Exercices — Variables aléatoires discrètes

Un détecteur de particules fonctionne en continu. Les secondes d'observation sont numérotées par les entiers naturels et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $A_n$ l'événement « le détecteur enregistre au moins une particule pendant la seconde numéro $n$ ». Tous les $A_n$ appartiennent à la tribu $\mathcal{A}$ d'un même espace probabilisable $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A})$.

1. Écrire à l'aide des $A_n$, d'unions et d'intersections, chacun des trois événements suivants, puis le caractériser à l'aide d'un quantificateur.

2. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$B_n=\bigcup _{k⩾n}{A}_k\text{et}{C}_n=\bigcap _{k⩾n}{A}_k$$

Décrire en français ces deux événements et justifier qu'ils appartiennent bien à $\mathcal{A}$.

3. Montrer que la suite $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante et que la suite $(C_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante, au sens de l'inclusion.

4. Écrire à l'aide des $B_n$, puis à l'aide des $C_n$, les deux événements suivants.

a. $I$ : « une infinité de $A_n$ se réalisent ».

b. $R$ : « les $A_n$ se réalisent tous à partir d'un certain rang ».

5. À l'aide des lois de De Morgan, exprimer $\bar{I}$ en fonction des seuls $\overline{A_k}$, et justifier que le contraire de « une infinité de $A_n$ se réalisent » est bien « tous les $A_n$, sauf un nombre fini d'entre eux, ne se réalisent pas ».

6. Montrer que $R\subset I$, et interpréter cette inclusion pour le détecteur.

Dans tout l'exercice, $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ désigne un espace probabilisé.

1. Soit $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante d'événements telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$P(A_n)=1-\frac{1}{n+1}$$

Déterminer $P\left({\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right)$ et conclure sur la nature de cet événement.

2. Soit $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite décroissante d'événements telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$P(B_n)=\frac{1}{3}+\frac{1}{n+2}$$

Vérifier que cette donnée est compatible avec la décroissance de la suite, puis déterminer $P\left({\bigcap }_{n\in \mathbb{N}}{B}_n\right)$.

3. Soit $(N_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ une suite d'événements négligeables. Montrer que ${\displaystyle \bigcup _{k\in \mathbb{N}}{N}_k}$ est négligeable.

4. Soit $(S_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ une suite d'événements presque sûrs. Montrer que ${\displaystyle \bigcap _{k\in \mathbb{N}}{S}_k}$ est presque sûr.

5. Un détecteur est observé seconde après seconde. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $E_n$ l'événement « au moins une particule est détectée au cours des $n$ premières secondes », et on admet que $P(E_n)=1-{\mathrm{0,8}}^n$.

a. Justifier que la suite $(E_n{)}_{n⩾1}$ est croissante, et calculer $P(E_{10})$, valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

b. Déterminer $P\left({\bigcup }_{n⩾1}{E}_n\right)$ et interpréter le résultat.

c. En déduire la probabilité de l'événement « aucune particule n'est jamais détectée ».

Dans chacun des trois cas suivants, on cherche la valeur de la constante réelle pour laquelle la formule proposée définit bien la loi d'une variable aléatoire discrète.

1. Rappeler à quelles conditions une famille de réels $(p_k{)}_{k\in K}$, indexée par un ensemble $K$ au plus dénombrable, est la distribution d'une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans $K$.

2. Déterminer $a$. On pourra utiliser la décomposition ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$.

3. Déterminer $b$, puis reconnaître la loi de $Y$.

4. Déterminer $c$.

5. Calculer $P(X⩾n)$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

6. Calculer $P(Y⩾1)$, valeur exacte puis valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

Une machine produit des pièces les unes après les autres. Chaque pièce est conforme avec la probabilité $p=\mathrm{0,9}$, et les états des différentes pièces sont indépendants les uns des autres. On note $X$ le rang de la première pièce défectueuse produite.

1. Justifier que $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre, donner $P(X=k)$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et vérifier que la somme de ces probabilités vaut $1$.

2. Montrer que, pour tout $k\in \mathbb{N}$, $P(X>k)={\mathrm{0,9}}^k$.

3. En déduire $P(X⩽10)$, valeur exacte puis valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X⩽n)⩾\mathrm{0,95}$.

5. Calculer $P_{(X>10)}(X>20)$.

6. Montrer plus généralement que, pour tous $n\in \mathbb{N}$ et $k\in \mathbb{N}$, $P_{(X>n)}(X>n+k)=P(X>k)$, et commenter.

Un compteur placé devant une source radioactive enregistre les désintégrations. On note $X$ le nombre de désintégrations enregistrées pendant une seconde, et on modélise ce comptage d'événements rares par une loi de Poisson :

$$X\sim \mathcal{P}(3)$$

1. Calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X⩾2)$, valeurs exactes puis valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près.

2. Montrer que, pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{3}{k+1}$$

3. En déduire les variations de la suite $(P(X=k){)}_{k\in \mathbb{N}}$, puis déterminer la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $P(X=k)$ est maximale.

4. Calculer $P(X\text{ pair})$, c'est-à-dire la probabilité que le nombre de désintégrations enregistrées soit pair. On donnera le résultat sous forme exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

5. On note $Y$ le nombre de désintégrations enregistrées pendant deux secondes consécutives. La source étant très peu affectée par une durée si courte, le comptage sur deux secondes se modélise de la même façon, avec un paramètre deux fois plus grand : on admet que $Y\sim \mathcal{P}(6)$.

a. Calculer $P(Y=0)$ et $P(Y⩾1)$, valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près.

b. Vérifier que $P(Y=0)$ est égal au produit des probabilités de n'enregistrer aucune désintégration pendant chacune des deux secondes, prises séparément.

