Calcul différentiel

En première année, vous avez appris à dériver une fonction $f:I\to \mathbb{R}$ définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ et à valeurs réelles. Tout le calcul différentiel de PC consiste à faire sauter, l'une après l'autre, les deux restrictions contenues dans cette phrase : « à valeurs réelles », puis « définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ ». Le chapitre est donc double, et il faut voir dès le départ que ses deux moitiés ne présentent pas du tout la même difficulté.

La première généralisation porte sur l'ensemble d'arrivée. On considère des fonctions $f:I\to {\mathbb{R}}^n$, encore définies sur un intervalle de $\mathbb{R}$ : on ne dérive toujours que par rapport à une seule variable. Cette moitié-là est facile, et pour une raison précise : dériver une fonction à valeurs dans ${\mathbb{R}}^n$ revient exactement à dériver ses $n$ coordonnées, qui sont des fonctions numériques déjà connues. Ce qui est réellement nouveau, ce ne sont pas les définitions, ce sont les règles de dérivation des opérations : image par une application linéaire, par une application bilinéaire, par une application $p$-linéaire. Ces trois énoncés, d'apparence abstraite, sont en fait trois outils de calcul très concrets, puisqu'ils fournissent d'un coup la dérivée d'un produit scalaire $t\mapsto ⟨f(t),g(t)⟩$, d'une norme au carré $t\mapsto \Vert f(t){\Vert }^2$ et d'un déterminant $t\mapsto \det (C_1(t),\dots ,C_n(t))$.

La seconde généralisation porte sur l'ensemble de départ, et elle est beaucoup plus délicate. Dès que la source est ${\mathbb{R}}^p$ avec $p⩾2$, il n'y a plus une seule façon de s'approcher d'un point $a$ : il y en a une infinité, une par direction, et même une infinité de chemins par direction. On peut certes dériver le long de chacun des axes, et l'on obtient les dérivées partielles, déjà rencontrées en PCSI. Mais l'expérience du chapitre, et son piège central, est que ces $p$ nombres sont beaucoup trop pauvres pour décrire le comportement local de $f$ : il existe des fonctions dont les deux dérivées partielles existent en un point et qui n'y sont même pas continues. La bonne notion n'est donc pas « $f$ admet des dérivées partielles », mais « $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ », c'est-à-dire « $f$ admet des dérivées partielles continues ». Sous cette hypothèse, et sous elle seulement, tout redevient simple : $f$ admet un développement limité d'ordre $1$, elle est continue, ses dérivées selon un vecteur se calculent par une formule linéaire, et la règle de la chaîne s'applique.

Les applications en physique et en chimie sont partout, et elles ne sont pas décoratives : elles ont dicté le contenu du programme. La première moitié du chapitre est le langage de la cinématique : si $f(t)$ est le vecteur position d'un point mobile, $f^{\prime }(t)$ est son vecteur vitesse, $f^{\prime \prime }(t)$ son vecteur accélération, et $\Vert f^{\prime }(t)\Vert$ sa vitesse scalaire. Le résultat « $\Vert f\Vert$ constante équivaut à $⟨f,f^{\prime }⟩=0$ » est exactement l'énoncé qui dit qu'un point astreint à rester sur un cercle ou sur une sphère a une vitesse orthogonale à son rayon. La seconde moitié est le langage des champs : le gradient d'un champ de température, dont l'opposé donne le sens de diffusion de la chaleur, le gradient d'un champ de concentration en cinétique chimique, le gradient d'une énergie potentielle dont dérive une force. Et la recherche d'extremums est le cœur de toute optimisation de rendement : un chimiste qui cherche le couple $(T,p)$ maximisant le rendement d'une réaction, ou qui ajuste une surface de réponse à des données expérimentales, résout exactement le problème traité dans la dernière section.

Le chapitre a d'ailleurs une destination très claire, et il vaut mieux la connaître dès la première ligne : la recherche des extremums d'une fonction de deux ou trois variables. Tout y converge. La condition nécessaire d'ordre $1$ — un extremum local en un point intérieur est un point critique — n'utilise que le gradient. La condition suffisante d'ordre $2$ utilise la formule de Taylor-Young et la matrice hessienne, qui est une matrice symétrique réelle : c'est là que le chapitre sur les endomorphismes des espaces euclidiens revient jouer un rôle décisif, puisque c'est le théorème spectral qui permet de lire le comportement de $f$ sur le signe des valeurs propres de la hessienne, et donc en dimension $2$ sur son déterminant et sa trace.

