Devoir surveillé — Espaces préhilbertiens réels

Les cinq exercices du sujet sont indépendants les uns des autres et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La clarté de la rédaction et la justification des affirmations comptent dans la notation, au même titre que l'exactitude des calculs. Les calculatrices ne sont pas autorisées, et tous les nombres demandés se calculent à la main.

Dans tout cet exercice, $E$ désigne un espace préhilbertien réel, de produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de norme associée $\parallel \cdot \parallel$.

1. (0,5 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs de $E$ tels que $⟨x,z⟩=⟨y,z⟩$ pour tout $z\in E$. Démontrer que $x=y$. Si $E$ est euclidien de dimension $n$ et si $(e_1,\dots ,e_n)$ en est une base orthonormée, suffit-il de vérifier ces égalités pour $z\in \{e_1,\dots ,e_n\}$ ?

2. (0,5 pt) On suppose ici $E$ euclidien de dimension $4$. Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$, de dimensions respectives $2$ et $3$, peuvent-ils être orthogonaux ? Justifier.

3. (0,5 pt) On suppose ici $E$ euclidien de dimension $3$, de base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)$. Existe-t-il un vecteur unitaire $x$ de $E$ tel que

$$⟨x,e_1⟩=⟨x,e_2⟩=⟨x,e_3⟩=\frac{1}{2}?$$

Reprendre la question en remplaçant ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ par ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$, et préciser alors le nombre de solutions.

4. (0,5 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls de $E$. Démontrer l'égalité

$$\parallel \frac{x}{\parallel x{\parallel }^2}-\frac{y}{\parallel y{\parallel }^2}\parallel =\frac{\parallel x-y\parallel }{\parallel x\parallel \parallel y\parallel }\mathrm{.}$$

Dans les questions 1. et 2., $E$ désigne un espace euclidien de dimension $n⩾1$, muni d'une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$. On rappelle qu'une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ dans $\mathbb{R}$.

1. (0,75 pt) Soit $\phi$ une forme linéaire sur $E$. Démontrer qu'il existe un unique vecteur $a\in E$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in E,\phi (x)=⟨a,x⟩,$$

et établir que ce vecteur est $a={\displaystyle \sum _{k=1}^n\phi \left(e_k\right)e_k}$.

2. (0,5 pt) On suppose $\phi \mathrm{\ne }0$. Démontrer que $\ker \phi =\{a{\}}^{\perp }$, puis que $\ker \phi$ est un hyperplan de $E$.

Dans les questions 3. et 4., on munit $E={\mathbb{R}}_2[X]$ de l'application

$$⟨P,Q⟩=P(-1)Q(-1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1),$$

dont on admet qu'elle est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_2[X]$. On pose

$$L_{-1}=\frac{X(X-1)}{2},L_0=1-X^2,L_1=\frac{X(X+1)}{2}\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) Calculer les valeurs de $L_{-1}$, $L_0$ et $L_1$ en $-1$, $0$ et $1$, puis démontrer que $\mathcal{L}=(L_{-1},L_0,L_1)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}_2[X]$ pour ce produit scalaire.

4. (1 pt) On considère l'application $\phi :P⟼{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}P(t)\mathrm{d}t}$.

a. Justifier que $\phi$ est une forme linéaire sur ${\mathbb{R}}_2[X]$, puis déterminer, à l'aide de la question 1., l'unique polynôme $A\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tel que $\phi (P)=⟨A,P⟩$ pour tout $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$.

b. En déduire que

$$\mathrm{\forall }P\in {\mathbb{R}}_2[X],{\int }_{-1}^{1}P(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{3}(P(-1)+4P(0)+P(1)),$$

et vérifier cette formule sur $P=X^2$. Reste-t-elle valable pour $X^3$ ? Pour $X^4$ ?

On note $E={\mathcal{C}}^1([0,1],\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$ à valeurs réelles, et l'on pose, pour $f$ et $g$ dans $E$,

$$\psi (f,g)=f(0)g(0)+{\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(t)g^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que $\psi$ est un produit scalaire sur $E$. On soignera particulièrement le caractère défini. Dans toute la suite, on note $⟨f,g⟩=\psi (f,g)$ et $\parallel f\parallel =\sqrt{\psi (f,f)}$.