6. Déterminer la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $P(Y=k)$ est maximale.

Le couple $(X,Y)$ prend ses valeurs dans $\{0,1,2\}\times \{0,1\}$. Sa loi conjointe est donnée par le tableau à double entrée suivant, où $a$ désigne un réel : la case située à l'intersection de la ligne $X=i$ et de la colonne $Y=j$ contient $P(X=i,Y=j)$.

1. Déterminer $a$.

2. Déterminer la loi marginale de $X$, puis celle de $Y$.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

4. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant l'événement $(Y=1)$.

5. Calculer $P(X=Y)$.

6. Déterminer la loi de $X+Y$.

Soient $p\in ]0,1[$ et $\lambda >0$. On pose $q=1-p$, et on considère deux variables aléatoires

$$X\sim \mathcal{G}(p)\text{et}Y\sim \mathcal{P}(\lambda )$$

L'objectif de l'exercice est de retrouver, par le calcul, l'espérance et la variance de ces deux lois.

1. Montrer que, pour tout $x\in ]-1,1[$,

$$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}k{x}^{k-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}\text{et}\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}k(k-1)x^{k-2}=\frac{2}{(1-x{)}^3}$$

2. Montrer que $X$ admet une espérance finie et que $E(X)={\displaystyle \frac{1}{p}}$.

3. Calculer $E(X(X-1))$, en déduire $E\left(X^2\right)$, puis montrer que $V(X)={\displaystyle \frac{1-p}{p^2}}$.

4. Montrer que $Y$ admet une espérance finie et que $E(Y)=\lambda$.

5. Calculer $E(Y(Y-1))$, puis en déduire $V(Y)$.

6. Application numérique : on prend $p={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $\lambda =3$. Donner $E(X)$, $V(X)$, $\sigma (X)$, $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$, les écarts types étant donnés à ${10}^{-2}$ près, puis comparer la dispersion des deux variables.

Pour une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, on rappelle que la fonction génératrice de $X$ est la somme de la série entière

$$G_X(t)=E\left(t^X\right)=\sum _{n⩾0}P(X=n)t^n$$

Dans tout l'exercice, $p\in ]0,1[$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\lambda >0$, et on pose $q=1-p$.

1. Déterminer $G_X$ lorsque $X\sim \mathcal{B}(p)$, ainsi que le rayon de convergence de la série entière associée.

2. Déterminer $G_X$ lorsque $X\sim \mathcal{B}(n,p)$, en utilisant la formule du binôme, ainsi que son rayon de convergence.

3. Déterminer $G_X$ lorsque $X\sim \mathcal{G}(p)$, en précisant l'ensemble exact des réels $t$ pour lesquels la série converge, ainsi que le rayon de convergence. Vérifier que $[-1,1]$ est bien contenu dans le disque ouvert de convergence.

4. Déterminer $G_X$ lorsque $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$, ainsi que son rayon de convergence.

5. Retrouver $E(X)$ pour la loi géométrique, puis pour la loi de Poisson, en utilisant la relation $E(X)=G_X^{\mathrm{\prime }}(1)$.

Partie A. Un compteur enregistre les désintégrations d'une source radioactive pendant une durée fixée. On modélise le nombre $X$ de désintégrations enregistrées par une loi de Poisson de paramètre $4$, c'est-à-dire $X\sim \mathcal{P}(4)$. On cherche à évaluer $P(X⩾10)$.

1. Rappeler $E(X)$ et $V(X)$, puis majorer $P(X⩾10)$ à l'aide de l'inégalité de Markov.

2. Justifier l'inclusion $(X⩾10)\subset (\mathrm{\mid }X-4\mathrm{\mid }⩾6)$, puis majorer $P(X⩾10)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

3. Écrire la valeur exacte de $P(X⩾10)$ sous forme d'une somme finie, en donner une valeur approchée, et comparer aux deux majorations précédentes.

Partie B. Une machine produit des pièces les unes après les autres ; chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $\frac{1}{5}$, indépendamment des autres. On note $Y$ le rang de la première pièce défectueuse, de sorte que $Y\sim \mathcal{G}\left(\frac{1}{5}\right)$.

4. Majorer $P(Y⩾20)$ à l'aide de l'inégalité de Markov.

5. Calculer la valeur exacte de $P(Y⩾20)$ et la comparer à la majoration précédente.

6. Que peut-on retenir de ces quatre estimations ?

Partie A. Soit $c$ un réel. On considère un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires à valeurs dans $({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$ dont la loi conjointe est donnée par

$$P(X=i,Y=j)=\frac{c}{2^{i+j}},(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$$

1. Justifier que la famille ${\left(2^{-(i+j)}\right)}_{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}$ est sommable, calculer sa somme, et en déduire la valeur de $c$.

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$, et les reconnaître.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Partie B. Soit $d$ un réel. On considère un second couple $(U,V)$ à valeurs dans $({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$, dont la loi conjointe est donnée par

$$P(U=i,V=j)=\frac{d}{j{2}^j}\text{ si }1⩽i⩽j,P(U=i,V=j)=0\text{ sinon}$$

4. Déterminer $d$ pour que ces nombres définissent bien une loi de probabilité.

5. Déterminer la loi marginale de $V$ et la reconnaître.

6. Pour $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, déterminer la loi conditionnelle de $U$ sachant l'événement $(V=j)$. Décrire en une phrase l'expérience aléatoire ainsi modélisée.

