Exercices — Fonctions de deux variables

1. Déterminer le domaine de définition de chacune des expressions suivantes, c'est-à-dire l'ensemble des couples $(x,y)$ de ${\mathbb{R}}^2$ pour lesquels le calcul a un sens.

2. Pour chacun de ces quatre domaines, dire en une phrase de quelle partie du plan il s'agit.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme euclidienne $\parallel (x,y)\parallel =\sqrt{x^2+y^2}$ et on note, pour $a\in {\mathbb{R}}^2$ et $r>0$,

$$B(a,r)=\{m\in {\mathbb{R}}^2;\parallel m-a\parallel <r\}\mathrm{.}$$

Une partie $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ est dite ouverte lorsque, pour tout $a\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U$.

1. Décrire $B((1,-2),3)$ par une inégalité portant sur $x$ et $y$. Les points $(2,0)$ et $(3,-1)$ appartiennent-ils à cette boule ?

2. Montrer que le demi-plan $H=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\}$ est ouvert, en donnant un rayon explicite en fonction du point choisi.

3. Montrer que la couronne $C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;1<x^2+y^2<4\}$ est ouverte, là encore avec un rayon explicite.

4. Justifier que ${\mathbb{R}}^2$ et $\mathrm{\varnothing }$ sont des parties ouvertes de ${\mathbb{R}}^2$.

1. Calculer les deux dérivées partielles d'ordre $1$ des fonctions suivantes en tout point, en précisant à chaque fois l'ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ sur lequel on travaille.

2. Pour la fonction du 1.f, vérifier que $x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)=y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)$ en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, puis expliquer cette égalité à l'aide des lignes de niveau de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=x^2-y$.

1. Écrire les deux applications partielles de $f$ au point $(1,2)$. Préciser pour chacune sa variable, puis étudier ses variations.

2. Déterminer les lignes de niveau de $f$ associées aux valeurs $k=-1$, $k=0$ et $k=1$, et les décrire géométriquement.

3. Même question qu'au 2. pour la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $g(x,y)=x+2y$, pour les mêmes valeurs de $k$. Quelle direction ces lignes de niveau ont-elles en commun ?

4. À quelle ligne de niveau de $f$, puis à quelle ligne de niveau de $g$, le point $M(2,3)$ appartient-il ?

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le plus grand ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ sur lequel elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et rédiger la justification par les opérations, sans calculer aucune dérivée partielle.

On rappelle que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ et si $(x_0,y_0)\in U$, le plan tangent à la surface d'équation $z=f(x,y)$ au point de contact de coordonnées $(x_0,y_0,f\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0))$ a pour équation

$$z=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0)+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0)(x-x_0)+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0)(y-y_0)\mathrm{.}$$

1. Soit $f(x,y)=x^{2}y+3y$ et $a=(2,1)$. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, calculer $\mathrm{\nabla }f(a)$, puis une équation du plan tangent en $a$. Vérifier que le point de contact appartient au plan trouvé.

2. Mêmes questions pour $g(x,y)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2+y^2)$ au point $b=(1,1)$. On gardera les valeurs exactes, avec $\ln 2$.

3. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$, et dire en une phrase ce que le plan tangent approche.

On rappelle qu'un point $a$ d'un ouvert $U$ est un point critique d'une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ lorsque $\mathrm{\nabla }f(a)=(0,0)$, c'est-à-dire lorsque les deux dérivées partielles s'annulent simultanément en $a$.

Déterminer tous les points critiques des trois fonctions suivantes, définies et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, en résolvant complètement le système obtenu.

1. $f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x$

2. $g(x,y)=x^3-3x+y^2$

3. $h(x,y)={\mathrm{e}}^x(x+y^2)$

4. Le point $(-1,0)$ est un point critique de $g$. En étudiant $g$ le long de la droite d'équation $y=0$, puis le long de la droite d'équation $x=-1$, montrer que $g$ n'y présente pourtant aucun extremum local. Qu'en conclure sur la recherche des extremums ?

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=x^2-xy+2y^2$, et soit $a=(1,2)$. Pour un vecteur $u$ non nul de ${\mathbb{R}}^2$, on rappelle que la dérivée de $f$ en $a$ suivant $u$ est

$$D_{u}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+tu)-f(a)}{t}},$$

et que, lorsque $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, elle se calcule par la formule $D_{u}f(a)=⟨\mathrm{\nabla }f(a),u⟩$.

