Exercices — Espaces préhilbertiens réels

Dans tout l'exercice, $x=(x_1,x_2)$ et $y=(y_1,y_2)$ désignent deux vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$.

1. Pour chacune des applications ci-dessous, dire si elle définit un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^2$. Si oui, vérifier les quatre axiomes ; si non, nommer précisément l'axiome en défaut et donner un contre-exemple numérique.

2. Pour chacune des applications de la question 1. qui est un produit scalaire, calculer la norme du vecteur $u=(1,2)$.

3. On munit ${\mathbb{R}}^2$ du produit scalaire ${\phi }_a$. Vérifier que les vecteurs $w_1=(2,1)$ et $w_2=(1,-1)$ sont orthogonaux pour ${\phi }_a$, et qu'ils ne le sont pas pour le produit scalaire canonique.

1. Dans chacun des quatre exemples fondamentaux ci-dessous, calculer le produit scalaire des deux vecteurs proposés, ainsi que leurs deux normes.

2. Parmi ces quatre couples, lequel est formé de deux vecteurs orthogonaux ?

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, et soient $x$ et $y$ deux vecteurs de $E$ tels que

$$\parallel x\parallel =2,\parallel y\parallel =3,⟨x,y⟩=-1.$$

1. Calculer les quantités suivantes.

2. Démontrer, pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $E$, les deux formules de polarisation

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{2}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x{\parallel }^2-\parallel y{\parallel }^2)\text{et}⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x-y{\parallel }^2),$$

puis les vérifier sur les données de l'énoncé.

3. Montrer que $\parallel x+y\parallel =\parallel x-y\parallel$ si et seulement si $x$ et $y$ sont orthogonaux. Est-ce le cas ici ?

Dans chaque question, on précisera l'espace, le produit scalaire utilisé et les deux vecteurs auxquels l'inégalité de Cauchy-Schwarz est appliquée.

1. Soit $x=(x_1,x_2,x_3)$ un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$, et $\parallel x\parallel$ sa norme euclidienne canonique.

a. Démontrer que $\mid x_1+2x_2+3x_3\mid ⩽\sqrt{14}\parallel x\parallel$.

b. Déterminer les vecteurs $x$ pour lesquels cette majoration est une égalité.

c. En déduire la valeur maximale de $x_1+2x_2+3x_3$ lorsque $\parallel x\parallel =1$, et le vecteur qui la réalise.

2. Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. Démontrer que

$$\mid {\int }_0^{1}tf(t)\mathrm{d}t\mid ⩽\frac{\sqrt{3}}{3}{({\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t)}^{1\mathrm{/}2},$$

et préciser les fonctions $f$ réalisant l'égalité.

3. Soient $n$ un entier naturel non nul et $a_1,\dots ,a_n$ des réels. Démontrer que

$$\mid \sum _{k=1}^{n}k{a}_k\mid ⩽\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)}^{1\mathrm{/}2},$$

puis retrouver la question 1. a. comme cas particulier.

1. Vérifier que les deux vecteurs proposés sont orthogonaux, pour le produit scalaire indiqué.

2. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, on pose $u_1=(2,1,2)$, $u_2=(1,2,-2)$ et $u_3=(2,-2,-1)$. Montrer que la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est orthogonale, puis calculer $\parallel u_1+u_2+u_3\parallel$ à l'aide du théorème de Pythagore. Contrôler le résultat par un calcul direct.

3. Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Montrer que si deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ vérifient $\parallel x+y{\parallel }^2=\parallel x{\parallel }^2+\parallel y{\parallel }^2$, alors ils sont orthogonaux.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et l'on pose

$$e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),e_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\mathrm{.}$$

1. Montrer que la famille $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est orthonormée.

2. En déduire que $\mathcal{B}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, sans calculer aucun déterminant.

3. Soit $x=(1,2,3)$. Calculer les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal{B}$, puis vérifier sur cet exemple l'égalité $\parallel x{\parallel }^2={\displaystyle \sum _{i=1}^3⟨x,e_i{⟩}^2}$.

