PCSI · Chapitre 16 · Second semestre

Séries numériques

Convergence, séries géométriques, séries à termes positifs, séries de Riemann, convergence absolue.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Convergence
Séries géométriques
Séries à termes positifs
Séries de Riemann
Convergence absolue

Le cours

Additionner deux nombres, ou dix, ou un million, ne pose aucun problème : on additionne, on obtient un résultat. Mais que signifie additionner tous les termes d'une suite, c'est-à-dire une infinité de nombres ? L'écriture

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots

n'a aucun sens tant qu'on n'a pas dit ce qu'on entend par ces points de suspension. Et l'intuition est ici mauvaise conseillère : on verra que la somme précédente vaut exactement $2$ , alors que $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ , dont les termes tendent tout aussi bien vers $0$ , dépasse n'importe quel nombre fixé à l'avance.

La solution est de ne rien inventer. On ne sait additionner qu'un nombre fini de termes : on forme donc la suite des sommes partielles $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ , qui est une suite parfaitement ordinaire, et on lui applique tout ce que l'on sait des suites. Le programme le dit ainsi : cette section « a pour but de prolonger l'étude des suites et de permettre d'appliquer les techniques d'analyse asymptotique pour étudier les séries numériques ». Il n'y a donc aucun outil vraiment nouveau dans ce chapitre : la limite monotone, l'encadrement, les équivalents et les développements limités suffisent à tout. Ce qui est nouveau, c'est la question posée, et le vocabulaire pour y répondre.

Le plan suit cette logique. On définit d'abord les objets (série, somme, reste) et on établit les propriétés élémentaires, puis la seule condition nécessaire du chapitre : le terme général d'une série convergente tend vers $0$ . Le lien suite-série montre ensuite que suites et séries sont deux façons de dire la même chose. Viennent les séries de référence (géométriques, exponentielle, Riemann), auxquelles tout le reste sera comparé. Le cœur du chapitre est l'étude des séries à termes positifs, pour lesquelles les sommes partielles sont croissantes et où tous les théorèmes de comparaison s'appliquent ; la méthode des rectangles y ajoute un outil de calcul redoutable. On termine par les termes de signe quelconque, ramenés au cas positif par la valeur absolue.

Conventions valables dans tout le chapitre. Les suites sont indexées par un entier $n$ à partir d'un rang $n_{0}$ précisé à chaque fois, le plus souvent $n_{0} = 0$ ou $n_{0} = 1$ . On note $K$ l'ensemble $R$ ou $C$ . Les notations $S_{n}$ , $R_{n}$ et $H_{n}$ désignent respectivement la somme partielle, le reste et la somme harmonique, définies plus bas, et $γ$ la constante d'Euler. Tout ce qui concerne les suites (théorème de la limite monotone, suites adjacentes, encadrement), l'analyse asymptotique (notations $o$ , $O$ et $\sim$ , développements limités) et l'intégration sur un segment est supposé connu et utilisé librement. Attention sur ce dernier point : en PCSI, une intégrale a toujours des bornes finies. Aucune intégrale de ce chapitre ne portera sur un intervalle non borné.

Séries numériques : définitions

Série, sommes partielles, convergence

Définition

Soit $(u_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ une suite d'éléments de $K$ . On appelle série de terme général $u_{n}$ , notée $\sum u_{n}$ ou $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ , la suite $(S_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ définie par

S_{n} = k = n_{0} \sum n u_{k} = u_{n_{0}} + u_{n_{0} + 1} + \dots + u_{n} .

L'élément $S_{n}$ s'appelle la somme partielle d'ordre $n$ de la série.

Une série n'est donc pas un nombre : c'est une suite, celle de ses sommes partielles. Toutes les sommes qui interviennent dans cette définition sont finies, ce qui règle la difficulté soulevée en introduction.

Définition

On dit que la série $\sum u_{n}$ converge lorsque la suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles converge. Dans ce cas, sa limite s'appelle la somme de la série et se note

n = n_{0} \sum + \infty u_{n} = n \to + \infty lim S_{n} .

Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Déterminer la nature d'une série, c'est dire si elle converge ou si elle diverge.

Remarque

Ne jamais confondre la série et sa somme. Le symbole $\sum u_{n}$ désigne un objet (une suite de sommes partielles), qui existe toujours ; le symbole $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$ désigne un nombre, qui n'existe que si la série converge. Écrire « $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} = + \infty$ » avant d'avoir étudié la nature de la série, ou pire manipuler ce symbole comme un réel, est la faute la plus fréquente du chapitre.

En pratique : on écrit d'abord « la série $\sum u_{n}$ converge », ensuite seulement on a le droit d'écrire sa somme.

Sauf mention contraire, les énoncés qui suivent sont écrits avec $n_{0} = 0$ pour alléger, mais ils valent pour n'importe quel indice de départ. Il faut d'ailleurs prendre l'habitude de le préciser : la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ a un sens, la série $\sum_{n ⩾ 0} \frac{1}{n}$ n'en a pas.

Exemple

Une série géométrique. Considérons $\sum_{n ⩾ 0} \frac{1}{2 ^{n}}$ . Pour tout $n ⩾ 0$ , la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2} \neq = 1$ donne

S_{n} = k = 0 \sum n (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}} n \to + \infty 2.

La série converge et sa somme vaut $2$ : c'est le sens exact de l'écriture $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2$ .

Exemple

Une série télescopique. Considérons $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ( n + 1 )}$ . La décomposition en éléments simples donne $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ , donc la somme partielle se télescope :

S_{n} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} n \to + \infty 1.

La série converge et sa somme vaut $1$ .

Exemple

La série harmonique. Considérons $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ , dont la somme partielle est traditionnellement notée

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} .

Ici aucun télescopage, aucune formule close : $H_{n}$ ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles. On démontrera au paragraphe 6 que $H_{n} \to + \infty$ , donc que la série harmonique diverge, bien que son terme général tende vers $0$ . Retenez dès maintenant ce contre-exemple : c'est celui qui invalide l'erreur de raisonnement la plus répandue du chapitre.

Sommes partielles d'une série convergente et d'une série divergente

La figure superpose les deux comportements pour $n$ allant de $1$ à $30$ . Le nuage du bas, celui des sommes partielles de $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ , monte de moins en moins et vient s'écraser contre la droite pointillée d'ordonnée $\frac{π ^{2}}{6} \approx 1, 645$ : la série converge, et l'écart qui subsiste entre $S_{n}$ et cette droite est le reste $R_{n}$ défini ci-dessous. Le nuage du haut, celui de $H_{n}$ , ralentit lui aussi, mais il ne s'écrase contre rien : arrivé à $3, 995$ pour $n = 30$ , il finira par dépasser toute barrière fixée à l'avance, et la série diverge. Dans les deux cas le terme ajouté tend vers $0$ , ce qui montre bien que cette information ne permet de rien conclure.

Somme et reste

Propriété

Soit $\sum u_{n}$ une série convergente de somme $S$ . Pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ , la série $\sum_{k ⩾ n + 1} u_{k}$ converge ; sa somme

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}

s'appelle le reste d'ordre $n$ de la série. On a alors

S = S_{n} + R_{n} pour tout n ⩾ n_{0}, et R_{n} n \to + \infty 0.

Démonstration. Fixons $n ⩾ n_{0}$ . Pour tout entier $N > n$ , la relation de Chasles pour les sommes finies donne

k = n + 1 \sum N u_{k} = k = n_{0} \sum N u_{k} - k = n_{0} \sum n u_{k} = S_{N} - S_{n} .

Lorsque $N \to + \infty$ , le membre de droite tend vers $S - S_{n}$ , puisque $S_{n}$ est fixé. La suite des sommes partielles de la série $\sum_{k ⩾ n + 1} u_{k}$ converge donc, ce qui signifie que cette série converge, et que sa somme vaut $R_{n} = S - S_{n}$ .

Enfin, $S_{n} \to S$ par hypothèse, donc $R_{n} = S - S_{n} \to S - S = 0$ . $□$

Remarque

Le reste n'est défini que pour une série convergente : parler du reste d'une série dont on n'a pas encore établi la convergence n'a aucun sens. L'égalité $S = S_{n} + R_{n}$ se lit : « la somme est la somme partielle plus ce qu'on a oublié ». Comme $R_{n} \to 0$ , la somme partielle $S_{n}$ est une valeur approchée de $S$ ; savoir majorer $∣ R_{n} ∣$ , c'est savoir avec quelle précision. Le paragraphe 6.5 donne la méthode.

Premières propriétés

Propriété

Linéarité. Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries convergentes et $λ \in K$ . Alors la série $\sum (u_{n} + λ v_{n})$ converge et

n = n_{0} \sum + \infty (u_{n} + λ v_{n}) = n = n_{0} \sum + \infty u_{n} + λ n = n_{0} \sum + \infty v_{n} .

Démonstration. Notons $S_{n}$ , $T_{n}$ et $W_{n}$ les sommes partielles respectives de $\sum u_{n}$ , $\sum v_{n}$ et $\sum (u_{n} + λ v_{n})$ . La linéarité de la somme finie donne, pour tout $n$ ,

W_{n} = k = n_{0} \sum n (u_{k} + λ v_{k}) = S_{n} + λ T_{n} .

Par hypothèse $S_{n} \to S$ et $T_{n} \to T$ , donc $W_{n} \to S + λ T$ par opérations sur les limites. La série $\sum (u_{n} + λ v_{n})$ converge donc, de somme $S + λ T$ . $□$

Propriété

Corollaire. Si $\sum u_{n}$ converge et si $\sum v_{n}$ diverge, alors $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge.

Démonstration. Par l'absurde : si $\sum (u_{n} + v_{n})$ convergeait, alors, $\sum u_{n}$ convergeant aussi, la linéarité appliquée à $v_{n} = (u_{n} + v_{n}) - u_{n}$ donnerait la convergence de $\sum v_{n}$ , ce qui est contraire à l'hypothèse. $□$

Remarque

En revanche, si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ divergent toutes les deux, on ne peut rien dire de $\sum (u_{n} + v_{n})$ : avec $u_{n} = 1$ et $v_{n} = - 1$ , la somme est nulle donc convergente, alors qu'avec $u_{n} = v_{n} = 1$ elle diverge.

Propriété

Modification d'un nombre fini de termes. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites qui coïncident à partir d'un certain rang $N$ . Alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ ont la même nature. En cas de convergence, leurs sommes diffèrent en général.

Démonstration. Notons $S_{n}$ et $T_{n}$ les sommes partielles. Pour tout $n ⩾ N$ , les termes d'indice $k ⩾ N$ sont les mêmes dans les deux sommes, donc

S_{n} - T_{n} = k = n_{0} \sum N - 1 (u_{k} - v_{k}) = C,

où $C$ est une constante indépendante de $n$ . Ainsi $S_{n} = T_{n} + C$ pour $n ⩾ N$ : la suite $(S_{n})$ converge si et seulement si $(T_{n})$ converge. En cas de convergence, les sommes diffèrent précisément de $C$ . $□$

Remarque

Ce résultat justifie deux libertés que l'on prendra constamment. D'abord, la nature d'une série ne dépend pas de son indice de départ : on peut donc écrire « la série $\sum \frac{1}{n l n n}$ » sans préciser si elle commence à $2$ ou à $10$ . Ensuite, dans une démonstration, on peut toujours supposer qu'une hypothèse valable « à partir d'un certain rang » l'est en réalité dès le premier indice, quitte à remplacer les premiers termes par $0$ .

Ce résultat justifie surtout la prudence inverse : la somme, elle, dépend de tous les termes. Une majoration valable seulement à partir du rang $10$ n'apprend rien sur la valeur de la somme, seulement sur la nature de la série.

Séries à termes complexes

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite de nombres complexes. La série $\sum u_{n}$ converge si et seulement si les deux séries réelles $\sum Re (u_{n})$ et $\sum Im (u_{n})$ convergent. Dans ce cas,

n = n_{0} \sum + \infty u_{n} = n = n_{0} \sum + \infty Re (u_{n}) + i n = n_{0} \sum + \infty Im (u_{n}) .

Démonstration. Notons $A_{n}$ et $B_{n}$ les sommes partielles de $\sum Re (u_{n})$ et $\sum Im (u_{n})$ . La linéarité de la partie réelle et de la partie imaginaire sur une somme finie donne

S_{n} = k = n_{0} \sum n u_{k} = A_{n} + i B_{n}, avec A_{n} = Re (S_{n}) et B_{n} = Im (S_{n}) .

Or une suite complexe converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent, et dans ce cas sa limite est $lim A_{n} + i lim B_{n}$ . La conclusion suit. $□$

Exemple

Soit $z \in C$ avec $∣ z ∣ < 1$ , écrit $z = r e^{i θ}$ avec $0 ⩽ r < 1$ . On verra au paragraphe 4.1 que $\sum_{n ⩾ 0} z^{n}$ converge, de somme $\frac{1}{1 - z}$ . La propriété ci-dessus donne alors gratuitement la convergence des deux séries réelles $\sum r^{n} cos (n θ)$ et $\sum r^{n} sin (n θ)$ , dont les sommes sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de $\frac{1}{1 - z}$ .

La condition nécessaire de convergence

Le théorème et sa contraposée

Propriété

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors

u_{n} n \to + \infty 0.

Démonstration. Notons $S$ la somme de la série. Pour tout $n ⩾ n_{0} + 1$ , on a par définition des sommes partielles

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} .

La suite $(S_{n})$ converge vers $S$ , et la suite $(S_{n - 1})$ , qui n'en est qu'un décalage d'indice, converge vers la même limite $S$ . Par différence,

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} n \to + \infty S - S = 0. □

Propriété

Divergence grossière (contraposée). Si la suite $(u_{n})$ ne tend pas vers $0$ , alors la série $\sum u_{n}$ diverge. On dit qu'elle diverge grossièrement.

C'est le premier réflexe devant toute série, et le seul critère du chapitre qui ne demande aucune hypothèse : il faut y penser avant tout calcul, car il coûte une ligne.

Remarque

La réciproque est FAUSSE. Ce théorème donne une condition nécessaire, en aucun cas suffisante. L'implication

u_{n} \to 0 ⟹ \sum u_{n} converge

est fausse : le contre-exemple de référence est la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ , dont le terme général tend vers $0$ et qui diverge pourtant (paragraphe 6.4).

Autrement dit, constater que $u_{n} \to 0$ ne fait avancer à rien : cela signifie seulement que la divergence grossière ne s'applique pas, et qu'il va falloir travailler.

Exemple

Quatre divergences grossières.

$\sum (- 1)^{n}$ : le terme général vaut alternativement $1$ et $- 1$ , il ne tend pas vers $0$ . La série diverge. On le voit aussi directement : $S_{n}$ vaut $1$ si $n$ est pair, $0$ si $n$ est impair, donc $(S_{n})$ n'a pas de limite.
$\sum \frac{n}{2 n + 1}$ : le terme général tend vers $\frac{1}{2} \neq = 0$ . La série diverge.
$\sum n sin (\frac{1}{n})$ : en posant $x = \frac{1}{n} \to 0$ , on a $n sin \frac{1}{n} = \frac{s i n x}{x} \to 1 \neq = 0$ . La série diverge.
$\sum (1 + \frac{1}{n})^{n}$ : le terme général s'écrit $e^{n l n (1 + \frac{1}{n})}$ , et $n ln (1 + \frac{1}{n}) \to 1$ , donc il tend vers $e \neq = 0$ . La série diverge.

Exemple

Une série géométrique de raison trop grande. Pour $q \in C$ avec $∣ q ∣ ⩾ 1$ , on a $∣ q^{n} ∣ = ∣ q ∣^{n} ⩾ 1$ pour tout $n$ , donc $q^{n}$ ne tend pas vers $0$ : la série $\sum q^{n}$ diverge grossièrement. Ce sera la moitié « facile » du théorème du paragraphe 4.1.