1. Calculer $\mathrm{\nabla }f(a)$.

2. En déduire $D_{u}f(a)$ pour $u=(3,-1)$, puis pour $u=(1,1)$.

3. Retrouver la valeur obtenue pour $u=(3,-1)$ en explicitant $\phi :t\mapsto f(a+tu)$ sous forme d'un trinôme en $t$, puis en dérivant en $t=0$.

4. Parmi tous les vecteurs unitaires $u$ de ${\mathbb{R}}^2$, lequel rend $D_{u}f(a)$ maximale ? Que vaut alors ce maximum ?

On rappelle qu'une partie $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ est ouverte lorsque, pour tout $p\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(p,r)\subset U$.

Pour chacune des six parties suivantes, dire si elle est ouverte et le justifier : si oui, en donnant pour chaque point un rayon explicite ; si non, en exhibant un point de la partie tel qu'aucune boule centrée en ce point n'y soit incluse, avec un point de cette boule situé hors de la partie.

Deux résistances de valeurs $x$ et $y$ (en ohms) montées en parallèle ont pour résistance équivalente

$$R(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{x+y}},$$

fonction définie sur l'ouvert $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0,y>0\}$.

1. Justifier que $R$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, puis calculer ses dérivées partielles et montrer qu'elles s'écrivent

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)={\left({\displaystyle \frac{y}{x+y}}\right)}^2\text{et}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)={\left({\displaystyle \frac{x}{x+y}}\right)}^2\mathrm{.}$$

2. Calculer la valeur exacte de $R(200,300)$.

3. À l'aide du développement limité d'ordre 1 de $R$ au point $(200,300)$, estimer la variation de $R$ lorsque $x$ passe de $200$ à $203$ et $y$ de $300$ à $297$.

4. Calculer la variation exacte, donner les deux valeurs arrondies au millième et commenter la qualité de l'approximation.

5. Montrer que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)⩽1$ en tout point de $U$, et interpréter.

1. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et $\gamma :t\mapsto (x(t),y(t))$ un arc dérivable sur un intervalle $I$. Rappeler la formule donnant ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}f(x(t),y(t))$.

2. On prend $f(x,y)=x^{2}y$ et $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ pour $t\in \mathbb{R}$.

a. Calculer $(f\circ \gamma {)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la règle de la chaîne.

b. Retrouver le résultat en substituant d'abord, c'est-à-dire en dérivant l'expression de $f(\gamma (t))$. Vérifier que les deux expressions coïncident et donner la valeur en $t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

3. Même double calcul pour $g(x,y)={\mathrm{e}}^{x-y}$ le long de l'arc $\gamma (t)=(t^2,2t)$.

4. Pour $f(x,y)=x^{2}y$, déterminer les instants $t$ de $[0,2\pi [$ où l'arc du 2. traverse une ligne de niveau « à l'horizontale », c'est-à-dire où $(f\circ \gamma {)}^{\mathrm{\prime }}(t)=0$.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On pose, pour tout $(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$g(u,v)=f(u+v,uv)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}(u,v)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}(u,v)$ en fonction des dérivées partielles de $f$, en écrivant explicitement le point où elles sont évaluées.

2. Vérifier ces formules sur le cas concret $f(x,y)=x^2+y$ : calculer $g(u,v)$ explicitement, dériver directement, puis comparer.

3. On revient au cas général.

a. Calculer $u{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}(u,v)-v{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}(u,v)$ : montrer que cette combinaison ne fait intervenir qu'une seule des deux dérivées partielles de $f$, et préciser laquelle et avec quel facteur.

b. Faire de même avec ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}(u,v)-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}(u,v)$.

c. En déduire, lorsque $u\mathrm{\ne }v$, l'expression des deux dérivées partielles de $f$ au point $(u+v,uv)$ à l'aide de celles de $g$.

On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant l'équation, notée $(E)$,

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)=0\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

1. On pose $u=x+y$ et $v=x-y$. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$, et justifier que ce changement de variables est une bijection de ${\mathbb{R}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. On pose $g(u,v)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{u+v}{2}},{\displaystyle \frac{u-v}{2}})$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}$ en fonction des dérivées partielles de $f$.