4. Soit $y=(1,0,-1)$. Calculer ses coordonnées dans $\mathcal{B}$, en déduire $⟨x,y⟩$ par la formule du cours, et contrôler le résultat par un calcul direct.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique, défini par $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$, et on pose

$$u_1=(1,1,1),u_2=(1,1,0),u_3=(1,0,0)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $\mathcal{B}=(u_1,u_2,u_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, et qu'elle n'est pas orthogonale.

2. Construire le premier vecteur $e_1$ de l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de $\mathcal{B}$, puis le deuxième vecteur $e_2$.

3. Construire le troisième vecteur $e_3$.

4. Vérifier que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1,e_2,e_3)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$, et que $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_k)=\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_k)$ pour tout $k\in \{1,2,3\}$.

5. En déduire les coordonnées de $x=(1,2,3)$ dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, et contrôler le résultat en calculant $\parallel x{\parallel }^2$ de deux façons.

On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique et on pose

$$a=(1,1,1,1),b=(1,2,3,4),A=\{a,b\},F=\mathrm{Vect}(A)\mathrm{.}$$

1. Déterminer $\{a{\}}^{\perp }$ : montrer que c'est un hyperplan de ${\mathbb{R}}^4$ et en donner une base.

2. Déterminer $A^{\perp }$ : résoudre le système correspondant, en donner une base et préciser sa dimension.

3. Vérifier sur cet exemple que $\dim F+\dim F^{\perp }=4$.

4. Démontrer que $A^{\perp }=F^{\perp }$, d'abord en le vérifiant sur cet exemple, puis dans le cas général d'une partie non vide $A$ d'un espace préhilbertien réel $E$.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, soit $u$ un vecteur non nul de $E$ et soit $D=\mathrm{Vect}(u)$.

1. Démontrer que pour tout $x\in E$, le projeté orthogonal de $x$ sur $D$ est

$$p_D(x)=\frac{⟨x,u⟩}{\parallel u{\parallel }^2}u,$$

puis que $d(x,D{)}^2=\parallel x{\parallel }^2-{\displaystyle \frac{⟨x,u{⟩}^2}{\parallel u{\parallel }^2}}$.

2. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, avec $u=(1,2,2)$ et $x=(4,4,3)$ : calculer $p_D(x)$, puis $d(x,D)$, et contrôler le résultat par le théorème de Pythagore.

3. On munit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$. Calculer le projeté orthogonal de $f:t\mapsto t^2$ sur la droite $D_0$ engendrée par la fonction constante égale à $1$, et interpréter le résultat.

4. Calculer $d(f,D_0)$, puis retrouver la valeur obtenue en étudiant directement la fonction $\lambda \mapsto {\displaystyle {\int }_0^1{(t^2-\lambda )}^2\mathrm{d}t}$.

Soit $n$ un entier naturel. Pour $P$ et $Q$ dans ${\mathbb{R}}_n[X]$, on pose

$$⟨P,Q⟩=\sum _{k=0}^{n}P(k)Q(k)\mathrm{.}$$

1. Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$.

2. On suppose $n⩾1$ et on pose cette fois $\psi (P,Q)={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}P(k)Q(k)}$, où l'on n'utilise plus que $n$ points. Démontrer que $\psi$ n'est pas un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$, en exhibant un contre-exemple explicite, et préciser sur quel espace de polynômes $\psi$ en devient un.

3. On prend désormais $n=2$. Calculer les quantités suivantes.

Vérifier l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur ce couple et préciser si elle est stricte.

4. Toujours pour $n=2$, orthonormaliser le couple $(1,X)$, puis compléter la famille obtenue en une base orthonormée de ${\mathbb{R}}_2[X]$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose

$$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)\mathrm{.}$$

1. Démontrer que $⟨A,B⟩={\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}}$, puis en déduire que l'on a défini un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Pour $n=3$, on pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 3& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 2& -1& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $⟨A,B⟩$, $\parallel A\parallel$ et $\parallel B\parallel$.

