectif. On se contente donc de la définition, énoncée une fois, et d'un principe d'usage.

Définition

Soient $f$ définie sur une partie $D$ de $R^{2}$ et $a \in D$ . On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque $f (m)$ tend vers $f (a)$ quand $m$ tend vers $a$ , c'est-à-dire lorsque, pour tout $α > 0$ , il existe $δ > 0$ tel que, pour tout $m \in D$ ,

∥ m - a ∥ < δ ⟹ ∣ f (m) - f (a) ∣ ⩽ α .

Elle est dite continue sur $D$ lorsqu'elle l'est en chaque point de $D$ .

Remarque

Le seul usage qui en sera fait. Les fonctions polynomiales des deux variables, ainsi que toutes celles obtenues à partir des fonctions usuelles d'une variable par sommes, produits, quotients de dénominateur non nul et composées, sont continues sur leur domaine. On l'admet, et on l'invoque en une phrase à chaque fois que c'est nécessaire, sans jamais y revenir. Aucune recherche de limite, aucun contre-exemple, aucune discussion de prolongement ne sera menée dans ce chapitre : l'énergie doit aller au calcul différentiel et à ses applications.

Dérivées partielles d'ordre 1

Définition

L'idée est celle annoncée : pour dériver une fonction de deux variables, on en fige une et on dérive comme en première année.

Définition

Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f : U \to R$ et $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ .

On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $a$ lorsque l'application partielle $x \mapsto f (x, a_{2})$ est dérivable en $a_{1}$ . Ce nombre dérivé se note

\frac{\partial f}{\partial x} (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a _{1} + t , a _{2} ) - f ( a _{1} , a _{2} )}{t} .

De même, la dérivée partielle par rapport à la seconde variable en $a$ est le nombre dérivé en $a_{2}$ de $y \mapsto f (a_{1}, y)$ , noté

\frac{\partial f}{\partial y} (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a _{1} , a _{2} + t ) - f ( a _{1} , a _{2} )}{t} .

Remarque

Pourquoi l'ouvert est indispensable. Puisque $U$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B (a, r) \subset U$ . Le point $(a_{1} + t, a_{2})$ appartient alors à $U$ dès que $∣ t ∣ < r$ : l'application partielle est donc bien définie sur tout un intervalle ouvert centré en $a_{1}$ , et parler de sa dérivabilité en $a_{1}$ a un sens. Sans l'hypothèse d'ouverture, la définition serait bancale.

Deux notations à ne pas confondre. Le symbole $\frac{\partial f}{\partial x} (a)$ désigne un nombre, attaché au point $a$ . Lorsque ce nombre existe en tout point de $U$ , on obtient une nouvelle fonction de deux variables, notée $\frac{\partial f}{\partial x} : U \to R$ . La lecture « $\partial$ rond $f$ sur $\partial$ rond $x$ » rappelle que l'on dérive par rapport à $x$ , l'autre variable étant traitée comme une constante.

Calcul pratique

Méthode

Calculer une dérivée partielle. Aucune technique nouvelle n'est nécessaire : ce sont les formules de dérivation de première année.

Pour $\frac{\partial f}{\partial x}$ , traiter $y$ comme une constante et dériver l'expression par rapport à $x$ seul. Pour $\frac{\partial f}{\partial y}$ , échanger les rôles.
Le réflexe utile est d'écrire au brouillon la fonction d'une variable que l'on dérive. Pour $f (x, y) = x^{2} y^{3}$ , on dérive $x \mapsto λ x^{2}$ avec $λ = y^{3}$ , ce qui donne $2 λ x = 2 x y^{3}$ .
Ne pas oublier les formules composées : si l'expression est de la forme $φ (u)$ où $u$ dépend de $x$ , la dérivée est $φ^{'} (u) \times \frac{\partial u}{\partial x}$ .
Contrôle de cohérence : si l'expression de $f$ est symétrique en $x$ et $y$ , alors $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y)$ s'obtient à partir de $\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)$ en échangeant $x$ et $y$ . C'est une vérification gratuite qui détecte beaucoup d'erreurs de calcul.

Exemple

Quatre calculs entièrement détaillés.

Une fonction polynomiale. Soit $f (x, y) = x^{3} y - 2 x y^{2} + 5 y$ sur $R^{2}$ . À $y$ figé, on dérive un polynôme en $x$ :

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 3 x^{2} y - 2 y^{2} .

À $x$ figé, on dérive un polynôme en $y$ :

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x^{3} - 4 x y + 5.

Un produit avec exponentielle. Soit $f (x, y) = x e^{x y}$ sur $R^{2}$ . À $y$ figé, on dérive un produit dont le second facteur est $x \mapsto e^{y x}$ , de dérivée $y e^{x y}$ :

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 1 \times e^{x y} + x \times y e^{x y} = (1 + x y) e^{x y} .

À $x$ figé, le facteur $x$ est une constante et $y \mapsto e^{x y}$ a pour dérivée $x e^{x y}$ :

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x \times x e^{x y} = x^{2} e^{x y} .

Exemple

Deux calculs de plus.

Un quotient. Soit $f (x, y) = \frac{x - y}{x + y}$ sur l'ouvert $U = {(x, y); x + y \neq = 0}$ , qui est le plan privé d'une droite. À $y$ figé, la formule du quotient donne

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \frac{1 \times ( x + y ) - ( x - y ) \times 1}{( x + y ) ^{2}} = \frac{2 y}{( x + y ) ^{2}},

et à $x$ figé,

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \frac{( - 1 ) ( x + y ) - ( x - y ) \times 1}{( x + y ) ^{2}} = \frac{- 2 x}{( x + y ) ^{2}} .

Une racine carrée. Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ sur $U = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ . À $y$ figé, on compose $x \mapsto x^{2} + y^{2}$ , strictement positive sur $U$ , avec la racine carrée :

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}},

la seconde formule s'obtenant sans calcul par symétrie de l'expression en $x$ et $y$ .

Exemple

Une fonction à connaître, l'angle polaire. Soit $f (x, y) = Arctan (\frac{y}{x})$ sur le demi-plan ouvert $U = {(x, y); x > 0}$ . À $y$ figé, on dérive $x \mapsto Arctan (y x^{- 1})$ :

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \frac{- \frac{y}{x ^{2}}}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}} .

À $x$ figé, la dérivée intérieure vaut $\frac{1}{x}$ , d'où

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} .

Cette fonction reviendra en section 7 : elle mesure l'angle polaire, et ses dérivées partielles se retrouveront sans aucun calcul par le passage en coordonnées polaires.

a. Pour $f (x, y) = x^{2} + 3 x y$ , on a $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 3 y$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x$ .

b. Pour $f (x, y) = sin (x + 2 y)$ , on a $\frac{\partial f}{\partial x} = cos (x + 2 y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = 2 cos (x + 2 y)$ .

c. Pour $f (x, y) = ln (1 + x^{2} + y^{4})$ , on a $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} + y ^{4}}$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{4 y ^{3}}{1 + x ^{2} + y ^{4}}$ .

d. Pour $f (x, y) = e^{x} cos y$ , on a $\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} cos y$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{x} sin y$ .

Remarque

Ce que les dérivées partielles ne disent pas. Elles décrivent le comportement de $f$ le long de deux directions seulement, celle de l'axe des abscisses et celle de l'axe des ordonnées. Rien, dans leur seule existence, ne renseigne sur ce qui se passe dans les autres directions. C'est pourquoi on ne travaillera jamais avec la seule existence des dérivées partielles, mais avec l'hypothèse plus forte, et beaucoup plus commode, de la section suivante : la classe $C^{1}$ .

Fonctions de classe $C^{1}$ sur un ouvert

Définition

Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ et $f : U \to R$ . On dit que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ lorsque :

$f$ admet en tout point de $U$ des dérivées partielles par rapport à chacune des deux variables ;
les deux fonctions $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ ainsi définies sont continues sur $U$ .

L'ensemble des fonctions de classe $C^{1}$ sur $U$ se note $C^{1} (U, R)$ .

Remarque

C'est l'hypothèse standard de tout le chapitre : chaque théorème qui suit la réclame. Elle joue exactement le rôle que jouait « $f$ est dérivable sur un intervalle » en première année, avec une exigence supplémentaire, la continuité des dérivées partielles, qui est ce qui rend le développement limité de la section 5 possible.

En pratique, on ne vérifie jamais cette définition à la main : on invoque les opérations ci-dessous.

Opérations

Propriété

Opérations sur les fonctions de classe $C^{1}$ . Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f$ et $g$ deux fonctions de classe $C^{1}$ sur $U$ , et $λ, μ$ deux réels.

Combinaison linéaire. $λ f + μg$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ et

\frac{\partial ( λ f + μg )}{\partial x} = λ \frac{\partial f}{\partial x} + μ \frac{\partial g}{\partial x},

et de même par rapport à $y$ . Ainsi $C^{1} (U, R)$ est un $R$ -espace vectoriel. 2. Produit. $f g$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ et

\frac{\partial ( f g )}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} g + f \frac{\partial g}{\partial x} .

Quotient. Si $g$ ne s'annule pas sur $U$ , alors $\frac{f}{g}$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ et

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{f}{g}) = \frac{\frac{\partial f}{\partial x} g - f \frac{\partial g}{\partial x}}{g ^{2}} .

Démonstration. Toutes ces formules se démontrent de la même façon : on fige une variable, on applique la règle correspondante de première année à des fonctions d'une seule variable, puis on invoque les opérations sur les fonctions continues pour la seconde condition de la définition.

Traitons le produit. Soit $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ . L'application partielle de $f g$ en $a$ est

x ⟼ f (x, a_{2}) \times g (x, a_{2}),

produit de deux fonctions d'une variable dérivables en $a_{1}$ , de nombres dérivés $\frac{\partial f}{\partial x} (a)$ et $\frac{\partial g}{\partial x} (a)$ . La formule de dérivation d'un produit donne donc l'existence de $\frac{\partial ( f g )}{\partial x} (a)$ et la valeur annoncée. La fonction $\frac{\partial f}{\partial x} g + f \frac{\partial g}{\partial x}$ est continue sur $U$ comme somme de produits de fonctions continues, $f$ et $g$ étant elles-mêmes continues. Donc $f g$ est de classe $C^{1}$ .

Pour la combinaison linéaire et le quotient, le raisonnement est identique, en utilisant respectivement la linéarité de la dérivation et la formule de dérivation d'un quotient à une variable ; dans le cas du quotient, la fonction $g^{2}$ ne s'annule pas, ce qui assure la continuité de l'expression obtenue. $□$

Propriété

Composition avec une fonction d'une variable réelle. Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ , $I$ un intervalle de $R$ contenant $f (U)$ , et $φ : I \to R$ de classe $C^{1}$ sur $I$ .

Alors $φ \circ f : (x, y) \mapsto φ (f (x, y))$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , et

\frac{\partial ( φ \circ f )}{\partial x} (x, y) = φ^{'} (f (x, y)) \frac{\partial f}{\partial x} (x, y), \frac{\partial ( φ \circ f )}{\partial y} (x, y) = φ^{'} (f (x, y)) \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) .

Démonstration. Soit $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ . L'application partielle de $φ \circ f$ par rapport à la première variable est $x \mapsto φ (f (x, a_{2}))$ , composée de la fonction $x \mapsto f (x, a_{2})$ , dérivable en $a_{1}$ de nombre dérivé $\frac{\partial f}{\partial x} (a)$ , avec $φ$ , dérivable en $f (a)$ . La formule de dérivation d'une composée à une variable donne l'existence et la valeur annoncée.

Enfin, l'expression $φ^{'} \circ f \times \frac{\partial f}{\partial x}$ est continue sur $U$ : c'est le produit de $\frac{\partial f}{\partial x}$ , continue par hypothèse, avec la composée de la fonction continue $f$ et de la fonction continue $φ^{'}$ . Même chose pour l'autre variable. $□$

Justifier la classe $C^{1}$ sans calcul

Méthode

Justifier qu'une fonction est de classe $C^{1}$ . On ne revient jamais à la définition. La rédaction attendue tient en une ou deux phrases et suit toujours le même moule.

Identifier l'ouvert de travail $U$ , en écartant les points où l'expression n'a pas de sens (dénominateur nul, logarithme d'une quantité négative ou nulle, racine carrée d'une quantité négative ou nulle). Justifier en une ligne que $U$ est ouvert, avec la méthode de la section 1.
Nommer les briques usuelles : les fonctions $(x, y) \mapsto x$ , $(x, y) \mapsto y$ et les fonctions constantes sont de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ (leurs dérivées partielles valent $1$ ou $0$ , qui sont continues).
Invoquer les opérations : sommes, produits, quotients de dénominateur ne s'annulant pas, et composition avec une fonction d'une variable de classe $C^{1}$ (exponentielle, logarithme, racine carrée sur $] 0, + \infty [$ , sinus, cosinus, $Arctan$ , puissances).

Phrase type. « La fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U$ comme quotient, de dénominateur ne s'annulant pas sur $U$ , de fonctions polynomiales composées avec l'exponentielle. »

Exemple

Trois justifications rédigées.

a. $f (x, y) = x^{3} y - 2 x y^{2} + 5 y$ est polynomiale, donc de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ : elle s'obtient par combinaisons linéaires et produits à partir de $(x, y) \mapsto x$ , de $(x, y) \mapsto y$ et des constantes. Toute fonction polynomiale des deux variables est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ .

b. $f (x, y) = \frac{x - y}{x + y}$ est de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U = {(x, y); x + y \neq = 0}$ , plan privé d'une droite, comme quotient de deux fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas sur $U$ .

c. $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ est de classe $C^{1}$ sur $U = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ , ouvert comme plan privé d'un point : la fonction polynomiale $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}$ est de classe $C^{1}$ et à valeurs dans $] 0, + \infty [$ sur $U$ , et la racine carrée est de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ . En revanche, aucune conclusion en $(0, 0)$ : ce point est écarté du domaine de travail.

Développement limité à l'ordre 1, gradient et plan tangent

Le théorème central

C'est le théorème qui fait du gradient l'outil pertinent : il affirme qu'une fonction de classe $C^{1}$ se comporte, tout près d'un point, comme une fonction affine dont les coefficients sont les deux dérivées partielles.

Propriété

Développement limité à l'ordre $1$ (admis). Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ et $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ .

Il existe $r > 0$ tel que $B (a, r) \subset U$ et une fonction $ε$ définie sur $B ((0, 0), r)$ , nulle en $(0, 0)$ et de limite nulle en $(0, 0)$ , telles que pour tout $h = (h_{1}, h_{2})$ de norme strictement inférieure à $r$ :

f (a + h) = f (a) + \frac{\partial f}{\partial x} (a) h_{1} + \frac{\partial f}{\partial y} (a) h_{2} + ∥ h ∥ ε (h) .

Remarque

Ce que « admis » veut dire ici. La démonstration de ce résultat est explicitement hors programme. C'est le seul énoncé de calcul différentiel que l'on admettra : tous les autres théorèmes de ce chapitre, y compris la règle de la chaîne, en seront déduits. Les rares autres points admis sont d'une autre nature et signalés au fil du texte, à savoir la continuité des fonctions usuelles de deux variables (section 2) et l'existence d'un maximum sur un domaine borné contenant son bord (section 8).

Ce que signifie « $ε$ de limite nulle ». Pour tout $α > 0$ , il existe $δ \in] 0, r]$ tel que $∥ h ∥ < δ$ entraîne $∣ ε (h) ∣ ⩽ α$ . La convention $ε (0, 0) = 0$ est commode : elle permet d'écrire l'égalité aussi pour $h = (0, 0)$ , où elle est triviale. On abrège souvent le dernier terme en $o (∥ h ∥)$ .

Le contenu du théorème en une phrase. L'erreur commise en remplaçant $f$ par son approximation affine est négligeable devant la distance au point $a$ , et cela dans toutes les directions à la fois.

Gradient

Définition

Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ et $a \in U$ . On appelle gradient de $f$ en $a$ le vecteur de $R^{2}$

\nabla f (a) = (\frac{\partial f}{\partial x} (a), \frac{\partial f}{\partial y} (a)) .

Avec cette notation, le développement limité prend une forme condensée qu'il faut savoir écrire de mémoire :

f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + ∥ h ∥ ε (h), soit f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + o (∥ h ∥) .

Remarque

Le gradient est un vecteur, pas un nombre. C'est l'objet qui remplace le nombre dérivé de première année, et il concentre toute l'information locale d'ordre $1$ : sa première coordonnée est la pente dans la direction de l'axe des abscisses, sa seconde coordonnée la pente dans la direction de l'axe des ordonnées, et la section 6 montrera qu'il donne aussi, d'un seul coup, la pente dans toutes les autres directions.

Une erreur fréquente consiste à écrire $\nabla f (a) = \frac{\partial f}{\partial x} (a) + \frac{\partial f}{\partial y} (a)$ . C'est un couple, pas une somme.

Exemple

Trois gradients.

a. Pour $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , on a $\nabla f (x, y) = (2 x, 2 y)$ . Ce vecteur pointe radialement vers l'extérieur, ce qui correspond bien à un bol dont on remonte les parois en s'éloignant de l'origine, et il est nul uniquement en $(0, 0)$ .

b. Pour $f (x, y) = x y$ , on a $\nabla f (x, y) = (y, x)$ , et en particulier $\nabla f (1, 1) = (1, 1)$ .

c. Pour $f (x, y) = 2 x + 3 y - 1$ , on a $\nabla f (x, y) = (2, 3)$ en tout point : une fonction affine a un gradient constant, et son développement limité est exact, sans reste.

Plan tangent

Propriété

Plan tangent. Soient $U$ un ouvert, $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ et $a = (a_{1}, a_{2}) \in U$ . Le plan tangent à la surface d'équation $z = f (x, y)$ au point $A = (a_{1}, a_{2}, f (a))$ est le plan d'équation

z = f (a) + \frac{\partial f}{\partial x} (a) (x - a_{1}) + \frac{\partial f}{\partial y} (a) (y - a_{2}) .