3. Traduire l'équation $(E)$ en une équation portant sur $g$, puis la résoudre.

4. Conclure : les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $f:(x,y)\mapsto \phi (x+y)$, où $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$. On rédigera les deux sens (analyse et synthèse).

5. Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant de plus $f(x,0)=\cos x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Soit $c$ un réel strictement positif. On cherche les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, de variables $(x,t)$, vérifiant l'équation de transport, notée $(T)$,

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }t}}(x,t)+c{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,t)=0\text{pour tout }(x,t)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

1. On pose $u=x-ct$ et $v=t$, puis $g(u,v)=f(u+cv,v)$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}(u,v)$ en fonction des dérivées partielles de $f$.

2. En déduire toutes les solutions de $(T)$, sous la forme $f(x,t)=\phi (x-ct)$. On rédigera l'analyse et la synthèse.

3. Déterminer la solution vérifiant $f(x,0)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, puis décrire en une phrase ce qui se passe lorsque $t$ augmente.

4. Vérifier directement, par le calcul des deux dérivées partielles, que la fonction trouvée au 3. est bien solution de $(T)$.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On pose, pour tout $(r,\theta )\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$,

$$g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{.}$$

1. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ et établir les deux formules donnant ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}(r,\theta )$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}(r,\theta )$.

2. En déduire, pour $r>0$, les formules inverses exprimant ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ au point $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ à l'aide de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}$ (on résoudra en détail le système $2\times 2$).

3. Établir, pour $r>0$, la relation

$${({\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}(r,\theta ))}^2+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{({\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}(r,\theta ))}^2={\parallel \mathrm{\nabla }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\parallel }^2\mathrm{.}$$

4. Application : pour $f(x,y)=x^2+y^2$, puis pour $f(x,y)=xy$, calculer $g$ et vérifier les formules du 1.

1. Soit $U=]a,b[\times ]c,d[$ un pavé ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ vérifiant $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(0,0)$ en tout point de $U$. Montrer que $f$ est constante sur $U$. On raisonnera d'abord à $y$ fixé sur l'application partielle, puis on conclura en passant par un point intermédiaire bien choisi.

2. Adapter le raisonnement au disque ouvert $B((0,0),1)$ : pourquoi le chemin « horizontal puis vertical » fonctionne-t-il encore, et quel point intermédiaire faut-il choisir ?

3. Soit maintenant $U$ la réunion des deux disques ouverts $B((-2,0),1)$ et $B((2,0),1)$.

a. Montrer que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$.

b. Exhiber une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, de gradient nul en tout point, et non constante.

c. Que faut-il retenir ?

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2-y^2+2x+4y\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer son unique point critique $a$.

2. Écrire $f$ sous forme canonique, c'est-à-dire montrer que $f(x,y)=(x+1{)}^2-(y-2{)}^2+3$.

3. En posant $x=-1+h$ et $y=2+k$, donner l'expression de $f(a+(h,k))-f(a)$ et montrer que cette quantité prend des valeurs strictement positives et strictement négatives dans toute boule ouverte de centre $a$. On exhibera deux familles de points explicites.

4. Conclure : que peut-on dire des extremums locaux de $f$ ?

5. Que valent $\underset{{\mathbb{R}}^2}{\sup }f$ et $\underset{{\mathbb{R}}^2}{\inf }f$ ? Justifier par deux limites le long de droites bien choisies.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=2x^2+y^2+2xy-6x-4y+5.$$

1. Déterminer l'unique point critique de $f$ (on résoudra complètement le système).

2. Mettre $f$ sous forme canonique en regroupant d'abord les termes contenant $y$ : montrer que $f(x,y)=(y+x-2{)}^2+(x-1{)}^2+C$, en explicitant la constante $C$.

3. En déduire que $f$ admet un minimum global strict, atteint en un unique point, et donner sa valeur.

4. Vérifier que ce point est bien celui trouvé au 1.

5. La méthode de la forme canonique est-elle toujours praticable pour un polynôme de degré $2$ en deux variables ? Donner un exemple où elle conduit à une différence de deux carrés et non à une somme, et dire ce qu'on en conclut alors.

1. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$, soit $k$ un réel et soit $\gamma :t\mapsto (x(t),y(t))$ un arc dérivable sur un intervalle $I$, tracé sur la ligne de niveau $k$ de $f$, c'est-à-dire à valeurs dans $U$ et vérifiant $f(\gamma (t))=k$ pour tout $t\in I$. Montrer que

$$⟨\mathrm{\nabla }f(\gamma (t)),{\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)⟩=0\text{pour tout }t\in I,$$

puis interpréter géométriquement.

2. Application à l'ellipse d'équation $x^2+2y^2=3$. Calculer le gradient de $f:(x,y)\mapsto x^2+2y^2$ au point $A(1,1)$, en déduire un vecteur directeur de la tangente à l'ellipse en $A$, puis une équation cartésienne de cette tangente.

3. Vérifier ce résultat en paramétrant l'ellipse par $\gamma :t\mapsto (\sqrt{3}\cos t,\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\sin t)$ et en dérivant. On précisera la valeur de $t$ qui donne le point $A$.

4. Interpréter : pourquoi dit-on que $\mathrm{\nabla }f(A)$ indique la direction de plus forte pente ?

La figure ci-dessous est la carte des lignes de niveau d'un terrain : au point de coordonnées $(x,y)$, l'altitude est notée $f(x,y)$. Les niveaux tracés sont $0$, $2$, $4$, $6$ et $7$, et cinq points du terrain sont repérés : $S(2,0)$, $S^{\mathrm{\prime }}(-2,0)$, $C(0,0)$, $A(1,1)$ et $B(2,1)$.

Partie A — lecture graphique. Dans cette partie, on ne dispose que de la carte.

1. Donner l'altitude exacte de $C$ et celle de $B$, puis encadrer celle de $A$ entre deux niveaux tracés.

2. Combien la carte fait-elle apparaître de sommets ? Où sont-ils, et que peut-on dire de leur altitude ?

3. Lorsqu'on avance vers l'est (dans le sens des $x$ croissants) ou vers le nord (dans le sens des $y$ croissants), l'altitude augmente ou diminue selon le signe des dérivées partielles. Déterminer, par lecture de la carte, le signe de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(A)$ et celui de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(A)$.

4. Que peut-on dire du vecteur $\mathrm{\nabla }f(B)$, et pourquoi la ligne de niveau paraît-elle horizontale au voisinage de $B$ ?

Partie B — vérification par le calcul. On admet maintenant que l'altitude est donnée par

$$f(x,y)=8-\frac{{(x^2-4)}^2}{4}-y^2\mathrm{.}$$

5. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et montrer que $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(4x-x^3,-2y)$.

6. Vérifier les altitudes lues aux questions 1. et 2.

7. Déterminer tous les points critiques de $f$, puis retrouver par le calcul la réponse donnée à la question 3.

8. Montrer que $f(x,y)⩽8$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, avec égalité uniquement en $S$ et en $S^{\mathrm{\prime }}$. Qu'en déduit-on pour ces deux points ?

9. Montrer que le point critique $C$ n'est pas un extremum local de $f$, en comparant $f$ à $f(C)$ le long de l'axe des abscisses puis le long de l'axe des ordonnées. Comment appelle-t-on un tel point sur une carte de randonnée ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y{)}^2\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis montrer que $(x,y)$ est un point critique de $f$ si et seulement si $x^3=x-y$ et $y^3=y-x$.

2. En additionnant ces deux équations, montrer que tout point critique vérifie $y=-x$. En déduire les trois points critiques de $f$, ainsi que la valeur de $f$ en chacun d'eux.

3. Étudier le signe de $f$ au voisinage de l'origine le long de la droite d'équation $y=x$, puis le long de la droite d'équation $y=-x$. En déduire que $(0,0)$ n'est pas un extremum local de $f$.

4. a. Montrer que pour tous réels $u$ et $v$, $(u+v{)}^4⩽8(u^4+v^4)$, avec égalité si et seulement si $u=v$.

b. En posant $s=x-y$, en déduire que $f(x,y)⩾-8$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$.

5. Conclure : donner le minimum global de $f$ et les points où il est atteint, puis dire si $f$ admet un maximum.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $A(0,0,1)$ et la surface $S$ d'équation $z=x^2+y^2$.