7. Calculer $P(U=V)$.

Partie C. Pour $(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$, on pose

$$x_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }j=i\\ -1& \text{si }j=i+1\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$

8. Calculer les deux sommes itérées ${\displaystyle \sum _{i⩾1}\left(\sum _{j⩾1}{x}_{i,j}\right)}$ et ${\displaystyle \sum _{j⩾1}\left(\sum _{i⩾1}{x}_{i,j}\right)}$. Que faut-il en conclure ?

Soit $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$. Un banc d'essai répète une même mesure jusqu'à obtenir un premier résultat exploitable, chaque mesure ayant la probabilité $p$ d'être exploitable indépendamment des autres : le rang $N$ de la première mesure exploitable suit donc la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$.

Une fois l'essai terminé, un contrôleur choisit au hasard, de façon uniforme, l'une des $N$ mesures effectuées, et on note $Y$ le rang de la mesure choisie. Autrement dit, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, conditionnellement à l'événement $(N=n)$, la variable $Y$ suit la loi uniforme sur $\{1,\dots ,n\}$.

1. Justifier que la famille d'événements ${((N=n))}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est un système complet d'événements, utilisable dans la formule des probabilités totales.

2. Montrer que, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ${\displaystyle P(Y=k)=\frac{p}{q}\sum _{n⩾k}\frac{q^n}{n}}$, et justifier la convergence de cette série.

3. En déduire la valeur exacte de $P(Y=1)$, puis une expression de $P(Y=k)$ pour $k⩾2$ faisant intervenir un logarithme et une somme finie.

4. Vérifier, par une interversion de sommations soigneusement justifiée, que ${\displaystyle \sum _{k⩾1}P(Y=k)=1}$.

5. Calculer $P(Y=N)$. Comparer à $P(Y=1)$ et expliquer.

6. Traiter le cas numérique $p=\frac{1}{2}$ : donner les valeurs de $P(Y=1)$, $P(Y=2)$ et $P(Y=N)$.

Un capteur surveille en permanence la présence d'un gaz toxique dans un local. On note $G$ l'événement « le gaz est présent » et $A$ l'événement « le capteur déclenche l'alarme ». Les caractéristiques du capteur, mesurées en laboratoire, sont

$$P(G)=\mathrm{0,02},P_G(A)=\mathrm{0,98},P_{\bar{G}}(A)=\mathrm{0,05}$$

Autrement dit, le capteur détecte le gaz dans $98\mathrm{\%}$ des cas où il est présent, mais déclenche une fausse alarme dans $5\mathrm{\%}$ des cas où il ne l'est pas.

1. Calculer $P(A)$.

2. Calculer $P_A(G)$, c'est-à-dire la probabilité que le gaz soit réellement présent sachant que l'alarme a sonné. Interpréter le résultat.

3. On installe maintenant $n$ capteurs identiques dans le local, et l'alarme générale, notée $A_n$, se déclenche dès qu'au moins un capteur alarme. On admet que, conditionnellement à la présence du gaz comme conditionnellement à son absence, les réponses des $n$ capteurs sont indépendantes. Calculer $P_G(A_n)$ et $P_{\bar{G}}(A_n)$.

4. En déduire une expression de $P_{A_n}(G)$, et calculer sa valeur pour $n=1$, $n=2$, $n=5$ et $n=10$.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{P}_{A_n}(G)}$ et commenter le résultat obtenu.

Partie A. On lance deux fois une pièce équilibrée, les deux lancers étant indépendants. On considère les trois événements

$$A=\text{« le premier lancer donne pile »},B=\text{« le second lancer donne pile »}$$ $$C=\text{« les deux lancers donnent le m}\hat{\text{e}}\text{me r}\acute{\text{e}}\text{sultat »}$$

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ et la probabilité utilisée, puis calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.

2. Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants.

3. Montrer que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas mutuellement indépendants. Donner une explication intuitive.

Partie B. Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ quelconque.

4. Montrer que $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.

5. En déduire que $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.

Partie C. On tire au hasard un entier dans $\{1,2,\dots ,8\}$, tous les résultats étant équiprobables. On pose

$$D=\{1,2,3,4\},E=\{1,2,3,5\},F=\{1,6,7,8\}$$

6. Vérifier que $P(D\cap E\cap F)=P(D)P(E)P(F)$, puis montrer que $D$, $E$ et $F$ ne sont deux à deux indépendants pour aucun des trois couples. Que faut-il en conclure sur la définition de l'indépendance mutuelle ?

On effectue une suite illimitée de lancers indépendants d'une pièce donnant pile avec la probabilité $p\in ]0,1[$. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $Y_n$ la variable de Bernoulli valant $1$ si le $n$-ième lancer donne pile et $0$ sinon : $(Y_n{)}_{n⩾1}$ est une suite de variables indépendantes et de même loi $\mathcal{B}(p)$. On pose $q=1-p$ et on note $X$ le rang du premier pile obtenu.

1. Écrire l'événement $(X=k)$, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, à l'aide des variables $Y_n$, et en déduire $P(X=k)$.

2. Montrer que $P(X>k)=q^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis que l'événement « aucun pile n'est jamais obtenu » est négligeable. Conclure que $X\sim \mathcal{G}(p)$.

