Devoir surveillé — Calcul différentiel

Consignes générales. Durée : 3 heures. Calculatrice interdite. Les exercices 1 à 4 sont indépendants entre eux et indépendants de l'exercice 5, qui est un problème en quatre parties enchaînées. La clarté et la rigueur de la rédaction entrent dans la notation : tout théorème invoqué doit être cité avec ses hypothèses, et toute hypothèse doit être vérifiée sur l'objet auquel on l'applique.

Dans tout l'exercice, $n⩾1$ est un entier et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On identifie ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ à ${\mathbb{R}}^{n^2}$ : une fonction à valeurs matricielles est dérivable sur $I$ si et seulement si chacun de ses $n^2$ coefficients l'est, et on la dérive coefficient par coefficient. Par convention, $M^0=I_n$.

1. (0,5 pt) Soient $M$ et $N$ deux fonctions dérivables de $I$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Justifier que $t\mapsto M(t)N(t)$ est dérivable sur $I$ et que sa dérivée vaut $M^{\mathrm{\prime }}(t)N(t)+M(t)N^{\mathrm{\prime }}(t)$. On précisera le résultat du cours utilisé et l'hypothèse qui le déclenche.

2. (0,5 pt) Soit $M$ dérivable de $I$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Expliciter $(M^2{)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $(M^3{)}^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis démontrer par récurrence que, pour tout entier $k⩾1$,

$$(M^k{)}^{\mathrm{\prime }}(t)=\sum _{i=0}^{k-1}M(t{)}^i{M}^{\mathrm{\prime }}(t)M(t{)}^{k-1-i}\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) Soit $k⩾1$. En déduire que $t\mapsto \mathrm{tr}(M(t{)}^k)$ est dérivable sur $I$, de dérivée

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}\text{\hspace{0.17em}⁣}(M(t{)}^k)=k\mathrm{tr}\text{\hspace{0.17em}⁣}(M(t{)}^{k-1}{M}^{\mathrm{\prime }}(t))\mathrm{.}$$

On indiquera précisément où sert la propriété $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.

4. (0,75 pt) On prend $n=2$, $I=\mathbb{R}$ et $M(t)=\left(\begin{array}{cc}0& t\\ t^2& 0\end{array}\right)$.

a. Calculer $M(t{)}^2$, puis $\mathrm{tr}(M(t{)}^2)$ et sa dérivée. Vérifier la formule de la question 3. pour $k=2$.

b. Comparer $(M^2{)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $2M(t)M^{\mathrm{\prime }}(t)$. Commenter.

5. (0,5 pt) Soient $A$ et $B$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $k⩾1$. Déduire de la question 3. la valeur de la dérivée en $0$ de $t\mapsto \mathrm{tr}\text{\hspace{0.17em}⁣}((A+tB{)}^k)$. Appliquer à $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et $k=3$.

Dans tout l'exercice, ${\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme associée, $\mathrm{\Omega }$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathrm{\Omega }$. Pour $c\in \mathbb{R}$, la ligne de niveau $c$ de $f$ est l'ensemble ${\mathcal{L}}_c=\{m\in \mathrm{\Omega };f(m)=c\}$.

Partie A — le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.

1. (0,5 pt) Soient $c\in \mathbb{R}$, $J$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2):J\to \mathrm{\Omega }$ une fonction dérivable telle que $\gamma (t)\in {\mathcal{L}}_c$ pour tout $t\in J$. Montrer que

$$\mathrm{\forall }t\in J,⟨\mathrm{\nabla }f(\gamma (t)),{\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)⟩=0.$$

Interpréter géométriquement.

2. (0,75 pt) On prend $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2$ et $f(x,y)=x^2+4y^2$.

a. Vérifier que $\gamma (t)=(\sqrt{5}\cos t,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\sin t)$ est à valeurs dans ${\mathcal{L}}_5$, puis contrôler la relation de la question 1. par le calcul.

b. Le point $a=(1,1)$ appartient à ${\mathcal{L}}_5$. Donner une équation cartésienne de la tangente à ${\mathcal{L}}_5$ en $a$.

Partie B — les lignes de gradient. On appelle ligne de gradient de $f$ toute fonction $\delta :J\to \mathrm{\Omega }$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un intervalle $J$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }t\in J,{\delta }^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{\nabla }f(\delta (t))\mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) Soit $\delta$ une ligne de gradient de $f$. Montrer que $\psi :t\mapsto f(\delta (t))$ est dérivable sur $J$, avec ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)={\parallel \mathrm{\nabla }f(\delta (t))\parallel }^2$, et en déduire que $\psi$ est croissante sur $J$.

4. (0,5 pt) Soient $\gamma$ comme à la question 1. et $\delta$ une ligne de gradient. On suppose que $\gamma (t_0)=\delta (s_0)$ pour un certain couple $(t_0,s_0)$. Montrer que ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t_0)$ et ${\delta }^{\mathrm{\prime }}(s_0)$ sont orthogonaux.