Le lien suite-série

Le résultat suivant est un simple changement de point de vue, mais c'est l'un des plus utiles du chapitre : il permet de traduire toute question sur une suite en une question sur une série, et réciproquement.

Propriété

Soit $(a_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ une suite d'éléments de $K$ . La suite $(a_{n})$ et la série télescopique $\sum_{n ⩾ n_{0}} (a_{n + 1} - a_{n})$ sont de même nature, c'est-à-dire que l'une converge si et seulement si l'autre converge. En cas de convergence, en notant $ℓ = lim a_{n}$ ,

n = n_{0} \sum + \infty (a_{n + 1} - a_{n}) = ℓ - a_{n_{0}} .

Démonstration. Notons $S_{n}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série télescopique. Par télescopage,

S_{n} = k = n_{0} \sum n (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{n_{0}} .

Sens direct. Si $(a_{n})$ converge vers $ℓ$ , alors $(a_{n + 1})$ converge aussi vers $ℓ$ (décalage d'indice), donc $S_{n} = a_{n + 1} - a_{n_{0}} \to ℓ - a_{n_{0}}$ : la série converge, de somme $ℓ - a_{n_{0}}$ .

Réciproque. Si la série converge, notons $S$ sa somme. Alors $a_{n + 1} = S_{n} + a_{n_{0}} \to S + a_{n_{0}}$ , donc la suite $(a_{n + 1})$ converge, et $(a_{n})$ également, vers la même limite. $□$

Méthode

Utiliser le lien suite-série dans les deux sens.

De la série vers la suite. Si le terme général $u_{n}$ s'écrit $a_{n + 1} - a_{n}$ pour une suite $(a_{n})$ que l'on sait étudier, la nature de la série se lit immédiatement sur $(a_{n})$ , et la somme se calcule exactement. C'est la situation d'une série télescopique : la reconnaître fait gagner tout le travail.
De la suite vers la série. Pour étudier une suite $(a_{n})$ dont on ne sait pas calculer le terme général, on étudie la série de ses accroissements $\sum (a_{n + 1} - a_{n})$ , à laquelle on applique tous les critères de ce chapitre (notamment les théorèmes de comparaison, si les accroissements sont de signe constant).

Réflexes de reconnaissance d'un télescopage : une différence de deux termes de même forme décalés d'un cran ; une fraction rationnelle en $n$ dont la décomposition en éléments simples fait apparaître $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ ; un logarithme de quotient, $ln \frac{n + 1}{n} = ln (n + 1) - ln n$ .

Exemple

Une divergence par télescopage. Étudions $\sum_{n ⩾ 1} ln (1 + \frac{1}{n})$ .

Le terme général s'écrit

ln (1 + \frac{1}{n}) = ln (\frac{n + 1}{n}) = ln (n + 1) - ln n = a_{n + 1} - a_{n} avec a_{n} = ln n .

La suite $(a_{n}) = (ln n)$ diverge vers $+ \infty$ , donc la série diverge. On le voit sur les sommes partielles : $S_{n} = ln (n + 1) \to + \infty$ .

Ce résultat mérite d'être retenu, car $ln (1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$ : cette série diverge exactement « comme » la série harmonique, ce que le paragraphe 5 expliquera. Elle en fournit d'ailleurs une preuve de divergence, une fois le théorème de comparaison par équivalents établi.

Exemple

Une convergence par télescopage. Étudions $\sum_{n ⩾ 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ .

Avec $a_{n} = - \frac{1}{n}$ , le terme général vaut $a_{n + 1} - a_{n}$ , et $a_{n} \to 0$ . La série converge donc, de somme

n = 1 \sum + \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = n \to + \infty lim a_{n} - a_{1} = 0 - (- 1) = 1.

Vérification directe : $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1$ . Pour $n = 1000$ , on trouve $S_{n} \approx 0, 9684$ , ce qui confirme la lenteur de la convergence, en $\frac{1}{n}$ .

Les séries de référence

Tous les critères des paragraphes suivants comparent la série étudiée à une série connue. Il faut donc disposer d'un stock de séries de référence, dont la nature est acquise une fois pour toutes. Ce stock tient en trois familles.

Séries géométriques

Propriété

Soit $q \in C$ . La série géométrique $\sum_{n ⩾ 0} q^{n}$ converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ . Dans ce cas,

n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}, R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty q^{k} = \frac{q ^{n + 1}}{1 - q} .

Plus généralement, pour tout entier $p ⩾ 0$ et tout $q$ tel que $∣ q ∣ < 1$ ,

n = p \sum + \infty q^{n} = \frac{q ^{p}}{1 - q},

que l'on retient sous la forme « premier terme divisé par un moins la raison ».

Démonstration. Cas $q = 1$ . La somme partielle vaut $S_{n} = n + 1 \to + \infty$ : la série diverge.

Cas $q \neq = 1$ . La formule de la somme des termes d'une suite géométrique donne

S_{n} = k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .

Si $∣ q ∣ < 1$ , alors $q^{n + 1} = ∣ q ∣^{n + 1} \to 0$ , donc $q^{n + 1} \to 0$ et $S_{n} \to \frac{1}{1 - q}$ : la série converge, de somme $\frac{1}{1 - q}$ . Si $∣ q ∣ > 1$ ou $∣ q ∣ = 1$ avec $q \neq = 1$ , on a $∣ q^{n} ∣ = ∣ q ∣^{n} ⩾ 1$ , donc $q^{n}$ ne tend pas vers $0$ et la série diverge grossièrement.

Reste. Pour $∣ q ∣ < 1$ ,

R_{n} = S - S_{n} = \frac{1}{1 - q} - \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q ^{n + 1}}{1 - q} .

Somme à partir du rang $p$ . En factorisant $q^{p}$ dans chaque somme partielle, $\sum_{k = p}^{N} q^{k} = q^{p} \sum_{j = 0}^{N - p} q^{j} \to \frac{q ^{p}}{1 - q}$ . $□$

Exemple

$n = 0 \sum + \infty \frac{1}{3 ^{n}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ et $n = 2 \sum + \infty \frac{1}{3 ^{n}} = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{6}$ . Contrôle : $\frac{3}{2} - 1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

Avec une raison négative : $n = 0 \sum + \infty (- \frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ . Avec une raison complexe : $\frac{i}{2} = \frac{1}{2} < 1$ , donc $n = 0 \sum + \infty \frac{i ^{n}}{2 ^{n}} = \frac{1}{1 - \frac{i}{2}} = \frac{2}{2 - i} = \frac{2 ( 2 + i )}{5} = \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ .

La série exponentielle

Propriété

Pour tout $z \in C$ , la série $\sum_{n ⩾ 0} \frac{z ^{n}}{n !}$ converge et

n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !} = e^{z} .

En particulier, pour $z = 1$ , $n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !} = e$ .

Démonstration dans le cas $z = x$ réel. La fonction $exp$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et toutes ses dérivées sont égales à $exp$ . Sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ , on a $∣ exp ∣ ⩽ e^{∣ x ∣}$ , donc l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée en $0$ à l'ordre $n$ donne

e^{x} - k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} ⩽ e^{∣ x ∣} \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .

Or, à $x$ fixé, la suite $w_{n} = \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !}$ tend vers $0$ : elle est positive et vérifie $\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} = \frac{∣ x ∣}{n + 1} ⩽ \frac{1}{2}$ dès que $n ⩾ 2 ∣ x ∣$ , donc à partir d'un rang $N$ elle est majorée par une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , qui tend vers $0$ .

Le membre de droite tend donc vers $0$ , et la somme partielle $\sum_{k = 0}^{n} \frac{x ^{k}}{k !}$ tend vers $e^{x}$ : la série converge et sa somme vaut $e^{x}$ . $□$

Cas $z$ complexe. La convergence s'obtient sans effort supplémentaire : $\frac{z ^{n}}{n !} = \frac{∣ z ∣ ^{n}}{n !}$ , et la série réelle $\sum \frac{∣ z ∣ ^{n}}{n !}$ converge d'après ce qui précède, donc la série $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$ est absolument convergente, donc convergente (paragraphe 7.2). L'identification de sa somme avec $e^{z}$ est en revanche admise ici, conformément au programme.

Exemple

La convergence est extrêmement rapide, ce qui fait de cette série un excellent outil de calcul approché. Avec la majoration ci-dessus prise en $x = 1$ et $e ⩽ 3$ :

e - k = 0 \sum n \frac{1}{k !} ⩽ \frac{3}{( n + 1 )!} .

Pour $n = 9$ , le majorant vaut $\frac{3}{10 !} \approx 8, 3 \times 1 0^{- 7}$ , et la somme partielle vaut $2, 7182815$ contre $e \approx 2, 7182818$ : l'écart réel est d'environ $3 \times 1 0^{- 7}$ , conforme à la majoration. À comparer avec la série harmonique, qui a besoin d'environ $1 0^{434}$ termes pour que sa somme partielle atteigne $1000$ .

Séries de Riemann et série harmonique

Propriété

Séries de Riemann. Soit $α \in R$ . La série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

En particulier, pour $α = 1$ , la série harmonique $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n}$ diverge, et ses sommes partielles vérifient $H_{n} \sim ln n$ .

Ce théorème est démontré au paragraphe 6.3 par la méthode des rectangles, seul outil disponible pour le faire : aucune manipulation algébrique élémentaire ne permet d'y accéder. Contentons-nous pour l'instant de retenir la frontière, qui est la source d'erreur numéro un du chapitre : $α = 1$ est le cas divergent. La série $\sum \frac{1}{n}$ diverge, la série $\sum \frac{1}{n ^{1, 01}}$ converge, la série $\sum \frac{1}{n}$ (cas $α = \frac{1}{2}$ ) diverge.

Aucune expression simple n'est connue pour la somme lorsque $α > 1$ , sauf valeurs particulières : on démontre par exemple, mais pas en PCSI, que $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} \approx 1, 6449$ . L'exercice 36 étudie la fonction $α \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{α}}$ pour elle-même.

Récapitulatif des séries de référence

Série	Converge si et seulement si	Somme
$\sum_{n ⩾ 0} q^{n}$	$∣ q ∣ < 1$	$\frac{1}{1 - q}$
$\sum_{n ⩾ 0} \frac{z ^{n}}{n !}$	toujours	$e^{z}$
$\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{α}}$	$α > 1$	pas d'expression usuelle
$\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$	jamais	$S_{n} = H_{n} \sim ln n$

Séries à termes positifs

Tout change lorsque les termes sont positifs : la suite des sommes partielles devient croissante, et le théorème de la limite monotone s'applique. C'est la raison pour laquelle presque tous les critères du chapitre exigent cette hypothèse, et pourquoi il faut toujours commencer par vérifier le signe.

Dans tout ce paragraphe, les suites sont réelles, et l'hypothèse « à termes positifs » signifie $u_{n} ⩾ 0$ à partir d'un certain rang (ce qui suffit, la nature ne dépendant pas des premiers termes).

Le théorème fondamental

Propriété

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes positifs ou nuls. La suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles est croissante, et

\sum u_{n} converge ⟺ (S_{n}) est major \overset{e}{ˊ} e .

Sinon, $S_{n} \to + \infty$ , et l'on note alors $\sum u_{n} = + \infty$ .

Démonstration. Pour tout $n$ , $S_{n + 1} - S_{n} = u_{n + 1} ⩾ 0$ , donc $(S_{n})$ est croissante. Le théorème de la limite monotone donne exactement les deux cas : si $(S_{n})$ est majorée, elle converge (vers sa borne supérieure) et la série converge ; si elle ne l'est pas, elle tend vers $+ \infty$ et la série diverge. $□$

Remarque

La convention $\sum u_{n} = + \infty$ . Pour une série à termes positifs, et pour elle seulement, la divergence est un comportement simple : les sommes partielles tendent vers $+ \infty$ , sans oscillation possible. On se permet donc d'écrire $\sum u_{n} < + \infty$ pour dire « la série converge » et $\sum u_{n} = + \infty$ pour dire « elle diverge ». Cette convention n'a aucun sens pour une série de signe quelconque : $\sum (- 1)^{n}$ diverge sans que ses sommes partielles tendent vers quoi que ce soit.

Exemple

Montrons que $\sum_{n ⩾ 0} \frac{1}{n !}$ converge sans utiliser le paragraphe 4.2. Les termes sont positifs. Pour $k ⩾ 1$ , on a $k! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times k ⩾ 2^{k - 1}$ , car le produit compte $k - 1$ facteurs tous supérieurs ou égaux à $2$ . Donc, pour $n ⩾ 1$ ,

S_{n} = 1 + k = 1 \sum n \frac{1}{k !} ⩽ 1 + k = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{k - 1}} ⩽ 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 3.

Les sommes partielles sont majorées par $3$ : la série converge, et sa somme est inférieure ou égale à $3$ . On sait par ailleurs qu'elle vaut $e \approx 2, 718$ .

Comparaison par inégalités

Propriété

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles telles que, à partir d'un certain rang,

0 ⩽ u_{n} ⩽ v_{n} .

Alors :

si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge ;
si $\sum u_{n}$ diverge, alors $\sum v_{n}$ diverge.

De plus, si l'encadrement vaut pour tout $n ⩾ n_{0}$ et si les deux séries convergent, $n = n_{0} \sum + \infty u_{n} ⩽ n = n_{0} \sum + \infty v_{n}$ .

Démonstration. Quitte à remplacer $u_{n}$ et $v_{n}$ par $0$ pour les indices situés avant le rang en question, ce qui ne change la nature d'aucune des deux séries (paragraphe 1.3) et préserve l'encadrement, on suppose $0 ⩽ u_{n} ⩽ v_{n}$ pour tout $n ⩾ n_{0}$ . Notons $S_{n}$ et $T_{n}$ les sommes partielles ; en sommant l'inégalité pour $k$ de $n_{0}$ à $n$ ,

S_{n} ⩽ T_{n} pour tout n ⩾ n_{0} .

Point 1. Supposons $\sum v_{n}$ convergente, de somme $T$ . La suite $(T_{n})$ est croissante (termes positifs, car $v_{n} ⩾ u_{n} ⩾ 0$ ) et converge vers $T$ , donc $T_{n} ⩽ T$ pour tout $n$ . Ainsi $S_{n} ⩽ T_{n} ⩽ T$ : la suite $(S_{n})$ est croissante et majorée, donc $\sum u_{n}$ converge d'après le théorème fondamental. Et en passant à la limite dans $S_{n} ⩽ T_{n}$ , on obtient l'inégalité entre les sommes.

Point 2. C'est la contraposée du point 1. $□$

Remarque

Le sens de l'inégalité doit correspondre à ce que l'on veut prouver. Pour établir une convergence, on majore par une série convergente ; pour établir une divergence, on minore par une série divergente. Majorer une série par une série divergente n'apprend rigoureusement rien, minorer par une série convergente non plus. Cette faute est immédiatement sanctionnée en copie.

Exemple

Une convergence par majoration. La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{2 + sin n}{n ^{3}}$ est à termes positifs, car $2 + sin n ⩾ 1 > 0$ . De plus

0 ⩽ \frac{2 + sin n}{n ^{3}} ⩽ \frac{3}{n ^{3}},

et $\sum \frac{3}{n ^{3}}$ converge (série de Riemann avec $α = 3 > 1$ , multipliée par une constante). Donc la série converge.

Une divergence par minoration. Pour $n ⩾ 3$ , $ln n ⩾ 1$ , donc

\frac{ln n}{n} ⩾ \frac{1}{n} ⩾ 0.

La série harmonique diverge, donc $\sum \frac{l n n}{n}$ diverge.

Comparaison par domination et par négligeabilité

Propriété

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles positives (à partir d'un certain rang). Si

u_{n} = O (v_{n}) (en particulier si u_{n} = o (v_{n}))

et si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge. Par contraposée, si $\sum u_{n}$ diverge, alors $\sum v_{n}$ diverge.