3. Calculer $P(X\text{ est pair})$.

4. Calculer $P(X\text{ est impair})$ de deux façons, et vérifier la cohérence des deux résultats.

5. Calculer la probabilité que $X$ soit un multiple de $3$.

6. Donner les valeurs numériques des trois probabilités précédentes pour $p=\frac{1}{2}$.

7. Montrer que $X$ et $Y_1$ ne sont pas indépendantes.

On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ est sans mémoire lorsqu'elle vérifie les deux propriétés suivantes :

• $P(X>n)>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ ;
• $P_{(X>n)}(X>n+m)=P(X>m)$ pour tous $n,m\in \mathbb{N}$.

La seconde égalité se lit : « sachant que $X$ dépasse déjà $n$, la probabilité de tenir $m$ de plus est la même que pour une variable neuve ».

1. Soit $X\sim \mathcal{G}(p)$, avec $p\in ]0,1[$, et soit $q=1-p$. Établir que $P(X>n)=q^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis montrer que $X$ est sans mémoire.

Dans les questions 2 à 5, $X$ désigne une variable aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ supposée sans mémoire, et l'on pose $u_n=P(X>n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Montrer que $u_0=1$, puis que $u_{n+m}=u_n{u}_m$ pour tous $n,m\in \mathbb{N}$.

3. En déduire que $u_n=u_1^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Montrer que $u_n\to 0$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$, et en déduire que $u_1\in ]0,1[$.

5. Conclure : $X$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

6. La durée de vie $T$ d'un composant électronique, comptée en nombre entier d'heures de fonctionnement, suit la loi $\mathcal{G}(p)$ avec $p=\mathrm{0,01}$. Le composant fonctionne encore après $500$ heures d'utilisation. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore $100$ heures de plus ? Interpréter physiquement.

Deux détecteurs sont interrogés en parallèle, cycle après cycle. On note $X$ le rang du premier cycle où le premier détecteur réagit, et $Y$ le rang du premier cycle où le second réagit. On suppose que $X\sim \mathcal{G}(p)$ et $Y\sim \mathcal{G}(p^{\mathrm{\prime }})$, avec $p,p^{\mathrm{\prime }}\in ]0,1[$, et que $X$ et $Y$ sont indépendantes. On pose $q=1-p$ et $q^{\mathrm{\prime }}=1-p^{\mathrm{\prime }}$.

On rappelle que $P(X>k)=q^k$ et $P(Y>k)=q^{\mathrm{\prime }k}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $P(\min (X,Y)>k)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, et en déduire la loi de $\min (X,Y)$. Interpréter.

2. Calculer $P(\max (X,Y)⩽k)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis $P(\max (X,Y)=k)$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

3. Montrer que $\max (X,Y)$ ne suit jamais une loi géométrique. On pourra comparer $P(\max (X,Y)>2)$ et $P(\max (X,Y)>1{)}^2$.

4. Calculer $P(X=Y)$.

5. Calculer $P(X<Y)$ et $P(X>Y)$, puis vérifier que la somme des trois probabilités obtenues vaut $1$.

6. Application au cas $p=p^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : donner la loi et l'espérance de $\min (X,Y)$, ainsi que les valeurs des trois probabilités de la question 5.

Soient $\lambda >0$ et $\mu >0$, et soient $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $Y\sim \mathcal{P}(\mu )$ deux variables aléatoires indépendantes. On pose $S=X+Y$.

1. Première méthode. Soit $n\in \mathbb{N}$. Décomposer l'événement $(S=n)$ selon les valeurs prises par $X$, calculer $P(S=n)$ et reconnaître la loi de $S$.

2. Rappeler la définition de la fonction génératrice $G_X$ et montrer que $G_X(t)=e^{\lambda (t-1)}$ pour tout réel $t$.

3. Deuxième méthode. Retrouver la loi de $S$ à l'aide des fonctions génératrices, en précisant le résultat de cours qui permet de conclure.

4. Généraliser : si $X_1,\dots ,X_r$ sont indépendantes avec $X_i\sim \mathcal{P}({\lambda }_i)$, quelle est la loi de $X_1+\cdots +X_r$ ? Que devient le résultat pour $r$ variables i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda )$ ?

5. Deux compteurs indépendants sont placés devant deux sources radioactives. Pendant une minute, le premier enregistre $X\sim \mathcal{P}(2)$ désintégrations et le second $Y\sim \mathcal{P}(3)$. Calculer la probabilité que le total enregistré par les deux compteurs soit exactement $4$, valeur exacte puis valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

6. Toujours pour ces deux compteurs, calculer $E(S)$, $V(S)$ et l'écart type relatif ${\displaystyle \frac{\sigma (S)}{E(S)}}$. Commenter.

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, à valeurs dans $\mathbb{N}$. L'objet des deux premières questions est de démontrer la formule des queues

$$E(X)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}P(X⩾n)$$

l'égalité ayant lieu dans $[0,+\mathrm{\infty }]$ : les deux membres sont finis en même temps, et alors ils coïncident.

1. Justifier que $P(X⩾n)={\displaystyle \sum _{k=n}^{+\mathrm{\infty }}P(X=k)}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

2. On considère la famille de réels positifs $(x_{n,k}{)}_{(n,k)\in I}$ définie par $x_{n,k}=P(X=k)$, où

$$I=\{(n,k)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast };n⩽k\}$$

En sommant cette famille par paquets de deux façons différentes, démontrer la formule des queues.

3. Première application. Retrouver $E(X)={\displaystyle \frac{1}{p}}$ pour $X\sim \mathcal{G}(p)$, avec $p\in ]0,1[$.

4. Deuxième application. Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes de même loi $\mathcal{G}(p)$, et $M=\max (X,Y)$. Calculer $P(M⩾n)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis $E(M)$. Contrôler le résultat pour $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

5. Troisième application. Soit $X$ la variable à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ dont la loi est donnée par $P(X=k)={\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi, calculer $P(X⩾n)$, et en déduire que $X$ n'admet pas d'espérance finie.