Remarque

Pourquoi cette définition est la bonne. Le développement limité dit exactement que la surface et ce plan se quittent en $A$ avec un écart négligeable devant la distance au point : c'est la transposition mot pour mot de la tangente en une variable, où la courbe $y = g (x)$ et la droite $y = g (a) + g^{'} (a) (x - a)$ se quittent avec un écart négligeable devant $∣ x - a ∣$ .

Deux lectures utiles. Le plan tangent contient les deux tangentes aux courbes obtenues en coupant la surface par les plans verticaux $y = a_{2}$ et $x = a_{1}$ : il est « porté » par les deux applications partielles. Par ailleurs, en écrivant l'équation sous la forme

\frac{\partial f}{\partial x} (a) (x - a_{1}) + \frac{\partial f}{\partial y} (a) (y - a_{2}) - (z - f (a)) = 0,

on lit qu'un vecteur normal à ce plan est $(\frac{\partial f}{\partial x} (a), \frac{\partial f}{\partial y} (a), - 1)$ .

Exemple

Un plan tangent au paraboloïde. Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ et $a = (1, 2)$ . On a $f (a) = 5$ et $\nabla f (a) = (2, 4)$ , donc le plan tangent au point $(1, 2, 5)$ a pour équation

z = 5 + 2 (x - 1) + 4 (y - 2) = 2 x + 4 y - 5.

Contrôle rapide : le point $(1, 2, 5)$ vérifie bien $2 \times 1 + 4 \times 2 - 5 = 5$ .

Exemple

Calcul d'une valeur approchée. Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ privé de l'origine, et $a = (3, 4)$ . On a $f (a) = 5$ et

\nabla f (3, 4) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = (0, 6; 0, 8) .

Pour $h = (0, 02; - 0, 04)$ , le développement limité donne

f (3, 02; 3, 96) \approx 5 + 0, 6 \times 0, 02 + 0, 8 \times (- 0, 04) = 5 + 0, 012 - 0, 032 = 4, 98.

La valeur exacte est $24, 802 = 4, 98016 \dots$ : l'erreur est inférieure à $2 \times 1 0^{- 4}$ , alors que $∥ h ∥ \approx 0, 045$ . C'est bien le comportement annoncé, une erreur négligeable devant $∥ h ∥$ .

Le gradient et les lignes de niveau

La figure ci-dessous représente les lignes de niveau $k \in {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}$ de la fonction $f (x, y) = x y$ : ce sont des hyperboles, situées dans le premier et le troisième quadrant lorsque $k > 0$ , dans les deux autres lorsque $k < 0$ . Au point $A (1, 1)$ , qui appartient à la ligne de niveau $1$ , on a tracé le gradient $\nabla f (1, 1) = (1, 1)$ , ainsi que la tangente à cette ligne de niveau, en pointillés. On lit sur la figure ce que la propriété ci-dessous démontre : le gradient est orthogonal à la ligne de niveau qui passe par le point, et il pointe du côté des valeurs croissantes de $f$ , c'est-à-dire ici vers la ligne de niveau $2$ et non vers la ligne de niveau $0$ .

Lignes de niveau de la fonction (x,y) donne xy, et gradient au point A(1,1)

Propriété

Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau. Soient $U$ un ouvert, $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ , $k \in R$ et $γ : t \mapsto (x (t), y (t))$ un arc dont les deux coordonnées sont dérivables sur un intervalle $I$ , à valeurs dans la ligne de niveau $L_{k}$ de $f$ . Alors, pour tout $t \in I$ ,

⟨ \nabla f (γ (t)), γ^{'} (t) ⟩ = 0, o \overset{u}{ˋ} γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t)) .

En particulier, si $\nabla f (a) \neq = (0, 0)$ et si la ligne de niveau passant par $a$ admet en $a$ un paramétrage $γ$ de classe $C^{1}$ tel que $γ^{'} (t_{0}) \neq = (0, 0)$ , alors sa tangente en $a$ est la droite d'équation

\frac{\partial f}{\partial x} (a) (x - a_{1}) + \frac{\partial f}{\partial y} (a) (y - a_{2}) = 0.

Démonstration. Fixons $t_{0} \in I$ et posons $a = γ (t_{0})$ , qui appartient à $U$ . Appliquons le développement limité de $f$ en $a$ : il fournit $r > 0$ et une fonction $ε$ comme dans l'énoncé admis. Posons, pour $t \in I$ ,

h (t) = γ (t) - γ (t_{0}) = (x (t) - x (t_{0}), y (t) - y (t_{0})),

de sorte que $γ (t) = a + h (t)$ . Les fonctions $x$ et $y$ sont dérivables donc continues en $t_{0}$ , et l'inégalité triangulaire donne

∥ h (t) ∥ ⩽ ∣ x (t) - x (t_{0}) ∣ + ∣ y (t) - y (t_{0}) ∣,

quantité qui tend vers $0$ quand $t$ tend vers $t_{0}$ : il existe donc $η > 0$ tel que $∥ h (t) ∥ < r$ dès que $∣ t - t_{0} ∣ < η$ .

Or $γ (t)$ appartient à $L_{k}$ pour tout $t$ , donc $f (γ (t)) = k = f (a)$ . Le développement limité donne alors, pour ces valeurs de $t$ ,

0 = f (a + h (t)) - f (a) = ⟨ \nabla f (a), h (t) ⟩ + ∥ h (t) ∥ ε (h (t)) .

Divisons par $t - t_{0}$ , supposé non nul. Le premier terme vaut $⟨ \nabla f (a), \frac{h ( t )}{t - t _{0}} ⟩$ par linéarité du produit scalaire, et le quotient $\frac{h ( t )}{t - t _{0}}$ tend vers $γ^{'} (t_{0})$ par définition des nombres dérivés de $x$ et $y$ en $t_{0}$ . Quant au second terme, en posant $A (t) = \frac{x ( t ) - x ( t _{0} )}{t - t _{0}}$ et $B (t) = \frac{y ( t ) - y ( t _{0} )}{t - t _{0}}$ , l'homogénéité de la norme donne

\frac{∥ h ( t ) ∥}{∣ t - t _{0} ∣} = A (t)^{2} + B (t)^{2},

qui admet une limite finie, donc est bornée par un réel $M$ au voisinage de $t_{0}$ ; comme $∥ h (t) ∥$ tend vers $0$ , la quantité $ε (h (t))$ tend vers $0$ , et le second terme est majoré en valeur absolue par $M ∣ ε (h (t)) ∣$ , donc tend vers $0$ .

En passant à la limite quand $t$ tend vers $t_{0}$ , il reste $⟨ \nabla f (a), γ^{'} (t_{0}) ⟩ = 0$ .

Pour la tangente : le vecteur $γ^{'} (t_{0})$ étant non nul, il dirige la tangente à la ligne de niveau en $a$ , et on vient de voir qu'il est orthogonal à $\nabla f (a)$ . Comme $\nabla f (a) \neq = (0, 0)$ , la droite orthogonale à $\nabla f (a)$ passant par $a$ est bien définie : c'est donc la tangente, d'équation $⟨ \nabla f (a), m - a ⟩ = 0$ , ce qui est la formule annoncée. $□$

Remarque

Une précaution d'usage. L'existence même d'un tel paramétrage régulier de la ligne de niveau au voisinage de $a$ est un résultat profond, hors programme, que l'on admet chaque fois qu'on lit une tangente sur une carte de niveaux. Ce qui est en revanche parfaitement démontré ci-dessus, et qu'on utilisera sans réserve, c'est l'orthogonalité : dès qu'un arc tracé sur une ligne de niveau passe par $a$ , sa vitesse en $a$ est orthogonale à $\nabla f (a)$ .

Exemple

Vérification sur la figure. Pour $f (x, y) = x y$ et $a = (1, 1)$ , la ligne de niveau $1$ est l'hyperbole d'équation $y = 1/ x$ , que l'on paramètre par $γ (t) = (t, \frac{1}{t})$ pour $t > 0$ , avec $γ (1) = a$ . On a $γ^{'} (t) = (1, - \frac{1}{t ^{2}})$ , donc $γ^{'} (1) = (1, - 1)$ , et $\nabla f (1, 1) = (1, 1)$ . Le produit scalaire vaut $1 \times 1 + 1 \times (- 1) = 0$ : les deux vecteurs sont bien orthogonaux, comme la figure le montre.

L'équation de la tangente en $A$ donnée par la propriété est $1 \times (x - 1) + 1 \times (y - 1) = 0$ , c'est-à-dire $y = 2 - x$ . On retrouve la tangente à l'hyperbole $y = 1/ x$ au point d'abscisse $1$ , dont l'équation est bien $y = 1 - (x - 1)$ .

Direction de plus forte pente

Propriété

Le gradient donne la direction de plus forte pente. Soient $f$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ et $a \in U$ tel que $\nabla f (a) \neq = (0, 0)$ . Pour tout vecteur unitaire $u$ , l'accroissement de $f$ au premier ordre dans la direction $u$ vaut

f (a + t u) - f (a) = t ⟨ \nabla f (a), u ⟩ + o (t),

∣ ⟨ \nabla f (a), u ⟩ ∣ ⩽ ∥ \nabla f (a) ∥,

avec égalité si et seulement si $u$ est colinéaire à $\nabla f (a)$ .

Démonstration. La première égalité est le développement limité appliqué à $h = t u$ , avec $∥ t u ∥ = ∣ t ∣$ puisque $u$ est unitaire. L'inégalité est celle de Cauchy-Schwarz, avec $∥ u ∥ = 1$ , et son cas d'égalité, démontré au chapitre sur les espaces préhilbertiens réels, est exactement la colinéarité des deux vecteurs. $□$

Remarque

L'image à retenir. Parmi toutes les directions possibles, celle du gradient est celle où la fonction croît le plus vite, la direction opposée celle où elle décroît le plus vite, et les directions orthogonales celles où, au premier ordre, elle ne varie pas : ce sont celles des lignes de niveau. Sur une carte de randonnée, le gradient est la flèche de plus grande pente, perpendiculaire aux courbes de niveau et dirigée vers le sommet. Le nombre $∥ \nabla f (a) ∥$ mesure la raideur du terrain.

Dérivée suivant un vecteur

Définition et calcul

Définition

Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f : U \to R$ , $a \in U$ et $u \in R^{2}$ . On appelle dérivée de $f$ en $a$ suivant le vecteur $u$ , lorsqu'elle existe, la limite

D_{u} f (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a + t u ) - f ( a )}{t},

c'est-à-dire le nombre dérivé en $0$ de la fonction d'une variable $t \mapsto f (a + t u)$ .

Remarque

La fonction $t \mapsto f (a + t u)$ est bien définie au voisinage de $0$ : comme $U$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B (a, r) \subset U$ , et pour $u \neq = (0, 0)$ le point $a + t u$ appartient à cette boule dès que $∣ t ∣ < r / ∥ u ∥$ .

Géométriquement, on parcourt la droite passant par $a$ et dirigée par $u$ , on relève l'altitude le long de cette droite, et on dérive le profil obtenu à l'instant du passage en $a$ . Les dérivées partielles sont les cas particuliers $u = (1, 0)$ et $u = (0, 1)$ :

D_{(1, 0)} f (a) = \frac{\partial f}{\partial x} (a), D_{(0, 1)} f (a) = \frac{\partial f}{\partial y} (a) .

Propriété

Expression par le gradient. Soient $U$ un ouvert, $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ , $a \in U$ et $u \in R^{2}$ . Alors $D_{u} f (a)$ existe et

D_{u} f (a) = ⟨ \nabla f (a), u ⟩ = \frac{\partial f}{\partial x} (a) u_{1} + \frac{\partial f}{\partial y} (a) u_{2}, o \overset{u}{ˋ} u = (u_{1}, u_{2}) .

Démonstration. Si $u = (0, 0)$ , la fonction $t \mapsto f (a + t u)$ est constante et le résultat est immédiat, les deux membres étant nuls. Supposons donc $u \neq = (0, 0)$ .

Le développement limité de $f$ en $a$ fournit $r > 0$ et une fonction $ε$ nulle et de limite nulle en $(0, 0)$ telles que, pour $∥ h ∥ < r$ ,

f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + ∥ h ∥ ε (h) .

Appliquons-le à $h = t u$ , ce qui est licite dès que $∣ t ∣ < r / ∥ u ∥$ . Par linéarité du produit scalaire et homogénéité de la norme,

f (a + t u) = f (a) + t ⟨ \nabla f (a), u ⟩ + ∣ t ∣ ∥ u ∥ ε (t u) .

Pour $t \neq = 0$ , en divisant par $t$ et en remarquant que $\frac{∣ t ∣}{t} = 1$ ,

\frac{f ( a + t u ) - f ( a )}{t} - ⟨ \nabla f (a), u ⟩ = ∥ u ∥ ∣ ε (t u) ∣ .

Quand $t$ tend vers $0$ , le vecteur $t u$ tend vers $(0, 0)$ , donc $ε (t u)$ tend vers $0$ et le membre de droite aussi. Le taux d'accroissement admet donc la limite annoncée. $□$

Remarque

Trois conséquences immédiates.

Homogénéité : pour tout $λ \in R$ , $D_{λ u} f (a) = λ D_{u} f (a)$ . La dérivée suivant un vecteur dépend donc de la longueur du vecteur, et pas seulement de sa direction. Pour comparer des directions entre elles, on prend toujours des vecteurs unitaires.
Linéarité en $u$ : $D_{u + v} f (a) = D_{u} f (a) + D_{v} f (a)$ , ce qui est loin d'être évident sur la définition et découle immédiatement de la formule.
Plus forte pente : parmi les vecteurs unitaires, $D_{u} f (a)$ est maximal pour $u = \frac{\nabla f ( a )}{∥ \nabla f ( a ) ∥}$ , et vaut alors $∥ \nabla f (a) ∥$ . C'est la propriété de la section 5, relue avec la notation $D_{u} f (a)$ .

La figure ci-dessous illustre la définition sur la fonction $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}$ , dont les lignes de niveau $k \in {1, 4, 9}$ sont les cercles centrés à l'origine de rayons $1$ , $2$ et $3$ . Au point $a = (2, 1)$ , le vecteur $u = (1, 1)$ est tracé, ainsi que la droite $t \mapsto a + t u$ en pointillés : c'est le long de cette droite, et d'elle seule, que se lit $D_{u} f (a)$ . On voit que la droite traverse les cercles de niveau en s'éloignant de l'origine, donc en montant : la dérivée suivant $u$ sera positive, ce que le calcul ci-dessous confirme.

Derivee suivant un vecteur : la droite t donne a plus t u, tracee sur les lignes de niveau

Exemple

Le calcul de la figure, par les deux méthodes. Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , $a = (2, 1)$ et $u = (1, 1)$ .

Par le gradient. La fonction est polynomiale donc de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , et $\nabla f (x, y) = (2 x, 2 y)$ , donc $\nabla f (a) = (4, 2)$ . La propriété donne

D_{u} f (a) = ⟨ (4, 2), (1, 1) ⟩ = 4 + 2 = 6.

Par la définition. On calcule $g (t) = f (a + t u) = (2 + t)^{2} + (1 + t)^{2} = 2 t^{2} + 6 t + 5$ , donc $g^{'} (t) = 4 t + 6$ et $g^{'} (0) = 6$ . Les deux méthodes concordent.

Avec le vecteur unitaire associé. En posant $v = \frac{1}{2} (1, 1)$ , on obtient $D_{v} f (a) = \frac{6}{2} = 32 \approx 4, 24$ , à comparer à la pente maximale $∥ \nabla f (a) ∥ = 20 \approx 4, 47$ , atteinte dans la direction radiale $(2, 1)$ . La direction $u$ n'est pas tout à fait la plus raide, ce que la figure laissait prévoir puisque $u$ n'est pas exactement radial.

Règle de la chaîne, changements de variables, applications

C'est la formule centrale du chapitre. Tout ce qui suit, changements de variables, coordonnées polaires, équations aux dérivées partielles, caractérisation des fonctions de gradient nul, n'en est qu'une application.

Dérivation le long d'un arc

Propriété

Règle de la chaîne le long d'un arc. Soient $I$ un intervalle de $R$ , et $x$ et $y$ deux fonctions de classe $C^{1}$ sur $I$ . Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ tel que $(x (t), y (t)) \in U$ pour tout $t \in I$ , et $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $U$ .

Alors la fonction $g : t \mapsto f (x (t), y (t))$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ et, pour tout $t \in I$ ,

g^{'} (t) = \frac{\partial f}{\partial x} (x (t), y (t)) x^{'} (t) + \frac{\partial f}{\partial y} (x (t), y (t)) y^{'} (t) .

Démonstration. Fixons $t_{0} \in I$ et posons $a = (x (t_{0}), y (t_{0})) \in U$ , ainsi que $γ (t) = (x (t), y (t))$ et $h (t) = γ (t) - a$ .

Mise en place. Le développement limité de $f$ en $a$ fournit $r > 0$ avec $B (a, r) \subset U$ et une fonction $ε$ nulle et de limite nulle en $(0, 0)$ telles que $f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + ∥ h ∥ ε (h)$ pour $∥ h ∥ < r$ . Comme dans la démonstration de la section 5, la continuité de $x$ et $y$ en $t_{0}$ fournit $η > 0$ tel que $∥ h (t) ∥ < r$ dès que $∣ t - t_{0} ∣ < η$ : le développement limité s'applique alors à $h (t)$ .

Le taux d'accroissement. Pour $0 < ∣ t - t_{0} ∣ < η$ , en divisant l'égalité $g (t) - g (t_{0}) = ⟨ \nabla f (a), h (t) ⟩ + ∥ h (t) ∥ ε (h (t))$ par $t - t_{0}$ :

\frac{g ( t ) - g ( t _{0} )}{t - t _{0}} = \frac{\partial f}{\partial x} (a) \frac{x ( t ) - x ( t _{0} )}{t - t _{0}} + \frac{\partial f}{\partial y} (a) \frac{y ( t ) - y ( t _{0} )}{t - t _{0}} + \frac{∥ h ( t ) ∥}{t - t _{0}} ε (h (t)) .