Démonstration. Par définition de la domination, il existe un réel $M ⩾ 0$ et un rang $N$ tels que $∣ u_{n} ∣ ⩽ M ∣ v_{n} ∣$ pour tout $n ⩾ N$ , c'est-à-dire, les deux suites étant positives à partir d'un certain rang,

0 ⩽ u_{n} ⩽ M v_{n} pour n assez grand.

La série $\sum M v_{n}$ converge par linéarité, donc $\sum u_{n}$ converge par comparaison par inégalités. Enfin, $u_{n} = o (v_{n})$ entraîne $u_{n} = O (v_{n})$ (prendre $M = 1$ à partir d'un rang), d'où le cas particulier. $□$

Comparaison par équivalents

Voici le théorème le plus utilisé du chapitre, celui qui transforme l'analyse asymptotique en machine à déterminer des natures de séries.

Propriété

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles positives à partir d'un certain rang. Si

u_{n} n \to + \infty \sim v_{n},

alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Démonstration. Par définition de l'équivalence, $u_{n} - v_{n} = o (v_{n})$ . En appliquant la définition de la négligeabilité avec $ε = \frac{1}{2}$ , il existe un rang $N$ à partir duquel

∣ u_{n} - v_{n} ∣ ⩽ \frac{1}{2} ∣ v_{n} ∣ = \frac{1}{2} v_{n},

la dernière égalité utilisant $v_{n} ⩾ 0$ (quitte à augmenter $N$ ). En développant la valeur absolue, on obtient, pour tout $n ⩾ N$ ,

- \frac{1}{2} v_{n} ⩽ u_{n} - v_{n} ⩽ \frac{1}{2} v_{n}, c’est- \overset{a}{ˋ} -dire 0 ⩽ \frac{1}{2} v_{n} ⩽ u_{n} ⩽ \frac{3}{2} v_{n} .

Si $\sum v_{n}$ converge. La série $\sum \frac{3}{2} v_{n}$ converge par linéarité, et $0 ⩽ u_{n} ⩽ \frac{3}{2} v_{n}$ : la comparaison par inégalités donne la convergence de $\sum u_{n}$ .

Si $\sum v_{n}$ diverge. La série $\sum \frac{1}{2} v_{n}$ diverge (si elle convergeait, $\sum v_{n} = \sum 2 \times \frac{1}{2} v_{n}$ convergerait), et $0 ⩽ \frac{1}{2} v_{n} ⩽ u_{n}$ : la comparaison par inégalités donne la divergence de $\sum u_{n}$ . $□$

Remarque

L'encadrement $\frac{1}{2} v_{n} ⩽ u_{n} ⩽ \frac{3}{2} v_{n}$ montre au passage que, si $(v_{n})$ est positive et $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $(u_{n})$ est automatiquement positive à partir d'un certain rang. Il suffit donc, en pratique, de vérifier la positivité de l'une des deux suites, en général celle de l'équivalent choisi, qui est la plus simple.

Notez aussi que le théorème conclut sur la nature, jamais sur la somme : deux séries convergentes à termes équivalents n'ont aucune raison d'avoir la même somme.

Remarque

L'hypothèse de signe est indispensable. Sans elle, l'énoncé est faux. Posons, pour $n ⩾ 1$ ,

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}, v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n} .

Ces deux suites sont équivalentes :

\frac{v _{n}}{u _{n}} = 1 + \frac{1/ n}{( - 1 ) ^{n} / n} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} n \to + \infty 1.

Or la série $\sum u_{n}$ converge (l'exercice 28 l'établit en montrant que les sommes partielles de rang pair et de rang impair sont adjacentes), tandis que $\sum \frac{1}{n}$ diverge : d'après le corollaire du paragraphe 1.3, $\sum v_{n} = \sum (u_{n} + \frac{1}{n})$ diverge. Deux séries équivalentes de natures différentes : le théorème tombe dès que le signe n'est pas constant.

Conclusion opératoire : avant d'écrire « $u_{n} \sim v_{n}$ donc même nature », écrire une ligne justifiant que le terme général est positif à partir d'un certain rang. Sans cette ligne, le raisonnement est faux, même si la conclusion se trouve être juste.

Le critère en $n^{α}$

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite positive à partir d'un certain rang.

S'il existe $α > 1$ tel que $n^{α} u_{n}$ admette une limite finie quand $n \to + \infty$ , alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $n u_{n} \to ℓ$ avec $ℓ > 0$ (éventuellement $ℓ = + \infty$ ), alors $\sum u_{n}$ diverge.

Démonstration. Point 1. La suite $(n^{α} u_{n})$ converge, donc elle est bornée : il existe $M ⩾ 0$ tel que $n^{α} u_{n} ⩽ M$ pour tout $n ⩾ 1$ , c'est-à-dire

0 ⩽ u_{n} ⩽ \frac{M}{n ^{α}}

à partir du rang où $u_{n} ⩾ 0$ . La série de Riemann $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge puisque $α > 1$ , donc $\sum u_{n}$ converge par comparaison. (C'est exactement dire que $u_{n} = O (\frac{1}{n ^{α}})$ .)

Point 2. Supposons d'abord $ℓ$ fini. Comme $ℓ > 0$ , il existe un rang $N$ à partir duquel $n u_{n} ⩾ \frac{ℓ}{2}$ , c'est-à-dire

u_{n} ⩾ \frac{ℓ}{2} \times \frac{1}{n} ⩾ 0.

La série $\sum \frac{ℓ}{2 n}$ diverge (série harmonique multipliée par une constante non nulle), donc $\sum u_{n}$ diverge par comparaison. Si $ℓ = + \infty$ , on a $n u_{n} ⩾ 1$ à partir d'un certain rang, donc $u_{n} ⩾ \frac{1}{n}$ , et la conclusion est la même. $□$

Exemple

Le critère en action. Étudions $\sum_{n ⩾ 2} \frac{ln n}{n ^{2}}$ . Les termes sont positifs pour $n ⩾ 2$ . Aucun équivalent simple ne se présente, mais le critère s'applique avec $α = \frac{3}{2} > 1$ :

n^{3/2} \times \frac{ln n}{n ^{2}} = \frac{ln n}{n} n \to + \infty 0

par croissances comparées. La limite est finie, donc la série converge.

Le choix de $α$ est libre pourvu qu'il soit strictement supérieur à $1$ : ici $α = 2$ aurait donné $ln n \to + \infty$ , une limite infinie, donc rien du tout. On choisit toujours $α$ strictement entre $1$ et l'exposant apparent, pour « absorber » le logarithme.

Exemple

Le cas divergent. Pour $\sum_{n ⩾ 1} sin \frac{1}{n}$ : les termes sont positifs (pour $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{n} \in] 0, π [$ ), et

n sin \frac{1}{n} n \to + \infty 1 > 0,

donc la série diverge. On aurait aussi bien conclu par l'équivalent $sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ .

Méthode : étudier une série à termes positifs

Méthode

Le plan d'étude d'une série à termes positifs.

Vérifier le signe du terme général, à partir d'un certain rang. C'est la condition d'emploi de tout ce qui suit, et cela se rédige en une ligne.
Tester la divergence grossière : si $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ , c'est fini.
Chercher un équivalent simple de $u_{n}$ , en utilisant les développements limités usuels en $\frac{1}{n}$ (c'est le réflexe principal : $ln (1 + x)$ , $e^{x} - 1$ , $sin x$ , $1 + x$ ). On compare ensuite l'équivalent à une série de référence.
À défaut d'équivalent : comparer par inégalités (majorer pour prouver la convergence, minorer pour prouver la divergence), ou utiliser le critère en $n^{α}$ , ou dominer par une géométrique.
Si rien ne marche et que le terme général s'écrit $f (n)$ avec $f$ monotone : passer à la méthode des rectangles (paragraphe 6).

Exemple

Premier exemple : équivalent puis Riemann. Étudions $\sum_{n ⩾ 1} u_{n}$ avec $u_{n} = \frac{n + n}{n ^{3} + 1}$ .

Le terme général est positif pour tout $n ⩾ 1$ . En factorisant les termes dominants,

u_{n} = \frac{n ( 1 + \frac{1}{n} )}{n ^{3} ( 1 + \frac{1}{n ^{3}} )} = \frac{1}{n ^{2}} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n ^{3}}} n \to + \infty \sim \frac{1}{n ^{2}} .

La série $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ est une série de Riemann convergente ( $α = 2 > 1$ ), et les deux suites sont positives : la série converge.

Exemple

Deuxième exemple : équivalent puis harmonique. Étudions $\sum_{n ⩾ 1} (n + 1 - n)$ .

Le terme général est positif. La quantité conjuguée donne

n + 1 - n = \frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n} n \to + \infty \sim \frac{1}{2 n} .

Or $\sum \frac{1}{2 n}$ est une série de Riemann d'exposant $α = \frac{1}{2} ⩽ 1$ , donc divergente. Les termes étant positifs, la série diverge.

Contrôle par le lien suite-série : cette série est télescopique, de somme partielle $S_{n} = n + 1 - 1 \to + \infty$ . Les deux méthodes concordent, et la seconde donne en prime la vitesse de divergence.

Exemple

Troisième exemple : équivalent puis géométrique. Étudions $\sum_{n ⩾ 1} u_{n}$ avec $u_{n} = \frac{2 ^{n} + n}{3 ^{n} - n ^{2}}$ .

Le dénominateur est strictement positif pour tout $n ⩾ 1$ (on vérifie $3^{n} > n^{2}$ par récurrence, ou par croissances comparées après avoir traité les premiers rangs), donc $u_{n} > 0$ . En factorisant les termes dominants,

u_{n} = \frac{2 ^{n} ( 1 + \frac{n}{2 ^{n}} )}{3 ^{n} ( 1 - \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} )} n \to + \infty \sim (\frac{2}{3})^{n},

car $\frac{n}{2 ^{n}} \to 0$ et $\frac{n ^{2}}{3 ^{n}} \to 0$ par croissances comparées. La série géométrique de raison $\frac{2}{3} \in] 0, 1 [$ converge, donc la série converge.

Contrôle numérique en $n = 10$ : $u_{10} \approx 1, 754 \times 1 0^{- 2}$ et $(\frac{2}{3})^{10} \approx 1, 734 \times 1 0^{- 2}$ . L'équivalent est déjà excellent.

Comparaison série-intégrale : la méthode des rectangles

Les critères précédents comparent une série à une autre série. Il reste à savoir traiter les cas où aucune série de référence ne convient, à commencer par les séries de Riemann elles-mêmes. L'outil est la comparaison avec une intégrale, qui repose sur une idée d'une simplicité totale : l'aire sous une courbe monotone est coincée entre deux rectangles.

Rappel de vocabulaire : en PCSI, toutes les intégrales ont des bornes finies. Ce paragraphe n'y fait aucune exception, et la méthode s'énonce, comme dans le programme, en termes d'encadrement des sommes partielles.

Le lemme des rectangles

Propriété

Soit $k$ un entier et soit $f$ une fonction continue et décroissante sur le segment $[k, k + 1]$ . Alors

f (k + 1) ⩽ \int_{k}^{k + 1} f (t) d t ⩽ f (k) .

Si $f$ est continue et croissante sur $[k, k + 1]$ , les inégalités sont inversées :

f (k) ⩽ \int_{k}^{k + 1} f (t) d t ⩽ f (k + 1) .

Démonstration. Supposons $f$ décroissante. Pour tout $t \in [k, k + 1]$ , la décroissance donne

f (k + 1) ⩽ f (t) ⩽ f (k) .

Les bornes de l'intégrale sont dans le bon ordre ( $k ⩽ k + 1$ ), donc la croissance de l'intégrale s'applique. Les fonctions constantes $t \mapsto f (k + 1)$ et $t \mapsto f (k)$ ont pour intégrales sur $[k, k + 1]$ respectivement $f (k + 1) \times 1$ et $f (k) \times 1$ , puisque le segment est de longueur $1$ . D'où l'encadrement. Le cas croissant est identique en renversant les inégalités. $□$

Encadrement de l'aire sous la courbe par deux rectangles

La figure illustre le lemme pour $f : t \mapsto \frac{1}{t}$ , décroissante sur $] 0, + \infty [$ . Le rectangle circonscrit, de base $[k, k + 1]$ et de hauteur $f (k) = \frac{1}{k}$ , contient le domaine situé sous la courbe ; le rectangle inscrit, de même base et de hauteur $f (k + 1) = \frac{1}{k + 1}$ , y est contenu. Comme les deux rectangles ont une base de longueur $1$ , leurs aires valent exactement $\frac{1}{k}$ et $\frac{1}{k + 1}$ , d'où

\frac{1}{k + 1} ⩽ \int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{t} ⩽ \frac{1}{k} .

Toute la suite du paragraphe consiste à sommer cet encadrement, en soignant les indices.

Encadrement des sommes partielles

Propriété

Soit $p$ un entier et soit $f$ une fonction continue et décroissante sur $[p, + \infty [$ . Alors, pour tout entier $n ⩾ p$ ,

\int_{p}^{n + 1} f (t) d t ⩽ k = p \sum n f (k) ⩽ f (p) + \int_{p}^{n} f (t) d t .

Démonstration. Minoration. Pour chaque entier $k$ compris entre $p$ et $n$ , le lemme appliqué sur $[k, k + 1]$ donne $\int_{k}^{k + 1} f ⩽ f (k)$ . Sommons ces $n - p + 1$ inégalités ; le membre de gauche se recolle par la relation de Chasles :

\int_{p}^{n + 1} f (t) d t = k = p \sum n \int_{k}^{k + 1} f (t) d t ⩽ k = p \sum n f (k) .

Majoration. Cette fois, on utilise l'autre moitié du lemme, décalée d'un cran : pour $k$ compris entre $p + 1$ et $n$ , la décroissance sur $[k - 1, k]$ donne $f (k) ⩽ \int_{k - 1}^{k} f$ . Le terme d'indice $p$ n'est pas concerné (il faudrait intégrer avant $p$ , où $f$ n'est pas supposée définie), on le sort de la somme :

k = p \sum n f (k) = f (p) + k = p + 1 \sum n f (k) ⩽ f (p) + k = p + 1 \sum n \int_{k - 1}^{k} f (t) d t = f (p) + \int_{p}^{n} f (t) d t .

(Pour $n = p$ , la somme vide vaut $0$ et l'inégalité est une égalité.) $□$

Remarque

Version croissante. Si $f$ est continue et croissante sur $[p, + \infty [$ , la même sommation donne, pour $n ⩾ p$ ,

f (p) + \int_{p}^{n} f (t) d t ⩽ k = p \sum n f (k) ⩽ \int_{p}^{n + 1} f (t) d t .

Il est inutile de mémoriser ces formules : ce qu'il faut savoir refaire, c'est sommer le lemme en surveillant les bornes d'indices. Un dessin tranche instantanément le sens des inégalités.

Application 1 : les séries de Riemann

Propriété

Soit $α \in R$ . La série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ . De plus, en cas de convergence,

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{α}} ⩽ \frac{α}{α - 1} .

Démonstration. Posons $u_{n} = \frac{1}{n ^{α}} > 0$ pour $n ⩾ 1$ : la série est à termes positifs, et l'on peut utiliser le théorème fondamental du paragraphe 5.1.

Cas $α ⩽ 0$ . Alors $u_{n} = n^{- α} ⩾ n^{0} = 1$ pour tout $n ⩾ 1$ , donc $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement.

Cas $α > 0$ . La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t ^{α}}$ est continue et décroissante sur $[1, + \infty [$ (sa dérivée $- α t^{- α - 1}$ est négative), et $u_{n} = f (n)$ . Le théorème d'encadrement s'applique avec $p = 1$ :

\int_{1}^{n + 1} \frac{d t}{t ^{α}} ⩽ S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{α}} ⩽ 1 + \int_{1}^{n} \frac{d t}{t ^{α}} .

