Exercices — Calcul différentiel

On considère les trois fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ et à valeurs vectorielles.

1. Justifier que $f$, $g$ et $h$ sont de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$.

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(t)$, $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $h^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ et $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$.

3. Calculer $\mathrm{\parallel }{g}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }$ et $\mathrm{\parallel }{h}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }$ pour tout $t\in \mathbb{R}$, en simplifiant au maximum. Interpréter cinématiquement le résultat obtenu pour $h$.

4. Écrire le développement limité d'ordre 1 de $f$ en $t=1$, puis celui de $h$ en $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes : préciser l'ouvert $\mathrm{\Omega }$ sur lequel elle est définie, justifier en une phrase qu'elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathrm{\Omega }$, puis calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 en tout point de $\mathrm{\Omega }$.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }x}}(1,0)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }m}{\mathrm{\partial }y}}(\mathrm{e},2)$.

On rappelle que, pour une fonction $f$ définie sur un ouvert $\mathrm{\Omega }$ de ${\mathbb{R}}^p$, un point $a\in \mathrm{\Omega }$ et un vecteur $v\in {\mathbb{R}}^p$, la dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$ est

$$D_{v}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$$

lorsque cette limite existe.

Dans les questions 1, 2 et 4, on pose $f(x,y)=x^2+3xy-y^2$, $a=(1,2)$ et $v=(2,-1)$.

1. Calculer $f(a+tv)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$, puis en déduire $D_{v}f(a)$ en revenant à la définition.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(a)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(a)$, puis retrouver $D_{v}f(a)$ à l'aide de la formule

$$D_{v}f(a)=\sum _{i=1}^p{v}_i\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_i}(a),$$

valable parce que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$.

3. Calculer de la même façon, par la formule directe :

4. Déterminer tous les vecteurs unitaires $u$ de ${\mathbb{R}}^2$ tels que $D_{u}f(a)=0$.

1. Calculer le gradient de chacune des fonctions suivantes en un point quelconque, puis au point indiqué.

2. Soit $\phi$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $\mathrm{\Omega }$ de ${\mathbb{R}}^p$ et $\alpha \in \mathrm{\Omega }$ tel que $\mathrm{\nabla }\phi (\alpha )\mathrm{\ne }0$. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et de son cas d'égalité, montrer que

$$\underset{\mathrm{\parallel }u\mathrm{\parallel }=1}{\max }{D}_u\phi (\alpha )=\parallel \mathrm{\nabla }\phi (\alpha )\parallel ,$$

et préciser l'unique vecteur unitaire qui réalise ce maximum.

3. Appliquer la question précédente à $f$ au point $a$, puis à $h$ au point $c$.

4. La température d'une plaque, en degrés Celsius, est donnée en tout point $(x,y)$ par $T(x,y)=20+x^2+xy$, où $x$ et $y$ sont exprimés en mètres. On se place au point $M_0=(3,-2)$. Dans quelle direction faut-il partir pour que la température croisse le plus vite possible, et de combien augmente-t-elle alors par mètre parcouru ?

On rappelle que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $\mathrm{\Omega }$ de ${\mathbb{R}}^2$ et $a\in \mathrm{\Omega }$, la différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire

$$\mathrm{d}f(a):h=(h_1,h_2)⟼\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(a)h_1+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(a)h_2=⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩\mathrm{.}$$

1. Expliciter $\mathrm{d}f(a)\cdot h$ en fonction de $h_1$ et $h_2$ dans les deux cas suivants.

2. Écrire, dans chacun des deux cas, le développement limité d'ordre 1 correspondant.

3. Le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est $V(r,h)=\pi r^{2}h$. On part d'un cylindre de rayon $r_0=10$ cm et de hauteur $h_0=20$ cm ; le rayon augmente de $2\mathrm{\%}$ et la hauteur diminue de $\mathrm{1,5}\mathrm{\%}$.

a. Estimer la variation de volume à l'aide du développement limité d'ordre 1.

b. Calculer la variation exacte, comparer les deux valeurs et expliquer l'écart.