Les deux premiers termes tendent respectivement vers $\frac{\partial f}{\partial x} (a) x^{'} (t_{0})$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (a) y^{'} (t_{0})$ , par définition des nombres dérivés de $x$ et $y$ en $t_{0}$ .

Le terme de reste. Posons $A (t) = \frac{x ( t ) - x ( t _{0} )}{t - t _{0}}$ et $B (t) = \frac{y ( t ) - y ( t _{0} )}{t - t _{0}}$ . Par homogénéité de la norme,

\frac{∥ h ( t ) ∥}{∣ t - t _{0} ∣} = A (t)^{2} + B (t)^{2},

qui tend vers $x^{'} (t_{0})^{2} + y^{'} (t_{0})^{2}$ ; ayant une limite finie, cette quantité est bornée par un réel $M$ au voisinage de $t_{0}$ . Par ailleurs $∥ h (t) ∥$ tend vers $0$ , donc $ε (h (t))$ tend vers $0$ , et c'est ici que la convention $ε (0, 0) = 0$ sert, car $h (t)$ peut s'annuler pour certaines valeurs de $t$ . Le terme de reste est donc majoré en valeur absolue par $M ∣ ε (h (t)) ∣$ , qui tend vers $0$ .

Conclusion. Le taux d'accroissement admet une limite finie, donc $g$ est dérivable en $t_{0}$ avec la valeur annoncée. Ceci vaut pour tout $t_{0} \in I$ . Enfin, $g^{'}$ est continue sur $I$ : les fonctions $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont continues sur $U$ puisque $f$ est de classe $C^{1}$ , l'arc $γ$ est continu, et $x^{'}$ et $y^{'}$ sont continues ; $g^{'}$ est donc somme de produits de fonctions continues. Ainsi $g$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ . $□$

Remarque

Comment retenir la formule. Elle se lit : « on dérive $f$ par rapport à chaque variable, on multiplie par la dérivée de cette variable, et on additionne ». Il y a donc un terme par variable, et c'est le contrôle immédiat à faire : une formule de dérivation en chaîne à deux variables qui ne comporterait qu'un seul terme est fausse.

Sous forme vectorielle, avec $γ (t) = (x (t), y (t))$ et $γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))$ ,

g^{'} (t) = ⟨ \nabla f (γ (t)), γ^{'} (t) ⟩ .

La variation de l'altitude le long d'un chemin est le produit scalaire du gradient par le vecteur vitesse. On retrouve d'un mot la propriété de la section 5 : si l'arc reste sur une ligne de niveau, $g$ est constante, donc $g^{'} = 0$ , donc le gradient est orthogonal au vecteur vitesse.

Exemple

Deux vérifications directes.

Le long d'un cercle. Prenons $f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}$ , $x (t) = cos t$ et $y (t) = sin t$ . La règle de la chaîne donne

g^{'} (t) = 2 cos t \times (- sin t) + 4 sin t \times cos t = 2 sin t cos t = sin (2 t) .

Vérification directe : $g (t) = cos^{2} t + 2 sin^{2} t = 1 + sin^{2} t$ , donc $g^{'} (t) = 2 sin t cos t$ . Identique.

Le long d'une parabole. Prenons $f (x, y) = x e^{x y}$ , $x (t) = t$ et $y (t) = t^{2}$ . Avec les dérivées partielles calculées en section 3,

g^{'} (t) = (1 + t^{3}) e^{t^{3}} \times 1 + t^{2} e^{t^{3}} \times 2 t = (1 + 3 t^{3}) e^{t^{3}} .

Vérification directe : $g (t) = t e^{t^{3}}$ , donc $g^{'} (t) = e^{t^{3}} + 3 t^{3} e^{t^{3}}$ . Identique.

Dérivées partielles d'une composée à deux paramètres

Propriété

Règle de la chaîne, version à deux paramètres. Soient $V$ et $U$ deux ouverts de $R^{2}$ , et $φ$ et $ψ$ deux fonctions de classe $C^{1}$ sur $V$ telles que $(φ (u, v), ψ (u, v)) \in U$ pour tout $(u, v) \in V$ . Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . Alors

F : (u, v) ⟼ f (φ (u, v), ψ (u, v))

est de classe $C^{1}$ sur $V$ et, en notant $m = (φ (u, v), ψ (u, v))$ ,

\frac{\partial F}{\partial u} (u, v) \frac{\partial F}{\partial v} (u, v) = \frac{\partial f}{\partial x} (m) \frac{\partial φ}{\partial u} (u, v) + \frac{\partial f}{\partial y} (m) \frac{\partial ψ}{\partial u} (u, v), = \frac{\partial f}{\partial x} (m) \frac{\partial φ}{\partial v} (u, v) + \frac{\partial f}{\partial y} (m) \frac{\partial ψ}{\partial v} (u, v) .

Démonstration. Il suffit d'appliquer la règle de la chaîne le long d'un arc, une variable étant figée. Fixons $(u_{0}, v_{0}) \in V$ et calculons $\frac{\partial F}{\partial u} (u_{0}, v_{0})$ , c'est-à-dire le nombre dérivé en $u_{0}$ de $u \mapsto F (u, v_{0})$ .

Comme $V$ est ouvert, il existe $ρ > 0$ tel que $B ((u_{0}, v_{0}), ρ) \subset V$ , et l'application partielle est définie sur l'intervalle $I =] u_{0} - ρ, u_{0} + ρ [$ . Posons, pour $u \in I$ ,

\tilde{x} (u) = φ (u, v_{0}) et \tilde{y} (u) = ψ (u, v_{0}) .

Ces deux fonctions sont de classe $C^{1}$ sur $I$ : elles sont dérivables, de dérivées $\frac{\partial φ}{\partial u} (u, v_{0})$ et $\frac{\partial ψ}{\partial u} (u, v_{0})$ par définition des dérivées partielles, et ces dérivées sont continues en $u$ comme composées des fonctions continues $\frac{\partial φ}{\partial u}$ , $\frac{\partial ψ}{\partial u}$ avec l'application continue $u \mapsto (u, v_{0})$ . De plus l'arc $u \mapsto (\tilde{x} (u), \tilde{y} (u))$ est à valeurs dans $U$ .

La règle de la chaîne le long d'un arc s'applique donc à $u \mapsto f (\tilde{x} (u), \tilde{y} (u)) = F (u, v_{0})$ et donne, en $u = u_{0}$ , la première formule. La seconde s'obtient en figeant $u$ au lieu de $v$ .

Enfin, les deux expressions obtenues sont continues sur $V$ , comme sommes de produits de fonctions continues, les facteurs $\frac{\partial f}{\partial x} (m)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (m)$ l'étant par composition. Donc $F$ est de classe $C^{1}$ sur $V$ . $□$

Méthode

Poser proprement un changement de variables. Un changement de variables mal posé est la première cause d'erreur du chapitre. La rédaction correcte comporte toujours les mêmes ingrédients.

Décrire les deux ouverts : l'ouvert $V$ des nouvelles variables $(u, v)$ , l'ouvert $U$ des anciennes $(x, y)$ .
Donner les formules dans les deux sens : $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$ pour pouvoir dériver, et $u$ et $v$ en fonction de $x$ et $y$ pour pouvoir revenir. Vérifier que le passage est bijectif de $V$ sur $U$ .
Nommer la fonction composée : « posons $F (u, v) = f (φ (u, v), ψ (u, v))$ ». Ne jamais écrire $f (u, v)$ : ce n'est pas la même fonction, et cette confusion de notation fait perdre le contrôle de toutes les formules.
Appliquer la règle de la chaîne en écrivant systématiquement les deux termes, puis remplacer.
Revenir aux variables initiales à la fin, et vérifier le résultat obtenu en le réinjectant dans l'équation de départ.

Exemple

Un changement de variables affine. Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ . Posons, pour $(u, v) \in R^{2}$ ,

F (u, v) = f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2}),

ce qui correspond au changement de variables $u = x + y$ , $v = x - y$ , bijectif de $R^{2}$ sur $R^{2}$ . Ici $φ (u, v) = \frac{u + v}{2}$ et $ψ (u, v) = \frac{u - v}{2}$ , de dérivées partielles

\frac{\partial φ}{\partial u} = \frac{1}{2}, \frac{\partial φ}{\partial v} = \frac{1}{2}, \frac{\partial ψ}{\partial u} = \frac{1}{2}, \frac{\partial ψ}{\partial v} = - \frac{1}{2} .

La règle de la chaîne donne donc, en notant $m$ le point image,

\frac{\partial F}{\partial u} (u, v) = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} (m) + \frac{\partial f}{\partial y} (m)), \frac{\partial F}{\partial v} (u, v) = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} (m) - \frac{\partial f}{\partial y} (m)) .

Ce changement de variables transforme donc les deux combinaisons $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ et $\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$ en dérivées partielles simples. C'est exactement ce qui sert à résoudre les équations de transport ci-dessous.

Passage en coordonnées polaires

C'est le changement de variables le plus utile du chapitre, et il faut savoir le refaire de mémoire.

Propriété

Passage en polaires. Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ et $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . Soit $V$ un ouvert de $] 0, + \infty [\times R$ tel que $m = (r cos θ, r sin θ)$ appartienne à $U$ pour tout $(r, θ) \in V$ , et posons $F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)$ . Alors $F$ est de classe $C^{1}$ sur $V$ et

\frac{\partial F}{\partial r} (r, θ) \frac{\partial F}{\partial θ} (r, θ) = cos θ \frac{\partial f}{\partial x} (m) + sin θ \frac{\partial f}{\partial y} (m), = - r sin θ \frac{\partial f}{\partial x} (m) + r cos θ \frac{\partial f}{\partial y} (m) .

Réciproquement, pour $r > 0$ , ce système s'inverse en

\frac{\partial f}{\partial x} (m) \frac{\partial f}{\partial y} (m) = cos θ \frac{\partial F}{\partial r} (r, θ) - \frac{sin θ}{r} \frac{\partial F}{\partial θ} (r, θ), = sin θ \frac{\partial F}{\partial r} (r, θ) + \frac{cos θ}{r} \frac{\partial F}{\partial θ} (r, θ) .

Démonstration. Les fonctions $(r, θ) \mapsto r cos θ$ et $(r, θ) \mapsto r sin θ$ sont de classe $C^{1}$ comme produits de fonctions usuelles, avec

\frac{\partial x}{\partial r} = cos θ, \frac{\partial x}{\partial θ} = - r sin θ, \frac{\partial y}{\partial r} = sin θ, \frac{\partial y}{\partial θ} = r cos θ .

Les deux premières formules sont donc exactement la règle de la chaîne à deux paramètres.

Pour l'inversion, abrégeons $p = \frac{\partial f}{\partial x} (m)$ et $q = \frac{\partial f}{\partial y} (m)$ , et calculons

cos θ \frac{\partial F}{\partial r} - \frac{sin θ}{r} \frac{\partial F}{\partial θ} = cos θ (p cos θ + q sin θ) - \frac{sin θ}{r} (- r p sin θ + r q cos θ) = (cos^{2} θ + sin^{2} θ) p + (cos θ sin θ - sin θ cos θ) q = p .

Le calcul de $sin θ \frac{\partial F}{\partial r} + \frac{cos θ}{r} \frac{\partial F}{\partial θ}$ est identique et donne $q$ . L'hypothèse $r > 0$ est indispensable puisque l'on divise par $r$ . $□$

Remarque

Deux lectures. D'abord une lecture géométrique : $\frac{\partial F}{\partial r}$ est la dérivée de $f$ suivant le vecteur unitaire radial $(cos θ, sin θ)$ , et $\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial θ}$ la dérivée suivant le vecteur unitaire orthoradial $(- sin θ, cos θ)$ ; c'est immédiat avec la formule $D_{u} f = ⟨ \nabla f, u ⟩$ de la section 6.

Ensuite, la norme du gradient s'exprime simplement : en élevant au carré les deux formules d'inversion et en les additionnant, les doubles produits se compensent et il reste

∥ \nabla f (m) ∥^{2} = (\frac{\partial F}{\partial r})^{2} + \frac{1}{r ^{2}} (\frac{\partial F}{\partial θ})^{2} .

Exemple

Un contrôle sur l'angle polaire. Reprenons $f (x, y) = Arctan (\frac{y}{x})$ sur $U = {(x, y); x > 0}$ . Un point de $U$ s'écrit $(r cos θ, r sin θ)$ avec $r > 0$ et $θ \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , et alors

F (r, θ) = Arctan (\frac{r sin θ}{r cos θ}) = Arctan (tan θ) = θ .

Donc $\frac{\partial F}{\partial r} = 0$ et $\frac{\partial F}{\partial θ} = 1$ , et les formules d'inversion donnent immédiatement

\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{sin θ}{r} = - \frac{y}{r ^{2}} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{cos θ}{r} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}},

ce qui redonne sans aucun calcul les résultats obtenus à la main en section 3.

Application 1 : équations aux dérivées partielles d'ordre 1

Une équation aux dérivées partielles d'ordre $1$ est une équation dont l'inconnue est une fonction $f$ de deux variables, et qui relie $f$ à ses deux dérivées partielles premières. Résoudre une telle équation, c'est décrire toutes les fonctions de classe $C^{1}$ qui la vérifient sur un ouvert donné.

Propriété

Le lemme de base. Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts et $F$ de classe $C^{1}$ sur le pavé $V = I \times J$ . Si $\frac{\partial F}{\partial v} = 0$ en tout point de $V$ , alors il existe une fonction $χ$ de classe $C^{1}$ sur $I$ telle que

\forall (u, v) \in V, F (u, v) = χ (u) .

Démonstration. Fixons $v_{0} \in J$ et posons $χ (u) = F (u, v_{0})$ pour $u \in I$ . Soit $u \in I$ : l'application partielle $v \mapsto F (u, v)$ est définie et dérivable sur l'intervalle $J$ tout entier, de dérivée $\frac{\partial F}{\partial v} (u, v) = 0$ . Une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle étant constante, on obtient $F (u, v) = F (u, v_{0}) = χ (u)$ pour tout $v \in J$ .

Enfin $χ$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ : elle est dérivable de dérivée $χ^{'} (u) = \frac{\partial F}{\partial u} (u, v_{0})$ , qui est continue en $u$ . $□$

Remarque

L'hypothèse « pavé » n'est pas décorative. Elle sert à disposer d'un même $v_{0}$ valable pour tous les $u$ , et à ce que chaque application partielle soit définie sur un intervalle. Sur un ouvert biscornu, le résultat tombe en défaut ; en pratique, on prendra toujours soin de travailler sur un pavé ou sur un disque.

Méthode

Résoudre une équation aux dérivées partielles d'ordre $1$ . Toujours les mêmes quatre temps.

Choisir le changement de variables qui transforme la combinaison de dérivées partielles présente dans l'équation en une seule dérivée partielle. Une équation à coefficients constants $α \frac{\partial f}{\partial x} + β \frac{\partial f}{\partial y} = \dots$ appelle un changement affine ; une équation faisant intervenir $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}$ ou $x \frac{\partial f}{\partial y} - y \frac{\partial f}{\partial x}$ appelle les polaires.
Poser $F$ et traduire l'équation en une équation portant sur $F$ , par la règle de la chaîne.
Intégrer : une dérivée partielle nulle donne une fonction arbitraire de l'autre variable (lemme de base) ; une dérivée partielle égale à une expression donne une primitive, à laquelle s'ajoute une fonction arbitraire de l'autre variable.
Revenir à $f$ et vérifier que les fonctions trouvées conviennent : la résolution procède par implications, la réciproque doit être écrite.

Exemple

Une équation de transport. Cherchons toutes les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ telles que

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 0 pour tout (x, y) \in R^{2} .

Changement de variables. Posons $u = x + y$ et $v = x - y$ , bijectif de $R^{2}$ sur $R^{2}$ , de réciproque $x = \frac{u + v}{2}$ , $y = \frac{u - v}{2}$ , et $F (u, v) = f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2})$ , de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ .

Traduction. D'après le calcul mené plus haut, $\frac{\partial F}{\partial v} = \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y})$ . L'équation équivaut donc à $\frac{\partial F}{\partial v} = 0$ sur $R^{2}$ , qui est un pavé.

Intégration. Le lemme de base donne $F (u, v) = χ (u)$ avec $χ$ de classe $C^{1}$ sur $R$ , d'où, en revenant aux variables initiales, $f (x, y) = χ (x + y)$ .

Réciproque. Si $f (x, y) = χ (x + y)$ avec $χ$ de classe $C^{1}$ , alors $f$ est de classe $C^{1}$ par composition et $\frac{\partial f}{\partial x} = χ^{'} (x + y) = \frac{\partial f}{\partial y}$ : l'équation est vérifiée. Les solutions sont donc exactement les fonctions constantes le long des droites d'équation $x + y = c$ .

Exemple

La même équation, avec second membre. Cherchons les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ telles que

\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} = x + y .

Avec le même changement de variables, le second membre vaut $u$ et l'équation devient

\frac{\partial F}{\partial v} (u, v) = \frac{u}{2} .

Posons $G (u, v) = F (u, v) - \frac{uv}{2}$ : c'est une fonction de classe $C^{1}$ sur le pavé $R^{2}$ , dont la dérivée partielle par rapport à $v$ est nulle partout. Le lemme de base s'applique : il existe $χ$ de classe $C^{1}$ telle que $G (u, v) = χ (u)$ , c'est-à-dire

F (u, v) = \frac{uv}{2} + χ (u), d’o \overset{u}{ˋ} f (x, y) = \frac{( x + y ) ( x - y )}{2} + χ (x + y) = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{2} + χ (x + y) .

Réciproque. Pour une telle $f$ avec $χ$ de classe $C^{1}$ , on a $\frac{\partial f}{\partial x} = x + χ^{'} (x + y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = - y + χ^{'} (x + y)$ , dont la différence vaut bien $x + y$ .

Exemple

Une équation qui appelle les polaires. Cherchons les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U = R^{2} ∖ (] - \infty, 0] \times {0})$ , c'est-à-dire le plan privé d'une demi-droite, telles que

x \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) - y \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 0.

