Devoir surveillé — Variables aléatoires discrètes

Consignes générales, valables pour tout le sujet. Durée : 3 heures. Calculatrice interdite. Les exercices 1 à 4 sont indépendants entre eux et indépendants de l'exercice 5, qui est un problème en quatre parties enchaînées ; ils peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La qualité de la rédaction entre dans la notation : tout théorème invoqué doit être cité, et ses hypothèses cruciales vérifiées sur l'objet auquel on l'applique. En particulier, l'existence d'une espérance se justifie avant d'être utilisée.

Un atelier alimente une même ligne d'assemblage à partir de deux chaînes de fabrication. Un composant prélevé au hasard dans le stock provient de la chaîne $\mathrm{A}$ avec la probabilité $a\in ]0,1[$ et de la chaîne $\mathrm{B}$ avec la probabilité $1-a$ ; on note $A$ l'événement « le composant provient de la chaîne $\mathrm{A}$ ».

Une fois le composant monté, on le fait fonctionner par cycles successifs. Les deux chaînes ne produisent pas la même qualité :

• sachant $A$, le composant tombe en panne à chaque cycle avec la probabilité $\alpha$, indépendamment des cycles précédents ;
• sachant $\bar{A}$, il tombe en panne à chaque cycle avec la probabilité $\beta$, indépendamment des cycles précédents.

Les deux paramètres vérifient $0<\beta <\alpha <1$ : la chaîne $\mathrm{A}$ est la moins fiable. On note $X$ le rang du cycle de la première panne, de sorte que la loi conditionnelle de $X$ sachant $A$ est $\mathcal{G}(\alpha )$ et la loi conditionnelle de $X$ sachant $\bar{A}$ est $\mathcal{G}(\beta )$. Pour alléger, on pose

$$u=1-\alpha ,v=1-\beta ,\text{de sorte que }0<u<v<1.$$

1. (0,5 pt) Justifier que $(A,\bar{A})$ est un système complet d'événements, puis déterminer la loi de $X$. Contrôler que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

2. (0,5 pt) Démontrer que $P(X>n)=a{u}^n+(1-a)v^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En déduire, par continuité décroissante, que l'événement « le composant ne tombe jamais en panne » est négligeable.

3. (0,75 pt) Démontrer que $X$ admet une espérance finie et que

$$E(X)=\frac{a}{\alpha }+\frac{1-a}{\beta }\mathrm{.}$$

4. (1 pt) Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $r_n={\displaystyle \frac{P(X>n+1)}{P(X>n)}}$, probabilité conditionnelle de survivre au cycle $n+1$ sachant que le composant a déjà tenu $n$ cycles. Démontrer que la suite $\left(r_n\right)$ est strictement croissante, de limite $v$. En déduire que $X$ ne suit aucune loi géométrique, et commenter ce que cela signifie pour l'atelier.

5. (0,75 pt) Calculer $P_{(X>n)}(A)$, démontrer que la suite ${(P_{(X>n)}(A))}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante, puis en déduire sa limite. Interpréter.

6. (0,5 pt) Application numérique : $a=\mathrm{0,4}$, $\alpha =\mathrm{0,2}$ et $\beta =\mathrm{0,05}$. On donne ${\mathrm{0,8}}^{10}\approx \mathrm{0,1074}$ et ${\mathrm{0,95}}^{10}\approx \mathrm{0,5987}$. Calculer $E(X)$, puis $P(X>10)$ et $P_{(X>10)}(A)$ à ${10}^{-3}$ près.

Un compteur observe une source, cycle après cycle, les cycles étant numérotés par les entiers. À chaque cycle, indépendamment des autres, une particule se présente devant le compteur avec la probabilité $p\in ]0,1[$ ; on pose $q=1-p$.

Le compteur n'est pas instantané. Lorsqu'il enregistre une particule au cycle $n$, son électronique reste saturée pendant les $\tau$ cycles suivants, où $\tau \in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est une caractéristique de l'appareil appelée temps mort : toute particule se présentant à l'un des cycles $n+1,\dots ,n+\tau$ est définitivement perdue. Le compteur redevient actif au cycle $n+\tau +1$.