3. Démontrer que pour toutes matrices $A$ et $B$, $⟨A,B⟩=⟨{}^{\mathrm{t}}A,{}^{\mathrm{t}}B⟩$.

4. En déduire qu'une matrice symétrique et une matrice antisymétrique sont toujours orthogonales.

5. Démontrer que pour toute matrice $A$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, ${(\mathrm{tr}A)}^2⩽n\parallel A{\parallel }^2$, et déterminer les matrices pour lesquelles il y a égalité.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique. On note $u=(1,1,\dots ,1)$ le vecteur dont toutes les coordonnées valent $1$.

1. Démontrer que pour tous réels $a_1,\dots ,a_n$,

$${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2⩽n\sum _{k=1}^n{a}_k^2,$$

et déterminer le cas d'égalité.

2. Démontrer que pour tous réels strictement positifs $a_1,\dots ,a_n$,

$$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}\right)⩾n^2,$$

et déterminer le cas d'égalité.

3. Démontrer l'inégalité de Minkowski : pour tous réels $a_1,\dots ,a_n$ et $b_1,\dots ,b_n$,

$$\sqrt{\sum _{k=1}^n{(a_k+b_k)}^2}⩽\sqrt{\sum _{k=1}^n{a}_k^2}+\sqrt{\sum _{k=1}^n{b}_k^2},$$

en la reconnaissant comme l'inégalité triangulaire de la norme euclidienne, puis préciser son cas d'égalité.

4. Applications. Soient $a$, $b$, $c$ trois réels strictement positifs tels que $a+b+c=1$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. On munit l'espace vectoriel $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ des fonctions continues sur $[a,b]$ à valeurs réelles de l'application

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire, puis énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité dans cet espace.

2. En déduire que, pour toute fonction $f$ continue sur $[0,1]$,

$${({\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t)}^2⩽{\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t,$$

et déterminer toutes les fonctions pour lesquelles cette inégalité est une égalité.

3. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $f_n:t\mapsto t^n$. Comparer les deux membres de l'inégalité de la question 2. dans les cas suivants.

4. Montrer que, pour toute fonction $f$ continue sur $[0,1]$,

$${({\int }_0^{1}f(t)\sqrt{t}\mathrm{d}t)}^2⩽\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Préciser le cas d'égalité, puis contrôler l'inégalité sur la fonction constante égale à $1$.

Soit $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel, de norme associée $\parallel x\parallel =\sqrt{⟨x,x⟩}$. On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tous $x,y\in E$, $\mid ⟨x,y⟩\mid ⩽\parallel x\parallel \parallel y\parallel$, avec égalité si et seulement si la famille $(x,y)$ est liée.

1. Démontrer l'inégalité triangulaire : pour tous $x,y\in E$, $\parallel x+y\parallel ⩽\parallel x\parallel +\parallel y\parallel$. Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $y=0_E$ ou $x=\lambda y$ avec $\lambda ⩾0$.

2. En déduire la seconde inégalité triangulaire : pour tous $x,y\in E$, $\mid \parallel x\parallel -\parallel y\parallel \mid ⩽\parallel x-y\parallel$.

3. On pose $d(x,y)=\parallel x-y\parallel$. Démontrer que $d$ est positive, symétrique, séparée (c'est-à-dire $d(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$) et qu'elle vérifie l'inégalité triangulaire $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$.

4. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, on pose $x=(1,2,2)$ et $y=(0,3,4)$.

5. Dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t$, on pose $f:t\mapsto t$ et $g:t\mapsto 3t$. Vérifier qu'il y a égalité dans l'inégalité triangulaire, et retrouver ce résultat à l'aide de la question 1.

Soit $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel, de norme associée $\parallel x\parallel =\sqrt{⟨x,x⟩}$.

1. Démontrer l'identité du parallélogramme : pour tous $x,y\in E$,

$$\parallel x+y{\parallel }^2+\parallel x-y{\parallel }^2=2(\parallel x{\parallel }^2+\parallel y{\parallel }^2)\mathrm{.}$$

Interpréter cette égalité sur le parallélogramme construit sur $x$ et $y$.