Changement de variables. Le passage en polaires réalise une bijection de $V =] 0, + \infty [\times] - π, π [$ sur $U$ . Posons $F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)$ . Avec $x = r cos θ$ et $y = r sin θ$ , la formule de la propriété donne

\frac{\partial F}{\partial θ} (r, θ) = - y \frac{\partial f}{\partial x} (m) + x \frac{\partial f}{\partial y} (m),

qui est exactement le membre de gauche de l'équation. Celle-ci équivaut donc à $\frac{\partial F}{\partial θ} = 0$ sur le pavé $V$ .

Intégration et retour. Le lemme de base donne $F (r, θ) = χ (r)$ avec $χ$ de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ , donc

f (x, y) = χ (x^{2} + y^{2}) .

Réciproque. Une telle fonction est de classe $C^{1}$ sur $U$ par composition, et un calcul direct donne $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x χ ^{'} ( ρ )}{ρ}$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y χ ^{'} ( ρ )}{ρ}$ en posant $ρ = x^{2} + y^{2}$ , d'où $x \frac{\partial f}{\partial y} - y \frac{\partial f}{\partial x} = 0$ . Les solutions sont exactement les fonctions invariantes par rotation : elles ne dépendent que de la distance à l'origine.

Application 2 : les fonctions de gradient nul

Propriété

Caractérisation des fonctions de gradient nul. Soit $U$ un ouvert de $R^{2}$ qui est soit un pavé ouvert $I \times J$ , soit un disque ouvert $B (c, R)$ . Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . Alors

f est constante sur U ⟺ \nabla f (m) = (0, 0) pour tout m \in U .

Démonstration. Sens direct. Si $f$ est constante, chacune de ses applications partielles est constante, donc de dérivée nulle : les deux dérivées partielles sont nulles en tout point.

Sens réciproque. Commençons par observer que, dans les deux cas envisagés, le segment joignant deux points de $U$ est inclus dans $U$ .

Pour le pavé : si $a = (a_{1}, a_{2})$ et $b = (b_{1}, b_{2})$ sont dans $I \times J$ et si $t \in [0, 1]$ , alors $(1 - t) a_{1} + t b_{1}$ appartient à $I$ car $I$ est un intervalle, et de même pour la seconde coordonnée.

Pour le disque : avec $a, b \in B (c, R)$ et $t \in [0, 1]$ , l'inégalité triangulaire et l'homogénéité de la norme donnent

∥ (1 - t) a + t b - c ∥ = ∥ (1 - t) (a - c) + t (b - c) ∥ ⩽ (1 - t) ∥ a - c ∥ + t ∥ b - c ∥ < (1 - t) R + tR = R .

Soient maintenant $a$ et $b$ deux points de $U$ et posons, pour $t \in [0, 1]$ ,

g (t) = f (a + t (b - a)) .

L'arc $t \mapsto a + t (b - a)$ a ses deux coordonnées affines, donc de classe $C^{1}$ , et il est à valeurs dans $U$ d'après ce qui précède. La règle de la chaîne s'applique et donne, pour tout $t$ ,

g^{'} (t) = ⟨ \nabla f (a + t (b - a)), b - a ⟩ = ⟨ (0, 0), b - a ⟩ = 0.

Ainsi $g$ est dérivable de dérivée nulle sur l'intervalle $[0, 1]$ , donc constante, et en particulier $f (a) = g (0) = g (1) = f (b)$ . Les deux points $a$ et $b$ étant quelconques, $f$ est constante sur $U$ . $□$

Remarque

Ce qui a réellement servi, c'est que deux points quelconques de $U$ soient toujours joints par un segment inclus dans $U$ ; les parties possédant cette propriété sont dites convexes, et la démonstration vaut pour toutes.

Le résultat tombe en défaut sans cette hypothèse. Prenons $U$ la réunion des deux disques ouverts $B ((- 2, 0), 1)$ et $B ((2, 0), 1)$ , qui est un ouvert comme réunion d'ouverts, et $f$ la fonction valant $0$ sur le premier disque et $1$ sur le second. Elle est de classe $C^{1}$ sur $U$ , de gradient nul partout, et pourtant elle n'est pas constante. Aucun segment ne relie les deux morceaux en restant dans $U$ : la démonstration ne peut pas démarrer, et la conclusion est effectivement fausse.

Extremums

Vocabulaire

Définition

Soient $D$ une partie de $R^{2}$ , $f : D \to R$ et $a \in D$ .

$f$ admet un maximum global en $a$ lorsque $f (m) ⩽ f (a)$ pour tout $m \in D$ . Le maximum est dit strict lorsque $f (m) < f (a)$ pour tout $m \in D$ différent de $a$ .
$f$ admet un maximum local en $a$ lorsqu'il existe $r > 0$ tel que $f (m) ⩽ f (a)$ pour tout $m \in D \cap B (a, r)$ .
Les définitions de minimum global et minimum local s'obtiennent en renversant les inégalités.
Un extremum est un maximum ou un minimum.

Remarque

Trois précisions de vocabulaire.

Un extremum global est en particulier local ; la réciproque est fausse, comme en une variable.
Un extremum se rapporte toujours à une partie : « le maximum de $f$ sur le disque unité » et « le maximum de $f$ sur $R^{2}$ » n'ont aucune raison de coïncider. Préciser la partie fait partie de la réponse.
Il faut distinguer le point où l'extremum est atteint, ici $a$ , et la valeur de l'extremum, ici $f (a)$ . Une question du type « déterminer les extremums » attend les deux.

Points critiques et condition nécessaire

Définition

Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ et $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . Un point $a \in U$ est appelé point critique de $f$ lorsque

\nabla f (a) = (0, 0), c’est- \overset{a}{ˋ} -dire \frac{\partial f}{\partial x} (a) = \frac{\partial f}{\partial y} (a) = 0.

Propriété

Condition nécessaire d'extremum local. Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ et $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . Si $f$ admet un extremum local en un point $a$ de $U$ , alors $a$ est un point critique de $f$ .

Démonstration. Traitons le cas d'un maximum local, celui d'un minimum s'y ramenant en considérant $- f$ .

Par hypothèse, il existe $r_{1} > 0$ tel que $f (m) ⩽ f (a)$ pour tout $m \in U \cap B (a, r_{1})$ . Comme $U$ est ouvert, il existe de plus $r_{2} > 0$ tel que $B (a, r_{2}) \subset U$ . Posons $r = min (r_{1}, r_{2}) > 0$ : pour tout $m \in B (a, r)$ , le point $m$ appartient à $U$ et vérifie $f (m) ⩽ f (a)$ .

Considérons alors la première application partielle $ϕ : x \mapsto f (x, a_{2})$ . Pour $∣ x - a_{1} ∣ < r$ , le point $(x, a_{2})$ appartient à $B (a, r)$ , donc $ϕ$ est définie sur l'intervalle ouvert $] a_{1} - r, a_{1} + r [$ et y vérifie $ϕ (x) ⩽ ϕ (a_{1})$ . Autrement dit, $ϕ$ est une fonction d'une variable réelle, dérivable en $a_{1}$ , qui admet en $a_{1}$ un maximum intérieur à son intervalle de définition. Le théorème de première année s'applique : son nombre dérivé en $a_{1}$ est nul, c'est-à-dire

\frac{\partial f}{\partial x} (a) = 0.

Le même raisonnement appliqué à $y \mapsto f (a_{1}, y)$ donne $\frac{\partial f}{\partial y} (a) = 0$ . Donc $\nabla f (a) = (0, 0)$ . $□$

Remarque

L'hypothèse « ouvert » est indispensable, exactement comme l'hypothèse « intérieur à l'intervalle » en une variable. Sur le carré $D = [0, 1] \times [0, 1]$ , la fonction $f (x, y) = x$ atteint son maximum en tout point du segment $x = 1$ , et pourtant $\nabla f (x, y) = (1, 0)$ ne s'annule jamais. Aucune contradiction : ces points ne sont pas intérieurs, et la propriété ne leur est pas applicable. C'est pour cette raison que tout problème d'optimisation sur un domaine non ouvert se scinde en deux, l'intérieur et le bord.

Le sens de lecture. La propriété fournit une condition nécessaire, jamais suffisante. Elle sert à sélectionner une liste finie de candidats, jamais à conclure.

La réciproque est fausse : les points selles

La figure ci-dessous représente les lignes de niveau $k \in {- 4, - 1, 1, 4}$ de la fonction $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ . Ce sont des hyperboles, celles de niveau positif ouvertes vers la gauche et la droite, celles de niveau négatif ouvertes vers le haut et le bas. La ligne de niveau $0$ , tracée en pointillés, est la réunion des deux bissectrices $y = x$ et $y = - x$ : c'est le seul cas de figure où une ligne de niveau se croise elle-même, et c'est la signature du phénomène. Les deux axes sont mis en évidence : sur l'axe des abscisses, l'application partielle $x \mapsto f (x, 0) = x^{2}$ présente un minimum en $0$ , tandis que sur l'axe des ordonnées $y \mapsto f (0, y) = - y^{2}$ présente un maximum. En un tel point, on monte dans une direction et on descend dans une autre.

Lignes de niveau de la fonction (x,y) donne x carre moins y carre, au voisinage d'un point selle

Exemple

Le contre-exemple de référence. Soit $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ sur $R^{2}$ . On a $\nabla f (x, y) = (2 x, - 2 y)$ , qui s'annule uniquement en $(0, 0)$ : l'origine est l'unique point critique, et $f (0, 0) = 0$ .

Ce n'est pourtant pas un extremum local. Soit en effet $r > 0$ quelconque. Le point $(\frac{r}{2}, 0)$ appartient à $B ((0, 0), r)$ et vérifie $f = \frac{r ^{2}}{4} > 0$ , tandis que le point $(0, \frac{r}{2})$ y appartient aussi et vérifie $f = - \frac{r ^{2}}{4} < 0$ . Dans toute boule centrée à l'origine, $f$ prend donc des valeurs strictement plus grandes et des valeurs strictement plus petites que $f (0, 0)$ : ce n'est ni un maximum local, ni un minimum local. Un tel point critique s'appelle un point selle, ou un col.

Méthode

Rechercher les extremums d'une fonction de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ . Trois temps, toujours les mêmes.

Justifier la classe $C^{1}$ sur $U$ , et vérifier que $U$ est bien ouvert (méthodes des sections 1 et 4). Sans ces deux points, la condition nécessaire ne s'applique pas.
Résoudre le système $\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 0$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 0$ . Ce système n'est pas linéaire en général : penser à factoriser chaque équation, à envisager les cas d'annulation de chaque facteur, et à soustraire les deux équations lorsque l'expression est symétrique. On obtient une liste finie de candidats.
Étudier chaque candidat séparément, avec les techniques ci-dessous. La condition nécessaire est alors épuisée : elle n'apprend plus rien.

Méthode

Déterminer la nature d'un point critique $a$ , à la main. Poser systématiquement $A (h) = f (a + h) - f (a)$ avec $h = (h_{1}, h_{2})$ , développer, et chercher le signe de $A$ pour $h$ petit. Quatre techniques.

Forme canonique. Si $A$ est un polynôme du second degré en $h_{1}$ et $h_{2}$ , l'écrire comme combinaison de carrés, en commençant par regrouper tous les termes contenant $h_{1}$ . Un signe constant conclut immédiatement, et sur $R^{2}$ tout entier : on obtient un extremum global.
Minoration ou majoration. Encadrer $A$ par des quantités de signe connu, à l'aide d'inégalités classiques ( $2 ∣ h_{1} h_{2} ∣ ⩽ h_{1}^{2} + h_{2}^{2}$ , inégalité triangulaire, Cauchy-Schwarz). Utile dès qu'il y a des termes de degré supérieur.
Restriction à des droites ou à des arcs. Étudier $t \mapsto f (a + t u)$ pour quelques vecteurs $u$ bien choisis. Cette technique sert uniquement à réfuter : si deux directions donnent des signes opposés, le point est un point selle. Deux directions favorables ne prouvent jamais rien.
Passage en polaires. Poser $h = (ρ cos θ, ρ sin θ)$ et factoriser par la plus petite puissance de $ρ$ ; si le facteur restant garde un signe strict indépendamment de $θ$ , on conclut.

Trois études complètes

Exemple

Un minimum global par forme canonique. Soit $f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x - 3 y$ sur $R^{2}$ , polynomiale donc de classe $C^{1}$ sur cet ouvert.

Points critiques. Le système s'écrit $2 x + y - 3 = 0$ et $x + 2 y - 3 = 0$ . En soustrayant, $x = y$ , puis $3 x = 3$ : l'unique point critique est $a = (1, 1)$ , avec $f (1, 1) = - 3$ .

Nature. Posons $x = 1 + h_{1}$ , $y = 1 + h_{2}$ et développons :

f (1 + h_{1}, 1 + h_{2}) = - 3 + h_{1}^{2} + h_{1} h_{2} + h_{2}^{2} .

La forme canonique en $h_{1}$ donne

h_{1}^{2} + h_{1} h_{2} + h_{2}^{2} = (h_{1} + \frac{h _{2}}{2})^{2} + \frac{3}{4} h_{2}^{2} ⩾ 0,

avec égalité si et seulement si $h_{2} = 0$ et $h_{1} = 0$ . Donc $f (x, y) > - 3$ pour tout $(x, y) \neq = (1, 1)$ : la fonction admet en $(1, 1)$ un minimum global strict, de valeur $- 3$ . Notons qu'aucune restriction de voisinage n'a été nécessaire, l'inégalité valant sur $R^{2}$ tout entier.

Exemple

Deux points critiques de natures différentes. Soit $f (x, y) = x^{3} - 3 x y + y^{3}$ sur $R^{2}$ , polynomiale donc de classe $C^{1}$ .

Points critiques. Le système s'écrit

3 x^{2} - 3 y = 0 et - 3 x + 3 y^{2} = 0, soit y = x^{2} et x = y^{2} .

En substituant, $x = x^{4}$ , donc $x (x^{3} - 1) = 0$ , d'où $x = 0$ ou $x = 1$ . Les points critiques sont $O = (0, 0)$ , avec $f (O) = 0$ , et $A = (1, 1)$ , avec $f (A) = - 1$ .

Nature de $O$ : un point selle. Il suffit de restreindre $f$ à l'axe des abscisses : $f (x, 0) = x^{3}$ , qui est strictement positif pour $x > 0$ et strictement négatif pour $x < 0$ . Dans toute boule centrée en $O$ , $f$ prend donc des valeurs de part et d'autre de $f (O) = 0$ : ce n'est pas un extremum local.

Il est instructif de regarder aussi la restriction à la diagonale, $g (x) = f (x, x) = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ , de dérivée $g^{'} (x) = 6 x (x - 1)$ :

x

- \infty

0

1

+ \infty

g^{'} (x)

+

0

-

0

+

g (x)

0

- 1

Le long de cette droite, $f$ présente un maximum local en $O$ et un minimum local en $A$ . La confrontation avec l'étude précédente est éclairante : sur la diagonale, $O$ ressemble à un maximum, sur l'axe des abscisses il n'est rien du tout. Une seule direction défavorable suffit à réfuter.

Nature de $A$ : un minimum local. Posons $x = 1 + h_{1}$ , $y = 1 + h_{2}$ et développons :

f (1 + h_{1}, 1 + h_{2}) = - 1 + 3 (h_{1}^{2} - h_{1} h_{2} + h_{2}^{2}) + h_{1}^{3} + h_{2}^{3} .

Minorons chacun des deux morceaux. D'une part,

h_{1}^{2} - h_{1} h_{2} + h_{2}^{2} - \frac{1}{2} (h_{1}^{2} + h_{2}^{2}) = \frac{1}{2} (h_{1} - h_{2})^{2} ⩾ 0, donc 3 (h_{1}^{2} - h_{1} h_{2} + h_{2}^{2}) ⩾ \frac{3}{2} ∥ h ∥^{2} .

D'autre part, le contrôle des coordonnées donne $∣ h_{1} ∣ ⩽ ∥ h ∥$ et $∣ h_{2} ∣ ⩽ ∥ h ∥$ , donc

h_{1}^{3} + h_{2}^{3} ⩽ ∣ h_{1} ∣ h_{1}^{2} + ∣ h_{2} ∣ h_{2}^{2} ⩽ ∥ h ∥ (h_{1}^{2} + h_{2}^{2}) = ∥ h ∥^{3} .

En combinant,

f (1 + h_{1}, 1 + h_{2}) + 1 ⩾ \frac{3}{2} ∥ h ∥^{2} - ∥ h ∥^{3} = ∥ h ∥^{2} (\frac{3}{2} - ∥ h ∥),

quantité strictement positive dès que $0 < ∥ h ∥ < \frac{3}{2}$ . Donc $f$ admet en $A = (1, 1)$ un minimum local strict, de valeur $- 1$ , valable sur la boule $B (A, \frac{3}{2})$ . Ce minimum n'est pas global : $f (- t, - t) = - 2 t^{3} - 3 t^{2}$ tend vers moins l'infini quand $t$ tend vers plus l'infini.

Remarque

Le piège des restrictions aux droites. Considérons $f (x, y) = (y - x^{2}) (y - 2 x^{2})$ , dont $(0, 0)$ est un point critique avec $f (0, 0) = 0$ . Pour tout vecteur $u = (u_{1}, u_{2})$ non nul, l'étude de $t \mapsto f (t u)$ montre que $0$ est un minimum local de cette fonction d'une variable : la fonction admet un minimum local le long de chaque droite passant par l'origine.

Et pourtant l'origine n'est pas un minimum local de $f$ : le long de la parabole $y = \frac{3}{2} x^{2}$ , on trouve

f (x, \frac{3}{2} x^{2}) = (\frac{1}{2} x^{2}) (- \frac{1}{2} x^{2}) = - \frac{x ^{4}}{4} < 0 pour x \neq = 0,

et de tels points existent dans toute boule centrée à l'origine. Retenir la règle : les restrictions à des droites servent à réfuter, jamais à prouver.

Extremums globaux sur un domaine borné

Sur un domaine qui n'est pas ouvert, la condition nécessaire ne s'applique qu'aux points intérieurs. La démarche se dédouble alors : on traite l'ouvert avec les points critiques, et le bord en le paramétrant, ce qui ramène à une étude de fonction d'une seule variable.