Fixons enfin les notations, valables dans tout le chapitre. Dans la première section, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point et les fonctions vont de $I$ dans ${\mathbb{R}}^n$, muni de sa base canonique $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)$ ; comme ${\mathbb{R}}^n$ est de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes et la notion de limite ne dépend pas de la norme choisie. Dans les sections suivantes, $\Omega$ désigne un ouvert de ${\mathbb{R}}^p$, avec $p=2$ ou $p=3$ en pratique, ${\mathbb{R}}^p$ étant muni de sa base canonique $(e_1,\dots ,e_p)$, de son produit scalaire canonique $⟨u,v⟩={\sum }_i{u}_i{v}_i$ et de la norme euclidienne associée $\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u,u⟩}$. Les fonctions y sont à valeurs réelles, ce qui n'est pas une perte de généralité : l'étude d'une fonction de ${\mathbb{R}}^p$ dans ${\mathbb{R}}^n$ se ramène à celle de ses $n$ coordonnées. Un point de ${\mathbb{R}}^p$ s'écrit en ligne, $(x,y)$ ou $(x,y,z)$ ou $(x_1,\dots ,x_p)$ ; on ne passe en colonne que dans un calcul matriciel. Attention à une collision de lettres inévitable, puisqu'elle vient du programme lui-même : la lettre $p$ désigne le nombre de facteurs dans « application $p$-linéaire » (première section) et le nombre de variables dans ${\mathbb{R}}^p$ (sections suivantes).

Un mot, pour finir, sur la rédaction attendue. Le programme de PC demande explicitement d'éviter tout excès de rigueur et de se limiter à la vérification des hypothèses cruciales. Concrètement : on ne rédige pas d'épsilontique, on ne redémontre pas qu'une fonction polynomiale est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, mais on écrit toujours, avant d'appliquer un théorème, la phrase qui en vérifie les hypothèses décisives : « $\Omega$ est un ouvert », « $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas », « le point $a$ est intérieur », « la partie est fermée bornée non vide donc $f$ y est bornée et atteint ses bornes ». Quatre résultats seulement seront admis dans ce chapitre, et tous les quatre figurent parmi ceux dont le programme dispense de démonstration : la dérivée de $M(f_1,\dots ,f_p)$ pour $M$ $p$-linéaire, l'existence du développement limité d'ordre $1$ d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$, le théorème de Schwarz et la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$. Tout le reste est démontré.

Dérivabilité des fonctions vectorielles

Dans toute cette section, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, $n$ un entier naturel non nul, et les fonctions considérées vont de $I$ dans ${\mathbb{R}}^n$.

Dérivée en un point, dérivée sur un intervalle

La définition est mot pour mot celle de PCSI : seul change le fait que le taux d'accroissement est maintenant un vecteur de ${\mathbb{R}}^n$, et que la limite est prise dans ${\mathbb{R}}^n$.

La première caractérisation est celle qui servira le plus souvent dans les démonstrations, parce qu'elle transforme une limite en une égalité.

Démonstration. Rappelons que l'écriture $u(h)=o(h)$, pour une fonction $u$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^n$, signifie qu'il existe une fonction $\epsilon$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^n$, de limite nulle en $0$, telle que $u(h)=h\epsilon (h)$ au voisinage de $0$.

Pour $h\ne 0$ tel que $a+h\in I$, posons

$$\epsilon (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\ell ,$$

ce qui est licite puisque $h\ne 0$. En multipliant par $h$ et en réordonnant, on obtient l'identité, valable pour tout tel $h$,

$$f(a+h)=f(a)+h\ell +h\epsilon (h).$$

Supposons (i). Alors $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to \ell$ quand $h\to 0$, c'est-à-dire $\epsilon (h)\to 0$. L'identité ci-dessus s'écrit donc $f(a+h)=f(a)+h\ell +o(h)$, ce qui est (ii).

Réciproquement, supposons (ii). Il existe alors une fonction $\eta$ de limite nulle en $0$ telle que $f(a+h)=f(a)+h\ell +h\eta (h)$. En comparant avec l'identité ci-dessus, on obtient $h\epsilon (h)=h\eta (h)$, donc $\epsilon (h)=\eta (h)$ pour $h\ne 0$, et par suite $\epsilon (h)\to 0$. Cela signifie exactement que le taux d'accroissement tend vers $\ell$, c'est-à-dire (i). $\square$

La seconde caractérisation est celle qui sert le plus souvent en calcul : elle ramène tout à la première année.

Démonstration. La démonstration repose sur un seul fait, acquis au chapitre des espaces vectoriels normés : dans ${\mathbb{R}}^n$, une suite ou une fonction converge si et seulement si chacune de ses $n$ coordonnées converge, et la limite est alors le vecteur des limites. C'est immédiat avec la norme $\Vert u{\Vert }_{\infty }={\max }_{1⩽j⩽n}|u_j|$, puisque $|u_j|⩽\Vert u{\Vert }_{\infty }⩽{\sum }_k|u_k|$ ; et comme toutes les normes de ${\mathbb{R}}^n$ sont équivalentes, le résultat ne dépend pas de la norme.

Soit alors $h\ne 0$ tel que $a+h\in I$. Le vecteur

$${\tau }_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

a pour $j$-ième coordonnée le réel $\frac{f_j(a+h)-f_j(a)}{h}$, c'est-à-dire le taux d'accroissement de $f_j$ en $a$. D'après le fait rappelé, ${\tau }_a(h)$ admet une limite dans ${\mathbb{R}}^n$ quand $h\to 0$ si et seulement si chacun de ces $n$ taux d'accroissement réels admet une limite dans $\mathbb{R}$, c'est-à-dire si et seulement si chaque $f_j$ est dérivable en $a$ ; et dans ce cas la limite est le vecteur $(f_1^{\prime }(a),\dots ,f_n^{\prime }(a))$. $\square$

Démonstration. Le développement limité d'ordre $1$ donne $f(a+h)=f(a)+h{f}^{\prime }(a)+h\epsilon (h)$ avec $\epsilon (h)\to 0$. Quand $h\to 0$, le terme $h{f}^{\prime }(a)$ tend vers $0_{{\mathbb{R}}^n}$ et le terme $h\epsilon (h)$ aussi, donc $f(a+h)\to f(a)$ : c'est la continuité de $f$ en $a$. $\square$

Interprétation cinématique

C'est le vocabulaire que la physique utilise en permanence, et le programme le mentionne explicitement. Il faut le maîtriser au même titre que les formules.