2. Démontrer que $\parallel x\parallel =\parallel y\parallel$ si et seulement si les vecteurs $x+y$ et $x-y$ sont orthogonaux. Interpréter.

3. On suppose ici $\parallel x\parallel =3$, $\parallel y\parallel =4$ et $\parallel x+y\parallel =6$.

4. Démontrer la formule de la médiane : pour tous $x,y,m\in E$,

$$\parallel x-m{\parallel }^2+\parallel y-m{\parallel }^2=\frac{1}{2}\parallel x-y{\parallel }^2+2{\parallel \frac{x+y}{2}-m\parallel }^2\mathrm{.}$$

En déduire la valeur minimale de $\parallel x-m{\parallel }^2+\parallel y-m{\parallel }^2$ lorsque $m$ parcourt $E$, ainsi que le vecteur $m$ qui la réalise.

On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique $⟨u,v⟩=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3+u_4{v}_4$, et l'on pose

$$u_1=(1,1,1,1),u_2=(1,1,-1,-1),u_3=(1,-1,0,2),F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1,u_2,u_3)\mathrm{.}$$

1. Montrer que la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est libre et en déduire la dimension de $F$.

2. Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt à cette famille : construire une base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)$ de $F$.

3. Contrôler le résultat obtenu.

4. Exprimer $u_3$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$, puis écrire la matrice de la famille $(u_1,u_2,u_3)$ dans cette base. Que constate-t-on sur sa forme ?

5. À quoi sert une base orthonormée de $F$ ? Énoncer la formule du projeté orthogonal sur $F$ et l'appliquer au vecteur $x=(4,0,0,0)$.

On munit l'espace vectoriel ${\mathbb{R}}_2[X]$ des polynômes réels de degré au plus $2$ de l'application

$$⟨P,Q⟩={\int }_{-1}^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Vérifier qu'il s'agit d'un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_2[X]$.

2. Calculer les intégrales suivantes.

3. Appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt à la base canonique $(1,X,X^2)$ de ${\mathbb{R}}_2[X]$ : on notera $(e_0,e_1,e_2)$ la base orthonormée obtenue.

4. Vérifier que la famille $(e_0,e_1,e_2)$ est bien orthonormée.

5. À quels endroits la parité des fonctions intégrées a-t-elle fait gagner du temps ?

On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique et l'on considère

$$F=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4;x_1+x_2+x_3+x_4=0\text{ et }{x}_1-x_2+x_3-x_4=0\}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$, en déterminer une base et préciser $\dim F$.

2. Déterminer une base de $F^{\perp }$, préciser $\dim F^{\perp }$ et vérifier que $\dim F+\dim F^{\perp }=4$.

3. Vérifier par le calcul que $F\cap F^{\perp }=\{0_{{\mathbb{R}}^4}\}$, et en déduire que ${\mathbb{R}}^4=F\oplus F^{\perp }$.

4. On pose $x=(1,2,3,4)$.

5. Soit $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel quelconque et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, sans aucune hypothèse de dimension. Démontrer que $F\cap F^{\perp }=\{0_E\}$.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et l'on pose

$$u_1=(1,-1,0),u_2=(1,0,-1),P=\mathrm{Vect}(u_1,u_2),x=(1,2,3)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $(u_1,u_2)$ est une base de $P$, déterminer un vecteur $n$ non nul orthogonal à $u_1$ et à $u_2$, puis une équation cartésienne de $P$.

2. Première méthode. Orthonormaliser $(u_1,u_2)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt en une base $(e_1,e_2)$ de $P$, puis calculer $p_P(x)$ à l'aide de la formule $p_P(x)=⟨x,e_1⟩e_1+⟨x,e_2⟩e_2$.

3. Seconde méthode. Démontrer que $P^{\perp }=\mathrm{Vect}(n)$, en déduire la formule

$$p_P(x)=x-\frac{⟨x,n⟩}{\parallel n{\parallel }^2}n,$$

et retrouver ainsi le résultat de la question 2.