On rappelle la règle de la chaîne : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $\mathrm{\Omega }$ de ${\mathbb{R}}^2$ et si $x$ et $y$ sont dérivables sur un intervalle $I$, avec $(x(t),y(t))\in \mathrm{\Omega }$ pour tout $t\in I$, alors la fonction $g:t\mapsto f(x(t),y(t))$ est dérivable sur $I$ et

$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x(t),y(t))x^{\mathrm{\prime }}(t)+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x(t),y(t))y^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$

1. On prend $f(x,y)=x^{2}y$, $x(t)=\cos t$ et $y(t)=\sin t$, pour $t\in \mathbb{R}$.

a. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la règle de la chaîne.

b. Expliciter $g(t)$, dériver directement, et vérifier que l'on retrouve le même résultat.

2. Mêmes questions avec $f(x,y)=\ln (1+x^2+y^2)$, $x(t)=t$ et $y(t)=t^2$.

3. On pose maintenant $f(x,y,z)={\displaystyle \frac{xy}{1+z^2}}$ et $\gamma (t)=({\mathrm{e}}^t,\cos t,t)$, puis $g(t)=f(\gamma (t))$. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la règle de la chaîne, étendue à trois variables, puis donner la valeur de $g^{\mathrm{\prime }}(0)$.

On considère les trois fonctions suivantes, avec le point où l'on travaillera.

1. Justifier que ces trois fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert indiqué, puis calculer leurs dérivées partielles d'ordre 1.

2. Calculer toutes les dérivées partielles d'ordre 2 : quatre pour $f$, quatre pour $g$, neuf pour $n$.

3. Vérifier explicitement l'égalité des dérivées croisées, et énoncer le théorème qui la garantissait a priori.

4. Écrire les matrices hessiennes $H_f(a)$, $H_g(b)$ et $H_n(c)$, puis calculer leur déterminant et leur trace.

On rappelle qu'un point critique d'une fonction $\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $\mathrm{\Omega }$ de ${\mathbb{R}}^2$ est un point $a\in \mathrm{\Omega }$ en lequel $\mathrm{\nabla }\phi (a)=0$, c'est-à-dire un point où les deux dérivées partielles d'ordre 1 s'annulent simultanément.

Déterminer tous les points critiques des fonctions suivantes, toutes définies et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On ne demande pas d'étudier la nature de ces points.

On considère les quatre fonctions ci-dessous, de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert $\mathrm{\Omega }$ indiqué.

1. Déterminer les points critiques de chacune de ces quatre fonctions.

2. En chacun de ces points, écrire la matrice hessienne et conclure quant à la nature du point critique à l'aide du critère pour $p=2$ : signe de $\det H$, puis de $\mathrm{t}\mathrm{r}H$.

3. Les extremums locaux obtenus en a et en c sont-ils globaux ?

Dans tout l'exercice, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme associée $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Les fonctions $f$ et $g$ vont de $I$ dans ${\mathbb{R}}^n$.

1. Soient $f$ et $g$ dérivables sur $I$. En écrivant le produit scalaire à l'aide des coordonnées dans la base canonique, montrer que $\phi :t\mapsto ⟨f(t),g(t)⟩$ est dérivable sur $I$, de dérivée

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=⟨f^{\mathrm{\prime }}(t),g(t)⟩+⟨f(t),g^{\mathrm{\prime }}(t)⟩$$

De quel résultat général du cours cette formule est-elle un cas particulier ?

2. En déduire la dérivée de $t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t){\mathrm{\parallel }}^2$.

3. On suppose de plus que $f$ ne s'annule pas sur $I$. Montrer que $N:t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$ est dérivable sur $I$ et calculer $N^{\mathrm{\prime }}(t)$. Que se passe-t-il si l'on retire cette hypothèse ?