Méthode

Chercher les extremums globaux sur un domaine borné défini par une inégalité large. Quatre temps.

Découper le domaine $D$ en deux : l'ouvert $U$ obtenu en rendant l'inégalité stricte, et l'ensemble $Γ$ des points où elle devient une égalité.
Sur $U$ : chercher les points critiques et calculer la valeur de $f$ en chacun.
Sur $Γ$ : paramétrer (par exemple $(cos t, sin t)$ pour un cercle, ou $y = c - x$ pour un segment de droite) et étudier la fonction d'une variable obtenue, avec les outils de première année.
Conclure, et c'est le point délicat. Deux rédactions honnêtes sont possibles : soit majorer ou minorer explicitement $f$ sur $D$ tout entier par une inégalité classique et constater que la borne est atteinte, soit admettre que $f$ atteint ses bornes sur $D$ et comparer alors les valeurs candidates trouvées aux étapes 2 et 3. Ne jamais conclure en silence.

Remarque

Pourquoi « admettre » à l'étape 4. Le théorème qui garantit qu'une fonction continue atteint ses bornes sur un domaine borné contenant son bord n'est pas au programme de PCSI : il repose sur la notion de partie compacte, étudiée en seconde année. Un énoncé de concours qui s'en sert le fournit donc toujours, sous la forme « on admet que $f$ atteint son maximum sur $D$ ». Quand l'énoncé ne le dit pas, c'est la première voie qu'il faut suivre : une majoration explicite, avec son cas d'égalité, se suffit à elle-même et reste entièrement dans le programme.

Exemple

Une majoration explicite. Cherchons les extremums de $f (x, y) = x y$ sur le disque $D = {(x, y); x^{2} + y^{2} ⩽ 1}$ .

Sur l'ouvert. Sur $x^{2} + y^{2} < 1$ , le gradient $\nabla f = (y, x)$ s'annule uniquement en $(0, 0)$ , où $f$ vaut $0$ .

Sur le bord. Paramétrons le cercle par $(cos t, sin t)$ , $t \in R$ : la fonction devient $cos t sin t = \frac{1}{2} sin (2 t)$ , qui décrit exactement $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ .

Conclusion par inégalité. Pour tout $(x, y) \in D$ , l'inégalité $2 ∣ x y ∣ ⩽ x^{2} + y^{2}$ , conséquence de $(∣ x ∣ - ∣ y ∣)^{2} ⩾ 0$ , donne

∣ f (x, y)∣ ⩽ \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} ⩽ \frac{1}{2} .

Cette borne est atteinte, par exemple en $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ pour le maximum et en $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ pour le minimum. Donc $f$ admet sur $D$ le maximum global $\frac{1}{2}$ et le minimum global $- \frac{1}{2}$ , tous deux atteints sur le bord ; le point critique intérieur n'était ni l'un ni l'autre.

Exemple

Une optimisation sous contrainte, par substitution. Parmi les triplets de réels positifs de somme $3$ , cherchons celui dont le produit est maximal. En posant $z = 3 - x - y$ , le problème revient à maximiser

f (x, y) = x y (3 - x - y)

sur le triangle $T = {(x, y); x ⩾ 0, y ⩾ 0, x + y ⩽ 3}$ .

Sur l'ouvert $U = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 3}$ , intersection de trois demi-plans stricts donc ouvert, la fonction est polynomiale donc de classe $C^{1}$ , et

\frac{\partial f}{\partial x} = y (3 - 2 x - y), \frac{\partial f}{\partial y} = x (3 - x - 2 y) .

Sur $U$ on a $x > 0$ et $y > 0$ , donc le système équivaut à $2 x + y = 3$ et $x + 2 y = 3$ , dont l'unique solution est $(1, 1)$ , avec $f (1, 1) = 1$ .

Sur le bord, c'est-à-dire lorsque $x = 0$ , ou $y = 0$ , ou $x + y = 3$ , l'un des trois facteurs est nul, donc $f = 0$ .

Conclusion. Admettons, comme le ferait l'énoncé d'un problème, que $f$ , continue sur le triangle $T$ qui est borné et contient son bord, y atteigne son maximum. Ce maximum vaut au moins $f (1, 1) = 1 > 0$ , donc il n'est pas atteint sur le bord où $f$ est nulle : il est atteint en un point de l'ouvert $U$ , qui est alors nécessairement un point critique, donc le point $(1, 1)$ . Le maximum vaut $1$ , atteint pour $x = y = z = 1$ .

Remarque

Deux erreurs à ne pas commettre. La première consiste à conclure qu'un point critique est un extremum sans aucune justification : c'est le contre-exemple $x^{2} - y^{2}$ . La seconde consiste à oublier le bord dans un problème posé sur un domaine défini par une inégalité large : l'exemple du disque montre que les extremums peuvent s'y trouver exclusivement.

Un dernier réflexe utile : lorsqu'une fonction est définie sur $R^{2}$ tout entier et « tend vers l'infini » loin de l'origine, un minimum global existe souvent, mais l'affirmer proprement demande une minoration explicite, du type $f (x, y) ⩾ α ∥(x, y) ∥^{2} + β$ . On l'obtient par forme canonique.

Ouverture — les dérivées partielles d'ordre 2 (hors programme en PCSI)

Remarque

Avertissement. Tout ce qui suit est hors du programme de PCSI. Ces notions relèvent du programme de seconde année de la filière PC (arrêté du 13 juillet 2021, section « Calcul différentiel ») et ne peuvent faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI : ni en interrogation, ni en devoir surveillé, ni au concours pour un candidat de première année. Aucun exercice de ce chapitre ne les suppose connues, et une copie qui utiliserait le critère final sans l'avoir redémontré serait, en toute rigueur, hors sujet.

Pourquoi les donner alors ? Pour deux raisons. D'abord, la section 8 a montré que la classification d'un point critique se fait entièrement à la main, ce qui laisse une impression d'inachevé légitime : il existe un critère automatique, le voici. Ensuite, parce que ces notions seront au programme dès l'an prochain pour ceux qui poursuivront en PC, et que les voir une fois maintenant, avec le premier ordre encore frais, fait gagner beaucoup de temps.

Dérivées partielles d'ordre 2

Définition

Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ et $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . Les fonctions $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont elles-mêmes des fonctions de deux variables sur $U$ : lorsqu'elles admettent des dérivées partielles, on obtient les dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$ , notées

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}), \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}), \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}), \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) .

On dit que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $U$ lorsque ces quatre fonctions existent et sont continues sur $U$ .

Définition

Notations de Monge. Pour $f$ de classe $C^{2}$ sur $U$ et $a \in U$ , on pose traditionnellement

r = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} (a), s = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (a), t = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} (a) .

Ces trois lettres seront utilisées jusqu'à la fin de la section. Attention au conflit de notation : la lettre $t$ ne désigne plus ici un paramètre réel.

Exemple

Un calcul complet. Soit $f (x, y) = x^{3} y - 2 x y^{2} + 5 y$ sur $R^{2}$ . On a calculé en section 3

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 3 x^{2} y - 2 y^{2}, \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x^{3} - 4 x y + 5.

En dérivant une seconde fois :

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 6 x y, \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 3 x^{2} - 4 y, \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 3 x^{2} - 4 y, \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = - 4 x .

On observe que les deux dérivées croisées coïncident. Ce n'est pas un hasard.

Le théorème de Schwarz

Propriété

Théorème de Schwarz (admis). Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ et $f$ de classe $C^{2}$ sur $U$ . Alors, en tout point de $U$ ,

\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} .

L'ordre dans lequel on effectue les deux dérivations n'a donc pas d'importance.

Remarque

C'est ce théorème qui autorise la notation unique $s$ pour la dérivée croisée, et qui réduit à trois le nombre de coefficients d'ordre $2$ au lieu de quatre. Il ne vaut que sous l'hypothèse de continuité des dérivées secondes : sans elle, il existe des contre-exemples classiques, que l'on ne détaillera pas ici.

En pratique, le théorème fournit un contrôle de calcul très efficace : après avoir calculé les deux dérivées croisées séparément, si elles diffèrent, il y a une erreur.

Laplacien et fonctions harmoniques

Définition

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert $U$ de $R^{2}$ . On appelle laplacien de $f$ la fonction

Δ f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} .

La fonction $f$ est dite harmonique sur $U$ lorsque $Δ f = 0$ en tout point de $U$ .

Exemple

Une fonction harmonique classique. Soit $f (x, y) = ln (x^{2} + y^{2})$ sur $U = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ . Les dérivées partielles premières valent

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y}{x ^{2} + y ^{2}} .

En dérivant la première par rapport à $x$ avec la formule du quotient :

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + y ^{2} ) - 2 x \times 2 x}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 y ^{2} - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}},

et par symétrie de l'expression en $x$ et $y$ ,

\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 2 y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} .

La somme est nulle : $f$ est harmonique sur $U$ . On vérifie de même que $(x, y) \mapsto x^{2} - y^{2}$ et $(x, y) \mapsto e^{x} cos y$ sont harmoniques sur $R^{2}$ .

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et matrice hessienne

Propriété

Formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ (admise). Soient $U$ un ouvert de $R^{2}$ , $f$ de classe $C^{2}$ sur $U$ et $a \in U$ . Avec les notations de Monge, pour $h = (h_{1}, h_{2})$ de norme assez petite :

f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + \frac{1}{2} (r h_{1}^{2} + 2 s h_{1} h_{2} + t h_{2}^{2}) + o (∥ h ∥^{2}) .

Définition

La matrice hessienne de $f$ en $a$ est la matrice symétrique

H_{f} (a) = (r s s t),

dont le déterminant vaut $r t - s^{2}$ et la trace $r + t$ . Le terme d'ordre $2$ de la formule de Taylor-Young s'écrit alors $\frac{1}{2}^{t} X H_{f} (a) X$ , où $X$ est la matrice colonne des coordonnées de $h$ .

Le critère $r t - s^{2}$

Propriété

Critère de classification d'un point critique. Soient $f$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert $U$ et $a \in U$ un point critique de $f$ . Avec les notations de Monge en $a$ :

si $r t - s^{2} > 0$ et $r > 0$ , alors $f$ admet en $a$ un minimum local strict ;
si $r t - s^{2} > 0$ et $r < 0$ , alors $f$ admet en $a$ un maximum local strict ;
si $r t - s^{2} < 0$ , alors $a$ est un point selle : $f$ n'y admet pas d'extremum local ;
si $r t - s^{2} = 0$ , le critère ne permet pas de conclure.

Démonstration. Puisque $a$ est un point critique, la formule de Taylor-Young se réduit à

f (a + h) - f (a) = \frac{1}{2} q (h) + o (∥ h ∥^{2}), o \overset{u}{ˋ} q (h) = r h_{1}^{2} + 2 s h_{1} h_{2} + t h_{2}^{2} .

Cas 1. Supposons $r t - s^{2} > 0$ et $r > 0$ . Cherchons $α > 0$ tel que $q (h) ⩾ α ∥ h ∥^{2}$ pour tout $h$ . Considérons pour cela

q (h) - α ∥ h ∥^{2} = (r - α) h_{1}^{2} + 2 s h_{1} h_{2} + (t - α) h_{2}^{2},

et mettons sous forme canonique en supposant $r - α > 0$ :

q (h) - α ∥ h ∥^{2} = (r - α) (h_{1} + \frac{s h _{2}}{r - α})^{2} + \frac{( r - α ) ( t - α ) - s ^{2}}{r - α} h_{2}^{2} .

Les deux quantités $r - α$ et $(r - α) (t - α) - s^{2}$ valent respectivement $r > 0$ et $r t - s^{2} > 0$ pour $α = 0$ , et dépendent continûment de $α$ : il existe donc $α > 0$ pour lequel elles restent toutes deux strictement positives. Pour un tel $α$ , l'expression ci-dessus est positive, d'où $q (h) ⩾ α ∥ h ∥^{2}$ .

Par définition du reste, il existe $δ > 0$ tel que $o (∥ h ∥^{2}) ⩽ \frac{α}{4} ∥ h ∥^{2}$ dès que $∥ h ∥ < δ$ . Alors, pour $0 < ∥ h ∥ < δ$ ,

f (a + h) - f (a) ⩾ \frac{α}{2} ∥ h ∥^{2} - \frac{α}{4} ∥ h ∥^{2} = \frac{α}{4} ∥ h ∥^{2} > 0,

ce qui est le minimum local strict annoncé.

Cas 2. Il s'obtient en appliquant le cas 1 à $- f$ , dont les coefficients de Monge sont $- r$ , $- s$ , $- t$ , de sorte que $r t - s^{2}$ est inchangé et que $- r > 0$ .

Cas 3. Supposons $r t - s^{2} < 0$ et montrons que $q$ prend des valeurs strictement positives et strictement négatives.

Si $r \neq = 0$ : on a $q (1, 0) = r$ et, en prenant $w = (- s, r)$ ,

q (w) = r s^{2} - 2 s^{2} r + t r^{2} = r (r t - s^{2}),

qui est du signe opposé à $r$ . Si $r = 0$ : alors $- s^{2} < 0$ donc $s \neq = 0$ , et pour $∣ η ∣$ petit, $q (1, η) = 2 sη + t η^{2}$ est du signe de $sη$ , donc change de signe avec $η$ .

Dans les deux cas, il existe deux vecteurs $w$ et $w^{'}$ tels que $q (w) > 0$ et $q (w^{'}) < 0$ . Pour $λ$ réel, l'homogénéité $q (λ w) = λ^{2} q (w)$ et la formule de Taylor-Young donnent

f (a + λ w) - f (a) = λ^{2} (\frac{q ( w )}{2} + o (1)),

quantité strictement positive pour $λ \neq = 0$ assez petit ; de même $f (a + λ w^{'}) - f (a) < 0$ pour $λ \neq = 0$ assez petit. Dans toute boule centrée en $a$ , $f$ prend donc des valeurs de part et d'autre de $f (a)$ : ce n'est pas un extremum local. $□$

Le critère à l'épreuve des exemples du chapitre

Exemple

On retrouve les trois conclusions obtenues à la main.

a. Pour $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ au point critique $(0, 0)$ : $r = 2$ , $s = 0$ , $t = - 2$ , donc $r t - s^{2} = - 4 < 0$ . Point selle, conformément à la section 8.

b. Pour $f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x - 3 y$ au point critique $(1, 1)$ : $r = 2$ , $s = 1$ , $t = 2$ , donc $r t - s^{2} = 3 > 0$ et $r > 0$ . Minimum local strict. Le critère ne dit pas qu'il est global : cela, seule la forme canonique menée en section 8 l'établit.

c. Pour $f (x, y) = x^{3} - 3 x y + y^{3}$ , on a $r = 6 x$ , $s = - 3$ , $t = 6 y$ , donc $r t - s^{2} = 36 x y - 9$ . En $(0, 0)$ : $- 9 < 0$ , point selle. En $(1, 1)$ : $27 > 0$ avec $r = 6 > 0$ , minimum local strict. Les deux conclusions de la section 8 sont retrouvées en trois lignes, là où la minoration explicite demandait une demi-page.

Remarque

Le cas douteux est vraiment douteux. Lorsque $r t - s^{2} = 0$ , le critère est muet, et il faut revenir aux méthodes de la section 8. Trois exemples au même point critique $(0, 0)$ , tous avec $r = s = t = 0$ , donc tous avec $r t - s^{2} = 0$ :

$f (x, y) = x^{4} + y^{4}$ admet en $(0, 0)$ un minimum global strict, puisque $f > 0$ ailleurs ;
$f (x, y) = - x^{4} - y^{4}$ admet en $(0, 0)$ un maximum global strict ;
$f (x, y) = x^{3} + y^{3}$ n'y admet aucun extremum, car $f (x, 0) = x^{3}$ change de signe.

Les trois situations coexistent sous la même valeur du critère : celui-ci ne peut donc pas trancher, et ce n'est pas un défaut de rédaction mais une limite intrinsèque de l'information d'ordre $2$ .

Remarque

Ce qu'il faut retenir de cette section, en PCSI. Rien, au sens de l'évaluation. Mais deux idées valent d'être gardées en mémoire. La première, c'est que l'information d'ordre $1$ (le gradient) sélectionne les candidats, et que c'est l'information d'ordre $2$ (les trois nombres $r$ , $s$ , $t$ ) qui les classe, exactement comme en une variable où $f^{'} (a) = 0$ sélectionne et où le signe de $f^{''} (a)$ classe. La seconde, c'est que même l'ordre $2$ ne suffit pas toujours, et que les techniques artisanales de la section 8, forme canonique, minoration, restriction à un arc bien choisi, restent l'outil de dernier recours. Elles sont, à ce titre, plus universelles que le critère.

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Les exercices

36 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Domaines de définition dans le plan

Fonctions de deux variables : domaine, applications partielles, lignes de niveau

1. Déterminer le domaine de définition de chacune des expressions suivantes, c'est-à-dire l'ensemble des couples $(x, y)$ de $R^{2}$ pour lesquels le calcul a un sens.

a. $f (x, y) = ln (x + y - 1)$

b. $g (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2}$

c. $h (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} - y ^{2}}$

d. $k (x, y) = \frac{1}{y - x ^{2}}$

2. Pour chacun de ces quatre domaines, dire en une phrase de quelle partie du plan il s'agit.

Exercice 2 ★★★★ — Boules ouvertes et premières parties ouvertes

Norme euclidienne, boules et parties ouvertes du plan

On munit $R^{2}$ de la norme euclidienne $∥(x, y)∥ = x^{2} + y^{2}$ et on note, pour $a \in R^{2}$ et $r > 0$ ,

B (a, r) = {m \in R^{2}; ∥ m - a ∥ < r} .

Une partie $U$ de $R^{2}$ est dite ouverte lorsque, pour tout $a \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $B (a, r) \subset U$ .

1. Décrire $B ((1, - 2), 3)$ par une inégalité portant sur $x$ et $y$ . Les points $(2, 0)$ et $(3, - 1)$ appartiennent-ils à cette boule ?