Opérations

Voici le cœur calculatoire de la section. Les cinq énoncés qui suivent servent en permanence ; pour les deux qui portent sur les applications bilinéaires et $p$-linéaires, le programme précise que leur démonstration n'est pas exigible. On démontre malgré tout le cas linéaire et le cas bilinéaire, qui sont courts et instructifs.

Démonstration. Soit $h\ne 0$ tel que $a+h\in I$. Par linéarité de $L$,

$$\frac{L(f(a+h))-L(f(a))}{h}=L\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right).$$

Or $L$ est une application linéaire entre espaces de dimension finie, donc elle est continue. Comme le taux d'accroissement de $f$ tend vers $f^{\prime }(a)$ quand $h\to 0$, son image par $L$ tend vers $L(f^{\prime }(a))$. Le membre de gauche, qui est le taux d'accroissement de $L\circ f$ en $a$, converge donc vers $L(f^{\prime }(a))$. $\square$

Démonstration (donnée pour la culture : le programme précise que cette démonstration n'est pas exigible). Le point de départ est un découpage en deux morceaux, obtenu en ajoutant et retranchant $B(f(a),g(a+h))$ :

$$B(f(a+h),g(a+h))-B(f(a),g(a))=B(f(a+h)-f(a),g(a+h))+B(f(a),g(a+h)-g(a)),$$

égalité qui n'utilise que la linéarité de $B$ par rapport à sa première variable puis à sa seconde. En divisant par $h\ne 0$ et en utilisant à nouveau la bilinéarité pour faire entrer le scalaire $1/h$ dans chaque argument, on obtient

$$\frac{B(f(a+h),g(a+h))-B(f(a),g(a))}{h}=B\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h},g(a+h)\right)+B\left(f(a),\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\right).$$

Une application bilinéaire entre espaces de dimension finie est continue. Quand $h\to 0$, le premier taux d'accroissement tend vers $f^{\prime }(a)$ et $g(a+h)\to g(a)$ par continuité de $g$, donc le premier terme tend vers $B(f^{\prime }(a),g(a))$ ; le second tend vers $B(f(a),g^{\prime }(a))$. $\square$

Les quatre applications qui suivent sont les applications à connaître. Elles tombent dans tous les sujets, et il est bien plus rapide de les invoquer que de repasser par les coordonnées.

Dérivée d'un produit scalaire

Démonstration. Le produit scalaire canonique $B:(u,v)\mapsto ⟨u,v⟩$ est une application bilinéaire de ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ dans $\mathbb{R}$. La propriété sur les applications bilinéaires s'applique donc directement et donne la formule annoncée. $\square$

Démonstration. Il suffit d'écrire $\Vert f(t){\Vert }^2=⟨f(t),f(t)⟩$ et d'appliquer la propriété précédente avec $g=f$ :

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨f(t),f(t)⟩=⟨f^{\prime }(t),f(t)⟩+⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩=2⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩$$

par symétrie du produit scalaire. $\square$

Démonstration. Posons $N(t)=\Vert f(t){\Vert }^2$. Comme la fonction $\Vert f\Vert$ est à valeurs positives, elle est constante sur $I$ si et seulement si $N$ l'est : en effet $x\mapsto x^2$ est injective sur ${\mathbb{R}}_{+}$, donc $\Vert f(t_1)\Vert =\Vert f(t_2)\Vert$ équivaut à $N(t_1)=N(t_2)$.

Par la propriété précédente, $N$ est dérivable sur $I$ avec $N^{\prime }(t)=2⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩$.

Supposons $\Vert f\Vert$ constante. Alors $N$ est constante, donc $N^{\prime }=0$, c'est-à-dire $2⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩=0$ pour tout $t$, donc $⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩=0$.

Réciproquement, supposons $⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩=0$ pour tout $t\in I$. Alors $N^{\prime }=0$ sur $I$. Or $N$ est une fonction numérique dérivable de dérivée nulle sur un intervalle : elle est donc constante. Par conséquent $\Vert f\Vert =\sqrt{N}$ est constante. $\square$

Dérivée d'un déterminant

Démonstration. Le déterminant de $n$ vecteurs dans une base fixée est, par définition, une forme $n$-linéaire sur $({\mathbb{R}}^n{)}^n$. La propriété admise sur les applications $p$-linéaires, appliquée avec $p=n$ et $M=\det$, donne exactement la formule annoncée. $\square$

Fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$

Dérivées partielles et fonctions de classe C1

On change maintenant de côté : la variable devient vectorielle, et les fonctions sont à valeurs réelles. Le programme précise que l'on se limite en pratique à $p=2$ ou $p=3$ variables.