Sous-cas $α = 1$ . On a $\int_{1}^{n + 1} \frac{d t}{t} = ln (n + 1)$ , donc $S_{n} ⩾ ln (n + 1) n \to + \infty + \infty$ : la série diverge.

Sous-cas $α \neq = 1$ . Une primitive de $t \mapsto t^{- α}$ sur $[1, + \infty [$ est $t \mapsto \frac{t ^{1 - α}}{1 - α}$ , donc pour tous réels $1 ⩽ a ⩽ b$ ,

\int_{a}^{b} \frac{d t}{t ^{α}} = \frac{b ^{1 - α} - a ^{1 - α}}{1 - α} .

Si $α > 1$ , alors $1 - α < 0$ et l'intégrale de droite se majore :

\int_{1}^{n} \frac{d t}{t ^{α}} = \frac{n ^{1 - α} - 1}{1 - α} = \frac{1 - n ^{1 - α}}{α - 1} ⩽ \frac{1}{α - 1},

car $n^{1 - α} > 0$ . Ainsi $S_{n} ⩽ 1 + \frac{1}{α - 1} = \frac{α}{α - 1}$ pour tout $n$ : les sommes partielles d'une série à termes positifs sont majorées, donc la série converge, et sa somme, limite d'une suite croissante majorée par $\frac{α}{α - 1}$ , vérifie l'inégalité annoncée.

Si $0 < α < 1$ , alors $1 - α > 0$ et l'intégrale de gauche tend vers $+ \infty$ :

S_{n} ⩾ \int_{1}^{n + 1} \frac{d t}{t ^{α}} = \frac{( n + 1 ) ^{1 - α} - 1}{1 - α} n \to + \infty + \infty.

La série diverge.

Les quatre cas sont traités : la série converge si et seulement si $α > 1$ . $□$

Exemple

Contrôle de la majoration pour $α = 2$ : elle annonce $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{2}{1} = 2$ , et la valeur exacte est $\frac{π ^{2}}{6} \approx 1, 6449$ . Pour $α = \frac{3}{2}$ : la majoration donne $3$ , et la valeur numérique est environ $2, 612$ . La borne est correcte, sans être fine : elle sert à prouver la convergence, pas à calculer la somme.

Application 2 : la série harmonique

Propriété

Pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

ln (n + 1) ⩽ H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} ⩽ 1 + ln n .

En conséquence, $H_{n} n \to + \infty + \infty$ (la série harmonique diverge) et

H_{n} n \to + \infty \sim ln n .

Démonstration. L'encadrement est le cas $α = 1$ du paragraphe précédent, avec $\int_{1}^{n + 1} \frac{d t}{t} = ln (n + 1)$ et $\int_{1}^{n} \frac{d t}{t} = ln n$ .

La minoration $H_{n} ⩾ ln (n + 1)$ donne la divergence vers $+ \infty$ par comparaison.

Pour l'équivalent, supposons $n ⩾ 2$ , de sorte que $ln n > 0$ , et divisons l'encadrement par $ln n$ :

\frac{ln ( n + 1 )}{ln n} ⩽ \frac{H _{n}}{ln n} ⩽ \frac{1}{ln n} + 1.

Le membre de droite tend vers $1$ . Quant au membre de gauche,

\frac{ln ( n + 1 )}{ln n} = \frac{ln n + ln ( 1 + \frac{1}{n} )}{ln n} = 1 + \frac{ln ( 1 + \frac{1}{n} )}{ln n} n \to + \infty 1.

Par encadrement, $\frac{H _{n}}{l n n} \to 1$ , c'est-à-dire $H_{n} \sim ln n$ . $□$

Remarque

La constante d'Euler. L'encadrement précédent est remarquablement serré : l'écart entre ses deux bornes vaut $1 + ln n - ln (n + 1) ⩽ 1$ , alors que $H_{n}$ tend vers l'infini. On peut faire beaucoup mieux : l'exercice 24 démontre, avec des suites adjacentes, que la suite $(H_{n} - ln n)$ converge. Sa limite est la constante d'Euler, notée $γ$ , dont une valeur approchée est $0, 5772$ . Autrement dit,

H_{n} = ln n + γ + o (1) .

Ce développement est bien plus précis que l'équivalent $H_{n} \sim ln n$ : il donne le terme constant, que l'équivalent perd. Contrôle numérique : $H_{100} \approx 5, 1874$ et $ln 100 + γ \approx 5, 1824$ .

Signalons une conséquence jolie, qui recoupe le paragraphe 3 : la série $\sum_{n ⩾ 1} (\frac{1}{n} - ln (1 + \frac{1}{n}))$ a pour somme partielle $H_{n} - ln (n + 1)$ , donc elle converge et sa somme vaut exactement $γ$ .

Application 3 : encadrer un reste

Le dernier usage de la méthode est le plus délicat, parce qu'il concerne une somme infinie. Toute la précaution consiste à ne travailler que sur des sommes et des intégrales finies, puis à passer à la limite à la toute fin.

Propriété

La série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge, et son reste vérifie, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{n + 1} ⩽ R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}} ⩽ \frac{1}{n} .

Démonstration. D'abord, la série $\sum \frac{1}{k ^{2}}$ converge (Riemann, $α = 2$ ), donc le reste $R_{n}$ existe : c'est la première chose à écrire.

Fixons $n ⩾ 1$ et soit $N$ un entier avec $N > n$ . La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t ^{2}}$ est continue et décroissante sur $] 0, + \infty [$ . Pour chaque entier $k$ compris entre $n + 1$ et $N$ , le lemme des rectangles donne

\int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{t ^{2}} ⩽ \frac{1}{k ^{2}} ⩽ \int_{k - 1}^{k} \frac{d t}{t ^{2}} .

Sommons pour $k$ de $n + 1$ à $N$ ; chaque membre extrême se recolle par la relation de Chasles :

\int_{n + 1}^{N + 1} \frac{d t}{t ^{2}} ⩽ k = n + 1 \sum N \frac{1}{k ^{2}} ⩽ \int_{n}^{N} \frac{d t}{t ^{2}} .

Toutes les bornes sont finies. Les deux intégrales se calculent avec la primitive $t \mapsto - \frac{1}{t}$ :

\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{N + 1} ⩽ k = n + 1 \sum N \frac{1}{k ^{2}} ⩽ \frac{1}{n} - \frac{1}{N} .

Faisons enfin tendre $N$ vers $+ \infty$ , à $n$ fixé. Le membre du milieu tend vers $R_{n}$ par définition du reste, les deux membres extrêmes tendent respectivement vers $\frac{1}{n + 1}$ et $\frac{1}{n}$ , et les inégalités larges se conservent par passage à la limite :

\frac{1}{n + 1} ⩽ R_{n} ⩽ \frac{1}{n} . □

Exemple

Contrôle numérique pour $n = 10$ : l'encadrement annonce $0, 0909 ⩽ R_{10} ⩽ 0, 1$ , et la valeur exacte est

R_{10} = \frac{π ^{2}}{6} - k = 1 \sum 10 \frac{1}{k ^{2}} \approx 0, 0952.

La borne supérieure $\frac{1}{n}$ est donc très proche de la vraie valeur du reste.

Remarque

Conséquences. L'encadrement donne $\frac{n}{n + 1} ⩽ n R_{n} ⩽ 1$ , donc $n R_{n} \to 1$ par encadrement, c'est-à-dire

R_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{n} .

On en tire une information très concrète : pour calculer $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}}$ à $1 0^{- 3}$ près, il faut additionner de l'ordre de $1000$ termes. C'est ce type d'estimation que raffine l'exercice 35.

Méthode

Encadrer un reste : la seule rédaction correcte en PCSI. Un reste est une somme infinie ; on ne l'encadre jamais directement par une intégrale de borne infinie, qui n'a aucun sens à ce stade du programme. La marche à suivre comporte quatre temps.

Justifier d'abord la convergence de la série : sans elle, le reste n'existe pas.
Fixer $n$ , introduire un entier $N > n$ et encadrer chaque terme $u_{k} = f (k)$ , pour $k$ allant de $n + 1$ à $N$ , à l'aide du lemme des rectangles (avec $f$ continue monotone).
Sommer l'encadrement pour $k$ de $n + 1$ à $N$ et recoller les intégrales par la relation de Chasles : on obtient un encadrement de la somme finie $\sum_{k = n + 1}^{N} u_{k}$ par des intégrales à bornes finies, que l'on calcule.
Faire tendre $N \to + \infty$ à $n$ fixé : le terme central tend vers $R_{n}$ , et les inégalités larges se conservent.

L'erreur à ne jamais commettre est d'écrire directement une intégrale entre $n$ et l'infini : c'est un objet du programme de seconde année, pas du vôtre.

Séries à termes de signe quelconque : convergence absolue

Tous les critères du paragraphe 5 exigent un signe constant. Que faire lorsque le terme général change de signe, ou qu'il est complexe ? La réponse principale du programme tient en un mot : passer aux valeurs absolues (ou aux modules), ce qui ramène au cas positif.

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite d'éléments de $K$ . On dit que la série $\sum u_{n}$ est absolument convergente lorsque la série à termes positifs $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

On dit aussi, de façon équivalente, que la suite $(u_{n})$ est sommable, et l'on note

\sum ∣ u_{n} ∣ < + \infty,

notation licite grâce à la convention du paragraphe 5.1.

Le programme précise que la notion de suite sommable est introduite ici « mais n'appelle aucun développement théorique » : c'est un vocabulaire, synonyme de convergence absolue, rien de plus.

Exemple

La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ est absolument convergente : $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}}$ , terme général d'une série de Riemann convergente. La suite $(\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}})$ est donc sommable.

La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ , elle, n'est pas absolument convergente : la série des valeurs absolues est la série harmonique, qui diverge.

Le théorème

Propriété

Toute série absolument convergente est convergente : si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge. De plus,

n = n_{0} \sum + \infty u_{n} ⩽ n = n_{0} \sum + \infty ∣ u_{n} ∣ .

Démonstration. Cas réel. Supposons $(u_{n})$ réelle et $\sum ∣ u_{n} ∣$ convergente. Posons, pour tout $n$ ,

u_{n}^{+} = \frac{∣ u _{n} ∣ + u _{n}}{2}, u_{n}^{-} = \frac{∣ u _{n} ∣ - u _{n}}{2} .

De l'encadrement $- ∣ u_{n} ∣ ⩽ u_{n} ⩽ ∣ u_{n} ∣$ on tire que ces deux quantités sont positives, et elles vérifient

0 ⩽ u_{n}^{+} ⩽ ∣ u_{n} ∣, 0 ⩽ u_{n}^{-} ⩽ ∣ u_{n} ∣ .

La série $\sum ∣ u_{n} ∣$ convergeant, la comparaison par inégalités (paragraphe 5.2) donne la convergence de $\sum u_{n}^{+}$ et de $\sum u_{n}^{-}$ . Or

u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-},

donc $\sum u_{n}$ converge par linéarité (paragraphe 1.3).

Cas complexe. Supposons $(u_{n})$ complexe et $\sum ∣ u_{n} ∣$ convergente. Pour tout $n$ ,

∣ Re (u_{n}) ∣ ⩽ ∣ u_{n} ∣ et ∣ Im (u_{n}) ∣ ⩽ ∣ u_{n} ∣ .

Par comparaison, les séries $\sum ∣ Re (u_{n}) ∣$ et $\sum ∣ Im (u_{n}) ∣$ convergent : les séries réelles $\sum Re (u_{n})$ et $\sum Im (u_{n})$ sont absolument convergentes, donc convergentes par le cas réel. Le paragraphe 1.4 conclut que $\sum u_{n}$ converge.

Inégalité triangulaire. Pour tout $n$ , l'inégalité triangulaire sur une somme finie donne

∣ S_{n} ∣ = k = n_{0} \sum n u_{k} ⩽ k = n_{0} \sum n ∣ u_{k} ∣ ⩽ k = n_{0} \sum + \infty ∣ u_{k} ∣,

la dernière majoration provenant du fait que la suite croissante des sommes partielles de $\sum ∣ u_{n} ∣$ est majorée par sa limite. En faisant tendre $n$ vers $+ \infty$ et en utilisant la continuité de la valeur absolue (ou du module), il vient $∣ S ∣ ⩽ \sum_{k = n_{0}}^{+ \infty} ∣ u_{k} ∣$ . $□$

Remarque

La réciproque est fausse. Une série peut parfaitement converger sans que la série des valeurs absolues converge. L'exemple de référence est

n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n},

dont l'exercice 28 établit la convergence en montrant que les sommes partielles de rang pair et de rang impair forment deux suites adjacentes (sa somme vaut $ln 2$ ), alors que la série des valeurs absolues est la série harmonique, divergente.

Conséquence pratique, à retenir absolument : quand on constate que $\sum ∣ u_{n} ∣$ diverge, on n'a rien démontré sur $\sum u_{n}$ . Il faut alors reprendre l'étude par un autre chemin ; en particulier, on ne conclut jamais « donc $\sum u_{n}$ diverge ».

Le théorème de domination

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite d'éléments de $K$ et soit $(v_{n})$ une suite à valeurs dans $R_{+}$ . Si

u_{n} = O (v_{n}) et \sum v_{n} converge,

alors la série $\sum u_{n}$ est absolument convergente, donc convergente.

Démonstration. Par définition de la domination, il existe $M ⩾ 0$ et un rang $N$ tels que $∣ u_{n} ∣ ⩽ M ∣ v_{n} ∣ = M v_{n}$ pour tout $n ⩾ N$ , les $v_{n}$ étant positifs. La série $\sum M v_{n}$ converge par linéarité, et $0 ⩽ ∣ u_{n} ∣ ⩽ M v_{n}$ à partir du rang $N$ : la comparaison par inégalités entre séries à termes positifs (paragraphe 5.2) donne la convergence de $\sum ∣ u_{n} ∣$ . La série $\sum u_{n}$ est donc absolument convergente, donc convergente par le théorème précédent. $□$

C'est, en pratique, le théorème que l'on utilise : il évite d'avoir à écrire l'étape « valeurs absolues » à la main, et il fonctionne aussi bien pour des termes complexes.

Exemple

Trois applications directes.

$\sum_{n ⩾ 1} \frac{cos n}{n ^{2}}$ : on a $\frac{c o s n}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{n ^{2}}$ , donc $\frac{c o s n}{n ^{2}} = O (\frac{1}{n ^{2}})$ avec $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ convergente. La série converge absolument, donc converge. Sa somme vaut environ $0, 3241$ , et l'inégalité triangulaire garantit qu'elle est comprise entre $- \frac{π ^{2}}{6}$ et $\frac{π ^{2}}{6}$ .
$\sum_{n ⩾ 1} \frac{n cos n - 1}{n ^{3} + n}$ : le terme général change de signe sans régularité, mais

\frac{n cos n - 1}{n ^{3} + n} ⩽ \frac{n + 1}{n ^{3} + n} ⩽ \frac{2 n}{n ^{3}} = \frac{2}{n ^{2}} (n ⩾ 1),

donc la série converge absolument, donc converge. 3. $\sum_{n ⩾ 0} z^{n}$ pour $∣ z ∣ < 1$ : $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ , terme général d'une série géométrique convergente. La convergence absolue redonne, plus simplement, une partie du théorème du paragraphe 4.1.

Méthode : que faire devant une série de signe quelconque

Méthode

Le réflexe et son plan de secours.