4. Calculer $d(x,P)$, puis vérifier le théorème de Pythagore sur la décomposition de $x$.

5. Selon que le plan est donné par deux générateurs ou par une équation cartésienne, laquelle des deux méthodes est la plus rapide ? Laquelle des deux se généralise à un sous-espace quelconque ?

Soit $E$ un espace euclidien et soit $a$ un vecteur non nul de $E$. On pose

$$H=\{x\in E;⟨x,a⟩=0\}\mathrm{.}$$

1. Démontrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$, que $\dim H=\dim E-1$, et que $H^{\perp }=\mathrm{Vect}(a)$.

2. En déduire l'expression du projeté orthogonal d'un vecteur $x$ sur $H$, puis la formule

$$d(x,H)=\frac{\mid ⟨x,a⟩\mid }{\parallel a\parallel }\mathrm{.}$$

3. Application dans ${\mathbb{R}}^4$ canonique. On pose $H_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4;x_1+2x_2-x_3+3x_4=0\}$ et $v=(1,1,1,1)$. Calculer $p_{H_1}(v)$ et $d(v,H_1)$, puis contrôler le résultat par Pythagore.

4. Application dans ${\mathbb{R}}_2[X]$. On munit ${\mathbb{R}}_2[X]$ du produit scalaire $⟨P,Q⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$ et l'on pose $H_2=\{P\in {\mathbb{R}}_2[X];P(0)=0\}$.

a. Déterminer le polynôme $A\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tel que $⟨P,A⟩=P(0)$ pour tout $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$, puis calculer $\parallel A\parallel$.

b. En déduire $d(P,H_2)$ en fonction de $P(0)$, puis le projeté orthogonal de $P_0=1+X+X^2$ sur $H_2$ et la distance $d(P_0,H_2)$.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. On note $p=p_F$ la projection orthogonale sur $F$.

1. Justifier que $E=F\oplus F^{\perp }$, puis démontrer que $p$ est un endomorphisme de $E$ vérifiant $p\circ p=p$.

2. Déterminer $\mathrm{I}\mathrm{m}p$ et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$.

3. Démontrer que $\parallel p(x)\parallel ⩽\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$, avec égalité si et seulement si $x\in F$.

4. Démontrer que $⟨p(x),y⟩=⟨x,p(y)⟩$ pour tous $x,y\in E$. En déduire que, si $E$ est euclidien, la matrice de $p$ dans une base orthonormée est symétrique.

5. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique, dont la base canonique $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ est une base orthonormée, et l'on considère les endomorphismes $u$ et $v$ de matrices

$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),N=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Vérifier que $u$ et $v$ sont des projecteurs, déterminer leur noyau et leur image, et dire lequel des deux est une projection orthogonale.

On munit ${\mathbb{R}}^4$ de son produit scalaire canonique et l'on pose

$$e_1=\frac{1}{2}(1,1,1,1),e_2=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1),F=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $(e_1,e_2)$ est une famille orthonormée.

En déduire que c'est une base de $F$.

2. Qu'affirme le théorème de la base orthonormée incomplète dans cette situation ? Déterminer $F^{\perp }$ en résolvant un système, puis en donner une base orthonormée $(e_3,e_4)$.

3. Justifier que $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^4$. Cette base est-elle unique ?

4. On pose $x=(1,3,5,7)$ et $y=(2,0,-1,1)$. Calculer, à l'aide des formules valables en base orthonormée :

Recouper les résultats de c. et d. avec le calcul direct dans la base canonique.

On munit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$. On note $f:t\mapsto e^t$, on pose $g_0:t\mapsto 1$ et $g_1:t\mapsto t$, et l'on cherche à rendre l'intégrale

$$\mathrm{\Phi }(a,b)={\int }_0^1{(e^t-a-bt)}^2\mathrm{d}t$$

la plus petite possible. On rappelle les valeurs ${\displaystyle {\int }_0^1{e}^t\mathrm{d}t=e-1}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{1}t{e}^t\mathrm{d}t=1}$, cette dernière s'obtenant par une intégration par parties.