On note $X$ le nombre de cycles séparant deux enregistrements consécutifs : si le compteur enregistre au cycle $n$ puis au cycle $m$, alors $X=m-n$. On admet que les particules se présentant aux cycles $n+\tau +1,n+\tau +2,\dots$ forment une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, indépendante de tout ce qui s'est produit auparavant, et l'on note $Y$ le rang, compté à partir du premier cycle actif, de la première particule qui s'y présente.

1. (0,5 pt) Justifier que $Y\sim \mathcal{G}(p)$ et que $X=\tau +Y$. Déterminer $X(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $X$, puis contrôler que la somme des probabilités vaut $1$.

2. (0,5 pt) Déterminer $E(X)$ et $V(X)$ en citant les résultats du cours utilisés.

3. (0,5 pt) Déterminer la fonction génératrice $G_X$ et son domaine de validité, puis retrouver $E(X)$ par dérivation en $1$.

4. (0,75 pt) On appelle taux mesuré le nombre moyen d'enregistrements par cycle, que l'on prend égal à $\nu ={\displaystyle \frac{1}{E(X)}}$. Exprimer $\nu$ en fonction de $p$ et de $\tau$, démontrer que $\nu <p$, et calculer la proportion de particules perdues ${\displaystyle \frac{p-\nu }{p}}$. Inverser enfin la relation : exprimer $p$ en fonction de $\nu$ et de $\tau$, en précisant à quelle condition sur $\nu$ et $\tau$ elle fournit un taux réel admissible.

5. (0,75 pt) Application numérique : un compteur de temps mort $\tau =4$ cycles affiche un taux mesuré $\nu =\mathrm{0,1}$ enregistrement par cycle. Déterminer le taux réel $p$, l'espérance $E(X)$, l'écart type $\sigma (X)$ à ${10}^{-2}$ près (on donne $\sqrt{30}\approx \mathrm{5,477}$), la proportion de particules perdues et la probabilité $P(X=5)$. Commenter.

Un détecteur produit, pendant une seconde, un nombre $S$ de charges primaires, avec $S\sim \mathcal{P}(\lambda )$ où $\lambda >0$. Ce même paquet de charges est lu simultanément par deux voies électroniques indépendantes, qui ajoutent chacune leur propre bruit de lecture. On modélise les deux valeurs lues par

$$M=S+B\text{et}{M}^{\mathrm{\prime }}=S+B^{\mathrm{\prime }},$$

où $B$ et $B^{\mathrm{\prime }}$ sont deux variables aléatoires discrètes réelles de même loi, de carré d'espérance finie, d'espérance commune $E(B)=E\left(B^{\mathrm{\prime }}\right)=\mu$ et de variance $V(B)=V\left(B^{\mathrm{\prime }}\right)={\sigma }^2>0$. Le réel $\mu$ est le piédestal de la chaîne de lecture, un décalage électronique commun aux deux voies que l'expérimentateur ne connaît pas. On suppose les trois variables $S$, $B$ et $B^{\mathrm{\prime }}$ mutuellement indépendantes. La loi commune des deux bruits n'est pas précisée, et il ne sera pas nécessaire de la connaître.

1. (0,5 pt) Justifier que $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ admettent une espérance et une variance, puis calculer $E(M)$ et $V(M)$.

2. (0,75 pt) Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(M,M^{\mathrm{\prime }})$ en justifiant l'annulation de chacun des termes croisés.

3. (0,5 pt) En déduire le coefficient de corrélation des deux voies, défini par

$$\rho =\rho (M,M^{\mathrm{\prime }})=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(M,M^{\mathrm{\prime }})}{\sigma (M)\sigma \left(M^{\mathrm{\prime }}\right)}\mathrm{.}$$

Vérifier que $0<\rho <1$ et déterminer sa limite lorsque $\sigma$ tend vers $0$.

4. (0,75 pt) Un expérimentateur sait mesurer $E(M)$, $V(M)$ et $\rho$, mais il ne connaît aucun des trois paramètres $\lambda$, $\mu$ et ${\sigma }^2$. Expliquer pourquoi une voie seule ne permet pas de les déterminer, puis exprimer $\lambda$ et ${\sigma }^2$ en fonction de $V(M)$ et de $\rho$, et $\mu$ en fonction de $E(M)$, $V(M)$ et $\rho$. Exprimer également le rapport signal sur bruit ${\displaystyle \frac{\lambda }{{\sigma }^2}}$ à l'aide du seul $\rho$.