Tester d'abord la convergence absolue. Majorer $∣ u_{n} ∣$ par le terme général d'une série de référence convergente (Riemann avec $α > 1$ , géométrique de raison de module $< 1$ ), ou montrer que $u_{n} = O (v_{n})$ avec $\sum v_{n}$ convergente. Si cela marche, c'est terminé : la série converge, et l'inégalité triangulaire majore sa somme.
Ne jamais appliquer un théorème de comparaison ou d'équivalent à une série dont le terme général n'est pas de signe constant : l'exemple du paragraphe 5.4 montre qu'on obtient des résultats faux.
Si la convergence absolue échoue, on ne sait toujours rien. Il faut revenir à la définition, c'est-à-dire à la suite des sommes partielles : calcul explicite de $S_{n}$ , télescopage, ou étude séparée de $(S_{2 n})$ et $(S_{2 n + 1})$ , souvent adjacentes lorsque le terme général alterne de signe. C'est la démarche de l'exercice 28, et le seul outil au programme dans cette situation.
Cas particulier utile : si $u_{n} = a_{n} + b_{n}$ où $\sum a_{n}$ converge (par exemple absolument) et $\sum b_{n}$ diverge, alors $\sum u_{n}$ diverge (corollaire du paragraphe 1.3). C'est souvent le bon découpage après un développement asymptotique.

Synthèse : le plan d'attaque

La marche à suivre

Méthode

Devant une série $\sum u_{n}$ dont on demande la nature.

Le terme général tend-il vers $0$ ? Si non, divergence grossière, et c'est fini en une ligne.
Le terme général est-il de signe constant à partir d'un certain rang ? Cette question décide de tout ce qui suit, et sa réponse doit apparaître dans la copie.
Si oui (série à termes positifs, quitte à changer $u_{n}$ en $- u_{n}$ ) : chercher un équivalent simple, en développant à l'aide des développements limités usuels en $\frac{1}{n}$ , puis comparer à une série de référence (Riemann, géométrique). À défaut : comparaison par inégalités, domination, ou critère en $n^{α}$ .
Si le terme général est $f (n)$ avec $f$ continue monotone et qu'aucune comparaison ne donne rien : méthode des rectangles, en sommant le lemme.
Si le signe n'est pas constant (ou si les termes sont complexes) : tester la convergence absolue. Si elle a lieu, la série converge.
Si la convergence absolue échoue : revenir aux sommes partielles (calcul explicite, télescopage, suites adjacentes).

Et dans tous les cas : préciser à partir de quel rang chaque hypothèse est vérifiée.

Le tableau des critères

Critère	L'hypothèse à ne pas oublier
Divergence grossière	aucune : c'est le premier réflexe, toujours licite
$0 ⩽ u_{n} ⩽ v_{n}$	l'encadrement et la positivité, à partir d'un rang
$u_{n} = O (v_{n})$ ou $o (v_{n})$	$v_{n} ⩾ 0$ , et $\sum v_{n}$ convergente
$u_{n} \sim v_{n}$	signe constant à partir d'un rang
Critère en $n^{α}$	$u_{n} ⩾ 0$ , et $α > 1$ pour conclure à la convergence
Méthode des rectangles	$f$ continue et monotone, avec $u_{n} = f (n)$
Convergence absolue	aucune : valable pour tout terme réel ou complexe

Les erreurs classiques

« $u_{n} \to 0$ donc la série converge. » Faux, et c'est l'erreur la plus fréquente : la série harmonique est le contre-exemple. La condition est nécessaire, jamais suffisante.
Appliquer un équivalent sans vérifier le signe. Le contre-exemple du paragraphe 5.4 montre que deux séries équivalentes peuvent être de natures différentes. Une ligne de justification du signe, systématiquement.
Confondre la série et sa somme. Manipuler $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ avant d'avoir prouvé la convergence, ou parler du reste $R_{n}$ d'une série divergente, n'a pas de sens.
Confondre la suite $(u_{n})$ et la série $\sum u_{n}$ . Elles n'ont aucune raison d'être de même nature : $u_{n} = \frac{1}{n}$ converge (vers $0$ ) alors que $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Le lien correct est celui du paragraphe 3, entre $(a_{n})$ et $\sum (a_{n + 1} - a_{n})$ .
Oublier que la nature ne dépend pas des premiers termes, mais que la somme, elle, en dépend.
Écrire une intégrale de borne infinie. En PCSI, la comparaison série-intégrale est un encadrement de sommes finies par des intégrales à bornes finies ; le passage à la limite se fait à la fin, dans l'inégalité.
Conclure à la divergence parce que la convergence absolue échoue. On n'a alors rien démontré du tout.

Pour aller plus loin en exercice

La fiche associée prolonge ce cours sur plusieurs points volontairement laissés de côté ici. L'exercice 26 fait démontrer, puis appliquer, le critère du quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ pour les séries à termes strictement positifs, qui n'est pas un résultat de cours en PCSI mais se redémontre en trois lignes par comparaison à une géométrique. L'exercice 25 traite les séries dites de Bertrand, $\sum \frac{1}{n ^{α} ( l n n ) ^{β}}$ , par la méthode des rectangles. L'exercice 33 établit un critère de condensation, qui remplace $\sum u_{n}$ par $\sum 2^{n} u_{2^{n}}$ . Enfin les exercices 35 et 36 poussent l'étude des restes et de la fonction $α \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{α}}$ . Aucun de ces résultats n'est exigible : ce sont des exercices, pas du cours.

Ce qu'il faut savoir redémontrer

Le terme général d'une série convergente tend vers $0$ , par $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ .
Le lien suite-série, par télescopage des sommes partielles.
La nature et la somme d'une série géométrique, à partir de la somme partielle.
Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
La comparaison par inégalités, et la comparaison par équivalents à partir de l'encadrement $\frac{1}{2} v_{n} ⩽ u_{n} ⩽ \frac{3}{2} v_{n}$ .
Le lemme des rectangles, et le critère des séries de Riemann qu'on en déduit.
L'encadrement $ln (n + 1) ⩽ H_{n} ⩽ 1 + ln n$ et l'équivalent $H_{n} \sim ln n$ .
Une série absolument convergente converge, par $u_{n}^{+}$ et $u_{n}^{-}$ dans le cas réel, puis par parties réelle et imaginaire.

Le cours en PDF(PDF, 192 Ko)

Les exercices

36 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Sommes partielles et nature d'une série

Sommes partielles, convergence, somme et reste d'une série

Étudier une série, c'est étudier la suite de ses sommes partielles, rien de plus. Les questions ci-dessous se traitent toutes en revenant à la définition, sans aucun théorème de comparaison.

Pour une suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ , on note $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ la somme partielle de rang $n$ .

1. Soit $u_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}$ pour $n ⩾ 0$ . Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer la nature de $\sum u_{n}$ et, en cas de convergence, sa somme.

2. Mêmes questions pour $u_{n} = (- 1)^{n}$ .

3. Soit $u_{n} = ln (\frac{n + 1}{n})$ pour $n ⩾ 1$ . Calculer $k = 1 \sum n u_{k}$ et conclure.

4. On suppose que les sommes partielles d'une série $\sum_{n ⩾ 0} u_{n}$ vérifient $S_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ pour tout $n ⩾ 0$ . Retrouver $u_{n}$ pour tout $n ⩾ 0$ , puis donner la nature de la série et sa somme.

5. Quatre objets se ressemblent à l'écrit : $u_{n}$ , $S_{n}$ , $S = n = 0 \sum + \infty u_{n}$ et $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}$ . Pour chacun, dire s'il s'agit d'un nombre ou d'une suite et donner sa définition. Lesquels n'ont de sens que si la série converge ? Écrire enfin la relation qui lie $S$ , $S_{n}$ et $R_{n}$ .

Exercice 2 ★★★★ — Reconnaître une divergence grossière

Terme général d'une série convergente et divergence grossière

Le tout premier réflexe devant une série est de regarder son terme général : s'il ne tend pas vers $0$ , l'affaire est réglée en une ligne. Encore faut-il savoir reconnaître les cas où ce réflexe ne donne rien, et ne pas lui faire dire plus qu'il ne dit.

1. Pour chacun des termes généraux suivants, déterminer la limite éventuelle de $(u_{n})$ et dire si le théorème de divergence grossière permet de conclure. Conclure quand c'est le cas.

a. $\frac{n}{n + 1}$

b. $cos n$

c. $\frac{1}{n}$

d. $n sin \frac{1}{n}$

e. $(1 + \frac{1}{n})^{n}$

f. $\frac{2 ^{n}}{n !}$

2. Pour les items où le théorème ne s'applique pas, dire précisément ce que l'on ne peut pas conclure, et donner la nature réelle de la série concernée.

3. Énoncer le théorème utilisé, puis sa contraposée. Expliquer en une phrase pourquoi sa réciproque est fausse.

Exercice 3 ★★★★ — Séries géométriques : nature et somme

Séries géométriques et série exponentielle

La série géométrique est la seule série usuelle dont on sait calculer la somme sans effort. La formule est simple, mais elle dépend du rang auquel on démarre : c'est là que se concentrent les erreurs.

1. Déterminer la nature de chacune des séries suivantes et, en cas de convergence, calculer sa somme.

a. $n ⩾ 0 \sum \frac{1}{3 ^{n}}$

b. $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{3 ^{n}}$

c. $n ⩾ 0 \sum (\frac{- 2}{3})^{n}$

d. $n ⩾ 0 \sum (\frac{5}{4})^{n}$

e. $n ⩾ 2 \sum \frac{2 ^{n}}{5 ^{n}}$

f. $n ⩾ 0 \sum \frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{5 ^{n}}$

2. Soit $q = \frac{1 + i}{3}$ . Calculer $∣ q ∣$ , en déduire la nature de $n ⩾ 0 \sum q^{n}$ , puis calculer sa somme sous forme algébrique.

3. Pour quelles valeurs du réel $x$ la série $n ⩾ 0 \sum (2 x - 1)^{n}$ converge-t-elle ? Donner alors sa somme en fonction de $x$ .

Exercice 4 ★★★★ — Premières séries télescopiques

Lien suite-série et séries télescopiquesCalcul explicite de la somme d'une série

Quand le terme général se présente sous la forme $a_{n} - a_{n + 1}$ , la somme partielle se calcule exactement : presque tout se simplifie et il ne reste que les termes de bord. C'est le seul cas, avec les séries géométriques, où l'on obtient la somme sans machinerie.

Dans chacune des quatre premières questions, on demande la somme partielle en fonction de $N$ , la nature de la série, et sa somme en cas de convergence.

1. $n ⩾ 1 \sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$

2. $n ⩾ 1 \sum (n + 1 - n)$

3. $n ⩾ 2 \sum ln (1 - \frac{1}{n ^{2}})$

4. $n ⩾ 0 \sum (\frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{2 ^{n + 1}})$

5. Dégager de ces quatre calculs la méthode générale, et énoncer le lien entre la nature de $\sum (a_{n + 1} - a_{n})$ et le comportement de la suite $(a_{n})$ .

Exercice 5 ★★★★ — Séries de Riemann : nature immédiate

Séries de Riemann et critère en n puissance alpha

Les séries de Riemann sont les séries de référence de tout le chapitre : leur nature se lit sur un seul nombre, l'exposant. Encore faut-il savoir le lire, y compris quand il est déguisé en racine.

1. Déterminer la nature des séries de terme général suivant, en identifiant à chaque fois l'exposant.

a. $\frac{1}{n ^{3}}$

b. $\frac{1}{n}$

c. $\frac{1}{n ^{4/3}}$

d. $\frac{1}{n}$

e. $\frac{1}{n ^{0, 99}}$

f. $\frac{1}{n ^{1, 01}}$

g. $\frac{1}{n n}$

h. $\frac{1}{3 n ^{2}}$

2. Énoncer précisément le critère utilisé et rappeler où se situe le seuil.

3. Les items e. et f. ont des exposants presque égaux et des natures opposées. On donne les sommes partielles au rang $N = 1 0^{6}$ :

n = 1 \sum 1 0^{6} \frac{1}{n ^{0, 99}} \approx 15, 39, n = 1 \sum 1 0^{6} \frac{1}{n} \approx 14, 39, n = 1 \sum 1 0^{6} \frac{1}{n ^{1, 01}} \approx 13, 48

Quelle leçon en tirer sur ce qu'un calcul numérique peut, ou ne peut pas, prouver ?

Exercice 6 ★★★★ — Comparer deux séries à termes positifs

Comparaison par inégalités entre séries à termes positifsSéries à termes positifs : majoration des sommes partielles

Comparer, c'est encadrer le terme général par celui d'une série connue. Le théorème est court, mais il ne fonctionne que dans un sens à la fois, et seulement sur des termes positifs : chaque rédaction doit donc commencer par vérifier le signe.

1. Montrer que $\frac{1}{n ^{2} + n + 1} ⩽ \frac{1}{n ^{2}}$ pour tout $n ⩾ 1$ , puis en déduire la nature de $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{2} + n + 1}$ .

2. Montrer que $\frac{2 + sin n}{n ^{2}} ⩽ \frac{3}{n ^{2}}$ pour tout $n ⩾ 1$ , puis conclure sur la nature de $n ⩾ 1 \sum \frac{2 + sin n}{n ^{2}}$ .

3. Montrer que $\frac{1}{ln n} ⩾ \frac{1}{n}$ pour tout $n ⩾ 2$ , puis en déduire la nature de $n ⩾ 2 \sum \frac{1}{ln n}$ .

4. Montrer que $n! ⩾ 2^{n - 1}$ pour tout $n ⩾ 1$ , puis en déduire la nature de $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n !}$ ainsi qu'une majoration de sa somme.

5. Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites positives telles que $u_{n} ⩽ v_{n}$ pour tout $n$ . On suppose que $\sum v_{n}$ diverge. Que peut-on en conclure sur $\sum u_{n}$ ? Donner deux exemples de natures opposées.

Exercice 7 ★★★★ — Premières natures par équivalent

Comparaison par équivalents et par négligeabilité

Chercher un équivalent du terme général, c'est remplacer une expression compliquée par une série de Riemann. La rédaction attendue tient toujours en trois temps : vérifier que le terme est positif à partir d'un certain rang, donner un équivalent de la forme $\frac{c}{n ^{α}}$ , conclure par le critère de Riemann.

1. Déterminer la nature des séries de terme général suivant.

a. $\frac{n + 1}{n ^{3} + 2}$

b. $\frac{2 n ^{2} - 1}{n ^{4} + n}$

c. $\frac{n}{n ^{2} + 1}$

d. $sin \frac{1}{n ^{2}}$

e. $\frac{1}{n ^{2} - n}$ (pour $n ⩾ 2$ )

f. $\frac{3 n + ln n}{n ^{2} + 1}$

g. $1 - cos \frac{1}{n}$

h. $tan \frac{1}{n n}$

2. Reprendre l'item g. : expliquer pourquoi l'écriture $1 - cos \frac{1}{n} \sim 1 - 1 = 0$ n'a aucun sens, et détailler l'obtention du bon équivalent.

3. Pourquoi l'hypothèse de signe constant est-elle indispensable dans le théorème de comparaison par équivalents ?

Exercice 8 ★★★★ — Convergence absolue : premiers cas

Convergence absolue, suites sommables et domination

Les théorèmes de comparaison exigent des termes positifs. Quand le terme général change de signe, ou même quand il est complexe, on se ramène au cas positif en passant à la valeur absolue (ou au module) : c'est la convergence absolue.

La rédaction attendue tient en trois temps : majorer $∣ u_{n} ∣$ par le terme général d'une série convergente connue, en déduire que $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, puis conclure par le théorème.

1. Montrer que chacune des séries de terme général suivant est absolument convergente, et en déduire sa nature.

a. $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

b. $\frac{sin n}{n ^{3}}$

c. $\frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}}$

d. $\frac{cos ( 3 n )}{n ^{2} + 1}$

e. $\frac{( - 1 ) ^{n} n}{n ^{3} + 1}$

f. $\frac{i ^{n}}{n ^{2}}$

2. Dans l'item f., les termes sont complexes. Que signifie alors « la série converge », et le théorème employé reste-t-il valable ?