4. Applications numériques, avec $n=3$, $I=\mathbb{R}$ et

$$f(t)=(\cos t,\sin t,t),g(t)=(t,1,{\mathrm{e}}^t)$$

a. Calculer la dérivée de $\phi =⟨f,g⟩$ par la formule de la question 1, puis en explicitant $\phi (t)$ et en dérivant directement. Comparer.

b. Vérifier que $f$ ne s'annule pas, expliciter $N(t)=\mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$, puis calculer $N^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la formule de la question 3 et par dérivation directe.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme associée. Un point matériel $M$ se déplace dans l'espace : à l'instant $t$ d'un intervalle $I$, sa position est repérée par le vecteur $\vec{r}(t)\in {\mathbb{R}}^3$, et l'on suppose la fonction $\vec{r}$ dérivable sur $I$. Le vecteur vitesse est $\vec{r}{}^{\mathrm{\prime }}(t)$.

On utilisera librement le résultat du cours suivant : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dérivables sur $I$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^3$, alors $t\mapsto ⟨\vec{u}(t),\vec{v}(t)⟩$ est dérivable, de dérivée $⟨\vec{u}{}^{\mathrm{\prime }},\vec{v}⟩+⟨\vec{u},\vec{v}{}^{\mathrm{\prime }}⟩$.

1. Montrer que $t\mapsto \mathrm{\parallel }\vec{r}(t)\mathrm{\parallel }$ est constante sur $I$ si et seulement si $⟨\vec{r}(t),\vec{r}{}^{\mathrm{\prime }}(t)⟩=0$ pour tout $t\in I$. On traitera soigneusement les deux implications.

2. Interpréter cinématiquement ce résultat.

3. Soient $R>0$ et $\alpha \in ]0,\pi [$ fixés. On prend $I=\mathbb{R}$ et

$$\vec{r}(t)=R(\cos t\sin \alpha ,\sin t\sin \alpha ,\cos \alpha )$$

Vérifier que le mouvement a lieu sur la sphère de centre l'origine et de rayon $R$, contrôler la propriété de la question 1 par le calcul, puis déterminer le vecteur vitesse et son module.

4. Soit $\vec{a}$ un vecteur fixe de ${\mathbb{R}}^3$. Que peut-on dire du mouvement lorsque $t\mapsto \mathrm{\parallel }\vec{r}(t)-\vec{a}\mathrm{\parallel }$ est constante ?

5. Soit $\vec{u}$ un vecteur fixe non nul. On suppose que $⟨\vec{r}{}^{\mathrm{\prime }}(t),\vec{u}⟩=0$ pour tout $t\in I$. Montrer que le mouvement reste dans un plan.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. On note $\wedge$ l'application ${\mathbb{R}}^3\times {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ du produit vectoriel ; on admet qu'elle est bilinéaire et antisymétrique, c'est-à-dire que $u\wedge v=-v\wedge u$, et l'on n'utilisera que ces deux propriétés.

Un point matériel a pour vecteur position $\vec{r}(t)$ à l'instant $t$, où $\vec{r}$ est une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un intervalle $I$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^3$ ; $\vec{r}{}^{\mathrm{\prime }}(t)$ est sa vitesse et $\vec{r}{}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ son accélération. On pose

$$\vec{\sigma }(t)=\vec{r}(t)\wedge \vec{r}{}^{\mathrm{\prime }}(t)$$

1. Montrer que $\vec{w}\wedge \vec{w}=\vec{0}$ pour tout $\vec{w}\in {\mathbb{R}}^3$. En déduire que $\vec{\sigma }$ est dérivable sur $I$, de dérivée $\vec{\sigma }{}^{\mathrm{\prime }}(t)=\vec{r}(t)\wedge \vec{r}{}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$.

2. On dit que le mouvement est à force centrale lorsqu'il existe une fonction $\lambda :I\to \mathbb{R}$ telle que $\vec{r}{}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=\lambda (t)\vec{r}(t)$ pour tout $t\in I$, c'est-à-dire lorsque l'accélération est à chaque instant colinéaire au vecteur position. Montrer que $\vec{\sigma }$ est alors un vecteur constant.