Ouverts, notations

Cette notion est acquise depuis le chapitre sur les espaces vectoriels normés ; on rappelle seulement les exemples usuels, qui suffiront ici : ${\mathbb{R}}^p$ tout entier, une boule ouverte, un demi-plan ouvert $\{(x,y);x>0\}$, le complémentaire d'un point comme ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, ou encore un ensemble défini par une inégalité stricte portant sur une fonction continue.

Il faut comprendre pourquoi tout le chapitre se déroule sur un ouvert, et la raison est parfaitement concrète : on veut pouvoir bouger un peu dans toutes les directions à partir de n'importe quel point.

Démonstration. Comme $\Omega$ est ouvert, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset \Omega$. Posons $\delta =\frac{r}{\Vert v\Vert }$, licite puisque $v\ne 0$. Pour $|t|<\delta$, on a $\Vert (a+tv)-a\Vert =|t|\cdot \Vert v\Vert <\delta \Vert v\Vert =r$, donc $a+tv\in B(a,r)\subset \Omega$. $\square$

Dérivée selon un vecteur

Fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$

Voici la définition centrale du chapitre. Elle est plus forte que la simple existence des dérivées partielles, et c'est exactement ce qui fait sa valeur.

En pratique, on ne démontre presque jamais qu'une fonction est de classe ${\mathcal{C}}^1$ : on l'invoque en une phrase, en identifiant la construction utilisée. Voici les formulations attendues.

Développement limité d'ordre 1 et différentielle

C'est le théorème qui donne tout son sens à la définition de la classe ${\mathcal{C}}^1$. Le programme précise que sa démonstration n'est pas exigible : on l'admet.

Démonstration. Soit $a\in \Omega$. Dans le développement limité ci-dessus, chaque terme $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i$ tend vers $0$ quand $h\to 0$, et le reste $o(\Vert h\Vert )$ aussi. Donc $f(a+h)\to f(a)$ quand $h\to 0$ : $f$ est continue en $a$. Comme $a$ est quelconque dans $\Omega$, $f$ est continue sur $\Omega$. $\square$

La partie linéaire du développement limité mérite un nom : c'est la différentielle.

Démonstration. Le cas $v=0$ est immédiat, les deux membres étant nuls. Supposons $v\ne 0$. Comme $\Omega$ est ouvert, $a+tv\in \Omega$ pour $|t|$ assez petit. Appliquons le développement limité d'ordre $1$ avec $h=tv$ :

$$f(a+tv)=f(a)+\mathrm{d}f(a)\cdot (tv)+o(\Vert tv\Vert )=f(a)+t(\mathrm{d}f(a)\cdot v)+o(t),$$

où l'on a utilisé la linéarité de $\mathrm{d}f(a)$ pour sortir le scalaire $t$, puis le fait que $\Vert tv\Vert =|t|\cdot \Vert v\Vert$ avec $\Vert v\Vert$ constant, ce qui donne $o(\Vert tv\Vert )=o(t)$. En divisant par $t\ne 0$ :

$$\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=\mathrm{d}f(a)\cdot v+\frac{o(t)}{t}\underset{t\to 0}{\to }\mathrm{d}f(a)\cdot v.$$

Donc $D_{v}f(a)$ existe et vaut $\mathrm{d}f(a)\cdot v$. La linéarité en $v$ est alors celle de la forme linéaire $\mathrm{d}f(a)$. $\square$

Il faut maintenant énoncer très clairement le piège central du chapitre. Il est responsable de plus d'erreurs à lui seul que tout le reste réuni.

Méthode : étudier une fonction en un point de recollement

La situation type est celle d'une fonction définie par une formule sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et prolongée par une valeur à l'origine. Toutes les questions se ramènent au même protocole.

Pour que le protocole ne donne pas l'impression que tout recollement est pathologique, voici le même travail sur une fonction qui, elle, passe tous les tests.

Règle de la chaîne

On sait dériver le long des axes ; il faut maintenant savoir dériver le long d'un chemin quelconque, puis composer deux fonctions de plusieurs variables. C'est la partie la plus calculatoire du chapitre, et la plus exigeante en rigueur de notation.

Dérivation le long d'un chemin

Démonstration (rédigée en dimension $p=2$, le cas général étant identique). Notons $f(x,y)$ la fonction, $x,y:I\to \mathbb{R}$ les deux chemins, et $g(t)=f(x(t),y(t))$. Fixons $t_0\in I$ et posons $a=(x(t_0),y(t_0))\in \Omega$. Pour $t\in I$, posons

$$h(t)=x(t)-x(t_0),k(t)=y(t)-y(t_0),$$

de sorte que $(x(t),y(t))=a+(h(t),k(t))$. Comme $x$ et $y$ sont dérivables donc continues, $(h(t),k(t))\to (0,0)$ quand $t\to t_0$.

Le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$ (théorème admis, applicable car $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$) donne

$$g(t)-g(t_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(a)h(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(a)k(t)+\Vert (h(t),k(t))\Vert \epsilon (h(t),k(t)),$$

où $\epsilon (u)\to 0$ quand $u\to (0,0)$. Divisons par $t-t_0\ne 0$ et examinons les trois termes.