3. Énoncer le théorème utilisé. Sa réciproque est-elle vraie ?

Exercice 9 ★★★★ — Linéarité et opérations sur les séries

Sommes partielles, convergence, somme et reste d'une sérieCalcul explicite de la somme d'une série

La linéarité permet de couper une somme en morceaux, mais seulement si chacun d'eux converge : c'est le point où l'on se fait prendre. Les cinq questions ci-dessous font le tour de ce que l'on a le droit d'écrire, et de ce que l'on n'a pas le droit d'écrire.

1. Justifier la convergence de $n ⩾ 0 \sum \frac{2 ^{n + 1} + 3 ^{n}}{6 ^{n}}$ , puis calculer sa somme.

2. Mêmes questions pour $n ⩾ 0 \sum \frac{3 \times 2 ^{n} - 2 \times 3 ^{n}}{6 ^{n}}$ .

3. Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que $\sum u_{n}$ converge et $\sum v_{n}$ diverge. Montrer, en raisonnant par l'absurde, que $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge.

4. Montrer par un contre-exemple que la somme de deux séries divergentes peut, elle, converger.

5. Vrai ou faux : « modifier les $100$ premiers termes d'une série ne change ni sa nature, ni sa somme. » Justifier.

Exercice 10 ★★★★ — La série exponentielle et ses variantes

Séries géométriques et série exponentielleCalcul explicite de la somme d'une série

Le cours établit que pour tout $z \in C$ , la série $n ⩾ 0 \sum \frac{z ^{n}}{n !}$ converge et que

e^{z} = n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !}

Avec la série géométrique, c'est la seule série dont le cours donne la somme en toute généralité. Tout l'art consiste donc à ramener la série proposée à celle-là, par un décalage d'indice ou par une décomposition du numérateur.

1. Calculer $n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !}$ , $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$ et $n = 0 \sum + \infty \frac{2 ^{n}}{n !}$ .

2. Montrer que la série $n ⩾ 1 \sum \frac{n}{n !}$ converge et calculer sa somme.

3. Même question pour $n ⩾ 0 \sum \frac{n ^{2}}{n !}$ (on écrira $n^{2} = n (n - 1) + n$ ).

4. En déduire $n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2} + n + 1}{n !}$ .

5. Soit $θ \in R$ . En appliquant le résultat du cours à $z = e^{i θ}$ , démontrer que

n = 0 \sum + \infty \frac{cos ( n θ )}{n !} = e^{c o s θ} cos (sin θ)

Exercice 11 ★★★★ — Somme d'une série géométrique dérivée

Séries géométriques et série exponentielleCalcul explicite de la somme d'une série

On sait sommer $\sum x^{n}$ . Que vaut $\sum n x^{n}$ ? La réponse est un grand classique, et elle s'obtient sans aucun outil nouveau : uniquement en calculant la somme partielle, comme on l'a fait pour la série géométrique elle-même.

Dans tout l'exercice, $x$ désigne un réel de $] - 1, 1 [$ , et l'on pose pour $n \in N$

T_{n} = k = 0 \sum n k x^{k} et U_{n} = k = 0 \sum n k (k - 1) x^{k}

1. Calculer $(1 - x) T_{n}$ , en déduire une expression close de $T_{n}$ , puis démontrer que la série $\sum n x^{n}$ converge et que $n = 0 \sum + \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ .

2. En déduire les valeurs de $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{2 ^{n}}$ et $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{3 ^{n}}$ .

3. Sur le même principe, calculer $(1 - x) U_{n}$ et établir que $n = 0 \sum + \infty n (n - 1) x^{n} = \frac{2 x ^{2}}{( 1 - x ) ^{3}}$ , puis que $n = 0 \sum + \infty n^{2} x^{n} = \frac{x ( 1 + x )}{( 1 - x ) ^{3}}$ .

4. En déduire $n = 1 \sum + \infty \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ .

5. La formule de la question 1. est la dérivée de $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ , multipliée par $x$ . Expliquer pourquoi on ne pouvait pas se contenter de « dériver terme à terme ».

Exercice 12 ★★★★ — Le lien suite-série en pratique

Lien suite-série et séries télescopiques

Une suite et une série, c'est le même objet vu de deux façons. Le théorème qui suit tient en trois lignes de démonstration, et c'est pourtant l'outil qui permet de prouver qu'une suite converge sans jamais calculer sa limite.

1. Soit $(a_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite réelle. Démontrer que la suite $(a_{n})$ converge si et seulement si la série $n ⩾ 1 \sum (a_{n + 1} - a_{n})$ converge, et qu'en cas de convergence

n = 1 \sum + \infty (a_{n + 1} - a_{n}) = n \to + \infty lim a_{n} - a_{1}

2. Application. Montrer que la suite définie par $a_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}}$ converge.

3. Application. En posant $a_{n} = ln n$ , retrouver la nature de la série $n ⩾ 1 \sum ln (1 + \frac{1}{n})$ .

4. Application. Soit $(a_{n})_{n ⩾ 1}$ définie par $a_{1} = 0$ et $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ pour $n ⩾ 1$ . Montrer que $(a_{n})$ converge.

5. Application. Montrer que $n ⩾ 1 \sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ converge et calculer sa somme.

Exercice 13 ★★★★ — Natures par équivalents : le réflexe développement limité

Comparaison par équivalents et par négligeabilité

Dans tous les termes généraux qui suivent, deux quantités qui tendent vers la même limite se soustraient : l'équivalent ne se lit pas, il se calcule. Le réflexe est toujours le même, poser $u = \frac{1}{n} \to 0$ et écrire un développement limité en $0$ à l'ordre qu'il faut.

1. Pour chacune des séries de terme général suivant, donner un équivalent simple de $u_{n}$ , préciser son signe, et en déduire la nature de la série.

a. $ln (1 + \frac{1}{n}) - \frac{1}{n}$

b. $n + 1 - n$

c. $\frac{1}{n} - sin \frac{1}{n}$

d. $e^{1/ n} - 1 - \frac{1}{n}$

e. $cos \frac{1}{n} - 1$

f. $(1 + \frac{1}{n})^{n} - e$

g. $\frac{1}{n} ln (1 + \frac{1}{n})$

h. $3 n^{3} + n - n$

2. Trois de ces huit termes généraux sont négatifs. Rappeler pourquoi le théorème de comparaison par équivalents exige une hypothèse de signe, et dire comment on procède dans ce cas.

Exercice 14 ★★★★ — Le critère en n puissance alpha

Séries de Riemann et critère en n puissance alphaComparaison par équivalents et par négligeabilité

Comparer à une série de Riemann, c'est bien ; le faire en une ligne, c'est mieux. Le critère qui suit consiste à multiplier le terme général par la bonne puissance de $n$ et à regarder ce qui se passe. Tout le savoir-faire tient dans le choix de $α$ .

1. Soit $(u_{n})$ une suite de réels positifs. Démontrer les deux énoncés suivants.

a. S'il existe $α > 1$ tel que $n^{α} u_{n}$ tende vers une limite finie $ℓ$ , alors $\sum u_{n}$ converge.

b. Si $n u_{n}$ tend vers une limite $ℓ > 0$ , alors $\sum u_{n}$ diverge.

2. Déterminer la nature des séries de terme général suivant, en choisissant à chaque fois un $α$ adapté.

a. $\frac{ln n}{n ^{2}}$

b. $\frac{1}{n ln n}$

c. $\frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$

d. $\frac{1}{n ^{3/2} ln n}$

e. $e^{- n}$

f. $\frac{n !}{n ^{n}}$

3. L'un des six cas résiste. Expliquer précisément pourquoi le critère n'y dit rien, ni dans un sens ni dans l'autre.

Exercice 15 ★★★★ — Majorer les sommes partielles d'une série positive

Séries à termes positifs : majoration des sommes partiellesComparaison par inégalités entre séries à termes positifs

Pour une série à termes positifs, la question de la convergence se réduit à une question de majoration : il n'y a plus qu'un majorant à trouver, et il ne dépend pas de $n$ . Encore faut-il savoir en fabriquer un, et savoir reconnaître les cas où il n'en existe aucun.

1. Soit $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ une suite de réels positifs et $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ . Démontrer que $\sum u_{n}$ converge si et seulement si la suite $(S_{n})$ est majorée, et que dans le cas contraire $S_{n} \to + \infty$ .

2. Démontrer que pour tout $n ⩾ 1$ , $k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} ⩽ 2 - \frac{1}{n}$ , et conclure.

3. Démontrer que pour tout $n ⩾ 0$ , $k = 0 \sum n \frac{1}{k !} ⩽ 3$ , et conclure.

4. Démontrer que $k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2} + k}$ est majorée, et calculer la somme de la série correspondante.

5. Un cas où toute majoration est vouée à l'échec. Pour $p \in N$ , en regroupant les termes par paquets, démontrer que $H_{2^{p}} ⩾ 1 + \frac{p}{2}$ , où $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ . Que peut-on en conclure ?

Exercice 16 ★★★★ — Domination et termes de signe quelconque

Convergence absolue, suites sommables et domination

Équivalents et comparaisons par inégalités réclament tous une hypothèse de signe. Que faire quand le terme général change de signe, ou pire, quand il est complexe ? On passe au module, on majore, et l'on invoque la convergence absolue. C'est la seule porte d'entrée du chapitre pour les séries de signe quelconque.

1. Soient $(u_{n})$ une suite complexe et $(v_{n})$ une suite de réels positifs telles que $u_{n} = O (v_{n})$ . Démontrer que si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge absolument, donc converge.

2. Déterminer la nature des séries de terme général suivant.

a. $\frac{sin n}{n ^{2}}$

b. $\frac{( - 1 ) ^{n} ln n}{n ^{2}}$

c. $\frac{cos ( n ^{2} )}{n n}$

d. $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2} + n}$

e. $\frac{e ^{in}}{2 ^{n}}$

f. $\frac{sin n}{n}$

3. Démontrer que si $\sum u_{n}$ converge absolument et si $(v_{n})$ est bornée, alors $\sum u_{n} v_{n}$ converge absolument.

4. Majorer le module de $n = 1 \sum + \infty \frac{i ^{n}}{n ^{2}}$ .

Exercice 17 ★★★★ — Décomposition en éléments simples et télescopage

Calcul explicite de la somme d'une sérieLien suite-série et séries télescopiques

Quand le terme général est une fraction rationnelle en $n$ dont le dénominateur est factorisé, la somme se calcule exactement : on décompose en éléments simples, la somme partielle se télescope, et il ne reste que quelques termes de bord. Encore faut-il les repérer sans se tromper.

Dans tout l'exercice, on demande de justifier la convergence et de calculer la somme.

1. Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}$ .

2. Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 2 )}$ .

3. Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ .

4. Calculer $n = 2 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} - 1}$ .

5. Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{2 n + 1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}$ .

6. Dégager de ces cinq calculs une méthode générale, et dire où se situe le risque d'erreur.

Exercice 18 ★★★★ — Reste d'une série géométrique et valeur approchée

Restes, vitesse de convergence et développements asymptotiquesSéries géométriques et série exponentielle

Savoir qu'une série converge ne donne pas sa somme. En pratique, on calcule une somme partielle et l'on remplace la somme par elle : l'erreur commise est exactement le reste. Majorer le reste, c'est donc répondre à la seule question qui intéresse le calculateur, combien de termes faut-il additionner ?

On note $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ la somme partielle et, lorsque la série converge, $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}$ son reste, de sorte que $S = S_{n} + R_{n}$ .

1. Soit $q$ un réel tel que $∣ q ∣ < 1$ . Démontrer que le reste de la série $k ⩾ 0 \sum q^{k}$ vaut $R_{n} = \frac{q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

2. Combien faut-il de termes de $n ⩾ 0 \sum \frac{1}{2 ^{n}}$ pour obtenir sa somme à $1 0^{- 3}$ près ? À $1 0^{- 6}$ près ?

3. Mêmes questions pour $n ⩾ 0 \sum \frac{1}{3 ^{n}}$ . Commenter l'effet de la raison sur la rapidité de la convergence.

4. Majorer le reste de $n ⩾ 0 \sum \frac{1}{n !}$ par le reste d'une série géométrique et en déduire que $R_{n} ⩽ \frac{1}{n ! n}$ pour $n ⩾ 1$ . Combien de termes faut-il pour obtenir $e$ à $1 0^{- 4}$ près ? Donner la valeur approchée correspondante.

5. Comparer, pour une même précision, le nombre de termes nécessaires pour $n ⩾ 0 \sum \frac{1}{2 ^{n}}$ et pour $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{2}}$ . Qu'en conclure ?

Exercice 19 ★★★★ — Méthode des rectangles : premiers encadrements

Méthode des rectangles et comparaison somme-intégrale

Une somme de $n$ termes ne se calcule presque jamais. En revanche, dès que le terme général s'écrit $f (k)$ avec $f$ monotone, on sait l'encadrer par des intégrales sur des segments de longueur $1$ : c'est la méthode des rectangles, l'outil de base de tout le chapitre.

1. Soit $k$ un entier et $f$ une fonction continue et décroissante sur un intervalle contenant $[k, k + 1]$ . Démontrer que

f (k + 1) ⩽ \int_{k}^{k + 1} f (t) d t ⩽ f (k)

puis interpréter cet encadrement en termes d'aires.

2. Énoncer et démontrer l'encadrement analogue lorsque $f$ est croissante.

3. Démontrer que pour tout $n ⩾ 1$ , $2 n + 1 - 2 ⩽ k = 1 \sum n \frac{1}{k} ⩽ 2 n - 1$ , puis en déduire un équivalent de cette somme.

4. Démontrer que pour tout $n ⩾ 1$ , $n ln n - n + 1 ⩽ ln (n!) ⩽ (n + 1) ln (n + 1) - n$ , puis en déduire que $ln (n!) \sim n ln n$ .

5. Encadrer de même $k = 1 \sum n k^{3}$ par deux intégrales. Comparer à la valeur exacte $(\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ et commenter la précision de la méthode.

Exercice 20 ★★★★ — La série harmonique : deux preuves de sa divergence

Méthode des rectangles et comparaison somme-intégraleSéries à termes positifs : majoration des sommes partielles

La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ est l'exemple à connaître par cœur : son terme général tend vers $0$ , et pourtant elle diverge. On en donne ici deux démonstrations indépendantes, puis on mesure à quel point cette divergence est lente. Pour $n ⩾ 1$ , on pose

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

1. À l'aide du lemme des rectangles (exercice 19) appliqué à $f (t) = \frac{1}{t}$ , démontrer que pour tout $n ⩾ 1$

ln (n + 1) ⩽ H_{n} ⩽ 1 + ln n

En déduire la limite de $(H_{n})$ , puis que $H_{n} \sim ln n$ .

2. Deuxième démonstration, due à Oresme et sans aucune intégrale. En regroupant les termes dont l'indice appartient à $] 2^{j}, 2^{j + 1}]$ , démontrer que $H_{2^{p}} ⩾ 1 + \frac{p}{2}$ pour tout entier $p ⩾ 0$ , et conclure.

3. Un élève écrit : « $\frac{1}{n} \to 0$ , donc la série $\sum \frac{1}{n}$ converge. » Où est la faute ? Énoncer correctement le théorème du cours qu'il croit utiliser.

4. À partir de quel rang $H_{n}$ dépasse-t-il $10$ ? Et $20$ ? Encadrer ces rangs grâce à la question 1, puis commenter.

Exercice 21 ★★★★ — Vrai ou faux sur les séries

Sommes partielles, convergence, somme et reste d'une sérieTerme général d'une série convergente et divergence grossièreComparaison par équivalents et par négligeabilité

Presque toutes les erreurs commises sur les séries consistent à appliquer un théorème hors de ses hypothèses, en général en oubliant que les termes doivent être positifs. Cet exercice recense les pièges classiques.