5. (0,5 pt) Démontrer que $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ ne sont pas indépendantes, en citant précisément le résultat du cours utilisé.

6. (0,5 pt) Application numérique : une campagne de mesures donne $E(M)=420$, $V(M)=500$ et $\rho =\mathrm{0,8}$. En déduire $\lambda$, ${\sigma }^2$, $\mu$, ainsi que $\sigma (M)$ à ${10}^{-2}$ près (on donne $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,2361}$). Quelle valeur de $\lambda$ aurait annoncée un expérimentateur qui aurait attribué toute la variance mesurée au signal ? Et celui qui aurait pris la moyenne mesurée pour le signal ? Commenter.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité d'un écart à la moyenne des deux côtés. Dans la pratique, on cherche souvent à majorer un dépassement d'un seul côté : la probabilité qu'une concentration dépasse un seuil, qu'un comptage soit trop grand, qu'une cote soit trop élevée. L'objet de l'exercice est d'établir une majoration unilatérale strictement meilleure, puis de montrer qu'elle ne peut pas être améliorée.

Dans tout l'exercice, $X$ désigne une variable aléatoire discrète réelle de carré d'espérance finie, d'espérance $m=E(X)$ et de variance ${\sigma }^2=V(X)>0$. On pose $Y=X-m$ et l'on fixe un réel $t>0$.

1. (0,5 pt) Soit $u>0$. Démontrer l'inclusion d'événements

$$(Y⩾t)\subseteq ((Y+u{)}^2⩾(t+u{)}^2)\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) Justifier que $(Y+u{)}^2$ est une variable positive d'espérance finie, calculer $E((Y+u{)}^2)$, puis démontrer que pour tout $u>0$

$$P(X-m⩾t)⩽\frac{{\sigma }^2+u^2}{(t+u{)}^2}\mathrm{.}$$

3. (1 pt) On note $g(u)={\displaystyle \frac{{\sigma }^2+u^2}{(t+u{)}^2}}$ pour $u>0$. Étudier les variations de $g$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, déterminer son minimum, et en déduire l'inégalité de Cantelli

$$P(X-m⩾t)⩽\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+t^2}\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Comparer cette majoration à celle que fournit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour le même événement. Quel facteur gagne-t-on ? Traiter en particulier les cas $t=\sigma$ et $t=2\sigma$.

5. (1 pt) On veut montrer que l'inégalité de la question 3. est optimale. Soit $Z$ la variable aléatoire prenant les deux valeurs $t$ et $-{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{t}}$, avec

$$P(Z=t)=\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+t^2},P(Z=-\frac{{\sigma }^2}{t})=\frac{t^2}{{\sigma }^2+t^2}\mathrm{.}$$

Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, calculer $E(Z)$ et $V(Z)$, puis $P(Z-E(Z)⩾t)$. Conclure.

Les quatre parties s'enchaînent : la partie B utilise la partie A, la partie C éclaire la partie B par un autre outil, et la partie D applique l'ensemble à un cas concret. On pourra admettre le résultat d'une question pour traiter les suivantes.

Un échantillon de polymère est un mélange de chaînes de longueurs différentes. On mesure la longueur d'une chaîne par son degré de polymérisation, c'est-à-dire le nombre de monomères qu'elle contient, et l'on modélise ce nombre par une variable aléatoire $X$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$, de loi $p_k=P(X=k)$ pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On suppose $X$ d'espérance finie et l'on pose

$$m=E(X)\mathrm{.}$$

Il y a deux façons de tirer une chaîne au hasard, et elles ne donnent pas le même résultat. On peut prélever une chaîne au hasard : sa longueur suit la loi de $X$, de moyenne $m$, que les chimistes appellent degré de polymérisation moyen en nombre. On peut aussi prélever un monomère au hasard dans la matière et regarder la chaîne à laquelle il appartient : les chaînes longues contiennent plus de monomères, elles ont donc plus de chances d'être ainsi désignées, et la longueur obtenue suit une autre loi, celle qui définit le degré de polymérisation moyen en masse. Le problème détermine l'écart exact entre ces deux moyennes, puis en tire un résultat classique de la chimie des polymères.