1. Soit $F=\mathrm{Vect}(g_0,g_1)$. Montrer que $\dim F=2$, puis expliquer pourquoi $\mathrm{\Phi }$ admet un minimum sur ${\mathbb{R}}^2$, atteint en un unique couple $(a,b)$.

2. Orthonormaliser la base $(g_0,g_1)$ de $F$.

3. Calculer le projeté orthogonal de $f$ sur $F$, et en déduire les valeurs exactes de $a$ et de $b$.

4. Donner la valeur exacte du minimum $m$, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.

5. Contrôler le résultat en écrivant que $f-p_F(f)$ est orthogonal à $g_0$ et à $g_1$.

Soit $n⩾2$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)$, et l'on note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques.

1. Rappeler pourquoi $⟨A,B⟩={\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}{b}_{ij}}$, et en déduire l'expression de $\parallel A{\parallel }^2$.

2. Démontrer que ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ sont supplémentaires et orthogonaux, autrement dit que ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}{)}^{\perp }$.

3. Rappeler les dimensions $\dim {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$ et $\dim {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$, et vérifier la cohérence avec la relation $\dim F+\dim F^{\perp }=n^2$.

4. En déduire, pour toute matrice $A$, le projeté orthogonal de $A$ sur ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, puis la distance $d(A,{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}))$.

5. Application avec $n=3$ et $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 5& 0& 4\\ 2& 6& -1\end{array}\right)$. Calculer :

Soit $n⩾1$. Pour $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose

$$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $⟨A,B⟩={\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}{b}_{ij}}$, puis que l'on définit ainsi un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On note $\parallel A\parallel =\sqrt{\mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AA\right)}$ la norme associée.

2. Démontrer l'inégalité $\mid \mathrm{tr}\left({}^{\mathrm{t}}AB\right)\mid ⩽\parallel A\parallel \parallel B\parallel$ et préciser son cas d'égalité.

3. En appliquant ce qui précède à $B=I_n$, démontrer que ${(\mathrm{tr}A)}^2⩽n\parallel A{\parallel }^2$, et déterminer toutes les matrices pour lesquelles il y a égalité.

4. Montrer que $\parallel {}^{\mathrm{t}}A\parallel =\parallel A\parallel$, puis en déduire que $\mid \mathrm{tr}(AB)\mid ⩽\parallel A\parallel \parallel B\parallel$.

5. On prend $n=3$ et

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 2\\ 2& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer les quantités suivantes, puis contrôler sur elles les inégalités des questions 2, 3 et 4.

6. Soit $A$ une matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont positifs ou nuls. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}⩽n\parallel A\parallel }$, et préciser le cas d'égalité.

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, soit $(e_1,\dots ,e_p)$ une famille orthonormée finie de $E$ et soit $F=\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_p)$. On fixe $x\in E$ et l'on pose

$$y=\sum _{k=1}^p⟨x,e_k⟩e_k\mathrm{.}$$

1. Justifier que $(e_1,\dots ,e_p)$ est une base orthonormée de $F$, puis démontrer que $y$ est le projeté orthogonal de $x$ sur $F$.

2. Démontrer l'inégalité de Bessel

$$\sum _{k=1}^p⟨x,e_k{⟩}^2⩽\parallel x{\parallel }^2,$$

et montrer qu'il y a égalité si et seulement si $x\in F$.

3. Dans ${\mathbb{R}}^4$ muni du produit scalaire canonique, on pose

$$e_1=\frac{1}{2}(1,1,1,1),e_2=\frac{1}{2}(1,-1,1,-1),x=(1,2,3,4)\mathrm{.}$$

Vérifier que $(e_1,e_2)$ est orthonormée, contrôler l'inégalité de Bessel sur cet exemple, puis calculer $p_F(x)$ et $d(x,F)$.