Dans tout ce qui suit, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont des suites réelles. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : la démontrer si elle est vraie, l'infirmer par un contre-exemple explicite sinon.

a. Si $u_{n} \to 0$ , alors $\sum u_{n}$ converge.

b. Si $\sum u_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}^{2}$ converge.

c. Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

d. Si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ divergent, alors $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge.

e. Si $\sum u_{n}$ converge et si $(v_{n})$ est bornée, alors $\sum u_{n} v_{n}$ converge.

f. Si $u_{n} ⩾ 0$ et si $\sum u_{n}$ converge, alors $n u_{n} \to 0$ .

g. Si $(u_{n})$ est positive, décroissante, et si $\sum u_{n}$ converge, alors $n u_{n} \to 0$ .

h. Si $\sum u_{n}$ converge, alors son reste $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}$ tend vers $0$ .

On pourra utiliser librement le résultat de l'exercice 28 : la série $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{α}}$ converge pour tout $α > 0$ .

Exercice 22 ★★★★ — Développement décimal et séries géométriques

Séries géométriques et série exponentielleCalcul explicite de la somme d'une série

Un développement décimal illimité n'est rien d'autre qu'une série : écrire $x = 0, a_{1} a_{2} a_{3} \dots$ , c'est écrire $x = \sum_{k ⩾ 1} \frac{a _{k}}{1 0 ^{k}}$ . Tout ce que l'on sait des séries géométriques s'applique donc à l'écriture décimale des nombres, y compris à l'égalité déroutante $0, 999 \dots = 1$ .

Dans tout l'exercice, $(a_{k})_{k ⩾ 1}$ désigne une suite de chiffres, c'est-à-dire d'entiers de ${0, 1, \dots, 9}$ .

1. Démontrer que $n ⩾ 1 \sum \frac{9}{1 0 ^{n}}$ converge et vaut exactement $1$ . Que signifie donc l'écriture $0, 999 \dots$ ?

2. Démontrer que $k ⩾ 1 \sum \frac{a _{k}}{1 0 ^{k}}$ converge et que sa somme appartient à $[0, 1]$ .

3. On suppose le développement périodique de période $p ⩾ 1$ , c'est-à-dire $a_{k + p} = a_{k}$ pour tout $k ⩾ 1$ . Démontrer que la somme est un rationnel, que l'on exprimera à l'aide de l'entier $A$ dont l'écriture décimale est $a_{1} a_{2} \dots a_{p}$ . Appliquer à $0, \overline{142857}$ .

4. Poser la division de $1$ par $7$ et retrouver la périodicité précédente. Expliquer pourquoi le développement décimal d'un quotient de deux entiers est toujours périodique à partir d'un certain rang.

5. Calculer $n ⩾ 1 \sum \frac{a}{1 0 ^{n}}$ pour un chiffre $a$ fixé, puis donner l'écriture fractionnaire de $0, \overline{3}$ et de $0, \overline{12}$ .

Exercice 23 ★★★★ — Démontrer le critère des séries de Riemann

Méthode des rectangles et comparaison somme-intégraleSéries de Riemann et critère en n puissance alpha

Les séries de Riemann sont le mètre étalon du chapitre : c'est à elles que l'on compare tout le reste. Encore faut-il savoir démontrer le critère, et la seule preuve disponible en PCSI est la méthode des rectangles. On la mène ici jusqu'au bout, en discutant tous les cas.

Pour $α \in R$ et $n ⩾ 1$ , on pose $S_{n} (α) = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{α}}$ .

1. On suppose $α > 1$ . Démontrer que $k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{α}} ⩽ \int_{1}^{n} \frac{d t}{t ^{α}}$ , en déduire que $S_{n} (α) ⩽ \frac{α}{α - 1}$ pour tout $n$ , puis conclure quant à la nature de la série.

2. Traiter le cas $α = 1$ .

3. Traiter le cas $0 < α < 1$ .

4. Traiter le cas $α ⩽ 0$ .

5. Énoncer le critère complet, puis déterminer la nature des séries suivantes :

a. $n ⩾ 1 \sum \frac{2 n + 3}{n ^{3} + ln n}$

b. $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{2} + n}$

c. $n ⩾ 1 \sum (1 - cos \frac{1}{n})$

Exercice 24 ★★★★ — La constante d'Euler

Méthode des rectangles et comparaison somme-intégraleRestes, vitesse de convergence et développements asymptotiques

L'équivalent $H_{n} \sim ln n$ ne dit rien de l'écart $H_{n} - ln n$ : deux suites équivalentes peuvent parfaitement s'éloigner l'une de l'autre. Ici, cet écart converge, et sa limite est un nombre qui traverse toute l'analyse : la constante d'Euler.

Pour $n ⩾ 1$ , on pose $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ , puis

u_{n} = H_{n} - ln n et v_{n} = H_{n} - ln (n + 1)

1. Démontrer que $(u_{n})$ est décroissante et minorée par $0$ . En déduire qu'elle converge ; sa limite est notée $γ$ .

2. Démontrer que $(v_{n})$ est croissante, puis que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes. En déduire l'encadrement $v_{n} ⩽ γ ⩽ u_{n}$ , et en donner la traduction numérique pour $n = 10$ , puis pour $n = 100$ .

3. En déduire le développement asymptotique $H_{n} = ln n + γ + o (1)$ .

4. Application : déterminer $n \to + \infty lim (H_{2 n} - H_{n})$ .

5. Application : exprimer $k = 1 \sum n \frac{1}{2 k - 1}$ à l'aide de $H_{n}$ et $H_{2 n}$ , puis en donner un équivalent.

Exercice 25 ★★★★ — Les séries de Bertrand

Méthode des rectangles et comparaison somme-intégraleSéries de Riemann et critère en n puissance alpha

Entre $\sum \frac{1}{n}$ qui diverge et $\sum \frac{1}{n ^{1, 0001}}$ qui converge, il y a la place pour toute une famille de séries : celles de Bertrand, $\sum \frac{1}{n ^{α} ( l n n ) ^{β}}$ . Elles ne sont au programme d'aucun cours, mais elles tombent à l'oral, et elles se traitent entièrement à la méthode des rectangles.

1. Déterminer la nature de $n ⩾ 2 \sum \frac{1}{n ln n}$ .

2. Soit $β \in R$ . Déterminer, selon $β$ , la nature de $n ⩾ 2 \sum \frac{1}{n ( ln n ) ^{β}}$ .

3. Soient $α \neq = 1$ et $β \in R$ . Déterminer la nature de $n ⩾ 2 \sum \frac{1}{n ^{α} ( ln n ) ^{β}}$ . On pourra comparer le terme général à $\frac{1}{n ^{θ}}$ pour un réel $θ$ bien choisi entre $α$ et $1$ .

4. Récapituler les résultats dans un tableau.

5. Applications. Déterminer la nature des séries suivantes :

a. $n ⩾ 3 \sum \frac{1}{n ln n ln ( ln n )}$

b. $n ⩾ 1 \sum \frac{ln n}{n ^{2}}$

c. $n ⩾ 2 \sum \frac{1}{n ^{1, 01} ln n}$

Exercice 26 ★★★★ — Le critère de d'Alembert, démontré puis appliqué

Comparaison par inégalités entre séries à termes positifsSéries géométriques et série exponentielle

Quand le terme général contient des factorielles ou des puissances $n$ -ièmes, les équivalents usuels ne servent à rien : c'est le quotient de deux termes consécutifs qui parle. L'idée est de comparer la série à une série géométrique. Ce critère ne figure pas au programme de PCSI : on ne l'invoque donc jamais tel quel, on le redémontre, et c'est l'objet des deux premières questions.

Soit $(u_{n})$ une suite à termes strictement positifs telle que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} n \to + \infty ℓ$ , avec $ℓ \in [0, + \infty [$ .

1. a. On suppose $ℓ < 1$ . En posant $q = \frac{ℓ + 1}{2}$ , démontrer qu'il existe un rang $N$ tel que $u_{n} ⩽ u_{N} q^{n - N}$ pour tout $n ⩾ N$ , puis que $\sum u_{n}$ converge.

b. On suppose $ℓ > 1$ . Démontrer que $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

2. Démontrer, à l'aide de deux exemples, que le cas $ℓ = 1$ ne permet aucune conclusion.

3. Déterminer la nature des séries suivantes, toutes indexées par $n ⩾ 1$ :

a. $\sum \frac{n !}{n ^{n}}$

b. $\sum \frac{2 ^{n} n !}{n ^{n}}$

c. $\sum \frac{3 ^{n} n !}{n ^{n}}$

d. $\sum \frac{( n ! ) ^{2}}{( 2 n )!}$

e. $\sum \frac{n ^{n}}{n !}$

Exercice 27 ★★★★ — Équivalent d'un reste, équivalent d'une somme partielle

Restes, vitesse de convergence et développements asymptotiquesMéthode des rectangles et comparaison somme-intégrale

Une fois la nature d'une série connue, il reste à la quantifier. Si elle converge, l'objet intéressant est le reste $R_{n}$ , qui mesure l'erreur commise en s'arrêtant au rang $n$ . Si elle diverge, c'est la somme partielle $S_{n}$ et sa vitesse d'explosion. Dans les deux cas, ce sont les rectangles qui répondent, et toutes les intégrales écrites ci-dessous sont prises sur des segments.

Pour $α > 0$ et $n ⩾ 1$ , on note $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{α}}$ la somme partielle. Si $α > 1$ , la série converge (exercice 23) et l'on note $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{α}}$ son reste.

1. Soit $α > 1$ et soient deux entiers $N > n ⩾ 1$ . Encadrer la somme finie $k = n + 1 \sum N \frac{1}{k ^{α}}$ par deux intégrales, puis, en faisant tendre $N$ vers $+ \infty$ dans l'encadrement obtenu, démontrer que

\frac{1}{( α - 1 ) ( n + 1 ) ^{α - 1}} ⩽ R_{n} ⩽ \frac{1}{( α - 1 ) n ^{α - 1}}

En déduire un équivalent de $R_{n}$ .

2. Écrire l'encadrement obtenu dans le cas $α = 2$ et le vérifier numériquement pour $n = 10$ .

3. Soit $0 < α < 1$ . Démontrer que $S_{n} \sim \frac{n ^{1 - α}}{1 - α}$ .

4. Déterminer un équivalent de $T_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2} + k}$ par un calcul exact, puis comparer au résultat de la question 2.

5. Énoncer en une phrase la règle de choix entre reste et somme partielle.

Exercice 28 ★★★★ — Une série alternée étudiée par les suites adjacentes

Sommes partielles, convergence, somme et reste d'une sérieCalcul explicite de la somme d'une série

Les théorèmes de comparaison sont réservés aux séries à termes positifs. Quand le signe du terme général change, il faut revenir à la définition et travailler directement sur la suite des sommes partielles. La méthode de référence consiste à isoler les sommes partielles de rang pair et de rang impair, et à montrer qu'elles sont adjacentes.

Pour $n ⩾ 1$ , on pose

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} et H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

1. a. Montrer que $(S_{2 n})_{n ⩾ 1}$ est croissante, que $(S_{2 n + 1})_{n ⩾ 0}$ est décroissante, et que $S_{2 n + 1} - S_{2 n} n \to + \infty 0$ .

b. En déduire que ces deux suites convergent vers une même limite $S$ , puis démontrer soigneusement que $(S_{n})$ converge vers $S$ .

2. Démontrer, sans utiliser d'intégrale, que $H_{n} \to + \infty$ . La série $k ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}$ est-elle absolument convergente ? Qu'en conclure sur l'usage des théorèmes de comparaison pour cette série ?

3. Établir $S_{2 n} = H_{2 n} - H_{n}$ . En admettant le résultat de l'exercice 24, à savoir $H_{n} = ln n + γ + o (1)$ , calculer $S$ .

4. Soit $α \in R$ . Déterminer, par la même méthode, la nature de $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{α}}$ , et préciser pour quels $α$ la convergence est absolue.

Exercice 29 ★★★★ — Nature d'une série définie par récurrence

Comparaison par équivalents et par négligeabilitéLien suite-série et séries télescopiques

Quand le terme général est défini par une récurrence, aucune formule explicite n'est disponible : la nature de la série se lit sur la vitesse avec laquelle la suite tend vers $0$ . Deux récurrences très voisines donnent ici deux comportements opposés.

Partie A. Soit $u_{0} \in] 0, \frac{π}{2}]$ et, pour $n ⩾ 0$ , $u_{n + 1} = 1 - cos u_{n}$ .

1. Montrer que pour tout $n$ , $u_{n} \in] 0, \frac{π}{2}]$ et $u_{n + 1} ⩽ \frac{u _{n}^{2}}{2}$ . En déduire que $(u_{n})$ décroît et converge vers $0$ .

2. Établir $u_{n + 1} \sim \frac{u _{n}^{2}}{2}$ .

3. Montrer qu'à partir d'un certain rang $u_{n + 1} ⩽ \frac{u _{n}}{2}$ , puis déterminer la nature de $\sum u_{n}$ .

Partie B. Soit $v_{0} \in] 0, π [$ et, pour $n ⩾ 0$ , $v_{n + 1} = sin v_{n}$ .

4. Montrer que pour $n ⩾ 1$ , $v_{n} \in] 0, 1]$ , que $(v_{n})_{n ⩾ 1}$ décroît et converge vers $0$ .

5. Démontrer que $\frac{1}{v _{n + 1}^{2}} - \frac{1}{v _{n}^{2}} n \to + \infty \frac{1}{3}$ .

6. En déduire, par sommation d'un encadrement, que $\frac{1}{n v _{n}^{2}} \to \frac{1}{3}$ , puis que $v_{n} \sim \frac{3}{n}$ .

7. Conclure sur la nature de $\sum v_{n}$ et de $\sum v_{n}^{3}$ .

Exercice 30 ★★★★ — Sommation par paquets

Séries à termes positifs : majoration des sommes partiellesComparaison par inégalités entre séries à termes positifs

Regrouper les termes d'une série par paquets de longueurs $1, 2, 4, 8, \dots$ est l'idée d'Oresme (vers 1350) pour la série harmonique. On la formalise ici, avant de voir sur un exemple qu'un regroupement de termes n'est pas une opération anodine.

Soit $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite positive et décroissante. Pour $p ⩾ 0$ , on pose

P_{p} = k = 2^{p} \sum 2^{p + 1} - 1 u_{k} (le paquet {u_{2^{p}}, \dots, u_{2^{p + 1} - 1}})

1. Combien de termes comporte $P_{p}$ ? En déduire l'encadrement $2^{p} u_{2^{p + 1} - 1} ⩽ P_{p} ⩽ 2^{p} u_{2^{p}}$ .

2. Vérifier que $k = 1 \sum 2^{P + 1} - 1 u_{k} = p = 0 \sum P P_{p}$ , puis démontrer que $\sum u_{n}$ converge si et seulement si la suite $(\sum_{p = 0}^{P} P_{p})_{P ⩾ 0}$ est majorée.

3. Application. Retrouver par cette méthode la divergence de $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ , puis la convergence de $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{2}}$ avec une majoration explicite de sa somme.

4. On considère maintenant $\sum_{n ⩾ 0} (- 1)^{n}$ . Quelle est sa nature ? Que vaut le regroupement de ses termes deux par deux : $(1 - 1) + (1 - 1) + \dots$ ? Quelle morale en tirer ?

Exercice 31 ★★★★ — Un télescopage avec l'arctangente

Lien suite-série et séries télescopiquesCalcul explicite de la somme d'une série

Une série ne se calcule explicitement que dans deux situations : quand elle est géométrique, ou quand son terme général s'écrit $a_{n + 1} - a_{n}$ . Reconnaître un tel télescopage derrière une arctangente est un classique d'oral.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $ab > - 1$ . Démontrer que

Arctan a - Arctan b = Arctan \frac{a - b}{1 + ab}

Indication : poser $α = Arctan a$ et $β = Arctan b$ , puis calculer $cos (α - β)$ .