2. (0,5 pt) On note $u$ la fonction constante égale à $1$ et $v:t\mapsto 1+t$. Démontrer que, pour toute $f\in E$,

$$⟨f,u⟩=f(0)\text{et}⟨f,v⟩=f(1)\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) En déduire que

$$\mathrm{\forall }f\in E,f(1{)}^2⩽2(f(0{)}^2+{\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(t{)}^2\mathrm{d}t),$$

puis déterminer toutes les fonctions $f$ pour lesquelles cette inégalité est une égalité.

4. (0,75 pt) On note $P=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u,v)$ et

$$F=\{f\in E;f(0)=f(1)=0\}\mathrm{.}$$

Démontrer que $P$ est le sous-espace des fonctions affines sur $[0,1]$, qu'il est de dimension $2$, et que $F=P^{\perp }$.

5. (0,75 pt) Soit $g:t\mapsto t^3$. Déduire de la question 4., sans aucun calcul d'orthonormalisation, le projeté orthogonal de $g$ sur $P$, puis la distance $d(g,P)$. Interpréter le projeté obtenu.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on note $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ le produit scalaire canonique, $\parallel \cdot \parallel$ la norme associée, et l'on pose

$$a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(0,0,1),\mathcal{B}=(a,b,c)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis déterminer les coordonnées d'un vecteur $x=(x_1,x_2,x_3)$ dans cette base.

2. (0,75 pt) Démontrer qu'il existe un unique produit scalaire sur ${\mathbb{R}}^3$, noté $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\star }$, pour lequel $\mathcal{B}$ est une base orthonormée, et établir que, pour $x=(x_1,x_2,x_3)$ et $y=(y_1,y_2,y_3)$,

$$⟨x,y{⟩}_{\star }=x_1{y}_1+x_2{y}_2+(x_3-x_1-x_2)(y_3-y_1-y_2)\mathrm{.}$$

On note $\parallel \cdot {\parallel }_{\star }$ la norme associée.

3. (0,5 pt) Calculer $\parallel w{\parallel }_{\star }$ et $\parallel w\parallel$ pour $w=(1,2,3)$, puis déterminer l'ensemble de tous les vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$ en lesquels les deux normes coïncident. Cet ensemble est-il un sous-espace vectoriel ?

4. (0,75 pt) Soit $D=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(c)$. Déterminer l'orthogonal de $D$ pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\star }$, puis pour le produit scalaire canonique. Que constate-t-on ?

5. (1 pt) Soit $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a,b)$ et soit $x=(1,2,5)$. Calculer le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ et la distance de $x$ à $F$, d'abord pour $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\star }$, puis pour le produit scalaire canonique. Commenter.

Dans tout le problème, $E$ désigne un espace euclidien de dimension $n⩾1$, muni du produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme associée $\parallel \cdot \parallel$. On dit que deux vecteurs non nuls $u$ et $v$ de $E$ forment un angle obtus lorsque $⟨u,v⟩<0$ ; la convention retenue ici inclut le cas de deux vecteurs de sens opposés.

La question à laquelle ce problème répond est la suivante : dans un espace de dimension $n$, combien de vecteurs peut-on placer de sorte que deux quelconques d'entre eux forment un angle obtus ? La réponse, établie en partie C, est $n+1$, et pas un de plus. Les parties A et B préparent ce résultat en étudiant d'abord le cas particulier où tous les produits scalaires sont égaux.

Partie A. Une famille de vecteurs unitaires à produits scalaires tous égaux.

Dans toute cette partie, $p$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$ et $(u_1,\dots ,u_p)$ une famille de vecteurs de $E$ unitaires et deux à deux distincts, pour laquelle il existe un réel $c$ tel que

$$\mathrm{\forall }(i,j)\in \{1,\dots ,p{\}}^2,i\mathrm{\ne }j⟹⟨u_i,u_j⟩=c\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Calculer ${\parallel {\displaystyle \sum _{i=1}^p{u}_i}\parallel }^2$ en fonction de $p$ et de $c$, puis en déduire que

$$c⩾-\frac{1}{p-1}\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) Démontrer que $c⩽1$, puis que l'hypothèse « les $u_i$ sont deux à deux distincts » entraîne $c<1$.