6. Montrer que si $X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ et d'espérance finie, alors $nP(X⩾n)\to 0$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$. Que donne cette propriété sur l'exemple de la question 5 ?

Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$, c'est-à-dire

$$P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{3}$$

et soit $Y=X^2$.

1. Déterminer la loi de $Y$, puis calculer $E(X)$, $E(Y)$ et $E(XY)$. En déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

2. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pourtant pas indépendantes.

3. Dans cet exemple, $Y$ est une fonction de $X$ : la dépendance est extrême. En voici un second, où ce n'est plus le cas. La loi conjointe d'un couple $(U,V)$ est donnée par le tableau suivant, chaque case contenant $P(U=u,V=v)$.

Déterminer les lois marginales de $U$ et de $V$, calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(U,V)$, puis montrer que $U$ et $V$ ne sont pas indépendantes.

4. Démontrer la réciproque, qui est vraie : si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes telles que $E(X^2)$ et $E(Y^2)$ sont finies, alors $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$. On justifiera soigneusement l'existence de $E(XY)$.

5. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et de son cas d'égalité, dire ce que mesure vraiment la covariance, et expliquer pourquoi l'exemple de la question 1 n'a rien de paradoxal.

Une barrette de détection comporte $n$ capteurs alignés, numérotés de $1$ à $n$, avec $n⩾2$. Après une longue exposition, chaque capteur est tombé en panne avec la probabilité $p\in ]0,1[$, indépendamment des autres. Pour $i\in \{1,\dots ,n\}$, on note $B_i$ l'événement « le capteur numéro $i$ est en panne » : les événements $B_1,\dots ,B_n$ sont donc mutuellement indépendants et de même probabilité $p$. On pose $q=1-p$.

1. Pour $k\in \{1,\dots ,n-1\}$, on note $A_k$ l'événement « les capteurs $k$ et $k+1$ sont tous deux en panne », et $N$ le nombre de couples de capteurs voisins tous deux en panne. Exprimer $N$ à l'aide des indicatrices ${\mathbf{1}}_{A_k}$, puis calculer $E(N)$.

2. On suppose $n⩾3$. Les variables ${\mathbf{1}}_{A_1}$ et ${\mathbf{1}}_{A_2}$ sont-elles indépendantes ? La variable $N$ suit-elle une loi binomiale ? Le calcul de la question 1 est-il pour autant en défaut ?

3. Un capteur en panne est dit isolé lorsque tous ses voisins fonctionnent (les capteurs $1$ et $n$ n'ont qu'un seul voisin). On note $M$ le nombre de capteurs en panne isolés. Écrire $M$ comme une somme d'indicatrices, en traitant les extrémités à part, et calculer $E(M)$.

4. Vérifier la formule obtenue en calculant directement $E(M)$ pour $n=2$, puis pour $n=3$. Que donnerait la formule pour $n=1$ ?

5. Application numérique : $n=100$ et $p=\mathrm{0,02}$. Calculer l'espérance du nombre total de capteurs en panne, puis $E(N)$ et $E(M)$. Commenter.

1. Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires discrètes définies sur $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, admettant chacune une variance, et soit $S={\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$. Démontrer que

$$V(S)=\sum _{k=1}^{n}V(X_k)+2\sum _{1⩽i<j⩽n}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)$$

2. On suppose de plus les $X_k$ indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2$. Donner $V(S_n)$, où $S_n=X_1+\cdots +X_n$, puis $V\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$ et $\sigma \left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$. Commenter du point de vue de la répétition d'une mesure physique.

3. La loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant, chaque case contenant $P(X=x,Y=y)$.

Déterminer les lois marginales, puis calculer $V(X)$, $V(Y)$, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $V(X+Y)$. Comparer $V(X+Y)$ et $V(X)+V(Y)$.

4. Cas extrême : soient $X\sim \mathcal{B}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $Y=1-X$. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $V(X+Y)$, et commenter.

5. On reprend une barrette de $n$ capteurs tombant en panne indépendamment les uns des autres, chacun avec la probabilité $p$, et l'on note $N$ le nombre de capteurs en panne, de sorte que $N\sim \mathcal{B}(n,p)$. Retrouver $V(N)=np(1-p)$ à l'aide des indicatrices.

6. Que devient la formule de la question 1 lorsque les $X_k$ sont seulement supposées deux à deux indépendantes ? Justifier, puis donner un exemple de trois variables deux à deux indépendantes qui ne sont pas mutuellement indépendantes, et vérifier sur cet exemple la valeur de $V(X_1+X_2+X_3)$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, de fonction génératrice

$$G_X(t)=E\left(t^X\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(X=n)t^n$$

On note $R$ le rayon de convergence de cette série entière.

1. On suppose $R>1$. Montrer que $X$ admet une espérance et une variance, et que

$$E(X)=G_X^{\mathrm{\prime }}(1),V(X)=G_X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)+G_X^{\mathrm{\prime }}(1)-G_X^{\mathrm{\prime }}(1{)}^2$$

2. Retrouver par cette méthode l'espérance et la variance d'une variable $X\sim \mathcal{G}(p)$, avec $p\in ]0,1[$.

3. Même travail pour $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$, avec $\lambda >0$.

4. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la fonction génératrice est

$$G(t)=\frac{t^2}{(2-t{)}^2}\text{pour }\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<2$$

a. Reconnaître $G$ comme la fonction génératrice d'une somme de deux variables indépendantes de même loi usuelle.

b. Déterminer explicitement $P(X=k)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

c. Calculer $E(X)$ et $V(X)$ de deux façons.