4. On munit $E=\mathcal{C}([-\pi ,\pi ],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)\mathrm{d}t}$, et l'on pose

$$c:t⟼\frac{\cos t}{\sqrt{\pi }},s:t⟼\frac{\sin t}{\sqrt{\pi }}\mathrm{.}$$

Vérifier que $(c,s)$ est orthonormée, puis écrire l'inégalité de Bessel pour $f:t\mapsto t$. Que devient-elle après simplification ?

Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour une partie non vide $A$ de $E$, on rappelle que

$$A^{\perp }=\{x\in E;\mathrm{\forall }a\in A,⟨x,a⟩=0\}\mathrm{.}$$

1. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $E$. Démontrer les trois propriétés suivantes.

Dans les questions 2 à 4, on suppose $E$ euclidien, et $F$, $G$ désignent des sous-espaces vectoriels de $E$.

2. Démontrer que ${\left(F^{\perp }\right)}^{\perp }=F$. Montrer sur un exemple que l'inclusion de la question 1.c peut être stricte pour une partie $A$ quelconque.

3. Démontrer que $(F+G{)}^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$.

4. En déduire, par passage à l'orthogonal, que $(F\cap G{)}^{\perp }=F^{\perp }+G^{\perp }$.

5. Dans ${\mathbb{R}}^4$ muni du produit scalaire canonique, on pose

$$F=\mathrm{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1)),G=\mathrm{Vect}((1,0,1,0))\mathrm{.}$$

Déterminer $F^{\perp }$, $G^{\perp }$ et $(F+G{)}^{\perp }$, et vérifier par le calcul les identités des questions 3 et 4.

On dit qu'une norme $N$ sur un espace vectoriel réel $E$ est euclidienne lorsqu'il existe un produit scalaire $\phi$ sur $E$ tel que $N(x)=\sqrt{\phi (x,x)}$ pour tout $x\in E$.

1. Soit $N$ une norme euclidienne, associée au produit scalaire $\phi$. Démontrer l'identité du parallélogramme :

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,N(x+y{)}^2+N(x-y{)}^2=2(N(x{)}^2+N(y{)}^2),$$

puis retrouver $\phi$ à partir de $N$ par la formule de polarisation.

2. Sur ${\mathbb{R}}^2$, on pose $N_1(x)=\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$ et $N_{\mathrm{\infty }}(x)=\max (\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid })$, où $x=(x_1,x_2)$. On admet que ce sont deux normes. Démontrer qu'aucune des deux n'est euclidienne.

3. Sur ${\mathbb{R}}^2$, on pose maintenant $N(x)=\sqrt{x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2}$. Calculer, pour $x$ et $y$ dans ${\mathbb{R}}^2$, la quantité

$$\phi (x,y)=\frac{1}{2}(N(x+y{)}^2-N(x{)}^2-N(y{)}^2)\mathrm{.}$$

4. Démontrer que l'application $\phi$ obtenue est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^2$, et conclure que $N$ est une norme euclidienne.

5. Énoncer en deux lignes un critère pratique permettant de décider si une norme donnée est euclidienne.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$, et soit $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }x\in E,\parallel f(x)\parallel =\parallel x\parallel \mathrm{.}$$

On dira dans tout l'exercice que $f$ conserve la norme.

1. À l'aide de la formule de polarisation, démontrer que $f$ conserve aussi le produit scalaire, c'est-à-dire que $⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩$ pour tous $x$, $y$ de $E$.

2. Démontrer que $f$ est injectif, puis bijectif.

3. Démontrer que l'image par $f$ d'une base orthonormée de $E$ est une base orthonormée de $E$.

4. Réciproquement, démontrer qu'un endomorphisme qui conserve le produit scalaire conserve la norme.

5. Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni du produit scalaire canonique, soit $r_{\theta }$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est

$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Vérifier par un calcul direct que $r_{\theta }$ conserve la norme.

6. Toujours dans ${\mathbb{R}}^2$, exhiber un endomorphisme $g$ qui conserve la norme de chacun des deux vecteurs de la base canonique, mais qui ne conserve pas la norme de tous les vecteurs. Quelle hypothèse manque-t-il ?