3. (1 pt) On suppose dans cette question que $c>-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}$. Démontrer que la famille $(u_1,\dots ,u_p)$ est libre. On pourra partir d'une relation ${\displaystyle \sum _{i=1}^p{\lambda }_i{u}_i=0_E}$, en prendre le produit scalaire avec $u_j$, puis sommer les $p$ relations obtenues. En déduire que $p⩽n$.

4. (0,75 pt) On suppose dans cette question que $c=-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}$. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{i=1}^p{u}_i=0_E}$, puis que la sous-famille $(u_1,\dots ,u_{p-1})$ est libre. En déduire que $p⩽n+1$.

5. (0,25 pt) Conclure : une telle famille vérifie toujours $p⩽n+1$, et si $p=n+1$ alors nécessairement $c=-{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

Partie B. Cette borne est atteinte.

On munit ${\mathbb{R}}^{n+1}$ de son produit scalaire canonique, on note $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{n+1})$ sa base canonique et l'on pose

$$U=(1,1,\dots ,1)=\sum _{i=1}^{n+1}{\epsilon }_i,H=U^{\perp },w_i={\epsilon }_i-\frac{1}{n+1}U\text{pour }1⩽i⩽n+1.$$

6. (0,75 pt) Justifier que $H$ est un espace euclidien de dimension $n$. Montrer que $w_i$ est le projeté orthogonal de ${\epsilon }_i$ sur $H$, puis calculer $\parallel w_i{\parallel }^2$ et $⟨w_i,w_j⟩$ pour $i\mathrm{\ne }j$.

7. (0,5 pt) En déduire l'existence, dans un espace euclidien de dimension $n$, d'une famille de $n+1$ vecteurs unitaires deux à deux distincts dont tous les produits scalaires deux à deux valent $-{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Que peut-on dire de la borne obtenue en partie A ?

8. (0,75 pt) On prend $n=3$. Vérifier que les quatre vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$

$$t_1=(1,1,1),t_2=(1,-1,-1),t_3=(-1,1,-1),t_4=(-1,-1,1)$$

ont même norme, que leurs produits scalaires deux à deux sont tous égaux, et que la famille normalisée correspondante réalise le cas $p=n+1$ de la partie A. Calculer enfin $t_1+t_2+t_3+t_4$ et interpréter.

Partie C. Le cas général : les familles obtusangles.

On appelle famille obtusangle de $E$ toute famille $(u_1,\dots ,u_p)$ de vecteurs non nuls de $E$ telle que

$$\mathrm{\forall }(i,j)\in \{1,\dots ,p{\}}^2,i\mathrm{\ne }j⟹⟨u_i,u_j⟩<0.$$

Les produits scalaires ne sont plus supposés égaux entre eux, ni les vecteurs unitaires.

9. (0,5 pt) Traiter le cas $n=1$ : démontrer qu'une famille obtusangle d'une droite vectorielle euclidienne compte au plus $2$ vecteurs.

10. On suppose ici $n⩾2$, et l'on se donne une famille obtusangle $(u_1,\dots ,u_p)$ de $E$ avec $p⩾3$. On pose $K=\{u_p{\}}^{\perp }$ et, pour $1⩽i⩽p-1$,

$$v_i=p_K\left(u_i\right)\mathrm{.}$$

a. (0,5 pt) Écrire $v_i$ en fonction de $u_i$, de $u_p$ et de $⟨u_i,u_p⟩$, et justifier que $v_i\mathrm{\ne }{0}_E$.

b. (0,75 pt) Démontrer que, pour $i\mathrm{\ne }j$ dans $\{1,\dots ,p-1\}$,

$$⟨v_i,v_j⟩=⟨u_i,u_j⟩-\frac{⟨u_i,u_p⟩⟨u_j,u_p⟩}{{\parallel u_p\parallel }^2},$$

puis que $(v_1,\dots ,v_{p-1})$ est une famille obtusangle de $K$.

11. (0,75 pt) Démontrer par récurrence sur $n⩾1$ que toute famille obtusangle d'un espace euclidien de dimension $n$ compte au plus $n+1$ vecteurs.

12. (0,5 pt) Démontrer que cette borne est optimale, en exhibant pour chaque $n$ une famille obtusangle de $n+1$ vecteurs. Énoncer enfin, en une phrase, ce que le résultat signifie dans le plan puis dans l'espace.