Deux sources radioactives indépendantes sont placées côte à côte devant un même compteur. Pendant une seconde, la première produit $X$ désintégrations et la seconde $Y$ désintégrations, avec $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $Y\sim \mathcal{P}(\mu )$ indépendantes, $\lambda >0$ et $\mu >0$. Le compteur n'enregistre que le total $S=X+Y$.

1. Montrer que $S\sim \mathcal{P}(\lambda +\mu )$.

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant l'événement $(S=n)$. Interpréter le résultat physiquement.

3. On change de modèle : $X$ et $Y$ sont maintenant deux variables indépendantes de même loi $\mathcal{G}(p)$, avec $p\in ]0,1[$. Soit $n⩾2$. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $(X+Y=n)$. Commenter.

4. Revenir au modèle de Poisson des questions 1 et 2. Montrer que $X$ et $S$ ne sont pas indépendantes.

Une marque de céréales glisse dans chaque paquet une image tirée au hasard parmi $n$ modèles différents, de façon équiprobable et indépendamment d'un paquet à l'autre. On note $T$ le nombre de paquets qu'il faut acheter pour posséder la collection complète des $n$ images.

Pour $i\in \{1,\dots ,n\}$, on note $T_i$ le nombre de paquets supplémentaires nécessaires pour passer de $i-1$ images distinctes à $i$ images distinctes.

1. Justifier que $T=T_1+T_2+\cdots +T_n$ et déterminer la loi de $T_i$.

2. En déduire $E(T)=n{H}_n$, où $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

3. Montrer, par comparaison série-intégrale, que $H_n\sim \ln n$, puis que $E(T)\sim n\ln n$.

4. On admet que les variables $T_1,\dots ,T_n$ sont indépendantes. Montrer que

$$V(T)=n^2\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}-n{H}_n$$

5. Application numérique pour $n=50$ : calculer $E(T)$, $V(T)$ et l'écart type $\sigma (T)$ à l'unité près. Comparer $E(T)$ à l'équivalent $n\ln n$ et commenter.

Soit $n⩾2$. On tire au hasard une permutation $\sigma$ de ${\mathfrak{S}}_n$, toutes les permutations étant équiprobables. On note $X$ le nombre de points fixes de $\sigma$, c'est-à-dire le nombre d'entiers $k\in \{1,\dots ,n\}$ tels que $\sigma (k)=k$.

Pour $k\in \{1,\dots ,n\}$, on pose $A_k=(\sigma (k)=k)$, de sorte que

$$X=\sum _{k=1}^n{\mathbf{1}}_{A_k}$$

1. Calculer $P(A_k)$ et en déduire $E(X)$.

2. Soient $i\mathrm{\ne }j$. Calculer $P(A_i\cap A_j)$, puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{A_i},{\mathbf{1}}_{A_j})$.

3. En déduire $V(X)$.

4. On rappelle la formule du crible : pour des événements $B_1,\dots ,B_n$,

$$P\left(\bigcup _{k=1}^n{B}_k\right)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{j+1}\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_j⩽n}P(B_{i_1}\cap \cdots \cap B_{i_j})$$

En déduire une expression de $P(X=0)$, puis sa limite quand $n\to +\mathrm{\infty }$. Commenter l'ensemble des résultats obtenus.

Soit $\lambda >0$ fixé. Pour tout entier $n>\lambda$, on considère une variable aléatoire $X_n\sim \mathcal{B}(n,{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})$.

1. Soit $k\in \mathbb{N}$ fixé. Montrer que

$$P(X_n=k)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$$

2. Retrouver ce résultat sous forme condensée en calculant, pour $t\in \mathbb{R}$ fixé, la limite de $G_{X_n}(t)$.

3. Application numérique. Un circuit comporte $n=1000$ composants ; chacun tombe en panne pendant la durée de la garantie avec la probabilité $p=\mathrm{0,003}$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de composants défaillants. Calculer $P(X=2)$ de façon exacte, puis par l'approximation de Poisson de paramètre $\lambda =np$. Comparer les deux valeurs à ${10}^{-4}$ près.

4. Interpréter ce résultat et énoncer les conditions pratiques d'emploi de cette approximation.

Soit $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé et $(A_n{)}_{n⩾0}$ une suite d'événements. On pose

$$B_n=\bigcup _{k⩾n}{A}_k\text{et}B=\bigcap _{n⩾0}{B}_n=\bigcap _{n⩾0}\bigcup _{k⩾n}{A}_k$$

1. Justifier que $B_n$ et $B$ sont des événements, puis montrer que $B$ est l'ensemble des $\omega \in \mathrm{\Omega }$ qui appartiennent à une infinité de $A_k$.

2. Montrer que la suite $(B_n{)}_{n⩾0}$ est décroissante et en déduire que $P(B)={\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(B_n)}$.

3. On suppose que la série ${\sum }_{n⩾0}P(A_n)$ converge. Montrer que $B$ est un événement négligeable.

4. Application : on suppose $P(A_n)={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ pour tout $n⩾1$. Que peut-on affirmer ?

5. On répète indéfiniment et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in ]0,1[$. Pour $n⩾1$, soit $A_n$ l'événement « les épreuves numérotées $n^2,n^2+1,\dots ,n^2+n-1$ sont toutes des succès », c'est-à-dire « une série de $n$ succès consécutifs débute à l'épreuve $n^2$ ». Montrer que presque sûrement, seul un nombre fini de ces événements se réalisent.