3. Soient ${\vec{e}}_1$ et ${\vec{e}}_2$ deux vecteurs fixes de ${\mathbb{R}}^3$, $\vec{w}={\vec{e}}_1\wedge {\vec{e}}_2$, et $\rho :I\to \mathbb{R}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$. On considère le mouvement défini par

$$\vec{r}(t)=\rho (t)(\cos t{\vec{e}}_1+\sin t{\vec{e}}_2)$$

Calculer $\vec{\sigma }(t)$ en fonction de $\rho (t)$ et de $\vec{w}$. Vérifier ensuite, dans le cas où $\rho$ est la fonction constante égale à $1$, que le mouvement est à force centrale, et contrôler la conclusion de la question 2.

4. Montrer que $\psi :t\mapsto ⟨\vec{r}(t)\wedge \vec{r}{}^{\mathrm{\prime }}(t),\vec{r}(t)⟩$ est dérivable sur $I$ et exprimer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)$. Que devient cette expression pour un mouvement à force centrale ?

Pour $C_1,\dots ,C_n$ dans ${\mathbb{R}}^n$, on note $\det (C_1,\dots ,C_n)$ le déterminant de la matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ dont les colonnes sont $C_1,\dots ,C_n$. Dans tout l'exercice, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.

1. L'application $\det$ est $n$-linéaire par rapport aux colonnes. En déduire, en citant le résultat du cours sur la dérivée de $M(f_1,\dots ,f_p)$ pour $M$ $p$-linéaire (démonstration non exigible), que si $C_1,\dots ,C_n:I\to {\mathbb{R}}^n$ sont dérivables, alors $D:t\mapsto \det (C_1(t),\dots ,C_n(t))$ est dérivable sur $I$, et écrire $D^{\mathrm{\prime }}(t)$.

2. On prend $n=2$, $I=\mathbb{R}$ et $C_1(t)=\left(\begin{array}{c}\cos t\\ t\end{array}\right)$, $C_2(t)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^t\\ 1\end{array}\right)$. Calculer $D^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la formule de la question 1, puis en explicitant d'abord $D(t)$ et en dérivant. Comparer.

3. On prend $n=3$, $I=\mathbb{R}$ et $D(t)=\det \left(\begin{array}{ccc}t& 1& 0\\ 1& t& 1\\ 0& 1& t\end{array}\right)$. Calculer $D^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la formule de la question 1, puis vérifier le résultat en développant $D(t)$.

4. Soit $B=\left(b_{ij}\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On pose $\phi (t)=\det (I_n+tB)$ pour $t\in \mathbb{R}$.

a. Pour $n=2$, expliciter $\phi (t)$ et en déduire ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$.

b. Pour $n=3$, montrer que dans le développement du déterminant, un seul des six produits n'est pas divisible par $t^2$, et en déduire ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$.

c. Cas général : montrer, à l'aide de la formule de la question 1, que $\phi$ est dérivable et que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)=\mathrm{t}\mathrm{r}(B)$.

5. Application numérique : expliciter $\phi$ pour $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et vérifier. Donner ensuite ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$ pour $B^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 3\\ 1& 0& 4\end{array}\right)$.

Partie A

On définit $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ par $f(0,0)=0$ et, pour $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$,

$$f(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$$

1. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et y calculer ses dérivées partielles d'ordre 1.

2. Montrer que $f$ admet en $(0,0)$ deux dérivées partielles d'ordre 1, et les calculer par le taux d'accroissement.

3. Montrer que $f$ n'est pourtant pas continue en $(0,0)$, en étudiant $f$ le long de la droite d'équation $y=x$.

4. Qu'en conclure sur la classe de $f$ en $(0,0)$, et sur la portée de l'existence des dérivées partielles ?

Partie B

On définit $g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ par $g(0,0)=0$ et, pour $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$,

$$g(x,y)={\displaystyle \frac{x^3}{x^2+y^2}}$$

1. Montrer que $g$ est continue en $(0,0)$.

2. Calculer les dérivées partielles de $g$ en $(0,0)$.

3. Montrer que $g$ n'admet pas de développement limité d'ordre 1 en $(0,0)$. En déduire que $g$ n'est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur aucun ouvert contenant l'origine.

4. Récapituler la hiérarchie des trois propriétés (existence des dérivées partielles, continuité, classe ${\mathcal{C}}^1$) et les implications valides.