Soit $E$ un espace préhilbertien réel, soit $(u_1,\dots ,u_p)$ une famille libre de $E$ et soit $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$. On se donne $x\in E$ et l'on cherche son projeté orthogonal sur $F$ sans orthonormaliser la famille.

1. On écrit $p_F(x)={\displaystyle \sum _{j=1}^p{\lambda }_j{u}_j}$. Démontrer que les scalaires ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ sont solutions du système linéaire, dit système normal,

$$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,p\},\sum _{j=1}^p⟨u_i,u_j⟩{\lambda }_j=⟨x,u_i⟩\mathrm{.}$$

2. Démontrer que ce système admet une unique solution.

3. Démontrer que $d(x,F{)}^2=\parallel x{\parallel }^2-{\displaystyle \sum _{j=1}^p{\lambda }_j⟨x,u_j⟩}$.

4. Dans ${\mathbb{R}}^4$ muni du produit scalaire canonique, appliquer la méthode à

$$u_1=(1,1,0,0),u_2=(1,0,1,1),x=(3,1,3,1)\mathrm{.}$$

5. On munit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ du produit scalaire $⟨f,g⟩={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t}$. Déterminer le projeté orthogonal de $f:t\mapsto \sqrt{t}$ sur $F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)$, où $u_1$ est la fonction constante égale à $1$ et $u_2:t\mapsto t$, puis calculer $d(f,F)$.

6. Comparer cette méthode à celle qui consiste à orthonormaliser d'abord la famille par l'algorithme de Gram-Schmidt. Dans quel cas chacune est-elle la plus efficace ?

On identifie ${\mathbb{R}}^n$ à ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on définit sur ${\mathbb{R}}^n$ l'application

$${\phi }_A:(X,Y)⟼{}^{\mathrm{t}}XAY\mathrm{.}$$

1. Soit $A=\left(a_{ij}\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

a. Justifier que ${\phi }_A(X,Y)$ est un réel et que ${\phi }_A$ est bilinéaire.

b. Démontrer que si $A$ est symétrique, alors ${\phi }_A$ est symétrique.

c. Vérifier que ${\phi }_A(X,X)={\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}{a}_{ij}{x}_i{x}_j}$, où $x_1,\dots ,x_n$ sont les coefficients de $X$.

2. On prend $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Mettre ${\phi }_A(X,X)$ sous forme canonique, c'est-à-dire l'écrire comme une combinaison à coefficients strictement positifs de carrés de formes linéaires indépendantes, et en déduire que ${\phi }_A$ est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. Les matrices $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ sont symétriques. Démontrer que ni ${\phi }_B$ ni ${\phi }_C$ n'est un produit scalaire, et préciser pour chacune quelle propriété est en défaut.

4. On note désormais $⟨X,Y⟩={}^{\mathrm{t}}XAY$ avec $A$ la matrice de la question 2, et $(e_1,e_2)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^2$. Calculer $⟨e_i,e_j⟩$ pour tous $i,j$, puis orthonormaliser $(e_1,e_2)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt. Vérifier le résultat obtenu.

5. Soit $D=\mathrm{Vect}\left(e_1\right)$. Calculer le projeté orthogonal de $e_2$ sur $D$ et la distance $d(e_2,D)$ pour le produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. Comparer avec les valeurs obtenues pour le produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^2$ et commenter.

6. On pose maintenant $A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$ et $⟨X,Y{⟩}^{\mathrm{\prime }}={}^{\mathrm{t}}X{A}^{\mathrm{\prime }}Y$ sur ${\mathbb{R}}^3$.

a. Mettre ${\phi }_{A^{\mathrm{\prime }}}(X,X)$ sous forme canonique et en déduire que $⟨\cdot ,\cdot {⟩}^{\mathrm{\prime }}$ est un produit scalaire.

b. Calculer la distance de $e_2$ au sous-espace $F=\mathrm{Vect}(e_1,e_3)$ pour ce produit scalaire.