2. Montrer que le demi-plan $H = {(x, y) \in R^{2}; x > 0}$ est ouvert, en donnant un rayon explicite en fonction du point choisi.

3. Montrer que la couronne $C = {(x, y) \in R^{2}; 1 < x^{2} + y^{2} < 4}$ est ouverte, là encore avec un rayon explicite.

4. Justifier que $R^{2}$ et $\emptyset$ sont des parties ouvertes de $R^{2}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Premiers calculs de dérivées partielles

Dérivées partielles d'ordre 1 : définition et calcul pratique

Calculer les deux dérivées partielles d'ordre $1$ des fonctions suivantes en tout point, en précisant à chaque fois l'ouvert de $R^{2}$ sur lequel on travaille.

a. $f (x, y) = x^{3} y - 2 x y^{2}$

b. $f (x, y) = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$

c. $f (x, y) = e^{x y}$

d. $f (x, y) = ln (1 + x^{2} + y^{2})$

e. $f (x, y) = sin (x + 2 y)$

f. $f (x, y) = x^{y}$ sur le demi-plan $x > 0$ , en écrivant $x^{y} = e^{y l n x}$

Exercice 4 ★★★★ — Applications partielles et lignes de niveau

Fonctions de deux variables : domaine, applications partielles, lignes de niveau

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par $f (x, y) = x^{2} - y$ .

1. Écrire les deux applications partielles de $f$ au point $(1, 2)$ . Préciser pour chacune sa variable, puis étudier ses variations.

2. Déterminer les lignes de niveau de $f$ associées aux valeurs $k = - 1$ , $k = 0$ et $k = 1$ , et les décrire géométriquement.

3. Même question qu'au 2. pour la fonction $g$ définie sur $R^{2}$ par $g (x, y) = x + 2 y$ , pour les mêmes valeurs de $k$ . Quelle direction ces lignes de niveau ont-elles en commun ?

4. À quelle ligne de niveau de $f$ , puis à quelle ligne de niveau de $g$ , le point $M (2, 3)$ appartient-il ?

Exercice 5 ★★★★ — Justifier qu'une fonction est de classe C1

Fonctions de classe C1 sur un ouvert, opérations

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le plus grand ouvert de $R^{2}$ sur lequel elle est de classe $C^{1}$ , et rédiger la justification par les opérations, sans calculer aucune dérivée partielle.

a. $f (x, y) = x^{2} y e^{x - y}$

b. $g (x, y) = \frac{x + y}{x - y}$

c. $h (x, y) = 1 - x^{2} - y^{2}$

d. $k (x, y) = ln (x y)$ sur le quadrant $x > 0$ , $y > 0$

Exercice 6 ★★★★ — Gradient et plan tangent au graphe

Développement limité d'ordre 1, gradient, plan tangentFonctions de classe C1 sur un ouvert, opérations

On rappelle que si $f$ est de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ et si $(x_{0}, y_{0}) \in U$ , le plan tangent à la surface d'équation $z = f (x, y)$ au point de contact de coordonnées $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ a pour équation

z = f (x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) .

1. Soit $f (x, y) = x^{2} y + 3 y$ et $a = (2, 1)$ . Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ , calculer $\nabla f (a)$ , puis une équation du plan tangent en $a$ . Vérifier que le point de contact appartient au plan trouvé.

2. Mêmes questions pour $g (x, y) = ln (x^{2} + y^{2})$ au point $b = (1, 1)$ . On gardera les valeurs exactes, avec $ln 2$ .

3. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$ , et dire en une phrase ce que le plan tangent approche.

Exercice 7 ★★★★ — Déterminer les points critiques

Points critiques et condition nécessaire d'extremum local

On rappelle qu'un point $a$ d'un ouvert $U$ est un point critique d'une fonction $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ lorsque $\nabla f (a) = (0, 0)$ , c'est-à-dire lorsque les deux dérivées partielles s'annulent simultanément en $a$ .

Déterminer tous les points critiques des trois fonctions suivantes, définies et de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , en résolvant complètement le système obtenu.

1. $f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x$

2. $g (x, y) = x^{3} - 3 x + y^{2}$

3. $h (x, y) = e^{x} (x + y^{2})$

4. Le point $(- 1, 0)$ est un point critique de $g$ . En étudiant $g$ le long de la droite d'équation $y = 0$ , puis le long de la droite d'équation $x = - 1$ , montrer que $g$ n'y présente pourtant aucun extremum local. Qu'en conclure sur la recherche des extremums ?

Exercice 8 ★★★★ — Dérivée suivant un vecteur

Dérivée suivant un vecteurDéveloppement limité d'ordre 1, gradient, plan tangent

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par $f (x, y) = x^{2} - x y + 2 y^{2}$ , et soit $a = (1, 2)$ . Pour un vecteur $u$ non nul de $R^{2}$ , on rappelle que la dérivée de $f$ en $a$ suivant $u$ est

D_{u} f (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a + t u ) - f ( a )}{t},

et que, lorsque $f$ est de classe $C^{1}$ , elle se calcule par la formule $D_{u} f (a) = ⟨ \nabla f (a), u ⟩$ .

1. Calculer $\nabla f (a)$ .

2. En déduire $D_{u} f (a)$ pour $u = (3, - 1)$ , puis pour $u = (1, 1)$ .

3. Retrouver la valeur obtenue pour $u = (3, - 1)$ en explicitant $φ : t \mapsto f (a + t u)$ sous forme d'un trinôme en $t$ , puis en dérivant en $t = 0$ .

4. Parmi tous les vecteurs unitaires $u$ de $R^{2}$ , lequel rend $D_{u} f (a)$ maximale ? Que vaut alors ce maximum ?

Exercice 9 ★★★★ — Ouvert ou pas ? Six parties du plan

Norme euclidienne, boules et parties ouvertes du plan

On rappelle qu'une partie $U$ de $R^{2}$ est ouverte lorsque, pour tout $p \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $B (p, r) \subset U$ .

Pour chacune des six parties suivantes, dire si elle est ouverte et le justifier : si oui, en donnant pour chaque point un rayon explicite ; si non, en exhibant un point de la partie tel qu'aucune boule centrée en ce point n'y soit incluse, avec un point de cette boule situé hors de la partie.

a. $U_{a} = {(x, y) \in R^{2}; x^{2} + y^{2} < 1}$

b. $U_{b} = {(x, y) \in R^{2}; x^{2} + y^{2} ⩽ 1}$

c. $U_{c} = {(x, y) \in R^{2}; y > x^{2}}$

d. $U_{d}$ , la droite d'équation $y = x$

e. $U_{e} = R^{2}$ privé du point $(0, 0)$

f. $U_{f} = {(x, y) \in R^{2}; x y > 1}$

Exercice 10 ★★★★ — Estimer une variation par le développement limité d'ordre 1

Développement limité d'ordre 1, gradient, plan tangentDérivées partielles d'ordre 1 : définition et calcul pratique

Deux résistances de valeurs $x$ et $y$ (en ohms) montées en parallèle ont pour résistance équivalente

R (x, y) = \frac{x y}{x + y},

fonction définie sur l'ouvert $U = {(x, y) \in R^{2}; x > 0, y > 0}$ .

1. Justifier que $R$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , puis calculer ses dérivées partielles et montrer qu'elles s'écrivent

\frac{\partial R}{\partial x} (x, y) = (\frac{y}{x + y})^{2} et \frac{\partial R}{\partial y} (x, y) = (\frac{x}{x + y})^{2} .

2. Calculer la valeur exacte de $R (200, 300)$ .

3. À l'aide du développement limité d'ordre 1 de $R$ au point $(200, 300)$ , estimer la variation de $R$ lorsque $x$ passe de $200$ à $203$ et $y$ de $300$ à $297$ .

4. Calculer la variation exacte, donner les deux valeurs arrondies au millième et commenter la qualité de l'approximation.

5. Montrer que $\frac{\partial R}{\partial x} (x, y) + \frac{\partial R}{\partial y} (x, y) ⩽ 1$ en tout point de $U$ , et interpréter.

Exercice 11 ★★★★ — Dériver le long d'un arc paramétré

Règle de la chaîne : dérivation le long d'un arc paramétré

1. Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et $γ : t \mapsto (x (t), y (t))$ un arc dérivable sur un intervalle $I$ . Rappeler la formule donnant $\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))$ .

2. On prend $f (x, y) = x^{2} y$ et $γ (t) = (cos t, sin t)$ pour $t \in R$ .

a. Calculer $(f \circ γ)^{'} (t)$ par la règle de la chaîne.

b. Retrouver le résultat en substituant d'abord, c'est-à-dire en dérivant l'expression de $f (γ (t))$ . Vérifier que les deux expressions coïncident et donner la valeur en $t = \frac{π}{4}$ .

3. Même double calcul pour $g (x, y) = e^{x - y}$ le long de l'arc $γ (t) = (t^{2}, 2 t)$ .

4. Pour $f (x, y) = x^{2} y$ , déterminer les instants $t$ de $[0, 2 π [$ où l'arc du 2. traverse une ligne de niveau « à l'horizontale », c'est-à-dire où $(f \circ γ)^{'} (t) = 0$ .

Exercice 12 ★★★★ — Dérivées partielles d'une composée

Dérivées partielles d'une composée et changement de variablesRègle de la chaîne : dérivation le long d'un arc paramétré

Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ . On pose, pour tout $(u, v) \in R^{2}$ ,

g (u, v) = f (u + v, uv) .

1. Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et exprimer $\frac{\partial g}{\partial u} (u, v)$ et $\frac{\partial g}{\partial v} (u, v)$ en fonction des dérivées partielles de $f$ , en écrivant explicitement le point où elles sont évaluées.

2. Vérifier ces formules sur le cas concret $f (x, y) = x^{2} + y$ : calculer $g (u, v)$ explicitement, dériver directement, puis comparer.

3. On revient au cas général.

a. Calculer $u \frac{\partial g}{\partial u} (u, v) - v \frac{\partial g}{\partial v} (u, v)$ : montrer que cette combinaison ne fait intervenir qu'une seule des deux dérivées partielles de $f$ , et préciser laquelle et avec quel facteur.

b. Faire de même avec $\frac{\partial g}{\partial u} (u, v) - \frac{\partial g}{\partial v} (u, v)$ .

c. En déduire, lorsque $u \neq = v$ , l'expression des deux dérivées partielles de $f$ au point $(u + v, uv)$ à l'aide de celles de $g$ .

Exercice 13 ★★★★ — Un changement de variables affine

Dérivées partielles d'une composée et changement de variablesÉquations aux dérivées partielles d'ordre 1, fonctions de gradient nul

On cherche toutes les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ vérifiant l'équation, notée $(E)$ ,

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 0 pour tout (x, y) \in R^{2} .

1. On pose $u = x + y$ et $v = x - y$ . Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$ , et justifier que ce changement de variables est une bijection de $R^{2}$ sur $R^{2}$ .

2. On pose $g (u, v) = f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2})$ . Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et calculer $\frac{\partial g}{\partial u}$ et $\frac{\partial g}{\partial v}$ en fonction des dérivées partielles de $f$ .

3. Traduire l'équation $(E)$ en une équation portant sur $g$ , puis la résoudre.

4. Conclure : les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $f : (x, y) \mapsto φ (x + y)$ , où $φ$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ . On rédigera les deux sens (analyse et synthèse).

5. Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant de plus $f (x, 0) = cos x$ pour tout $x \in R$ .

Exercice 14 ★★★★ — L'équation de transport

Équations aux dérivées partielles d'ordre 1, fonctions de gradient nulDérivées partielles d'une composée et changement de variables

Soit $c$ un réel strictement positif. On cherche les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , de variables $(x, t)$ , vérifiant l'équation de transport, notée $(T)$ ,

\frac{\partial f}{\partial t} (x, t) + c \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) = 0 pour tout (x, t) \in R^{2} .

1. On pose $u = x - c t$ et $v = t$ , puis $g (u, v) = f (u + c v, v)$ . Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et calculer $\frac{\partial g}{\partial v} (u, v)$ en fonction des dérivées partielles de $f$ .

2. En déduire toutes les solutions de $(T)$ , sous la forme $f (x, t) = φ (x - c t)$ . On rédigera l'analyse et la synthèse.

3. Déterminer la solution vérifiant $f (x, 0) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ pour tout $x \in R$ , puis décrire en une phrase ce qui se passe lorsque $t$ augmente.

4. Vérifier directement, par le calcul des deux dérivées partielles, que la fonction trouvée au 3. est bien solution de $(T)$ .

Exercice 15 ★★★★ — Passage en coordonnées polaires

Passage en coordonnées polairesDérivées partielles d'une composée et changement de variables

Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ . On pose, pour tout $(r, θ) \in R \times R$ ,

g (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) .

1. Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $R \times R$ et établir les deux formules donnant $\frac{\partial g}{\partial r} (r, θ)$ et $\frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ)$ .

2. En déduire, pour $r > 0$ , les formules inverses exprimant $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ au point $(r cos θ, r sin θ)$ à l'aide de $\frac{\partial g}{\partial r}$ et $\frac{\partial g}{\partial θ}$ (on résoudra en détail le système $2 \times 2$ ).

3. Établir, pour $r > 0$ , la relation

(\frac{\partial g}{\partial r} (r, θ))^{2} + \frac{1}{r ^{2}} (\frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ))^{2} = \nabla f (r cos θ, r sin θ)^{2} .

4. Application : pour $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , puis pour $f (x, y) = x y$ , calculer $g$ et vérifier les formules du 1.

Exercice 16 ★★★★ — Les fonctions de gradient nul

Équations aux dérivées partielles d'ordre 1, fonctions de gradient nulDérivées partielles d'ordre 1 : définition et calcul pratique

1. Soit $U =] a, b [\times] c, d [$ un pavé ouvert de $R^{2}$ et $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $U$ vérifiant $\nabla f (x, y) = (0, 0)$ en tout point de $U$ . Montrer que $f$ est constante sur $U$ . On raisonnera d'abord à $y$ fixé sur l'application partielle, puis on conclura en passant par un point intermédiaire bien choisi.

2. Adapter le raisonnement au disque ouvert $B ((0, 0), 1)$ : pourquoi le chemin « horizontal puis vertical » fonctionne-t-il encore, et quel point intermédiaire faut-il choisir ?

3. Soit maintenant $U$ la réunion des deux disques ouverts $B ((- 2, 0), 1)$ et $B ((2, 0), 1)$ .

a. Montrer que $U$ est un ouvert de $R^{2}$ .

b. Exhiber une fonction de classe $C^{1}$ sur $U$ , de gradient nul en tout point, et non constante.

c. Que faut-il retenir ?

Exercice 17 ★★★★ — Un point selle

Points critiques et condition nécessaire d'extremum localExtremums locaux et globaux, problèmes d'optimisation

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par

f (x, y) = x^{2} - y^{2} + 2 x + 4 y .

1. Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et déterminer son unique point critique $a$ .

2. Écrire $f$ sous forme canonique, c'est-à-dire montrer que $f (x, y) = (x + 1)^{2} - (y - 2)^{2} + 3$ .

3. En posant $x = - 1 + h$ et $y = 2 + k$ , donner l'expression de $f (a + (h, k)) - f (a)$ et montrer que cette quantité prend des valeurs strictement positives et strictement négatives dans toute boule ouverte de centre $a$ . On exhibera deux familles de points explicites.

4. Conclure : que peut-on dire des extremums locaux de $f$ ?

5. Que valent $R^{2} sup f$ et $R^{2} in f f$ ? Justifier par deux limites le long de droites bien choisies.

Exercice 18 ★★★★ — Extremum d'un trinôme à deux variables

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par

f (x, y) = 2 x^{2} + y^{2} + 2 x y - 6 x - 4 y + 5.

1. Déterminer l'unique point critique de $f$ (on résoudra complètement le système).

2. Mettre $f$ sous forme canonique en regroupant d'abord les termes contenant $y$ : montrer que $f (x, y) = (y + x - 2)^{2} + (x - 1)^{2} + C$ , en explicitant la constante $C$ .

3. En déduire que $f$ admet un minimum global strict, atteint en un unique point, et donner sa valeur.

4. Vérifier que ce point est bien celui trouvé au 1.

5. La méthode de la forme canonique est-elle toujours praticable pour un polynôme de degré $2$ en deux variables ? Donner un exemple où elle conduit à une différence de deux carrés et non à une somme, et dire ce qu'on en conclut alors.

Exercice 19 ★★★★ — Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau

Développement limité d'ordre 1, gradient, plan tangentRègle de la chaîne : dérivation le long d'un arc paramétré

1. Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ de $R^{2}$ , soit $k$ un réel et soit $γ : t \mapsto (x (t), y (t))$ un arc dérivable sur un intervalle $I$ , tracé sur la ligne de niveau $k$ de $f$ , c'est-à-dire à valeurs dans $U$ et vérifiant $f (γ (t)) = k$ pour tout $t \in I$ . Montrer que

⟨ \nabla f (γ (t)), γ^{'} (t) ⟩ = 0 pour tout t \in I,

puis interpréter géométriquement.

2. Application à l'ellipse d'équation $x^{2} + 2 y^{2} = 3$ . Calculer le gradient de $f : (x, y) \mapsto x^{2} + 2 y^{2}$ au point $A (1, 1)$ , en déduire un vecteur directeur de la tangente à l'ellipse en $A$ , puis une équation cartésienne de cette tangente.

3. Vérifier ce résultat en paramétrant l'ellipse par $γ : t \mapsto (3 cos t, \frac{3}{2} sin t)$ et en dérivant. On précisera la valeur de $t$ qui donne le point $A$ .

4. Interpréter : pourquoi dit-on que $\nabla f (A)$ indique la direction de plus forte pente ?

Exercice 20 ★★★★ — Lecture d'une carte de niveau

Fonctions de deux variables : domaine, applications partielles, lignes de niveauDéveloppement limité d'ordre 1, gradient, plan tangentPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

La figure ci-dessous est la carte des lignes de niveau d'un terrain : au point de coordonnées $(x, y)$ , l'altitude est notée $f (x, y)$ . Les niveaux tracés sont $0$ , $2$ , $4$ , $6$ et $7$ , et cinq points du terrain sont repérés : $S (2, 0)$ , $S^{'} (- 2, 0)$ , $C (0, 0)$ , $A (1, 1)$ et $B (2, 1)$ .