Toutes les fonctions de cet exercice sont définies sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et l'on cherche si elles admettent une limite en $(0,0)$.

La méthode. Tout point $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ s'écrit $x=r\cos \theta$ et $y=r\sin \theta$ avec $r=\parallel (x,y)\parallel >0$ et $\theta \in \mathbb{R}$, et $(x,y)\to (0,0)$ équivaut à $r\to 0^{+}$. Pour conclure que la limite vaut $\mathrm{\ell }$, il faut obtenir une majoration de la forme $\mid f(r\cos \theta ,r\sin \theta )-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon (r)$, où $\epsilon (r)\to 0$ et où le majorant est indépendant de $\theta$.

1. Étudier l'existence d'une limite en $(0,0)$ pour les trois fonctions suivantes.

2. On pose maintenant $\phi (x,y)={\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^4+y^2}}$.

a. Montrer que la restriction de $\phi$ à toute droite passant par l'origine, privée de l'origine, tend vers $0$ en $(0,0)$. On traitera séparément la droite d'équation $x=0$ et les droites d'équation $y=mx$, $m\in \mathbb{R}$.

b. Calculer $\phi (x,x^2)$ pour $x\mathrm{\ne }0$. Qu'en conclure quant à l'existence d'une limite de $\phi$ en $(0,0)$ ?

c. Écrire $\phi$ en coordonnées polaires. Que vaut la limite quand $r\to 0^{+}$, à $\theta$ fixé ? Pourquoi cela ne permet-il pas de conclure ?

3. Énoncer la conclusion méthodologique sur le passage en polaires.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On pose, pour tout $(r,\theta )\in {\mathbb{R}}^2$,

$$g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{.}$$

1. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}(r,\theta )$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}(r,\theta )$ à l'aide des dérivées partielles de $f$ évaluées au point $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

2. Soit $r>0$. Inverser le système obtenu à la question précédente : exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ en fonction de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}(r,\theta )$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}(r,\theta )$, $r$ et $\theta$.

3. Application. On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ vérifiant

$$x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=0\text{pour tout }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)\mathrm{.}$$

On conserve la notation $g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, définie cette fois sur $]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$.

a. Montrer que la relation demandée équivaut à ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}=0$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$.

b. En travaillant à $\theta$ fixé sur l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$, en déduire la forme de $f$, puis vérifier la réciproque.

4. Vérifier le résultat sur l'exemple $f(x,y)=\mathrm{Arctan}\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$, définie sur le demi-plan ouvert $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\}$.

1. Soit $\mathrm{\Omega }$ un ouvert convexe de ${\mathbb{R}}^p$ et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathrm{\Omega }$ telle que $\mathrm{\nabla }f(u)=0$ pour tout $u\in \mathrm{\Omega }$. Montrer que $f$ est constante sur $\mathrm{\Omega }$. On pourra fixer $a$ et $b$ dans $\mathrm{\Omega }$ et introduire $\phi (t)=f(a+t(b-a))$ pour $t\in [0,1]$.

2. Soit $\mathrm{\Omega }$ la réunion de deux boules ouvertes disjointes de ${\mathbb{R}}^2$. Construire sur $\mathrm{\Omega }$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$, de gradient nul en tout point, et non constante. Que conclure quant à l'hypothèse faite sur $\mathrm{\Omega }$ à la question 1 ?

3. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=2x+y\text{et}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=x-3y^2\mathrm{.}$$

4. Montrer qu'il n'existe en revanche aucune fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telle que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)=y^2$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)=x$.

Dans tout l'exercice, on note ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}\right)$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}\right)$.

1. Calculer les deux dérivées croisées des fonctions suivantes et vérifier qu'elles coïncident. Quel théorème permettait de le prévoir ?

2. On pose $f(0,0)=0$ et, pour $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$,

$$f(x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\mathrm{.}$$

a. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et y calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)$.

b. En déduire ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(0,y)$ pour $y\mathrm{\ne }0$, puis ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,0)$ pour $x\mathrm{\ne }0$.

c. Montrer que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(0,0)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(0,0)=0$.

d. En déduire ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}}(0,0)=-1$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}(0,0)=1$.

e. Conclure sur la classe de $f$ en $(0,0)$. Y a-t-il contradiction avec le théorème de Schwarz ?