1. Justifier que le carré de la distance de $A$ au point $M(x,y,x^2+y^2)$ de $S$ vaut

$$d(x,y)=x^2+y^2+{(x^2+y^2-1)}^2\mathrm{.}$$

2. Justifier que $d$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer ses points critiques.

3. On pose $s=x^2+y^2$. Écrire $d(x,y)=\delta (s)$ où $\delta$ est une fonction d'une seule variable, étudier les variations de $\delta$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et en déduire le minimum global de $d$.

4. En déduire la distance de $A$ à la surface $S$, ainsi que l'ensemble des points de $S$ les plus proches de $A$.

5. Reprendre l'étude en remplaçant $A$ par le point $A^{\mathrm{\prime }}(0,0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$. Que constate-t-on ?

Soit $\alpha$ un réel et soit $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\}$. Une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ est dite homogène de degré $\alpha$ lorsque

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,\mathrm{\forall }t>0,f(tx,ty)=t^{\alpha }f(x,y)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $f_0(x,y)={\displaystyle \frac{x^3+y^3}{x}}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et homogène, de degré à préciser.

2. Soit $f$ homogène de degré $\alpha$. En dérivant par rapport à $t$ la relation $f(tx,ty)=t^{\alpha }f(x,y)$, à $(x,y)$ fixé, établir la relation d'Euler

$$x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)+y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)=\alpha f(x,y)\mathrm{.}$$

3. Vérifier cette relation sur l'exemple du 1., par le calcul direct des deux dérivées partielles.

4. Réciproquement, soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ vérifiant la relation d'Euler. Pour $(x,y)\in U$ fixé, on pose $\psi (t)=t^{-\alpha }f(tx,ty)$ pour $t>0$. Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)$, en déduire que $\psi$ est constante, puis que $f$ est homogène de degré $\alpha$.

5. Interpréter la relation d'Euler à l'aide de la dérivée de $f$ suivant le vecteur $(x,y)$, au point $(x,y)$.

On note $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\}$ et $V=]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$. On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)+y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)=0.(E)$$

1. Justifier que $\mathrm{\Phi }:(u,v)\mapsto (u,uv)$ est une bijection de $V$ sur $U$, et donner sa bijection réciproque.

2. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$. On pose $g(u,v)=f(u,uv)$ pour $(u,v)\in V$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $V$ et calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}$ en fonction des dérivées partielles de $f$ prises au point $(u,uv)$.

3. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $u{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}(u,v)=0$ pour tout $(u,v)\in V$, puis résoudre cette dernière équation.

4. Conclure par analyse et synthèse : les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $f(x,y)=\phi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$, avec $\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

5. Déterminer la solution vérifiant $f(1,y)={\displaystyle \frac{y}{1+y^2}}$ pour tout réel $y$, et vérifier directement qu'elle convient.

6. Que dit ce résultat sur les lignes de niveau des solutions de $(E)$ ?

On note $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et on cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)-x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)=0.(E)$$

Pour $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

1. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$ et établir les expressions de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}$.

2. Montrer que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}(r,\theta )$ est l'opposé de la quantité $y{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}-x{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ évaluée au point $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$. En déduire que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ ne dépend pas de $\theta$.

3. Conclure, par analyse et synthèse, que les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions radiales $f(x,y)=h\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$, où $h$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Déterminer les solutions de $(E)$ valant $\ln 2$ au point $(2,0)$ et $0$ au point $(1,0)$ : en donner un exemple explicite et dire pourquoi la solution n'est pas unique.

5. Interpréter géométriquement l'équation $(E)$ en termes d'orthogonalité entre $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et un vecteur que l'on précisera.

On pose $f(x,y)=x^2+y^2-xy$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, et on note

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2⩽1\}\mathrm{.}$$

On admet que $f$ atteint son maximum et son minimum sur $D$.

1. Justifier que $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2<1\}$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, et déterminer les points critiques de $f$ sur $U$.

2. Expliquer pourquoi un extremum de $f$ sur $D$ est soit atteint en un point critique de $f$ sur $U$, soit atteint en un point vérifiant $x^2+y^2=1$.

3. Sur le cercle, on pose $x=\cos t$ et $y=\sin t$ avec $t\in [0,2\pi ]$. Montrer que $f$ vaut alors $1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2t)$, puis déterminer le maximum et le minimum de cette expression ainsi que les valeurs de $t$ correspondantes.