Carte des lignes de niveau d'un terrain, avec deux sommets, un col et cinq points repérés

Partie A — lecture graphique. Dans cette partie, on ne dispose que de la carte.

1. Donner l'altitude exacte de $C$ et celle de $B$ , puis encadrer celle de $A$ entre deux niveaux tracés.

2. Combien la carte fait-elle apparaître de sommets ? Où sont-ils, et que peut-on dire de leur altitude ?

3. Lorsqu'on avance vers l'est (dans le sens des $x$ croissants) ou vers le nord (dans le sens des $y$ croissants), l'altitude augmente ou diminue selon le signe des dérivées partielles. Déterminer, par lecture de la carte, le signe de $\frac{\partial f}{\partial x} (A)$ et celui de $\frac{\partial f}{\partial y} (A)$ .

4. Que peut-on dire du vecteur $\nabla f (B)$ , et pourquoi la ligne de niveau paraît-elle horizontale au voisinage de $B$ ?

Partie B — vérification par le calcul. On admet maintenant que l'altitude est donnée par

f (x, y) = 8 - \frac{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}{4} - y^{2} .

5. Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et montrer que $\nabla f (x, y) = (4 x - x^{3}, - 2 y)$ .

6. Vérifier les altitudes lues aux questions 1. et 2.

7. Déterminer tous les points critiques de $f$ , puis retrouver par le calcul la réponse donnée à la question 3.

8. Montrer que $f (x, y) ⩽ 8$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ , avec égalité uniquement en $S$ et en $S^{'}$ . Qu'en déduit-on pour ces deux points ?

9. Montrer que le point critique $C$ n'est pas un extremum local de $f$ , en comparant $f$ à $f (C)$ le long de l'axe des abscisses puis le long de l'axe des ordonnées. Comment appelle-t-on un tel point sur une carte de randonnée ?

Exercice 21 ★★★★ — Extremums d'une fonction de degré quatre

Points critiques et condition nécessaire d'extremum localExtremums locaux et globaux, problèmes d'optimisation

On considère la fonction $f$ définie sur $R^{2}$ par

f (x, y) = x^{4} + y^{4} - 2 (x - y)^{2} .

1. Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , puis montrer que $(x, y)$ est un point critique de $f$ si et seulement si $x^{3} = x - y$ et $y^{3} = y - x$ .

2. En additionnant ces deux équations, montrer que tout point critique vérifie $y = - x$ . En déduire les trois points critiques de $f$ , ainsi que la valeur de $f$ en chacun d'eux.

3. Étudier le signe de $f$ au voisinage de l'origine le long de la droite d'équation $y = x$ , puis le long de la droite d'équation $y = - x$ . En déduire que $(0, 0)$ n'est pas un extremum local de $f$ .

4. a. Montrer que pour tous réels $u$ et $v$ , $(u + v)^{4} ⩽ 8 (u^{4} + v^{4})$ , avec égalité si et seulement si $u = v$ .

b. En posant $s = x - y$ , en déduire que $f (x, y) ⩾ - 8$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ .

5. Conclure : donner le minimum global de $f$ et les points où il est atteint, puis dire si $f$ admet un maximum.

Exercice 22 ★★★★ — Distance d'un point à un paraboloïde

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $A (0, 0, 1)$ et la surface $S$ d'équation $z = x^{2} + y^{2}$ .

1. Justifier que le carré de la distance de $A$ au point $M (x, y, x^{2} + y^{2})$ de $S$ vaut

d (x, y) = x^{2} + y^{2} + (x^{2} + y^{2} - 1)^{2} .

2. Justifier que $d$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et déterminer ses points critiques.

3. On pose $s = x^{2} + y^{2}$ . Écrire $d (x, y) = δ (s)$ où $δ$ est une fonction d'une seule variable, étudier les variations de $δ$ sur $[0, + \infty [$ et en déduire le minimum global de $d$ .

4. En déduire la distance de $A$ à la surface $S$ , ainsi que l'ensemble des points de $S$ les plus proches de $A$ .

5. Reprendre l'étude en remplaçant $A$ par le point $A^{'} (0, 0, \frac{1}{4})$ . Que constate-t-on ?

Exercice 23 ★★★★ — La relation d'Euler pour les fonctions homogènes

Règle de la chaîne : dérivation le long d'un arc paramétréDérivée suivant un vecteur

Soit $α$ un réel et soit $U = {(x, y) \in R^{2}; x > 0}$ . Une fonction $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ est dite homogène de degré $α$ lorsque

\forall (x, y) \in U, \forall t > 0, f (t x, t y) = t^{α} f (x, y) .

1. Vérifier que $f_{0} (x, y) = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x}$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ et homogène, de degré à préciser.

2. Soit $f$ homogène de degré $α$ . En dérivant par rapport à $t$ la relation $f (t x, t y) = t^{α} f (x, y)$ , à $(x, y)$ fixé, établir la relation d'Euler

x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = α f (x, y) .

3. Vérifier cette relation sur l'exemple du 1., par le calcul direct des deux dérivées partielles.

4. Réciproquement, soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ vérifiant la relation d'Euler. Pour $(x, y) \in U$ fixé, on pose $ψ (t) = t^{- α} f (t x, t y)$ pour $t > 0$ . Calculer $ψ^{'} (t)$ , en déduire que $ψ$ est constante, puis que $f$ est homogène de degré $α$ .

5. Interpréter la relation d'Euler à l'aide de la dérivée de $f$ suivant le vecteur $(x, y)$ , au point $(x, y)$ .

Exercice 24 ★★★★ — Résoudre une EDP par changement de variables

Équations aux dérivées partielles d'ordre 1, fonctions de gradient nulDérivées partielles d'une composée et changement de variables

On note $U = {(x, y) \in R^{2}; x > 0}$ et $V =] 0, + \infty [\times R$ . On cherche toutes les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ vérifiant

\forall (x, y) \in U, x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 0. (E)

1. Justifier que $Φ : (u, v) \mapsto (u, uv)$ est une bijection de $V$ sur $U$ , et donner sa bijection réciproque.

2. Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ . On pose $g (u, v) = f (u, uv)$ pour $(u, v) \in V$ . Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $V$ et calculer $\frac{\partial g}{\partial u}$ et $\frac{\partial g}{\partial v}$ en fonction des dérivées partielles de $f$ prises au point $(u, uv)$ .

3. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $u \frac{\partial g}{\partial u} (u, v) = 0$ pour tout $(u, v) \in V$ , puis résoudre cette dernière équation.

4. Conclure par analyse et synthèse : les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $f (x, y) = φ (\frac{y}{x})$ , avec $φ$ de classe $C^{1}$ sur $R$ .

5. Déterminer la solution vérifiant $f (1, y) = \frac{y}{1 + y ^{2}}$ pour tout réel $y$ , et vérifier directement qu'elle convient.

6. Que dit ce résultat sur les lignes de niveau des solutions de $(E)$ ?

Exercice 25 ★★★★ — Les fonctions radiales

Passage en coordonnées polairesÉquations aux dérivées partielles d'ordre 1, fonctions de gradient nul

On note $U = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ et on cherche toutes les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ vérifiant

\forall (x, y) \in U, y \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) - x \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = 0. (E)

Pour $r > 0$ et $θ \in R$ , on pose $g (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)$ .

1. Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [\times R$ et établir les expressions de $\frac{\partial g}{\partial r}$ et $\frac{\partial g}{\partial θ}$ .

2. Montrer que $\frac{\partial g}{\partial θ} (r, θ)$ est l'opposé de la quantité $y \frac{\partial f}{\partial x} - x \frac{\partial f}{\partial y}$ évaluée au point $(r cos θ, r sin θ)$ . En déduire que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ ne dépend pas de $θ$ .

3. Conclure, par analyse et synthèse, que les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions radiales $f (x, y) = h (x^{2} + y^{2})$ , où $h$ est de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ .

4. Déterminer les solutions de $(E)$ valant $ln 2$ au point $(2, 0)$ et $0$ au point $(1, 0)$ : en donner un exemple explicite et dire pourquoi la solution n'est pas unique.

5. Interpréter géométriquement l'équation $(E)$ en termes d'orthogonalité entre $\nabla f (x, y)$ et un vecteur que l'on précisera.

Exercice 26 ★★★★ — Extremums sur un domaine borné

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

On pose $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - x y$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ , et on note

D = {(x, y) \in R^{2}; x^{2} + y^{2} ⩽ 1} .

On admet que $f$ atteint son maximum et son minimum sur $D$ .

1. Justifier que $U = {(x, y) \in R^{2}; x^{2} + y^{2} < 1}$ est un ouvert de $R^{2}$ , et déterminer les points critiques de $f$ sur $U$ .

2. Expliquer pourquoi un extremum de $f$ sur $D$ est soit atteint en un point critique de $f$ sur $U$ , soit atteint en un point vérifiant $x^{2} + y^{2} = 1$ .

3. Sur le cercle, on pose $x = cos t$ et $y = sin t$ avec $t \in [0, 2 π]$ . Montrer que $f$ vaut alors $1 - \frac{1}{2} sin (2 t)$ , puis déterminer le maximum et le minimum de cette expression ainsi que les valeurs de $t$ correspondantes.

4. Conclure : donner le maximum et le minimum de $f$ sur $D$ et les points où ils sont atteints.

5. Vérifier le résultat autrement : montrer que $f (x, y) = \frac{1}{2} [(x - y)^{2} + x^{2} + y^{2}]$ et retrouver directement le minimum.

Exercice 27 ★★★★ — La droite des moindres carrés

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

Une expérience fournit quatre mesures : $(0, 1)$ , $(1, 3)$ , $(2, 4)$ et $(3, 6)$ . On cherche la droite d'équation $y = a x + b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux

E (a, b) = i = 1 \sum 4 (a x_{i} + b - y_{i})^{2} .

1. Écrire $E (a, b)$ explicitement, justifier que $E$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et calculer ses deux dérivées partielles.

2. Écrire le système des points critiques (les équations normales) et le résoudre ; donner $a$ et $b$ sous forme de fractions irréductibles.

3. Montrer que ce point critique est un minimum global : écrire $E (a + h, b + k) - E (a, b)$ comme une expression du second degré en $(h, k)$ et la mettre sous forme canonique.

4. Donner l'équation de la droite obtenue et l'écart quadratique minimal.

5. Cas général : pour $n$ points $(x_{i}, y_{i})$ dont les abscisses ne sont pas toutes égales, écrire les deux équations normales et expliquer pourquoi le système admet une unique solution.

Exercice 28 ★★★★ — La boîte de surface minimale

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

On fabrique une boîte parallélépipédique rectangle fermée (six faces) de volume $8$ , dont les trois dimensions sont $x > 0$ , $y > 0$ et $z > 0$ . On cherche à rendre son aire totale minimale.

1. Exprimer $z$ en fonction de $x$ et $y$ , puis montrer que l'aire totale de la boîte s'écrit

S (x, y) = 2 (x y + \frac{8}{x} + \frac{8}{y}) sur U = {(x, y) \in R^{2}; x > 0 et y > 0} .

2. Justifier que $U$ est un ouvert et que $S$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , puis déterminer les points critiques de $S$ .

3. Énoncer l'inégalité arithmético-géométrique pour trois réels strictement positifs $a$ , $b$ , $c$ : $a + b + c ⩾ 3 3 ab c$ , en précisant son cas d'égalité, et la démontrer.

4. En l'appliquant à $a = x y$ , $b = \frac{8}{x}$ et $c = \frac{8}{y}$ , montrer que $S (x, y) ⩾ 24$ sur $U$ , avec égalité uniquement en $(2, 2)$ .

5. Conclure : quelle est la boîte fermée de volume $8$ d'aire minimale ? Donner ses dimensions.

6. Pourquoi ne pouvait-on pas se contenter de la question 2. pour conclure ?

Exercice 29 ★★★★ — Un unique point critique qui n'est pas un extremum

Points critiques et condition nécessaire d'extremum localExtremums locaux et globaux, problèmes d'optimisation

On pose, pour tout $(x, y) \in R^{2}$ ,

f (x, y) = (y - x^{2}) (y - 3 x^{2}) = y^{2} - 4 x^{2} y + 3 x^{4} .

1. Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , puis montrer que $(0, 0)$ est l'unique point critique de $f$ .

2. Soit $α$ un réel et soit $u = (cos α, sin α)$ . On pose $φ_{u} (t) = f (t u)$ pour tout réel $t$ . Étudier le signe de $φ_{u} (t)$ pour $t$ voisin de $0$ , en distinguant le cas $sin α \neq = 0$ et le cas $sin α = 0$ . En déduire que, le long de chaque droite passant par l'origine, la restriction de $f$ admet en $0$ un minimum local strict.

3. Calculer $f (x, 2 x^{2})$ pour tout réel $x$ . En déduire que $(0, 0)$ n'est pas un minimum local de $f$ , puis que ce n'est pas non plus un maximum local.

4. Décrire l'ensemble des points en lesquels $f$ est strictement négative, et expliquer, à l'aide de cette description, pourquoi l'étude menée à la question 2. ne pouvait pas suffire.

5. Quelle leçon générale en tirer sur la recherche des extremums ?

Exercice 30 ★★★★ — Une inégalité démontrée par optimisation

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

On pose $U = {(x, y) \in R^{2}; x > 0, y > 0}$ et, pour tout $(x, y) \in U$ ,

f (x, y) = x + y + \frac{1}{x y} .

1. Justifier que $U$ est un ouvert de $R^{2}$ , que $f$ y est de classe $C^{1}$ , et déterminer l'unique point critique de $f$ sur $U$ .

2. Soit $x > 0$ fixé. Étudier les variations de la fonction d'une variable $y \mapsto f (x, y)$ sur $] 0, + \infty [$ : montrer qu'elle atteint son minimum en $y = \frac{1}{x}$ , et que ce minimum vaut $m (x) = x + \frac{2}{x}$ .

3. Étudier les variations de $m$ sur $] 0, + \infty [$ et montrer que son minimum vaut $3$ , atteint uniquement en $x = 1$ .

4. En déduire que $f$ admet un minimum global sur $U$ , égal à $3$ et atteint uniquement en $(1, 1)$ , puis l'inégalité : pour tous réels $x > 0$ et $y > 0$ ,

x + y + \frac{1}{x y} ⩾ 3,

avec égalité si et seulement si $x = y = 1$ .

5. Retrouver cette inégalité à l'aide de l'inégalité arithmético-géométrique appliquée à trois nombres bien choisis, et comparer les deux méthodes.

Exercice 31 ★★★★ — Le triangle d'aire maximale à périmètre fixé

Extremums locaux et globaux, problèmes d'optimisationPoints critiques et condition nécessaire d'extremum local

On fixe un réel $p > 0$ et l'on cherche, parmi tous les triangles de périmètre $2 p$ , celui dont l'aire est maximale. On rappelle la formule de Héron : un triangle de côtés $a$ , $b$ , $c$ et de demi-périmètre $p$ a pour aire

A = p (p - a) (p - b) (p - c) .

1. En posant $c = 2 p - a - b$ , montrer que maximiser $A$ revient à maximiser

g (a, b) = (p - a) (p - b) (a + b - p)

sur $U = {(a, b) \in R^{2}; a < p, b < p, a + b > p}$ . Vérifier que $U$ est un ouvert de $R^{2}$ et que $g > 0$ sur $U$ .

2. Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ et déterminer ses points critiques dans $U$ .

3. On pose $u = p - a$ , $v = p - b$ et $w = a + b - p$ . Vérifier que $u$ , $v$ , $w$ sont strictement positifs et que $u + v + w = p$ , puis, à l'aide de l'inégalité arithmético-géométrique pour trois réels strictement positifs, montrer que $uv w ⩽ \frac{p ^{3}}{27}$ , avec égalité si et seulement si $u = v = w$ .

4. Conclure : quelle est l'aire maximale, et pour quel triangle est-elle atteinte ?

5. Vérifier numériquement pour $p = 3$ : donner les côtés du triangle optimal et son aire, puis comparer à l'aire du « triangle » de côtés $1$ , $2$ , $3$ et expliquer ce qui se passe.

Exercice 32 ★★★★ — Accroissements finis et fonctions lipschitziennes

Règle de la chaîne : dérivation le long d'un arc paramétréFonctions de classe C1 sur un ouvert, opérations

Soit $U$ un ouvert convexe de $R^{2}$ et soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $U$ . On rappelle que $U$ est convexe lorsque, pour tous points $a$ et $b$ de $U$ et tout $t \in [0, 1]$ , le point $(1 - t) a + t b$ appartient à $U$ .

1. Soient $a$ et $b$ deux points de $U$ . Justifier que $γ (t) = a + t (b - a)$ appartient à $U$ pour tout $t \in [0, 1]$ , puis que $g : t \mapsto f (γ (t))$ est de classe $C^{1}$ sur $[0, 1]$ , et calculer $g^{'} (t)$ .

2. En déduire, à l'aide de l'égalité des accroissements finis appliquée à $g$ , qu'il existe un point $c$ du segment $[a, b]$ tel que

f (b) - f (a) = ⟨ \nabla f (c), b - a ⟩ .

3. On suppose de plus qu'il existe $M ⩾ 0$ tel que $∥ \nabla f (m) ∥ ⩽ M$ pour tout $m \in U$ . Montrer, à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que $∣ f (b) - f (a) ∣ ⩽ M ∥ b - a ∥$ : la fonction $f$ est $M$ -lipschitzienne sur $U$ .

4. En déduire à nouveau que si $\nabla f$ est nul en tout point de $U$ convexe, alors $f$ est constante.

5. Application. Soit $f (x, y) = \frac{1}{1 + x ^{2} + y ^{2}}$ sur $R^{2}$ . Calculer $\nabla f$ , puis majorer $∥ \nabla f ∥$ par une constante explicite (on pourra poser $s = x^{2} + y^{2}$ et étudier $\frac{2 s}{( 1 + s ) ^{2}}$ ). En déduire une constante de Lipschitz pour $f$ .