3. Que retenir de tout cela en pratique ?

On rappelle la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ contenant $a$, écrite avec $h=(h_1,h_2)$ :

$$f(a+h)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩+\frac{1}{2}{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}h{H}_f(a)h+o\left(\mathrm{\parallel }h{\mathrm{\parallel }}^2\right)\mathrm{.}$$

1. Écrire le développement limité à l'ordre 2 en $(0,0)$ des fonctions suivantes, en calculant leur gradient et leur matrice hessienne en $(0,0)$.

2. Retrouver les développements de a et b en composant des développements limités d'une seule variable, et constater l'accord.

3. Soit $f(x,y)={\displaystyle \frac{x}{y}}$, définie sur le demi-plan ouvert $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;y>0\}$. En posant $x=1+h$ et $y=1+k$, écrire le développement limité à l'ordre 2 de $f$ au point $(1,1)$.

4. Soit $F(x,y)=\cos (x)\cos (y)$. Écrire son développement à l'ordre 2 en $(0,0)$, vérifier que $(0,0)$ est un point critique de $F$, et dire ce que ce développement apprend sur la nature de ce point.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer ses points critiques.

2. Calculer la matrice hessienne $H_f(x,y)$ en un point quelconque, puis en chacun des points critiques.

3. Déterminer la nature de chacun de ces points critiques.

4. Montrer que $f$ n'admet ni maximum global ni minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$.

5. Retrouver, sans utiliser la matrice hessienne, que $(0,0)$ n'est pas un extremum local : on étudiera $f$ le long des droites d'équations $y=x$ et $y=-x$ au voisinage de l'origine.

6. La valeur $f(1,1)$ est-elle le minimum de $f$ sur le quart de plan fermé $Q=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x⩾0\text{ et }y⩾0\}$ ?

On note $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2⩽1\}$ le disque unité fermé, $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2<1\}$ le disque ouvert associé, et on considère

$$f(x,y)=x^2+y^2-2x+2y\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ admet un maximum global et un minimum global sur $D$.

2. Déterminer les points critiques de $f$ appartenant à $U$.

3. Étude sur le bord. En paramétrant le cercle unité par $x=\cos \theta$ et $y=\sin \theta$ avec $\theta \in [0,2\pi ]$, étudier les variations de la fonction $\phi (\theta )=f(\cos \theta ,\sin \theta )$ et déterminer ses extremums.

4. Conclure : préciser le maximum global et le minimum global de $f$ sur $D$, leurs valeurs exactes et les points où ils sont atteints.

5. Expliquer pourquoi la recherche des seuls points critiques ne suffit pas lorsque le domaine d'étude est fermé.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$. On appelle laplacien de $f$ la fonction

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}$$

On passe en coordonnées polaires en posant, pour $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$,

$$g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

1. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, puis exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}$ à l'aide des dérivées partielles de $f$.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{r}^2}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}}$.

3. En déduire l'expression du laplacien en coordonnées polaires

$$\mathrm{\Delta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{r}^2}(r,\theta )+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}(r,\theta )+\frac{1}{r^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}(r,\theta )$$

puis contrôler cette formule par un calcul direct sur $f(x,y)=x^2-y^2$, puis sur $f(x,y)=x^2+y^2$.