4. Conclure : donner le maximum et le minimum de $f$ sur $D$ et les points où ils sont atteints.

5. Vérifier le résultat autrement : montrer que $f(x,y)={\displaystyle \frac{1}{2}}[(x-y{)}^2+x^2+y^2]$ et retrouver directement le minimum.

Une expérience fournit quatre mesures : $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,4)$ et $(3,6)$. On cherche la droite d'équation $y=ax+b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux

$$E(a,b)=\sum _{i=1}^4{(a{x}_i+b-y_i)}^2\mathrm{.}$$

1. Écrire $E(a,b)$ explicitement, justifier que $E$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer ses deux dérivées partielles.

2. Écrire le système des points critiques (les équations normales) et le résoudre ; donner $a$ et $b$ sous forme de fractions irréductibles.

3. Montrer que ce point critique est un minimum global : écrire $E(a+h,b+k)-E(a,b)$ comme une expression du second degré en $(h,k)$ et la mettre sous forme canonique.

4. Donner l'équation de la droite obtenue et l'écart quadratique minimal.

5. Cas général : pour $n$ points $(x_i,y_i)$ dont les abscisses ne sont pas toutes égales, écrire les deux équations normales et expliquer pourquoi le système admet une unique solution.

On fabrique une boîte parallélépipédique rectangle fermée (six faces) de volume $8$, dont les trois dimensions sont $x>0$, $y>0$ et $z>0$. On cherche à rendre son aire totale minimale.

1. Exprimer $z$ en fonction de $x$ et $y$, puis montrer que l'aire totale de la boîte s'écrit

$$S(x,y)=2(xy+{\displaystyle \frac{8}{x}}+{\displaystyle \frac{8}{y}})\text{sur}U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\text{ et }y>0\}\mathrm{.}$$

2. Justifier que $U$ est un ouvert et que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, puis déterminer les points critiques de $S$.

3. Énoncer l'inégalité arithmético-géométrique pour trois réels strictement positifs $a$, $b$, $c$ : $a+b+c⩾3\sqrt[3]{abc}$, en précisant son cas d'égalité, et la démontrer.

4. En l'appliquant à $a=xy$, $b={\displaystyle \frac{8}{x}}$ et $c={\displaystyle \frac{8}{y}}$, montrer que $S(x,y)⩾24$ sur $U$, avec égalité uniquement en $(2,2)$.

5. Conclure : quelle est la boîte fermée de volume $8$ d'aire minimale ? Donner ses dimensions.

6. Pourquoi ne pouvait-on pas se contenter de la question 2. pour conclure ?

On pose, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2)=y^2-4x^{2}y+3x^4\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis montrer que $(0,0)$ est l'unique point critique de $f$.

2. Soit $\alpha$ un réel et soit $u=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$. On pose ${\phi }_u(t)=f(tu)$ pour tout réel $t$. Étudier le signe de ${\phi }_u(t)$ pour $t$ voisin de $0$, en distinguant le cas $\sin \alpha \mathrm{\ne }0$ et le cas $\sin \alpha =0$. En déduire que, le long de chaque droite passant par l'origine, la restriction de $f$ admet en $0$ un minimum local strict.

3. Calculer $f(x,2x^2)$ pour tout réel $x$. En déduire que $(0,0)$ n'est pas un minimum local de $f$, puis que ce n'est pas non plus un maximum local.

4. Décrire l'ensemble des points en lesquels $f$ est strictement négative, et expliquer, à l'aide de cette description, pourquoi l'étude menée à la question 2. ne pouvait pas suffire.

5. Quelle leçon générale en tirer sur la recherche des extremums ?

On pose $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0,y>0\}$ et, pour tout $(x,y)\in U$,

$$f(x,y)=x+y+{\displaystyle \frac{1}{xy}}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, que $f$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et déterminer l'unique point critique de $f$ sur $U$.

2. Soit $x>0$ fixé. Étudier les variations de la fonction d'une variable $y\mapsto f(x,y)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : montrer qu'elle atteint son minimum en $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$, et que ce minimum vaut $m(x)=x+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}$.

3. Étudier les variations de $m$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et montrer que son minimum vaut $3$, atteint uniquement en $x=1$.