Les deux premiers ne posent pas de difficulté : $\frac{h(t)}{t-t_0}\to x^{\prime }(t_0)$ et $\frac{k(t)}{t-t_0}\to y^{\prime }(t_0)$ par définition de la dérivabilité de $x$ et de $y$ en $t_0$.

Pour le troisième, écrivons

$$\frac{\Vert (h(t),k(t))\Vert }{|t-t_0|}=\Vert \left(\frac{h(t)}{t-t_0},\frac{k(t)}{t-t_0}\right)\Vert \underset{t\to t_0}{\to }\Vert (x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0))\Vert ,$$

par continuité de la norme. Ce quotient est donc borné au voisinage de $t_0$. Comme par ailleurs $\epsilon (h(t),k(t))\to 0$, le produit des deux tend vers $0$.

En passant à la limite quand $t\to t_0$, on obtient que $g$ est dérivable en $t_0$ avec

$$g^{\prime }(t_0)=x^{\prime }(t_0)\frac{\partial f}{\partial x}(a)+y^{\prime }(t_0)\frac{\partial f}{\partial y}(a).\square$$

Composition de deux fonctions de plusieurs variables

Démonstration. À $j$ fixé et $u$ fixé, on applique la règle de la chaîne du paragraphe précédent au chemin $t\mapsto x(u+t{e}_j)$, dont la dérivée en $t=0$ a pour $i$-ième coordonnée $\frac{\partial x_i}{\partial u_j}(u)$. On obtient exactement la formule annoncée. La continuité des $\frac{\partial g}{\partial u_j}$ résulte alors de ce que le second membre est une somme de produits de fonctions continues (les $\frac{\partial x_i}{\partial u_j}$ le sont par hypothèse, et $u\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u))$ est continue comme composée de fonctions continues). $\square$

Le cas des coordonnées polaires

Le programme précise que ce cas particulier doit être connu. Il faut savoir le retrouver en trente secondes, dans les deux sens.

Démonstration. On applique la règle de la chaîne avec $n=p=2$, les nouvelles variables étant $(u_1,u_2)=(r,\theta )$ et les anciennes $x(r,\theta )=r\cos \theta$, $y(r,\theta )=r\sin \theta$. Ces deux fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^2$, avec

$$\frac{\partial x}{\partial r}=\cos \theta ,\frac{\partial x}{\partial \theta }=-r\sin \theta ,\frac{\partial y}{\partial r}=\sin \theta ,\frac{\partial y}{\partial \theta }=r\cos \theta .$$

La formule générale $\frac{\partial g}{\partial u_j}=\frac{\partial x}{\partial u_j}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial u_j}\frac{\partial f}{\partial y}$ donne alors les deux égalités annoncées. $\square$

Le vrai exercice, et le classique absolu du chapitre, est d'inverser ce système : exprimer les dérivées partielles de $f$ en fonction de celles de $g$. Faisons le calcul complètement.

Écrivons le système sous forme matricielle. En abrégeant $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$ et $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}$ (évaluées en $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$), les deux relations précédentes s'écrivent

$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial g}{\partial r}\\ \frac{\partial g}{\partial \theta }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right).$$

Le déterminant de cette matrice vaut $r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$. Elle est donc inversible si et seulement si $r\ne 0$, ce qui est la condition attendue : l'origine est le point où les coordonnées polaires dégénèrent. Pour $r\ne 0$, la formule d'inversion d'une matrice $2\times 2$ donne

$${\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{r}\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & -\sin \theta \\ r\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\frac{\sin \theta }{r}\\ \sin \theta & \frac{\cos \theta }{r}\end{array}\right),$$

d'où le résultat cherché.

Vérification par élimination directe (c'est ainsi qu'on la refait au brouillon si l'on a oublié la matrice). Multiplions la première relation par $\cos \theta$ et la seconde par $-\frac{\sin \theta }{r}$, puis additionnons :

$$\begin{array}{rl}\cos \theta \frac{\partial g}{\partial r}& ={\cos }^2\theta f_x+\sin \theta \cos \theta f_y,\\ -\frac{\sin \theta }{r}\frac{\partial g}{\partial \theta }& ={\sin }^2\theta f_x-\sin \theta \cos \theta f_y.\end{array}$$

La somme vaut $({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )f_x=f_x$ : la première formule est établie. De même, en multipliant la première relation par $\sin \theta$ et la seconde par $\frac{\cos \theta }{r}$ :

$$\begin{array}{rl}\sin \theta \frac{\partial g}{\partial r}& =\sin \theta \cos \theta f_x+{\sin }^2\theta f_y,\\ \frac{\cos \theta }{r}\frac{\partial g}{\partial \theta }& =-\sin \theta \cos \theta f_x+{\cos }^2\theta f_y,\end{array}$$

et la somme vaut $f_y$. $\square$

Fonctions constantes sur un ouvert convexe

Les exemples usuels sont ${\mathbb{R}}^p$ tout entier, une boule (ouverte ou fermée), un demi-espace, un pavé, un disque, un triangle plein. En revanche ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ n'est pas convexe, et une réunion de deux boules disjointes non plus.