Un bit d'information (un $0$ ou un $1$) est émis, puis transmis le long d'une ligne comportant $n$ relais successifs. Chaque relais retransmet le bit qu'il reçoit, mais l'inverse par erreur avec la probabilité $a\in ]0,1[$, indépendamment de ce qui se passe aux autres relais.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $p_n$ la probabilité que le bit disponible en sortie du $n$-ième relais soit identique au bit émis. On a donc $p_0=1$.

1. Établir, par la formule des probabilités totales, la relation $p_{n+1}=(1-a)p_n+a(1-p_n)$.

2. Résoudre cette relation et montrer que $p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-2a{)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n}$ et interpréter.

4. Étudier les deux cas particuliers suivants.

a. Le cas $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

b. Le cas où $a$ est petit : donner un développement de $p_n$ à l'ordre $1$ en $a$, à $n$ fixé, puis une expression approchée de $p_n$ lorsque $a$ est petit et $n$ grand avec $na$ d'ordre $1$.

5. Pour $a=\mathrm{0,1}$, déterminer le nombre minimal de relais à partir duquel $p_n⩽\mathrm{0,51}$.

Soit $(X_i{)}_{i⩾1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, à valeurs dans $\mathbb{N}$, de fonction génératrice commune $G_X$. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, de fonction génératrice $G_N$, indépendante de la suite $(X_i{)}_{i⩾1}$. On pose

$$S=\sum _{i=1}^N{X}_i\text{avec la convention }S=0\text{ si }N=0$$

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note ${\mathrm{\Sigma }}_n=X_1+\cdots +X_n$ (et ${\mathrm{\Sigma }}_0=0$).

1. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$$P(S=k)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}P(N=n)P({\mathrm{\Sigma }}_n=k)$$

2. En déduire que $G_S=G_N\circ G_X$ sur $[0,1]$.

3. On suppose désormais que les rayons de convergence de $G_N$ et de $G_X$ sont strictement supérieurs à $1$. Montrer que

$$E(S)=E(N)E(X_1)\text{et}V(S)=E(N)V(X_1)+V(N)E(X_1{)}^2$$

4. Application. Une source émet, pendant une seconde, un nombre $N$ de particules avec $N\sim \mathcal{P}(\lambda )$. Chaque particule émise est détectée, indépendamment des autres, avec la probabilité $p\in ]0,1[$ (rendement du détecteur), les $X_i$ suivant donc la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$. Déterminer la loi du nombre $S$ de particules détectées, puis vérifier les formules de la question 3.

Dans tout l'exercice, $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes réelles définies sur un même espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, et l'on suppose que $X^2$ et $Y^2$ sont d'espérance finie.

Partie A. L'inégalité et son cas d'égalité

1. Montrer que $XY$ est d'espérance finie, puis que $(X+tY{)}^2$ est d'espérance finie pour tout $t\in \mathbb{R}$.

2. Pour $t\in \mathbb{R}$, on pose $\phi (t)=E((X+tY{)}^2)$. Montrer que

$$\phi (t)=E(Y^2)t^2+2E(XY)t+E(X^2)$$

et que $\phi (t)⩾0$ pour tout réel $t$.

3. En distinguant les cas $E(Y^2)=0$ et $E(Y^2)>0$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz

$$E(XY{)}^2⩽E(X^2)E(Y^2)$$

4. On suppose dans cette question que $E(XY{)}^2=E(X^2)E(Y^2)$. Montrer qu'il existe un couple de réels $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ tel que $aX+bY=0$ presque sûrement. On utilisera : une variable aléatoire positive d'espérance nulle est nulle presque sûrement.

5. Réciproquement, on suppose qu'il existe $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ tel que $aX+bY=0$ presque sûrement. Montrer que l'inégalité de la question 3 est alors une égalité.

Partie B. Covariance et coefficient de corrélation

6. Justifier que $X$ et $Y$ admettent une espérance et une variance, puis établir

$$\mid \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)\mid ⩽\sigma (X)\sigma (Y)$$

7. On suppose désormais $\sigma (X)>0$ et $\sigma (Y)>0$, et l'on pose

$$\rho (X,Y)=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}$$

Montrer que $\mathrm{\mid }\rho (X,Y)\mathrm{\mid }⩽1$. Que vaut $\rho (X,Y)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes ? La réciproque est-elle vraie ?

8. Montrer que $\mathrm{\mid }\rho (X,Y)\mathrm{\mid }=1$ si et seulement s'il existe $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$ avec $\alpha \mathrm{\ne }0$ tel que $Y=\alpha X+\beta$ presque sûrement. Préciser alors la valeur de $\rho (X,Y)$.

Partie C. Applications

9. Deux compteurs placés côte à côte enregistrent, pendant une même seconde, les nombres $X$ et $Y$ de particules qu'ils détectent. La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant.

Déterminer les lois marginales, $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$, $V(Y)$, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $\rho (X,Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

10. Soit $a,c$ deux réels non nuls et $b,d$ deux réels. Montrer que

$$\rho (aX+b,cY+d)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}(ac)\rho (X,Y)$$

Quelle propriété du coefficient de corrélation ce résultat exprime-t-il ?