4. En déduire que $f$ admet un minimum global sur $U$, égal à $3$ et atteint uniquement en $(1,1)$, puis l'inégalité : pour tous réels $x>0$ et $y>0$,

$$x+y+{\displaystyle \frac{1}{xy}}⩾3,$$

avec égalité si et seulement si $x=y=1$.

5. Retrouver cette inégalité à l'aide de l'inégalité arithmético-géométrique appliquée à trois nombres bien choisis, et comparer les deux méthodes.

On fixe un réel $p>0$ et l'on cherche, parmi tous les triangles de périmètre $2p$, celui dont l'aire est maximale. On rappelle la formule de Héron : un triangle de côtés $a$, $b$, $c$ et de demi-périmètre $p$ a pour aire

$$\mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\mathrm{.}$$

1. En posant $c=2p-a-b$, montrer que maximiser $\mathcal{A}$ revient à maximiser

$$g(a,b)=(p-a)(p-b)(a+b-p)$$

sur $U=\{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2;a<p,b<p,a+b>p\}$. Vérifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et que $g>0$ sur $U$.

2. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et déterminer ses points critiques dans $U$.

3. On pose $u=p-a$, $v=p-b$ et $w=a+b-p$. Vérifier que $u$, $v$, $w$ sont strictement positifs et que $u+v+w=p$, puis, à l'aide de l'inégalité arithmético-géométrique pour trois réels strictement positifs, montrer que $uvw⩽{\displaystyle \frac{p^3}{27}}$, avec égalité si et seulement si $u=v=w$.

4. Conclure : quelle est l'aire maximale, et pour quel triangle est-elle atteinte ?

5. Vérifier numériquement pour $p=3$ : donner les côtés du triangle optimal et son aire, puis comparer à l'aire du « triangle » de côtés $1$, $2$, $3$ et expliquer ce qui se passe.

Soit $U$ un ouvert convexe de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$. On rappelle que $U$ est convexe lorsque, pour tous points $a$ et $b$ de $U$ et tout $t\in [0,1]$, le point $(1-t)a+tb$ appartient à $U$.

1. Soient $a$ et $b$ deux points de $U$. Justifier que $\gamma (t)=a+t(b-a)$ appartient à $U$ pour tout $t\in [0,1]$, puis que $g:t\mapsto f(\gamma (t))$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$, et calculer $g^{\mathrm{\prime }}(t)$.

2. En déduire, à l'aide de l'égalité des accroissements finis appliquée à $g$, qu'il existe un point $c$ du segment $[a,b]$ tel que

$$f(b)-f(a)=⟨\mathrm{\nabla }f(c),b-a⟩\mathrm{.}$$

3. On suppose de plus qu'il existe $M⩾0$ tel que $\parallel \mathrm{\nabla }f(m)\parallel ⩽M$ pour tout $m\in U$. Montrer, à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que $\mid f(b)-f(a)\mid ⩽M\parallel b-a\parallel$ : la fonction $f$ est $M$-lipschitzienne sur $U$.

4. En déduire à nouveau que si $\mathrm{\nabla }f$ est nul en tout point de $U$ convexe, alors $f$ est constante.

5. Application. Soit $f(x,y)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2+y^2}}$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Calculer $\mathrm{\nabla }f$, puis majorer $\parallel \mathrm{\nabla }f\parallel$ par une constante explicite (on pourra poser $s=x^2+y^2$ et étudier ${\displaystyle \frac{2\sqrt{s}}{(1+s{)}^2}}$). En déduire une constante de Lipschitz pour $f$.

6. L'hypothèse de convexité est-elle indispensable à la question 4. ? Justifier par un contre-exemple sur un ouvert non convexe bien choisi.

Ouverture (hors programme en PCSI). Les dérivées partielles d'ordre 2 ne figurent pas au programme de PCSI : elles relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

1. Rappeler les notations ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}$, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}}$, puis énoncer le théorème de Schwarz.

2. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre 2 et vérifier le théorème de Schwarz pour chacune des fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2$.

a. $f(x,y)=x^3{y}^2-x{y}^4$.

b. $g(x,y)={\mathrm{e}}^{xy}$.

c. $h(x,y)=\ln (1+x^2+y^2)$.

3. Pour la fonction $h$, vérifier que les deux dérivées croisées sont bien égales à ${\displaystyle \frac{-4xy}{{(1+x^2+y^2)}^2}}$, et contrôler cette valeur en un point par un calcul indépendant.