4. Une fonction est dite harmonique lorsque $\mathrm{\Delta }f=0$. Déterminer toutes les fonctions harmoniques sur $\mathrm{\Omega }$ de la forme $f(x,y)=\phi \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$, où $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

5. Interpréter physiquement ce résultat en deux phrases.

Soit $c>0$. Une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, dont on note $(x,t)$ les variables, vérifie l'équation des ondes de célérité $c$ lorsque

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{t}^2}=c^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}\text{sur }{\mathbb{R}}^2$$

On effectue le changement de variables suggéré par l'énoncé en posant, pour $(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$g(u,v)=f(\frac{u+v}{2},\frac{v-u}{2c})$$

1. Vérifier que poser $x={\displaystyle \frac{u+v}{2}}$ et $t={\displaystyle \frac{v-u}{2c}}$ revient exactement à poser $u=x-ct$ et $v=x+ct$, et que l'on a $f(x,t)=g(x-ct,x+ct)$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}$ à l'aide des dérivées partielles de $f$.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }u\mathrm{\partial }v}}$ et en déduire que $f$ vérifie l'équation des ondes si et seulement si ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }u\mathrm{\partial }v}}=0$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. En déduire que les solutions de classe ${\mathcal{C}}^2$ de l'équation des ondes sont exactement les fonctions de la forme $f(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$, avec $F$ et $G$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$.

4. Interpréter physiquement cette forme générale.

5. Vérifier directement que $f(x,t)=\sin (x-ct)+(x+ct{)}^2$ est solution.

Soit $p\in \{2,3\}$ et $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^p\setminus \{0\}$. On remarquera que $\mathrm{\Omega }$ est un ouvert stable par dilatation : si $x\in \mathrm{\Omega }$ et $t>0$, alors $tx\in \mathrm{\Omega }$.

Soit $n\in \mathbb{N}$. Une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathrm{\Omega }$ est dite homogène de degré $n$ lorsque

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },\mathrm{\forall }t>0,f(tx)=t^{n}f(x)$$

1. Vérifier l'homogénéité des trois fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, et donner leur degré :

2. Relation d'Euler, sens direct. Montrer que si $f$ est homogène de degré $n$, alors

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },⟨\mathrm{\nabla }f(x),x⟩=\sum _{i=1}^p{x}_i\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{x}_i}(x)=nf(x)$$

3. Réciproque. Montrer que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathrm{\Omega }$ et vérifie $⟨\mathrm{\nabla }f(x),x⟩=nf(x)$ pour tout $x\in \mathrm{\Omega }$, alors $f$ est homogène de degré $n$. On pourra étudier $\phi :t\mapsto t^{-n}f(tx)$ à $x$ fixé.

4. Montrer que les dérivées partielles d'une fonction homogène de degré $n$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sont homogènes de degré $n-1$.

5. Vérifier explicitement les résultats des questions 2 et 4 sur la fonction $f_3$, puis contrôler la relation d'Euler au point $(1,2)$.

Pour une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et un point critique $a$, la condition d'ordre 2 conclut lorsque $H_f(a)$ est définie positive (minimum local strict) ou lorsqu'elle n'est pas positive (pas de minimum). Cet exercice explore le cas dégénéré $\det H_f(a)=0$, où le critère est muet.

1. Pour chacune des quatre fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2$ :

montrer que $(0,0)$ est un point critique, calculer $H_{f_i}(0,0)$ et vérifier que son déterminant est nul, puis déterminer la nature du point $(0,0)$ par l'étude directe du signe de $f_i(x,y)-f_i(0,0)$.

2. Soit $f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$.

a. Montrer que $(0,0)$ est un point critique de $f$ et que $H_f(0,0)$ est dégénérée.

b. Soit $D$ une droite passant par l'origine. Montrer que la restriction de $f$ à $D$ admet en $(0,0)$ un minimum local strict.

c. Calculer $f(x,{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2)$ et en déduire que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$.

3. Dégager la morale méthodologique de l'exercice en trois phrases.

On considère le triangle plein

$$T=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x⩾0,y⩾0,x+y⩽1\}$$

et la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=xy(1-x-y)$.

1. Justifier que $T$ est une partie fermée, bornée et non vide de ${\mathbb{R}}^2$, et en déduire que $f$ admet sur $T$ un maximum global et un minimum global.

2. Déterminer les points critiques de $f$ appartenant à $U=\{(x,y);x>0,y>0,x+y<1\}$.

3. Étudier $f$ sur les trois côtés du triangle.

4. Conclure : donner le maximum global et le minimum global de $f$ sur $T$, et préciser où ils sont atteints.

5. Déterminer la nature du point critique trouvé à la question 2 à l'aide de la hessienne, et vérifier la cohérence avec la question 4.