6. L'hypothèse de convexité est-elle indispensable à la question 4. ? Justifier par un contre-exemple sur un ouvert non convexe bien choisi.

Exercice 33 ★★★★ — Ouverture — dérivées partielles d'ordre 2 et théorème de Schwarz

Ouverture (PC) : dérivées partielles d'ordre 2, classe C2, théorème de Schwarz

Ouverture (hors programme en PCSI). Les dérivées partielles d'ordre 2 ne figurent pas au programme de PCSI : elles relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

1. Rappeler les notations $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ , $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ , $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}$ et $\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}$ , puis énoncer le théorème de Schwarz.

2. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre 2 et vérifier le théorème de Schwarz pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $R^{2}$ .

a. $f (x, y) = x^{3} y^{2} - x y^{4}$ .

b. $g (x, y) = e^{x y}$ .

c. $h (x, y) = ln (1 + x^{2} + y^{2})$ .

3. Pour la fonction $h$ , vérifier que les deux dérivées croisées sont bien égales à $\frac{- 4 x y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ , et contrôler cette valeur en un point par un calcul indépendant.

4. Expliquer en deux phrases pourquoi l'hypothèse « de classe $C^{2}$ » ne peut pas être supprimée du théorème de Schwarz.

Exercice 34 ★★★★ — Ouverture — laplacien et fonctions harmoniques

Ouverture (PC) : dérivées partielles d'ordre 2, classe C2, théorème de Schwarz

Ouverture (hors programme en PCSI). Le laplacien et les dérivées partielles d'ordre 2 ne figurent pas au programme de PCSI : ils relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

Pour une fonction $f$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert de $R^{2}$ , on appelle laplacien de $f$ la fonction

Δ f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}},

et l'on dit que $f$ est harmonique sur cet ouvert lorsque $Δ f = 0$ en tout point.

1. Vérifier que $f (x, y) = x^{3} - 3 x y^{2}$ est harmonique sur $R^{2}$ .

2. Vérifier que $g (x, y) = e^{x} cos y$ est harmonique sur $R^{2}$ .

3. Vérifier que $h (x, y) = ln (x^{2} + y^{2})$ est harmonique sur $R^{2}$ privé de l'origine.

4. On admet la formule du laplacien en coordonnées polaires : si $F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)$ , alors

Δ f = \frac{\partial ^{2} F}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} F}{\partial θ ^{2}} .

Déterminer toutes les fonctions harmoniques radiales sur $R^{2}$ privé de l'origine, c'est-à-dire de la forme $f (x, y) = ψ (x^{2} + y^{2})$ avec $ψ$ de classe $C^{2}$ sur $] 0, + \infty [$ .

5. Relier le résultat obtenu à la question 3.

Exercice 35 ★★★★ — Ouverture — classer un point critique avec le critère rt moins s carré

Ouverture (PC) : Taylor-Young à l'ordre 2, hessienne, critère rt moins s carré

Ouverture (hors programme en PCSI). La formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et le critère $r t - s^{2}$ ne figurent pas au programme de PCSI : ils relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

On admet le critère suivant. Soit $f$ une fonction de classe $C^{2}$ sur un ouvert de $R^{2}$ et soit $a$ un point critique de $f$ . On pose

r = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} (a), s = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (a), t = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} (a) .

Si $r t - s^{2} > 0$ , alors $a$ est un extremum local : un minimum si $r > 0$ , un maximum si $r < 0$ .
Si $r t - s^{2} < 0$ , alors $a$ est un point selle (ce n'est pas un extremum).
Si $r t - s^{2} = 0$ , le critère ne conclut pas.

1. Appliquer le critère à $f (x, y) = x^{2} - y^{2} + 2 x + 4 y$ en son point critique $(- 1, 2)$ .

2. Déterminer le point critique de $f (x, y) = 2 x^{2} + y^{2} + 2 x y - 6 x - 4 y + 5$ , puis lui appliquer le critère.

3. Vérifier que $f (x, y) = x^{4} + y^{4} - 2 (x - y)^{2}$ admet exactement trois points critiques, à savoir $(0, 0)$ , $(2, - 2)$ et $(- 2, 2)$ , et appliquer le critère en chacun d'eux. Conclure à la main dans le cas laissé en suspens.

4. Même question pour $f (x, y) = (y - x^{2}) (y - 3 x^{2})$ au point critique $(0, 0)$ .

5. Conclure sur la portée du critère : ce qu'il fait gagner, et les deux situations où il ne remplace pas une étude à la main.

Exercice 36 ★★★★ — Ouverture — l'équation des cordes vibrantes

Ouverture (PC) : dérivées partielles d'ordre 2, classe C2, théorème de SchwarzDérivées partielles d'une composée et changement de variables

Ouverture (hors programme en PCSI). Les équations aux dérivées partielles d'ordre 2 ne figurent pas au programme de PCSI : elles relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

Soit $c > 0$ . On cherche toutes les fonctions $f$ de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ , de variables $(x, t)$ , vérifiant l'équation des ondes

(E) \frac{\partial ^{2} f}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} .

1. On pose $u = x - c t$ , $v = x + c t$ et $g (u, v) = f (\frac{u + v}{2}, \frac{v - u}{2 c})$ . Vérifier que le changement de variables $(x, t) \mapsto (u, v)$ est une bijection de $R^{2}$ sur $R^{2}$ , et que $f (x, t) = g (x - c t, x + c t)$ .

2. Calculer $\frac{\partial g}{\partial u}$ , puis $\frac{\partial ^{2} g}{\partial v \partial u}$ , en fonction des dérivées partielles de $f$ . En déduire que $f$ vérifie $(E)$ si et seulement si $\frac{\partial ^{2} g}{\partial v \partial u} = 0$ sur $R^{2}$ .

3. Résoudre cette équation : montrer qu'il existe deux fonctions $φ$ et $ψ$ de classe $C^{2}$ sur $R$ telles que $g (u, v) = φ (u) + ψ (v)$ .

4. Conclure, par analyse et synthèse, à la formule de d'Alembert : les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $f (x, t) = φ (x - c t) + ψ (x + c t)$ . Interpréter physiquement.

5. Déterminer la solution vérifiant $f (x, 0) = sin x$ et $\frac{\partial f}{\partial t} (x, 0) = 0$ pour tout réel $x$ , et vérifier directement qu'elle convient.

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 240 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (4 points) — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $R^{2}$ par

f (x, y) = x e^{x - y},

et l'on note $S$ la surface d'équation $z = f (x, y)$ dans un repère orthonormé de l'espace. On pose $a = (1, 1)$ et $u = (2, - 1)$ .

1. (0,25 pt) Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ .

2. (0,5 pt) Calculer $\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y)$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ , puis expliciter $\nabla f (a)$ .

3. (0,75 pt) Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$ , c'est-à-dire une égalité de la forme $f (a + (h, k)) = α + β h + γ k + o (∥(h, k)∥)$ où $α$ , $β$ , $γ$ sont trois réels à déterminer.

4. (0,5 pt) En déduire une équation cartésienne du plan tangent à $S$ au point de contact $A (1, 1, f (1, 1))$ .

5. On note $D_{u} f (a)$ la dérivée de $f$ en $a$ suivant le vecteur $u$ .

a. (0,5 pt) Calculer $D_{u} f (a)$ à l'aide du produit scalaire $⟨ \nabla f (a), u ⟩$ .

b. (0,5 pt) Retrouver ce résultat en posant $g (t) = f (a + t u)$ pour $t \in R$ : expliciter $g (t)$ , calculer $g^{'} (t)$ , puis $g^{'} (0)$ .

6. (0,5 pt) Déterminer l'ensemble des points critiques de $f$ sur $R^{2}$ .

7. (0,5 pt) En déduire que $f$ n'admet aucun extremum local sur $R^{2}$ . On énoncera précisément le théorème utilisé.

Exercice 2 (4 points) — Une EDP avec second membre

On note $U = {(x, y) \in R^{2}; x > 0, y > 0}$ et $V = {(u, v) \in R^{2}; u > 0, v > 0}$ . On cherche toutes les fonctions $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ vérifiant

(E) x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) - y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = f (x, y) pour tout (x, y) \in U .

1. (0,5 pt) Démontrer, en revenant à la définition à l'aide de boules ouvertes, que $U$ est une partie ouverte de $R^{2}$ . (On admettra de même que $V$ est ouvert.)

2. (0,5 pt) On pose, pour $(u, v) \in V$ ,

φ (u, v) = uv, ψ (u, v) = \frac{u}{v}, Φ (u, v) = (φ (u, v), ψ (u, v)) .

Montrer que $Φ$ est de classe $C^{1}$ sur $V$ , à valeurs dans $U$ , et que $Φ$ réalise une bijection de $V$ sur $U$ de réciproque $(x, y) \mapsto (x y, \frac{x}{y})$ .

3. (1 pt) Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $U$ . On pose $g (u, v) = f (φ (u, v), ψ (u, v))$ pour $(u, v) \in V$ . Justifier que $g$ est de classe $C^{1}$ sur $V$ et démontrer que, pour tout $(u, v) \in V$ , en notant $(x, y) = Φ (u, v)$ :

2 u \frac{\partial g}{\partial u} (u, v) = x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y), 2 v \frac{\partial g}{\partial v} (u, v) = x \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) - y \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) .

4. (0,25 pt) En déduire que $f$ est solution de $(E)$ sur $U$ si et seulement si $g$ vérifie $2 v \frac{\partial g}{\partial v} (u, v) = g (u, v)$ pour tout $(u, v) \in V$ .

5. (0,75 pt) Résoudre cette équation à $u$ fixé, en la lisant comme une équation différentielle linéaire d'ordre $1$ en la variable $v$ . En déduire l'existence d'une fonction $c$ de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ telle que $g (u, v) = c (u) v$ pour tout $(u, v) \in V$ .

6. (0,5 pt) Conclure, par analyse et synthèse, en décrivant explicitement l'ensemble des solutions de $(E)$ .

7. (0,5 pt) Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f (x, x) = x^{2}$ pour tout $x > 0$ , puis vérifier directement, en calculant ses deux dérivées partielles, qu'elle est bien solution de $(E)$ .

Exercice 3 (4 points) — L'entrepôt le mieux placé

Un transporteur dessert trois villes, repérées dans un repère orthonormé du plan (unité : le kilomètre) par

A (1, 2), B (5, 4), C (6, 0) .

Il cherche où implanter un entrepôt $M (x, y)$ de façon à rendre minimale la somme des carrés des distances aux trois villes, c'est-à-dire à minimiser

F (x, y) = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} pour (x, y) \in R^{2} .

1. (0,5 pt) Démontrer que $F (x, y) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x - 12 y + 82$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ .

2. (0,25 pt) Justifier que $F$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ .

3. (0,5 pt) Calculer $\nabla F (x, y)$ , puis déterminer l'unique point critique $G$ de $F$ . Vérifier que $G$ est l'isobarycentre de $A$ , $B$ et $C$ , c'est-à-dire l'unique point vérifiant $G A + GB + GC = 0$ .

4. (0,75 pt) Soit $M$ un point quelconque du plan. En écrivant $M A = M G + G A$ et de même pour $B$ et $C$ , démontrer l'identité

F (M) = 3 M G^{2} + F (G) .

5. (0,5 pt) En déduire, sans invoquer la condition nécessaire d'extremum, que $F$ admet sur $R^{2}$ un minimum global, atteint en un unique point que l'on précisera.

6. (0,5 pt) Calculer $G A^{2}$ , $G B^{2}$ et $G C^{2}$ , en déduire la valeur du minimum, et retrouver ce résultat en développant la forme canonique de $F$ .

7. (1 pt) Le transporteur livre en réalité la ville $C$ deux fois plus souvent que les deux autres : il minimise donc

F_{p} (x, y) = M A^{2} + M B^{2} + 2 M C^{2} .

Reprendre l'étude : forme développée, point critique $G_{p}$ , minimum global et sa valeur. Comparer la position de $G_{p}$ à celle de $G$ et commenter le déplacement observé.

Exercice 4 (4 points) — Points critiques d'une fonction avec exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par

f (x, y) = e^{x} (x^{2} - y^{2}) .

1. (0,25 pt) Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ .

2. (0,5 pt) Calculer $\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, y)$ .

3. (0,5 pt) Démontrer que les points critiques de $f$ sont exactement $(0, 0)$ et $(- 2, 0)$ .

4. (0,5 pt) Calculer $f (x, 0)$ pour $x \in R$ , puis $f (0, y)$ pour $y \in R$ . En comparant ces valeurs à $f (0, 0)$ , démontrer que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0, 0)$ .

5. (0,25 pt) Calculer $f (- 2, 0)$ et démontrer que, pour tous réels $h$ et $k$ ,

f (- 2 + h, k) = e^{- 2} e^{h} [(h - 2)^{2} - k^{2}] .

6. On pose $p (x) = e^{x} (x - 2)^{2}$ pour $x \in R$ . (C'est le cas $k = 0$ , à un facteur $e^{- 2}$ près.)

a. (0,75 pt) Calculer $p^{'} (x)$ et le factoriser. Dresser le tableau de variations complet de $p$ sur $R$ , puis en déduire que $p (x) ⩽ 4$ pour tout $x ⩽ 2$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

b. (0,5 pt) En déduire que, pour tout $(h, k)$ tel que $∥(h, k)∥ < 2$ , on a $f (- 2 + h, k) ⩽ f (- 2, 0)$ .

7. (0,25 pt) Conclure sur la nature du point critique $(- 2, 0)$ et donner la valeur de l'extremum correspondant.

8. (0,5 pt) Démontrer que cet extremum n'est pas global : on exhibera une suite de points $(M_{n})$ de $R^{2}$ telle que $f (M_{n}) \to + \infty$ .

Exercice 5 (4 points) — Lignes de niveau et arc tracé sur une surface

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par

f (x, y) = \frac{x - y}{1 + x ^{2} + y ^{2}} .

1. (0,25 pt) Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ .

2. (0,75 pt) Calculer $\nabla f (x, y)$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ .

3. (0,5 pt) Déterminer la ligne de niveau $0$ de $f$ , c'est-à-dire l'ensemble $L_{0} = {(x, y) \in R^{2}; f (x, y) = 0}$ , et la décrire géométriquement.

4. (0,25 pt) Calculer $f (1, 0)$ et $\nabla f (1, 0)$ .

5. (0,75 pt) Soit $L$ la ligne de niveau de $f$ passant par le point $b = (1, 0)$ , et soit $δ$ un arc de classe $C^{1}$ tracé sur $L$ , avec $δ (t_{0}) = b$ et $δ^{'} (t_{0}) \neq = (0, 0)$ . Démontrer, à l'aide de la règle de la chaîne, que $δ^{'} (t_{0})$ est orthogonal à $\nabla f (b)$ . En déduire un vecteur directeur de la tangente en $b$ à $L$ .

6. (0,5 pt) On considère l'arc $γ (t) = (cos t + 1, sin t)$ , défini pour $t \in R$ . Calculer $γ (0)$ , $γ^{'} (0)$ , puis $(f \circ γ)^{'} (0)$ à l'aide de la règle de la chaîne.

7. On veut montrer que $f$ est bornée sur $R^{2}$ .

a. (0,25 pt) Démontrer, à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $R^{2}$ muni de son produit scalaire canonique, que $∣ x - y ∣ ⩽ 2 x^{2} + y^{2}$ pour tout $(x, y) \in R^{2}$ .

b. (0,5 pt) On pose $q (s) = \frac{2 s}{1 + s}$ pour $s ⩾ 0$ . Étudier les variations de $q$ sur $[0, + \infty [$ et déterminer son maximum.

c. (0,25 pt) Conclure : donner un majorant explicite de $∣ f ∣$ sur $R^{2}$ .

Le sujet du DS(PDF, 57 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 121 Ko)

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Ce qu'il faut savoir faire

Le cours

Le plan R2 : norme euclidienne, boules ouvertes, parties ouvertes

Norme euclidienne et distance

Boules ouvertes

Parties ouvertes

Les exemples à connaître

Fonctions de deux variables : domaine, surface, applications partielles, lignes de niveau

Domaine de définition

Surface représentative

Applications partielles

Lignes de niveau

Un mot sur la continuité

Dérivées partielles d'ordre 1

Définition

Calcul pratique

Fonctions de classe C1 sur un ouvert

Définition

Opérations

Justifier la classe C1 sans calcul

Développement limité à l'ordre 1, gradient et plan tangent

Le théorème central

Gradient

Plan tangent

Le gradient et les lignes de niveau

Direction de plus forte pente

Dérivée suivant un vecteur

Définition et calcul

Règle de la chaîne, changements de variables, applications

Dérivation le long d'un arc

Dérivées partielles d'une composée à deux paramètres

Passage en coordonnées polaires

Application 1 : équations aux dérivées partielles d'ordre 1

Application 2 : les fonctions de gradient nul

Extremums

Vocabulaire

Points critiques et condition nécessaire

La réciproque est fausse : les points selles

Trois études complètes

Extremums globaux sur un domaine borné

Ouverture — les dérivées partielles d'ordre 2 (hors programme en PCSI)

Dérivées partielles d'ordre 2

Le théorème de Schwarz

Laplacien et fonctions harmoniques

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et matrice hessienne

Le critère rt−s2

Le critère à l'épreuve des exemples du chapitre

Les exercices

Le devoir surveillé

Exercice 1 (4 points) — Étude complète d'une fonction

Exercice 2 (4 points) — Une EDP avec second membre

Exercice 3 (4 points) — L'entrepôt le mieux placé

Exercice 4 (4 points) — Points critiques d'une fonction avec exponentielle

Exercice 5 (4 points) — Lignes de niveau et arc tracé sur une surface

Bloqué sur « Fonctions de deux variables » ?

Le plan $R^{2}$ : norme euclidienne, boules ouvertes, parties ouvertes

Fonctions de classe $C^{1}$ sur un ouvert

Justifier la classe $C^{1}$ sans calcul

Le critère $r t - s^{2}$