2. Montrer que l'hypothèse $ab > - 1$ ne peut pas être supprimée, en comparant les deux membres pour $a = 2$ et $b = - 1$ .

3. En déduire que pour tout entier $n ⩾ 0$ ,

Arctan \frac{1}{n ^{2} + n + 1} = Arctan (n + 1) - Arctan (n)

puis calculer $n = 0 \sum + \infty Arctan \frac{1}{n ^{2} + n + 1}$ .

4. Sur le même principe, calculer $n = 1 \sum + \infty Arctan \frac{2}{n ^{2}}$ .

Exercice 32 ★★★★ — L'irrationalité du nombre e

Séries géométriques et série exponentielleRestes, vitesse de convergence et développements asymptotiques

La série exponentielle donne $e = k = 0 \sum + \infty \frac{1}{k !}$ . Elle converge si vite que le reste, multiplié par $n!$ , reste strictement compris entre $0$ et $1$ : c'est exactement ce qu'il faut pour démontrer, en une page, que $e$ est irrationnel (Fourier, 1815).

Pour $n ⩾ 1$ , on pose

S_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} et R_{n} = e - S_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k !}

1. Démontrer que pour tout $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{( n + 1 )!} < R_{n} < \frac{1}{n ! n}

Indication : pour $k ⩾ n + 1$ , majorer $\frac{1}{k !}$ par $\frac{1}{( n + 1 )! ( n + 1 ) ^{k - n - 1}}$ , sommer de $n + 1$ à $N$ à l'aide d'une somme géométrique, puis faire tendre $N$ vers $+ \infty$ .

2. En déduire que $0 < n! R_{n} < \frac{1}{n}$ pour tout $n ⩾ 1$ .

3. Supposons $e = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls.

a. Justifier que $q ⩾ 2$ .

b. Montrer que $q! S_{q}$ et $q! e$ sont des entiers.

c. Conclure.

4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n}$ approche $e$ à $1 0^{- 9}$ près.

Exercice 33 ★★★★ — Le théorème de condensation

Séries à termes positifs : majoration des sommes partiellesComparaison par inégalités entre séries à termes positifsSéries de Riemann et critère en n puissance alpha

Pour une suite positive décroissante, la nature de $\sum u_{n}$ ne dépend que des termes d'indices $1, 2, 4, 8, \dots$ : c'est le théorème de condensation de Cauchy. Il remplace avantageusement la comparaison somme-intégrale quand la fonction est pénible à primitiver, et il redonne tous les critères usuels sans écrire une seule intégrale.

Soit $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite positive et décroissante.

1. Démontrer que pour tout entier $p ⩾ 0$ :

a. $k = 1 \sum 2^{p + 1} - 1 u_{k} ⩽ j = 0 \sum p 2^{j} u_{2^{j}}$ ;

b. $j = 0 \sum p 2^{j} u_{2^{j}} ⩽ u_{1} + 2 k = 1 \sum 2^{p} u_{k}$ .

2. En déduire que les séries $\sum_{n ⩾ 1} u_{n}$ et $\sum_{n ⩾ 0} 2^{n} u_{2^{n}}$ sont de même nature.

3. Application 1. Retrouver, pour $α \in R$ , la nature de $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{α}}$ .

4. Application 2. Déterminer, pour $β \in R$ et sans utiliser d'intégrale, la nature de $\sum_{n ⩾ 2} \frac{1}{n ( ln n ) ^{β}}$ .

5. Application 3. Même question pour $\sum_{n ⩾ 3} \frac{1}{n ln n ( ln ln n ) ^{β}}$ .

Exercice 34 ★★★★ — Étude complète d'une suite récurrente et de sa série

Comparaison par équivalents et par négligeabilitéLien suite-série et séries télescopiquesSéries de Riemann et critère en n puissance alpha

Sujet d'oral typique : une récurrence en apparence anodine, dont on demande l'équivalent, puis la nature de trois séries associées. Tout repose sur une idée : chercher une puissance de $u_{n}$ dont les accroissements ont une limite finie non nulle.

Soit $u_{0} > 0$ et, pour $n ⩾ 0$ , $u_{n + 1} = ln (1 + u_{n})$ .

1. Montrer que la suite est bien définie, strictement positive, décroissante, et qu'elle converge vers $0$ .

2. Écrire le développement limité de $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ à l'ordre $3$ .

3. En déduire que $\frac{1}{u _{n + 1}} - \frac{1}{u _{n}} \to \frac{1}{2}$ , puis, en sommant un encadrement, que $u_{n} \sim \frac{2}{n}$ .

4. Déterminer la nature de $\sum u_{n}$ et de $\sum u_{n}^{2}$ .

5. Déterminer la nature de $\sum (- 1)^{n} u_{n}$ . Cette série est-elle absolument convergente ?

Exercice 35 ★★★★ — Encadrement fin des restes et accélération de convergence

Restes, vitesse de convergence et développements asymptotiquesMéthode des rectangles et comparaison somme-intégrale

Savoir qu'une série converge ne dit rien sur le coût du calcul de sa somme. On le mesure ici sur $ζ (2) = \sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{2}}$ , dont on admet la valeur $\frac{π ^{2}}{6}$ : sommer un million de termes ou quatre-vingts, la différence tient à une identité algébrique de deux lignes.

Pour $n ⩾ 1$ , on note $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}}$ .

1. Par la méthode des rectangles, démontrer que $\frac{1}{n + 1} ⩽ R_{n} ⩽ \frac{1}{n}$ .

2. Combien de termes faut-il sommer pour obtenir $ζ (2)$ à $1 0^{- 6}$ près ?

3. a. Vérifier que $\frac{1}{n ^{2}} = \frac{1}{n ( n + 1 )} + \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 )}$ , puis en déduire $ζ (2) = 1 + n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 )}$ .

b. Majorer le reste de cette nouvelle série par $\frac{1}{2 n ^{2}}$ . Combien de termes suffisent maintenant pour la précision $1 0^{- 6}$ ?

4. Recommencer une fois : vérifier $\frac{1}{n ^{2} ( n + 1 )} = \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} + \frac{2}{n ^{2} ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ , en déduire une troisième écriture de $ζ (2)$ , puis le nombre de termes nécessaires. Commenter le gain.

Exercice 36 ★★★★ — Problème de synthèse : autour de la fonction zêta

Séries de Riemann et critère en n puissance alphaRestes, vitesse de convergence et développements asymptotiquesMéthode des rectangles et comparaison somme-intégraleConvergence absolue, suites sommables et domination

Ce problème rassemble tout le chapitre autour d'un même objet : la fonction $ζ$ , définie pour $s > 1$ par

ζ (s) = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{s}}

1. Justifier que $ζ (s)$ existe pour $s > 1$ , et que la série diverge pour $s ⩽ 1$ .

2. Démontrer que $ζ$ est strictement décroissante sur $] 1, + \infty [$ .

3. Par la méthode des rectangles, établir que pour tout $s > 1$ ,

\frac{1}{s - 1} ⩽ ζ (s) ⩽ 1 + \frac{1}{s - 1}

En déduire la limite de $ζ (s)$ quand $s \to + \infty$ , puis un équivalent de $ζ (s)$ quand $s \to 1^{+}$ .

4. Démontrer que $\sum_{n ⩾ 2} (ζ (n) - 1)$ converge, et calculer sa somme.

5. Soit $s > 1$ . Montrer que $\sum_{n ⩾ 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{s}}$ converge absolument, puis exprimer sa somme à l'aide de $ζ (s)$ .

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 240 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (3 points) — Questions de cours et séries de référence

Dans tout l'exercice, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ désignent des suites réelles, et l'on note $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_{n}$ .

1. (0,5 pt) Soit $(u_{n})$ une suite à termes positifs. Démontrer que la série $\sum u_{n}$ converge si et seulement si la suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles est majorée.

2. (0,75 pt) Énoncer le théorème de comparaison des séries à termes positifs, puis le démontrer. Préciser ce qu'il fournit par contraposée.

3. (0,25 pt) Soit $\sum u_{n}$ une série convergente, de somme $S$ , et soit $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}$ son reste d'ordre $n$ . Démontrer que $S_{n} + R_{n} = S$ pour tout $n \in N$ , puis que $R_{n} \to 0$ .

4. (1,5 pt) Déterminer la nature des séries suivantes, en justifiant chaque réponse en une ligne. Lorsque la série converge et que sa somme est une valeur du cours, préciser cette somme.

a. (0,25 pt) $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{3}}$

b. (0,25 pt) $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n}$

c. (0,25 pt) $n ⩾ 0 \sum (\frac{2}{3})^{n}$

d. (0,25 pt) $n ⩾ 1 \sum \frac{n}{n + 1}$

e. (0,25 pt) $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

f. (0,25 pt) $n ⩾ 0 \sum \frac{3 ^{n}}{n !}$

Exercice 2 (4 points) — Trois calculs de sommes exactes

Les questions 1. et 2. se suivent ; les questions 3. et 4. sont indépendantes du reste.

1. (0,5 pt) Décomposer en éléments simples $\frac{1}{n ( n + 1 )}$ , puis démontrer que la série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 )}$ converge et calculer sa somme.

2. (1 pt) Décomposer en éléments simples $\frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ , puis démontrer l'identité

\frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n ( n + 1 )} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}) .

En déduire la nature et la somme de $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ .

3. Soit $x \in] - 1, 1 [$ . Pour $N ⩾ 1$ , on pose $T_{N} = n = 1 \sum N n x^{n}$ .

a. (1 pt) Démontrer que $(1 - x) T_{N} = n = 1 \sum N x^{n} - N x^{N + 1}$ , puis que la série $\sum n x^{n}$ converge et que sa somme vaut $\frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ .

b. (0,5 pt) En déduire la valeur de $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{3 ^{n}}$ .

4. (1 pt) Démontrer que la série $n ⩾ 0 \sum \frac{n ^{2} + 1}{n !}$ converge et calculer sa somme. On pourra écrire $n^{2} + 1 = n (n - 1) + n + 1$ .

Exercice 3 (4 points) — Natures par équivalents et par domination

Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque série, la nature doit être justifiée par une comparaison explicite avec une série de référence, en vérifiant les hypothèses de signe du théorème utilisé.

1. (3 pt) Déterminer la nature de la série $\sum u_{n}$ dans chacun des cas suivants.

a. (0,5 pt) $u_{n} = ln (1 + \frac{1}{n ^{2}})$ , pour $n ⩾ 1$ .

b. (0,5 pt) $u_{n} = n + 1 - n$ , pour $n ⩾ 0$ .

c. (0,5 pt) $u_{n} = \frac{1}{n} - ln (1 + \frac{1}{n})$ , pour $n ⩾ 1$ .

d. (0,5 pt) $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} - e$ , pour $n ⩾ 1$ .

e. (0,5 pt) $u_{n} = e^{- n}$ , pour $n ⩾ 0$ .

f. (0,5 pt) $u_{n} = \frac{ln n}{n ^{3/2}}$ , pour $n ⩾ 1$ .

2. (1 pt) Mêmes questions pour les deux séries suivantes, dont le terme général n'est pas de signe constant.

a. (0,5 pt) $u_{n} = \frac{cos n}{n ^{2} + 1}$ , pour $n ⩾ 1$ .

b. (0,5 pt) $u_{n} = (- 1)^{n} (e^{1/ n} - 1 - \frac{1}{n})$ , pour $n ⩾ 1$ .

Exercice 4 (5 points) — Comparaison série-intégrale

Les questions se suivent. Toutes les intégrales de l'énoncé portent sur des segments.

1. (0,75 pt) Lemme des rectangles. Soit $f$ une fonction continue et décroissante sur $[1, + \infty [$ . Démontrer que, pour tout entier $k ⩾ 1$ ,

f (k + 1) ⩽ \int_{k}^{k + 1} f (t) d t ⩽ f (k) .

Partie A — une série divergente. Pour $n ⩾ 1$ , on pose $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ .

2. (1,25 pt) Démontrer que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

2 n + 1 - 2 ⩽ S_{n} ⩽ 2 n - 1.

3. (0,75 pt) En déduire un équivalent simple de $S_{n}$ , puis la nature de la série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n}$ .

Partie B — une série convergente et son reste. On s'intéresse maintenant à $k ⩾ 1 \sum \frac{1}{k ^{3/2}}$ .

4. (0,75 pt) En majorant ses sommes partielles, démontrer que cette série converge et que sa somme est inférieure ou égale à $3$ .

5. (1 pt) On note $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{3/2}}$ son reste d'ordre $n$ . Démontrer que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

\frac{2}{n + 1} ⩽ R_{n} ⩽ \frac{2}{n},

puis en déduire un équivalent simple de $R_{n}$ .

6. (0,5 pt) On souhaite calculer la somme de la série de la partie B à $1 0^{- 2}$ près en la remplaçant par une somme partielle. Démontrer que $n = 40000$ termes suffisent, et qu'aucun entier $n ⩽ 39998$ ne convient.

Exercice 5 (4 points) — Problème : une suite récurrente et les séries associées

Les questions se suivent. Soit $u_{0} > 0$ . On définit la suite $(u_{n})_{n \in N}$ par

u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}} pour tout n \in N .

1. (0,75 pt) Démontrer que la suite $(u_{n})$ est bien définie et que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ . Démontrer ensuite qu'elle est strictement décroissante, puis qu'elle converge vers $0$ .

2. (1 pt) On pose $v_{n} = \frac{1}{u _{n}}$ pour $n \in N$ . Démontrer que $v_{n + 1} - v_{n} = 1$ , puis, par télescopage, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et de $u_{0}$ . En déduire que

u_{n} = \frac{u _{0}}{1 + n u _{0}} puis que u_{n} \sim \frac{1}{n} .

3. (0,75 pt) Déterminer la nature de la série $\sum u_{n}$ . La condition nécessaire de convergence d'une série permettait-elle de conclure ?

4. (0,75 pt) Déterminer la nature de la série $\sum u_{n}^{2}$ .

5. (0,75 pt) Démontrer que $u_{n} u_{n + 1} = u_{n} - u_{n + 1}$ pour tout $n \in N$ . En déduire la nature de la série $n ⩾ 0 \sum u_{n} u_{n + 1}$ et la valeur de sa somme.

Le sujet du DS(PDF, 45 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 99 Ko)

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Ce qu'il faut savoir faire

Le cours

Séries numériques : définitions

Série, sommes partielles, convergence

Somme et reste

Premières propriétés

Séries à termes complexes

La condition nécessaire de convergence

Le théorème et sa contraposée

Le lien suite-série

Les séries de référence

Séries géométriques

La série exponentielle

Séries de Riemann et série harmonique

Récapitulatif des séries de référence

Séries à termes positifs

Le théorème fondamental

Comparaison par inégalités

Comparaison par domination et par négligeabilité

Comparaison par équivalents

Le critère en nα

Méthode : étudier une série à termes positifs

Comparaison série-intégrale : la méthode des rectangles

Le lemme des rectangles

Encadrement des sommes partielles

Application 1 : les séries de Riemann

Application 2 : la série harmonique

Application 3 : encadrer un reste

Séries à termes de signe quelconque : convergence absolue

Définition

Le théorème

Le théorème de domination

Méthode : que faire devant une série de signe quelconque

Synthèse : le plan d'attaque

La marche à suivre

Le tableau des critères

Les erreurs classiques

Pour aller plus loin en exercice

Ce qu'il faut savoir redémontrer

Les exercices

Le devoir surveillé

Exercice 1 (3 points) — Questions de cours et séries de référence

Exercice 2 (4 points) — Trois calculs de sommes exactes

Exercice 3 (4 points) — Natures par équivalents et par domination

Exercice 4 (5 points) — Comparaison série-intégrale

Exercice 5 (4 points) — Problème : une suite récurrente et les séries associées

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Le critère en $n^{α}$