6. En déduire le maximum de $xyz$ lorsque $x$, $y$, $z$ sont trois réels positifs de somme $1$, puis retrouver l'inégalité arithmético-géométrique $\sqrt[3]{xyz}⩽{\displaystyle \frac{x+y+z}{3}}$.

On dispose de $n$ points expérimentaux $(x_i,y_i)$, pour $1⩽i⩽n$, avec $n⩾2$ et les $x_i$ non tous égaux. On cherche la droite d'équation $y=ax+b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^n{(a{x}_i+b-y_i)}^2$$

On note $\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ les deux moyennes.

1. Justifier que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }a}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }S}{\mathrm{\partial }b}}$.

2. Montrer que $S$ admet un unique point critique $(a^{\ast },b^{\ast })$ et l'exprimer à l'aide de $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ et $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$. On justifiera soigneusement que $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2>0$.

3. Calculer la hessienne de $S$ et montrer qu'elle est définie positive en tout point.

4. Montrer que $(a^{\ast },b^{\ast })$ réalise un minimum global strict de $S$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

5. Application. En spectrophotométrie, la loi de Beer-Lambert prévoit une absorbance $A$ affine en la concentration $c$. Une droite d'étalonnage donne les mesures suivantes :

Déterminer la droite des moindres carrés $A=ac+b$, puis vérifier les deux équations du point critique sur les écarts.

Soit $p\in \{2,3\}$. On munit ${\mathbb{R}}^p$ de son produit scalaire canonique $⟨u,v⟩={\sum }_{i=1}^p{u}_i{v}_i$, en identifiant un vecteur à la colonne de ses coordonnées. Soient $A=\left(a_{ij}\right)\in {\mathcal{S}}_p^{++}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique définie positive et $b\in {\mathbb{R}}^p$. On pose

$$q(x)=\frac{1}{2}⟨Ax,x⟩-⟨b,x⟩$$

1. Justifier que $q$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^p$ et montrer, par un calcul en coordonnées, que $\mathrm{\nabla }q(x)=Ax-b$. On précisera où intervient la symétrie de $A$.

2. Montrer que $A$ est inversible et en déduire que $q$ admet un unique point critique $x^{\ast }=A^{-1}b$.

3. Calculer $H_q(x)$ et en déduire que $q$ admet en $x^{\ast }$ un minimum local strict.

4. Établir l'identité $q(x)=q(x^{\ast })+{\displaystyle \frac{1}{2}}⟨A(x-x^{\ast }),x-x^{\ast }⟩$ et en déduire que ce minimum est global et strict.

5. Exprimer la valeur de ce minimum en fonction de $A$ et $b$.

6. Application. On prend $p=2$, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ et $b=(4,5)$. Vérifier que $A\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, puis déterminer $x^{\ast }$ et la valeur du minimum.

Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa structure euclidienne canonique, on considère le plan $P$ d'équation $ax+by+cz=d$, où $(a,b,c)\mathrm{\ne }(0,0,0)$, et un point $A=(x_0,y_0,z_0)$. On veut calculer la distance de $A$ à $P$, c'est-à-dire la plus petite des longueurs $AM$ lorsque $M$ décrit $P$, par le calcul différentiel. Quitte à permuter les rôles des trois coordonnées, on suppose dans tout l'exercice $c\mathrm{\ne }0$.

1. Paramétrer $P$ par deux variables, puis écrire le carré de la distance $AM$ comme une fonction $F$ de ces deux variables. Expliquer pourquoi minimiser $F$ revient à minimiser la distance.

2. Déterminer le point critique de $F$.

3. Calculer la matrice hessienne de $F$ et vérifier qu'elle appartient à ${\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$. Montrer ensuite, par un calcul exact, que le minimum local obtenu est en réalité un minimum global strict.

4. En déduire que $d(A,P)={\displaystyle \frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0-d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$.

5. Retrouver ce résultat par la projection orthogonale, puis traiter l'exemple $P:2x-y+2z=3$ et $A=(1,2,3)$.