4. Expliquer en deux phrases pourquoi l'hypothèse « de classe ${\mathcal{C}}^2$ » ne peut pas être supprimée du théorème de Schwarz.

Ouverture (hors programme en PCSI). Le laplacien et les dérivées partielles d'ordre 2 ne figurent pas au programme de PCSI : ils relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

Pour une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, on appelle laplacien de $f$ la fonction

$$\mathrm{\Delta }f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}},$$

et l'on dit que $f$ est harmonique sur cet ouvert lorsque $\mathrm{\Delta }f=0$ en tout point.

1. Vérifier que $f(x,y)=x^3-3x{y}^2$ est harmonique sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. Vérifier que $g(x,y)={\mathrm{e}}^x\cos y$ est harmonique sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. Vérifier que $h(x,y)=\ln (x^2+y^2)$ est harmonique sur ${\mathbb{R}}^2$ privé de l'origine.

4. On admet la formule du laplacien en coordonnées polaires : si $F(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, alors

$$\mathrm{\Delta }f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}F}{\mathrm{\partial }{r}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }r}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}F}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}}\mathrm{.}$$

Déterminer toutes les fonctions harmoniques radiales sur ${\mathbb{R}}^2$ privé de l'origine, c'est-à-dire de la forme $f(x,y)=\psi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ avec $\psi$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

5. Relier le résultat obtenu à la question 3.

Ouverture (hors programme en PCSI). La formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et le critère $rt-s^2$ ne figurent pas au programme de PCSI : ils relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

On admet le critère suivant. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $a$ un point critique de $f$. On pose

$$r={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}(a),s={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}(a),t={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}(a)\mathrm{.}$$

• Si $rt-s^2>0$, alors $a$ est un extremum local : un minimum si $r>0$, un maximum si $r<0$.
• Si $rt-s^2<0$, alors $a$ est un point selle (ce n'est pas un extremum).
• Si $rt-s^2=0$, le critère ne conclut pas.

1. Appliquer le critère à $f(x,y)=x^2-y^2+2x+4y$ en son point critique $(-1,2)$.

2. Déterminer le point critique de $f(x,y)=2x^2+y^2+2xy-6x-4y+5$, puis lui appliquer le critère.

3. Vérifier que $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y{)}^2$ admet exactement trois points critiques, à savoir $(0,0)$, $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ et $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$, et appliquer le critère en chacun d'eux. Conclure à la main dans le cas laissé en suspens.

4. Même question pour $f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2)$ au point critique $(0,0)$.

5. Conclure sur la portée du critère : ce qu'il fait gagner, et les deux situations où il ne remplace pas une étude à la main.

Ouverture (hors programme en PCSI). Les équations aux dérivées partielles d'ordre 2 ne figurent pas au programme de PCSI : elles relèvent du programme de PC (arrêté du 13 juillet 2021). Cet exercice est proposé pour la deuxième année et pour la culture, il ne peut faire l'objet d'aucune évaluation en PCSI.

Soit $c>0$. On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, de variables $(x,t)$, vérifiant l'équation des ondes

$$(E){\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=c^2{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}\mathrm{.}$$

1. On pose $u=x-ct$, $v=x+ct$ et $g(u,v)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{u+v}{2}},{\displaystyle \frac{v-u}{2c}})$. Vérifier que le changement de variables $(x,t)\mapsto (u,v)$ est une bijection de ${\mathbb{R}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et que $f(x,t)=g(x-ct,x+ct)$.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}$, puis ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }v\mathrm{\partial }u}}$, en fonction des dérivées partielles de $f$. En déduire que $f$ vérifie $(E)$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }v\mathrm{\partial }u}}=0$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. Résoudre cette équation : montrer qu'il existe deux fonctions $\phi$ et $\psi$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ telles que $g(u,v)=\phi (u)+\psi (v)$.

4. Conclure, par analyse et synthèse, à la formule de d'Alembert : les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $f(x,t)=\phi (x-ct)+\psi (x+ct)$. Interpréter physiquement.

5. Déterminer la solution vérifiant $f(x,0)=\sin x$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }t}}(x,0)=0$ pour tout réel $x$, et vérifier directement qu'elle convient.