Démonstration.

Sens direct. Supposons $f$ constante sur $\Omega$, égale à une constante $c$. Soient $a\in \Omega$ et $i\in \{1,\dots ,p\}$. Comme $\Omega$ est ouvert, il existe $\delta >0$ tel que $a+t{e}_i\in \Omega$ pour $|t|<\delta$. La fonction $t\mapsto f(a+t{e}_i)$ est alors constante égale à $c$ sur $\left]-\delta ,\delta \right[$, donc de dérivée nulle en $0$, c'est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0$. (Ce sens n'utilise pas la convexité.)

Sens réciproque. Supposons toutes les dérivées partielles nulles sur $\Omega$, et montrons que $f$ prend la même valeur en deux points quelconques. Soient donc $a,b\in \Omega$. Par convexité, le segment $[a,b]$ est inclus dans $\Omega$, ce qui permet de définir

$$\phi :[0,1]\to \mathbb{R},\phi (t)=f(a+t(b-a)).$$

La fonction $t\mapsto a+t(b-a)$ a pour coordonnées les fonctions affines $t\mapsto a_i+t(b_i-a_i)$, qui sont de classe ${\mathcal{C}}^1$, de dérivée constante $b_i-a_i$. Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\Omega$, la règle de la chaîne s'applique et donne, pour tout $t\in [0,1]$,

$${\phi }^{\prime }(t)=\sum _{i=1}^p(b_i-a_i)\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+t(b-a))=0,$$

puisque toutes les dérivées partielles sont nulles sur $\Omega$ et que le point $a+t(b-a)$ appartient à $\Omega$.

Ainsi $\phi$ est une fonction numérique dérivable de dérivée nulle sur l'intervalle $[0,1]$ : elle y est constante. En particulier $\phi (1)=\phi (0)$, c'est-à-dire $f(b)=f(a)$.

Les points $a$ et $b$ étant quelconques dans $\Omega$, la fonction $f$ est constante sur $\Omega$. $\square$

Gradient

Le gradient n'apporte aucune information nouvelle par rapport à la différentielle : il en est simplement la traduction vectorielle, rendue possible par la structure euclidienne de ${\mathbb{R}}^p$. Cette traduction est précieuse, parce qu'un vecteur a une direction et un sens, ce qu'une forme linéaire n'a pas de façon visible.

Démonstration. Par définition, $\mathrm{d}f(a)\cdot h={\sum }_{i=1}^p\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i$. Or le produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^p$ est précisément $⟨u,v⟩={\sum }_{i=1}^p{u}_i{v}_i$. En prenant $u=\nabla f(a)$, dont la $i$-ième coordonnée est $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$, et $v=h$, on obtient l'égalité annoncée. Les deux autres formules s'en déduisent en remplaçant $\mathrm{d}f(a)\cdot h$ par $⟨\nabla f(a),h⟩$ dans les énoncés déjà établis. $\square$

Voici maintenant la seule interprétation géométrique du gradient qui soit au programme de PC. Elle mérite d'être démontrée soigneusement, car sa preuve est un modèle d'utilisation de Cauchy-Schwarz.

Démonstration. Notons $N=\Vert \nabla f(a)\Vert >0$ et soit $v\in {\mathbb{R}}^p$ un vecteur unitaire, c'est-à-dire $\Vert v\Vert =1$. Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$,

$$D_{v}f(a)=⟨\nabla f(a),v⟩.$$

Majoration. L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne

$$|D_{v}f(a)|=|⟨\nabla f(a),v⟩|⩽\Vert \nabla f(a)\Vert \times \Vert v\Vert =N,$$

donc $-N⩽D_{v}f(a)⩽N$ pour tout vecteur unitaire $v$.

La borne est atteinte. Pour $v=u=\frac{\nabla f(a)}{N}$, qui est bien unitaire, on calcule

$$D_{u}f(a)=⟨\nabla f(a),\frac{\nabla f(a)}{N}⟩=\frac{1}{N}\Vert \nabla f(a){\Vert }^2=\frac{N^2}{N}=N.$$

Le maximum $N$ est donc effectivement atteint en $v=u$. De même $D_{-u}f(a)=-N$.

Unicité du maximisant. Soit $v$ unitaire tel que $D_{v}f(a)=N$. En écrivant $\nabla f(a)=Nu$, on obtient $⟨Nu,v⟩=N$, donc $⟨u,v⟩=1$ puisque $N\ne 0$. Or $u$ et $v$ sont unitaires, donc

$$\Vert u-v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2-2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2=1-2+1=0,$$

ce qui impose $v=u$. Le vecteur unitaire réalisant le maximum est donc unique. $\square$

Fonctions de classe C2

On dérive maintenant les dérivées partielles. Deux résultats dominent cette section, et tous deux sont admis : le théorème de Schwarz, qui autorise à intervertir l'ordre de dérivation, et la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$, qui prépare l'étude des extremums.

Dérivées partielles d'ordre 2

Théorème de Schwarz

La démonstration est hors programme. En revanche, il faut savoir que l'hypothèse « de classe ${\mathcal{C}}^2$ » est réellement nécessaire.

