Devoir surveillé — Fonctions de deux variables

Consignes valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La clarté de la rédaction et la justification des affirmations comptent dans la notation, au même titre que l'exactitude des calculs. Les calculatrices ne sont pas autorisées : tous les nombres demandés se calculent à la main. Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme euclidienne associée $\parallel \cdot \parallel$ ; on note $B(a,r)$ la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r>0$.

1. (0,75 pt) Soit $g$ une fonction continue sur ${\mathbb{R}}^2$ et soit

$$U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;g(x,y)>0\}\mathrm{.}$$

Démontrer que $U$ est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$. (On reviendra à la définition de la continuité, en choisissant convenablement le seuil.) En déduire, sans chercher aucun rayon explicite, que $V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2>{\mathrm{e}}^{xy}\}$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$.

2. (0,75 pt) Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et soit $a=(1,2)$. On sait seulement que

$$D_{u}f(a)=5\text{pour }u=(1,1),D_{v}f(a)=-1\text{pour }v=(1,-1)\mathrm{.}$$

Déterminer $\mathrm{\nabla }f(a)$. Préciser ensuite le vecteur unitaire suivant lequel la dérivée de $f$ en $a$ est maximale ainsi que la valeur de ce maximum, puis donner un vecteur unitaire $w$ tel que $D_{w}f(a)=0$.

3. (0,75 pt) On note $\mathcal{S}$ la surface d'équation $z=x^{2}y$ et $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x+y-z=0$. Déterminer tous les points de $\mathcal{S}$ en lesquels le plan tangent à $\mathcal{S}$ est parallèle à $\mathcal{P}$, et écrire une équation de chacun de ces plans tangents.

4. (0,75 pt) Soit $f(x,y)=y{\mathrm{e}}^{-x}$ et soit $A(0,1)$. Déterminer la ligne de niveau de $f$ passant par $A$, puis une équation de sa tangente en $A$ de deux façons : d'abord à l'aide de $\mathrm{\nabla }f(A)$, ensuite en dérivant l'équation explicite de cette ligne de niveau.

On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant

$$(E)\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)+2\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=f(x,y)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

La méthode proposée ici n'utilise aucun changement de variables : on restreint $f$ aux droites dirigées par le vecteur $(1,2)$, ce qui ramène $(E)$ à une équation d'une seule variable.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ fixé, on pose

$${\phi }_{x,y}(t)={\mathrm{e}}^{-t}f(x+t,y+2t)\text{pour tout }t\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que ${\phi }_{x,y}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et démontrer que, pour tout $t\in \mathbb{R}$,

$${\phi }_{x,y}^{\mathrm{\prime }}(t)={\mathrm{e}}^{-t}[\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x+t,y+2t)+2\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x+t,y+2t)-f(x+t,y+2t)]\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Démontrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, la fonction ${\phi }_{x,y}$ est constante sur $\mathbb{R}$.

3. (0,75 pt) Analyse. On suppose $f$ solution de $(E)$. En comparant ${\phi }_{x,y}(-x)$ et ${\phi }_{x,y}(0)$, démontrer qu'il existe une fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, que l'on précisera, telle que

$$f(x,y)={\mathrm{e}}^{x}g(y-2x)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Synthèse. Réciproquement, vérifier que pour toute fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $(x,y)\mapsto {\mathrm{e}}^{x}g(y-2x)$ est solution de $(E)$. Conclure en décrivant l'ensemble des solutions.

5. (0,5 pt) Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $f(0,y)=y{\mathrm{e}}^y$ pour tout $y\in \mathbb{R}$, puis contrôler le résultat par le calcul direct de ses deux dérivées partielles.

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions continues sur ${\mathbb{R}}^2$. On dit que le couple $(P,Q)$ est un champ de gradients sur ${\mathbb{R}}^2$ lorsqu'il existe une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telle que

$$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=P(x,y)\text{et}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=Q(x,y)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,$$

autrement dit lorsque $\mathrm{\nabla }f=(P,Q)$. Une telle fonction $f$ est appelée un potentiel du champ.

On rappelle deux résultats du cours, librement utilisables dans tout l'exercice :

• une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ dont le gradient est nul en tout point de ${\mathbb{R}}^2$ est constante ;
• (lemme de base, énoncé ici pour la première variable) si $h$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et si ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }h}{\mathrm{\partial }x}}$ est nulle en tout point, alors il existe une fonction $\chi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $h(x,y)=\chi (y)$ pour tout $(x,y)$.

1. (0,75 pt) Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(2xy+3x^2,x^2-2y)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Démontrer qu'il n'existe aucune fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telle que $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(y,2x)$ pour tout $(x,y)$.

3. (0,75 pt) Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(y\cos (xy)+2x,x\cos (xy)-3y^2)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Parmi les fonctions trouvées au 3., déterminer l'unique qui vérifie $f(0,0)=1$.

5. (0,75 pt) Déterminer tous les réels $a$ pour lesquels $(ax{y}^2,x^{2}y+y)$ est un champ de gradients sur ${\mathbb{R}}^2$, et donner alors tous ses potentiels.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^2-x^3+3x{y}^2\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

2. (1 pt) Déterminer les points critiques de $f$. (On commencera par factoriser ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ ; on trouvera quatre points.)

3. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $r⩾0$ et tout $\theta \in \mathbb{R}$,

$$f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=r^2(1-r\cos 3\theta )\mathrm{.}$$

(On pourra utiliser l'identité $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$.)

4. (0,5 pt) En déduire que $f$ admet en $(0,0)$ un minimum local strict, en précisant une boule ouverte sur laquelle la comparaison est valable, puis démontrer que ce minimum n'est pas global.

5. (0,25 pt) Vérifier que les trois autres points critiques sont tous situés à la distance ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de l'origine, et donner un couple de coordonnées polaires de chacun.

6. (0,5 pt) Démontrer que le point critique $({\displaystyle \frac{2}{3}},0)$ n'est pas un extremum local de $f$. Établir ensuite que $f$ est invariante par la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$, et en déduire, sans aucun nouveau calcul, la nature des deux derniers points critiques.

Trois villages $A$, $B$ et $C$ doivent être reliés par des câbles rectilignes à un même point de jonction $M$, à placer librement dans le plan. On cherche la position de $M$ qui rend la longueur totale

$$f(M)=MA+MB+MC$$

minimale. Le problème est nettement plus difficile qu'il n'y paraît : la fonction $f$ n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^1$ aux trois sommets, et le plan n'est pas borné, de sorte que rien ne garantit a priori l'existence d'un minimum. La partie A étudie l'outil de base, la fonction « distance à un point fixe ». La partie B cherche les points critiques. La partie C démontre, par une minoration valable en tout point du plan, que le candidat trouvé est bien le minimum global, et qu'il est le seul.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé et l'on pose

$$A(-1,0),B(1,0),C(0,\sqrt{3})\mathrm{.}$$

Partie A — La fonction « distance à un point fixe »

Dans cette partie, $P$ désigne un point fixé du plan, de coordonnées $(p,q)$, et l'on pose $d_P(M)=PM=\parallel M-P\parallel$ pour tout point $M$ du plan. Un point $M(x,y)$ est identifié au couple $(x,y)$, et $M-P$ désigne le vecteur de coordonnées $(x-p,y-q)$.

1. (0,5 pt) Démontrer que ${\mathbb{R}}^2\setminus \{P\}$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, que $d_P$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et que

$$\mathrm{\nabla }{d}_P(M)=\frac{M-P}{PM}\text{pour tout }M\mathrm{\ne }P\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) Vérifier que ce gradient est un vecteur unitaire. Décrire les lignes de niveau de $d_P$, puis contrôler sur cet exemple le théorème selon lequel le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.

3. (0,5 pt) Démontrer que $d_P$ n'admet pas de dérivée partielle par rapport à sa première variable au point $P$. Quel théorème du cours devient de ce fait inutilisable en $P$ ?

4. (0,5 pt) Soient $w$ un vecteur de ${\mathbb{R}}^2$ et $e$ un vecteur unitaire de ${\mathbb{R}}^2$. Démontrer que

$$⟨w,e⟩⩽\parallel w\parallel ,\text{avec }\acute{\text{e}}\text{galit}\acute{\text{e}}\text{ si et seulement si }w=\parallel w\parallel e\mathrm{.}$$

Partie B — Les points critiques de la longueur totale

On note $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{A,B,C\}$ et, pour $M\in U$ et $P\in \{A,B,C\}$,

$$e_P(M)=\frac{M-P}{PM},$$

c'est-à-dire le vecteur unitaire dirigé de $P$ vers $M$.

5. (0,5 pt) Justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, que $f$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et que

$$\mathrm{\nabla }f(M)=e_A(M)+e_B(M)+e_C(M)\text{pour tout }M\in U\mathrm{.}$$

6. (0,75 pt) Soit $M$ un point critique de $f$ dans $U$. Démontrer que $⟨e_A(M),e_B(M)⟩=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et qu'il en va de même des deux autres produits scalaires deux à deux. En déduire la mesure de chacun des trois angles $\widehat{AMB}$, $\widehat{BMC}$ et $\widehat{CMA}$.

7. (0,75 pt) Vérifier que le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $2$, puis démontrer que le point $G(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$ est un point critique de $f$, en explicitant les trois vecteurs $e_A(G)$, $e_B(G)$ et $e_C(G)$.

8. (0,5 pt) Calculer $f(G)$, puis $f(C)$ et $f(O)$ où $O$ désigne le milieu de $[AB]$. Ranger ces trois nombres dans l'ordre croissant et en donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

Partie C — Le minimum global

Dans toute cette partie, on note simplement $e_A=e_A(G)$, $e_B=e_B(G)$ et $e_C=e_C(G)$ les trois vecteurs calculés à la question 7.

9. (1 pt) Soit $M$ un point quelconque du plan, sommet compris. Démontrer que

$$f(M)⩾⟨M-A,e_A⟩+⟨M-B,e_B⟩+⟨M-C,e_C⟩,$$

puis, en faisant apparaître le point $G$ dans chacun des trois termes, que $f(M)⩾2\sqrt{3}$.

10. (1 pt) Démontrer que $f(M)=2\sqrt{3}$ si et seulement si $M=G$.

11. (0,5 pt) Conclure sur le problème posé, en chiffrant l'économie réalisée par rapport au réseau en étoile issu de $C$. La recherche des points critiques menée en partie B aurait-elle suffi à répondre ? Que garantit de plus l'inégalité de la question 9. ?