Une particule chargée se déplace sur les entiers du segment $[0,N]$, où $N⩾2$ est un entier fixé. À chaque instant, sous l'effet d'un champ, elle avance d'une unité vers la droite avec la probabilité $p\in ]0,1[$ et recule d'une unité avec la probabilité $q=1-p$, indépendamment de tous les déplacements précédents. La paroi d'abscisse $0$ adsorbe la particule et le détecteur d'abscisse $N$ la capte : dans les deux cas le mouvement s'arrête définitivement.

Formellement, on se donne une suite $({\epsilon }_i{)}_{i⩾1}$ de variables aléatoires indépendantes de même loi, à valeurs dans $\{-1,1\}$, avec $P({\epsilon }_i=1)=p$. La particule partant de l'abscisse $k\in \{0,1,\dots ,N\}$, sa position après $m$ déplacements, tant qu'elle n'a pas été absorbée, est $k+{\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_m$.

On note $u_k$ la probabilité que la particule, partie de $k$, atteigne $N$ avant $0$.

1. Que valent $u_0$ et $u_N$ ?

2. Soit $k\in \{1,\dots ,N-1\}$. En conditionnant par le premier déplacement, établir la relation

$$u_k=p{u}_{k+1}+q{u}_{k-1}$$

On admettra que, sachant le premier déplacement, la suite des déplacements suivants se comporte comme celle d'une particule repartant de sa nouvelle position.

3. Résoudre la récurrence dans le cas symétrique $p=q=\frac{1}{2}$ et montrer que $u_k={\displaystyle \frac{k}{N}}$.

4. On suppose $p\mathrm{\ne }q$ et l'on pose $r={\displaystyle \frac{q}{p}}$. Montrer que

$$u_k=\frac{1-r^k}{1-r^N}$$

5. Vérifier sur ces deux formules les conditions aux bords, la croissance de $k\mapsto u_k$, et le fait que la formule de la question 4 redonne $k\mathrm{/}N$ lorsque $r$ tend vers $1$.

6. On note $v_k$ la probabilité que la particule, partie de $k$, atteigne $0$ avant $N$. Déterminer $v_k$ et montrer que $u_k+v_k=1$. Qu'en déduit-on sur le mouvement de la particule ?

7. Le détecteur est repoussé à l'infini : déterminer ${\displaystyle \underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_k}$ à $k$ et $p$ fixés, en distinguant les cas $p⩽q$ et $p>q$. Commenter.

8. Application numérique. La particule part du milieu, $N=20$ et $k=10$. Calculer $u_{10}$ pour $p=\mathrm{0,5}$, puis pour $p=\mathrm{0,6}$, puis pour $p=\mathrm{0,4}$. Commenter l'effet d'un biais de $10$ points.

Un unique neutron pénètre dans un bloc de matière fissile : c'est la génération $0$, et l'on pose $Z_0=1$. Chaque neutron d'une génération provoque une fission qui libère un nombre aléatoire de neutrons de la génération suivante, ce nombre suivant la loi d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, indépendamment d'un neutron à l'autre et d'une génération à l'autre. On note $Z_n$ l'effectif de la génération $n$, de sorte que

$$Z_{n+1}=X_{n,1}+X_{n,2}+\cdots +X_{n,Z_n}$$

où les $X_{n,i}$ sont indépendantes, de même loi que $X$, et indépendantes de $Z_n$ (la somme est nulle si $Z_n=0$).

On note $p_k=P(X=k)$, $G$ la fonction génératrice de $X$ et $G_n$ celle de $Z_n$. On suppose

$$p_0>0,P(X⩾2)>0,m=E(X)<+\mathrm{\infty }$$

et l'on admet le résultat sur les sommes d'un nombre aléatoire de variables aléatoires indépendantes, qui s'écrit ici $G_{n+1}=G_n\circ G$.

Partie A. La suite des probabilités d'extinction

1. Justifier que $G$ est définie et continue sur $[0,1]$, croissante sur $[0,1]$, et préciser $G(0)$, $G(1)$ et $G^{\mathrm{\prime }}(1)$.

2. Montrer que $G_0=\mathrm{i}\mathrm{d}$ puis, par récurrence, que $G_n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{G\circ G\circ \cdots \circ G}}$. En déduire que $G_{n+1}=G\circ G_n$.

3. On pose $e_n=P(Z_n=0)$. Montrer que $e_n=G_n(0)$, puis que la suite $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante et majorée par $1$. On note $e$ sa limite.

4. Montrer que $e_{n+1}=G(e_n)$ pour tout $n$, puis que $e$ vérifie $e=G(e)$.

5. Montrer que $e$ est le plus petit point fixe de $G$ dans $[0,1]$.

6. Soit $A={\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb{N}}(Z_n=0)}$ l'événement « la réaction s'éteint ». Montrer que $P(A)=e$.

Partie B. Le critère de criticité

7. Montrer que pour tout $t\in [0,1[$,

$$1-G(t)=(1-t)\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{p}_k(1+t+\cdots +t^{k-1})$$

puis que $1-G(t)<(1-t)m$.

8. En déduire que si $m⩽1$, alors $e=1$ : l'extinction est presque sûre.

9. On suppose $m>1$. En étudiant la limite de ${\displaystyle \frac{1-G(t)}{1-t}}$ quand $t\to 1^{-}$, montrer qu'il existe $t_0\in ]0,1[$ tel que $G(t_0)<t_0$, puis conclure que $0<e<1$.

10. Exemple complet. On prend

$$p_0=\frac{1}{4},p_1=\frac{1}{4},p_2=\frac{1}{2}$$

Calculer $G$ et $m$, résoudre $G(t)=t$, donner $e$, et calculer les premiers termes $e_1$, $e_2$, $e_3$. Commenter.