Matrice hessienne

Démonstration. Le coefficient d'indice $(i,j)$ de $H_f(a)$ est $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(a)$ et celui d'indice $(j,i)$ est $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}(a)$. Le théorème de Schwarz affirme qu'ils sont égaux, donc ${}^t{H}_f(a)=H_f(a)$. $\square$

En dimension $2$ et $3$, la hessienne s'écrit explicitement, en notant les variables $(x,y)$ ou $(x,y,z)$ :

$$H_f(a)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(a)\end{array}\right),H_f(a)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}\end{array}\right),$$

toutes les dérivées de la seconde matrice étant évaluées en $a$.

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2

Le terme d'ordre $2$ est donc la forme quadratique associée à la hessienne, évaluée en $h$. C'est exactement l'objet dont le chapitre euclidien donne la clé : son signe se lit sur les valeurs propres de $H_f(a)$.

Extremums

Tout le chapitre converge ici. On cherche les points où une fonction de plusieurs variables atteint une valeur extrême, et l'on dispose pour cela de deux outils : le gradient (ordre $1$), qui sélectionne les candidats, et la hessienne (ordre $2$), qui tranche sur leur nature.

Vocabulaire

Condition nécessaire d'ordre 1

Démonstration. Quitte à remplacer $f$ par $-f$ — ce qui ne change ni la classe ${\mathcal{C}}^1$, ni l'ensemble des points critiques puisque $\nabla (-f)=-\nabla f$, et transforme un maximum en minimum — on peut supposer que $f$ admet un minimum local en $a$.

Il existe donc $r_1>0$ tel que $f(x)⩾f(a)$ pour tout $x\in \Omega \cap B(a,r_1)$. Par ailleurs, $\Omega$ étant ouvert, il existe $r_2>0$ tel que $B(a,r_2)\subset \Omega$. Posons $r=\min (r_1,r_2)>0$ : on a alors $B(a,r)\subset \Omega$ et $f(x)⩾f(a)$ pour tout $x\in B(a,r)$.

Fixons $i\in \{1,\dots ,p\}$ et considérons la fonction partielle

$${\phi }_i:\left]-r,r\right[\to \mathbb{R},{\phi }_i(t)=f(a+t{e}_i).$$

Elle est bien définie, car $\Vert (a+t{e}_i)-a\Vert =|t|<r$ donc $a+t{e}_i\in B(a,r)\subset \Omega$.

Deux points sont maintenant à observer.

D'une part, ${\phi }_i$ est dérivable en $0$, de dérivée ${\phi }_i^{\prime }(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ : c'est exactement la définition de la $i$-ième dérivée partielle, qui existe puisque $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$.

D'autre part, pour tout $t\in \left]-r,r\right[$, le point $a+t{e}_i$ appartient à $B(a,r)$, donc ${\phi }_i(t)=f(a+t{e}_i)⩾f(a)={\phi }_i(0)$. La fonction numérique ${\phi }_i$ admet donc un minimum en $0$, et ce point $0$ est intérieur à l'intervalle $\left]-r,r\right[$.

Le théorème de première année sur l'extremum intérieur d'une fonction dérivable d'une variable s'applique alors : ${\phi }_i^{\prime }(0)=0$, c'est-à-dire

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0.$$

Ceci valant pour tout $i\in \{1,\dots ,p\}$, on conclut que $\nabla f(a)=0$. $\square$

Condition suffisante d'ordre 2

Voici l'idée de la démonstration. Elle n'est pas exigible telle quelle, mais elle explique tout, et il est bon de savoir la reproduire dans ses grandes lignes.

Comme $a$ est un point critique, $\nabla f(a)=0$ et la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ se réduit à

$$f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}{}^{t}h{H}_f(a)h+o(\Vert h{\Vert }^2).$$

Tout se joue donc sur le signe de la forme quadratique $h\mapsto {}^{t}h{H}_f(a)h$, et la matrice $H_f(a)$ étant symétrique réelle, le théorème spectral donne accès à ce signe par les valeurs propres.

Cas 1. Supposons $H=H_f(a)\in {\mathcal{S}}_p^{++}(\mathbb{R})$, et notons ${\lambda }_{\min }>0$ sa plus petite valeur propre. L'encadrement de Rayleigh, acquis au chapitre euclidien, donne ${}^{t}hHh⩾{\lambda }_{\min }\Vert h{\Vert }^2$ pour tout $h$. En écrivant le reste sous la forme $\Vert h{\Vert }^2\epsilon (h)$ avec $\epsilon (h)\to 0$, on obtient

$$f(a+h)-f(a)⩾\Vert h{\Vert }^2\left(\frac{{\lambda }_{\min }}{2}+\epsilon (h)\right).$$

Comme $\epsilon (h)\to 0$, il existe $\rho >0$ tel que $|\epsilon (h)|⩽\frac{{\lambda }_{\min }}{4}$ dès que $\Vert h\Vert <\rho$. Pour un tel $h$ non nul,

$$f(a+h)-f(a)⩾\frac{{\lambda }_{\min }}{4}\Vert h{\Vert }^2>0,$$

ce qui est exactement un minimum local strict en $a$.