---

Partie A — la loi biaisée par la taille

A.1 (0,5 pt) Démontrer que $m⩾1$, puis que la famille de réels

$${\left(\frac{k{p}_k}{m}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$$

est la distribution d'une variable aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$. On note $X^{\star }$ une telle variable, dont on admet l'existence, et l'on dit que sa loi est la loi biaisée par la taille associée à celle de $X$.

A.2 (0,5 pt) Justifier la modélisation. On considère un échantillon idéalisé de $N$ chaînes dans lequel, pour chaque $k$, la proportion de chaînes de longueur $k$ vaut exactement $p_k$. Exprimer le nombre total de monomères de l'échantillon, puis démontrer que, si l'on prélève un monomère au hasard de façon uniforme parmi tous les monomères de l'échantillon, la probabilité qu'il appartienne à une chaîne de longueur $k$ vaut ${\displaystyle \frac{k{p}_k}{m}}$.

A.3 (0,5 pt) Comparer $P(X^{\star }=k)$ et $P(X=k)$ selon la position de $k$ par rapport à $m$. Interpréter en une phrase.

---

Partie B — l'écart entre les deux moyennes

Dans toute cette partie, on suppose de plus que $X^2$ est d'espérance finie, et l'on note ${\sigma }^2=V(X)$.

B.1 (0,75 pt) Démontrer que $X^{\star }$ admet une espérance finie, que

$$E\left(X^{\star }\right)=\frac{E\left(X^2\right)}{m},\text{puis que}E\left(X^{\star }\right)=m+\frac{{\sigma }^2}{m}\mathrm{.}$$

B.2 (0,5 pt) En déduire que $E\left(X^{\star }\right)⩾E(X)$, et déterminer à quelle condition il y a égalité. Interpréter physiquement.

B.3 (0,75 pt) On appelle indice de polymolécularité de l'échantillon le quotient

$$\mathcal{I}=\frac{E\left(X^{\star }\right)}{E(X)}\mathrm{.}$$

Démontrer que $\mathcal{I}=1+{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{m^2}}$. Que vaut $\mathcal{I}$ pour un échantillon dont toutes les chaînes ont la même longueur ? Pourquoi cet indice est-il un meilleur indicateur de dispersion que l'écart $E\left(X^{\star }\right)-E(X)$ ?

---

Partie C — la lecture par les fonctions génératrices

Dans cette partie, on suppose que le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $G_X$ vérifie $R>1$.

C.1 (0,5 pt) Démontrer que, pour tout réel $t$ tel que $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<R$,

$$G_{X^{\star }}(t)=\frac{t{G}_X^{\mathrm{\prime }}(t)}{m}\mathrm{.}$$

C.2 (0,5 pt) Vérifier sur cette formule que $G_{X^{\star }}(1)=1$, puis retrouver le résultat de B.1 en dérivant.

---

Partie D — le cas de la polycondensation

On considère une polycondensation menée jusqu'à un taux de conversion $p\in ]0,1[$ : chaque fonction réactive d'un monomère a réagi avec la probabilité $p$, indépendamment de toutes les autres. Parcourons une chaîne à partir de l'une de ses extrémités : on passe d'un monomère au suivant tant que la fonction rencontrée a réagi, et la chaîne s'arrête à la première fonction n'ayant pas réagi.

D.1 (0,5 pt) Justifier que le degré de polymérisation $X$ d'une chaîne suit la loi $\mathcal{G}(1-p)$.

D.2 (0,5 pt) Calculer $m$, ${\sigma }^2$, $E\left(X^{\star }\right)$ et $\mathcal{I}$ en fonction de $p$. Déterminer la limite de $\mathcal{I}$ quand $p$ tend vers $1$.

D.3 (0,5 pt) Application numérique : $p=\mathrm{0,99}$. Donner $m$, $\sigma$, $E\left(X^{\star }\right)$ et $\mathcal{I}$. Déterminer enfin la plus grande valeur de $m$ compatible avec un indice $\mathcal{I}⩽\mathrm{1,5}$, et conclure sur ce que la polycondensation permet et ne permet pas.