Cas 2. Supposons $H\notin {\mathcal{S}}_p^{+}(\mathbb{R})$. Par la caractérisation spectrale des matrices positives, $H$ possède une valeur propre $\mu <0$ ; soit $u$ un vecteur propre unitaire associé. Prenons $h=tu$ avec $t$ réel petit. Alors ${}^{t}hHh=t^2{}^{t}uHu=t^2\mu \Vert u{\Vert }^2=\mu t^2$, et

$$f(a+tu)-f(a)=\frac{\mu }{2}{t}^2+o(t^2)=t^2\left(\frac{\mu }{2}+o(1)\right).$$

Comme $\frac{\mu }{2}<0$, cette quantité est strictement négative pour $t\ne 0$ assez petit. Il existe donc, arbitrairement près de $a$, des points où $f$ prend une valeur strictement inférieure à $f(a)$ : $f$ n'a pas de minimum local en $a$.

Explicitation pour p = 2

En deux variables, on n'a pas besoin de calculer les valeurs propres : le déterminant et la trace suffisent, puisqu'ils en donnent le produit et la somme.

Démonstration. La matrice $H=H_f(a)$ est symétrique réelle : d'après le théorème spectral, elle est diagonalisable et ses deux valeurs propres ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ sont réelles. Les relations coefficients-racines du polynôme caractéristique d'une matrice $2\times 2$ donnent

$${\lambda }_1{\lambda }_2=\det H=\Delta ,{\lambda }_1+{\lambda }_2=\mathrm{tr}H=T.$$

Cas 1 et 2. Si $\Delta >0$, les deux valeurs propres sont non nulles et de même signe, lequel est celui de leur somme $T$ (qui est donc automatiquement non nulle). Si $T>0$, elles sont toutes deux strictement positives, donc $H\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$ par la caractérisation spectrale, et le théorème du second ordre donne un minimum local strict. Si $T<0$, elles sont toutes deux strictement négatives, donc $-H\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$ et l'on obtient un maximum local strict.

Cas 3. Si $\Delta <0$, les deux valeurs propres sont non nulles et de signes opposés : disons ${\lambda }_1>0>{\lambda }_2$. Alors $H\notin {\mathcal{S}}_2^{+}(\mathbb{R})$ à cause de ${\lambda }_2$, donc $f$ n'a pas de minimum en $a$ ; et $-H\notin {\mathcal{S}}_2^{+}(\mathbb{R})$ à cause de $-{\lambda }_1<0$, donc $f$ n'a pas non plus de maximum en $a$.

Cas 4. Si $\Delta =0$, l'une au moins des valeurs propres est nulle : on est dans le cas douteux évoqué plus haut. $\square$

Le critère se résume ainsi.

Méthode : chercher les extremums

Les deux situations, ouvert et fermé borné, ne se traitent pas du tout de la même manière. Il faut commencer par identifier laquelle est en jeu.

En trois variables, le critère par le déterminant et la trace n'existe plus : on revient à la définition, c'est-à-dire au signe des valeurs propres de la hessienne. Voici comment cela se rédige.

Extremums globaux

Trois exemples complets, correspondant aux trois situations que l'on rencontre.

Récapitulatif

Terminons par les cinq erreurs qui coûtent le plus de points en copie, dans l'ordre de fréquence observée.

Erreur 1 — Croire que l'existence des dérivées partielles suffit. C'est le piège central du chapitre. Une fonction peut admettre ses deux dérivées partielles en un point sans y être continue : le contre-exemple $\frac{xy}{x^2+y^2}$ doit être connu et cité. Toute la théorie repose sur la classe ${\mathcal{C}}^1$, c'est-à-dire sur la continuité des dérivées partielles.

Erreur 2 — Conclure du local au global. Écrire « $(1,1)$ est le seul point critique et c'est un minimum local, donc c'est le minimum global de $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$ » est un raisonnement faux : $x^3+y^3-3xy$ le réfute exactement. Le passage au global exige soit une inégalité valable partout, soit un argument de compacité.

Erreur 3 — Oublier le bord. Sur une partie fermée, un extremum peut parfaitement être atteint en un point du bord, où le gradient ne s'annule pas : la condition nécessaire d'ordre $1$ ne s'applique qu'aux points intérieurs. Une étude sur un fermé qui ne traite que les points critiques est incomplète, donc fausse.

Erreur 4 — Confondre les variables dans une composition. Écrire $\frac{\partial f}{\partial r}$ alors que $f$ est fonction de $(x,y)$, ou évaluer $\frac{\partial f}{\partial x}$ au point $(r,\theta )$ au lieu de $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, rend tout le calcul inexploitable. Nommer la composée et écrire les points d'évaluation coûte trois secondes et sauve une question entière.

Erreur 5 — Franchir le programme. Multiplicateurs de Lagrange, plan tangent, orthogonalité du gradient aux lignes de niveau, matrice jacobienne : ces outils ne sont pas au programme de PC et leur usage ne rapporte aucun point, même quand le résultat est juste. Une contrainte se traite par substitution ou par paramétrage explicite du bord, jamais autrement.