5. (0,75 pt) Soit $\delta$ une ligne de gradient définie sur $J$ et soient $a<b$ deux éléments de $J$ tels que $\delta (a)=\delta (b)$. Montrer que $\delta$ est constante sur $[a,b]$. Conclure en une phrase : que peut-on dire d'une ligne de gradient qui repasse par un point déjà visité ?

6. (0,5 pt) On reprend $f(x,y)=x^2+4y^2$ et l'on fixe $(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$. Vérifier que $\delta (t)=(x_0{\mathrm{e}}^{2t},y_0{\mathrm{e}}^{8t})$ définit une ligne de gradient de $f$ sur $\mathbb{R}$. Déterminer la limite de $\delta$ en $-\mathrm{\infty }$ et commenter à l'aide de la question 3.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+y^2(1+x{)}^3\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

2. (0,75 pt) Montrer que $f$ admet un unique point critique sur ${\mathbb{R}}^2$, que l'on précisera, et donner la valeur de $f$ en ce point.

3. (0,5 pt) Écrire la matrice hessienne de $f$ en ce point et en déduire la nature de ce point critique.

4. (0,5 pt) Montrer que $f$ n'est pas minorée sur ${\mathbb{R}}^2$. Qu'en conclure quant à l'existence d'un minimum global ?

5. (0,5 pt) Montrer que la restriction de $f$ au demi-plan fermé $P=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x⩾-1\}$ admet un minimum global, atteint en un unique point.

6. (0,75 pt) On veut montrer que la situation des questions 2. à 4. est impossible pour une fonction d'une seule variable. Soit $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$, admettant un unique point critique $c$, en lequel elle présente un minimum local strict. Montrer que $\phi$ atteint en $c$ son minimum global sur $\mathbb{R}$. On pourra raisonner par l'absurde et considérer le maximum de $\phi$ sur un segment bien choisi. Conclure par une phrase de morale.

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, on définit $f_{\alpha }:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ par $f_{\alpha }(0,0)=0$ et

$$f_{\alpha }(x,y)={(x^2+y^2)}^{\alpha }\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)\text{pour }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)\mathrm{.}$$

On note $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et, pour $(x,y)\in \mathrm{\Omega }$, on pose $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$. On rappelle que pour $s>0$, $s^{\alpha }$ désigne ${\mathrm{e}}^{\alpha \ln s}$.

1. (0,5 pt) Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(s)=s^{\alpha }\sin (1\mathrm{/}s)$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ et calculer $g^{\mathrm{\prime }}(s)$. En déduire que $f_{\alpha }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathrm{\Omega }$ et que

$$\frac{\mathrm{\partial }{f}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=2x{g}^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2+y^2)\text{pour }(x,y)\in \mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Montrer que $f_{\alpha }$ est continue en $(0,0)$ si et seulement si $\alpha >0$.

3. (0,75 pt) Montrer que $f_{\alpha }$ admet des dérivées partielles d'ordre $1$ en $(0,0)$ si et seulement si $\alpha >{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et qu'elles sont alors nulles.

4. (0,75 pt) Montrer que $f_{\alpha }$ admet un développement limité d'ordre $1$ en $(0,0)$ si et seulement si $\alpha >{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

5. (1 pt) Montrer que $f_{\alpha }$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ si et seulement si $\alpha >{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

6. (0,25 pt) Récapituler les résultats dans un tableau et dire ce que la famille $(f_{\alpha })$ apprend sur la réciproque du théorème « de classe ${\mathcal{C}}^1$ en un point implique développement limité d'ordre $1$ en ce point ».

Dans tout le problème, ${\mathbb{R}}^2$ est muni de sa norme euclidienne et l'on note

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2<1\},\bar{D}=\{(x,y);x^2+y^2⩽1\},$$ $$C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2=1\}\mathrm{.}$$

Pour une fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$, on appelle laplacien de $g$ la fonction

$$\mathrm{\Delta }g=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{y}^2},$$

continue sur $U$. On note enfin $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ contenant $\bar{D}$ ; toutes les fonctions du problème sont définies sur $\mathrm{\Omega }$.

Le but est d'établir le résultat suivant, dit principe du maximum : si $\mathrm{\Delta }f⩾0$ sur $D$, alors $f$ atteint son maximum sur $\bar{D}$ en un point du cercle $C$. La partie A prépare l'outil, la partie B traite un cas facile, la partie C en déduit le cas général par une perturbation, et la partie D récolte.

Partie A — ce que dit la dérivée seconde en un maximum intérieur. Dans cette partie, $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $U$ et $a=(a_1,a_2)$ est un point de $U$ en lequel $g$ présente un maximum local.

1. (0,5 pt) Justifier qu'il existe $\eta >0$ tel que la fonction

$$u:s⟼g(a_1+s,a_2)$$

soit définie et de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]-\eta ,\eta [$ et y présente un maximum local en $0$. Exprimer $u^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ à l'aide des dérivées partielles de $g$ en $a$.

2. (0,5 pt) Montrer que $u^{\mathrm{\prime }}(0)=0$, puis, à l'aide de la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ appliquée à $u$ en $0$, que $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)⩽0$.

3. (0,5 pt) En déduire que $\mathrm{\Delta }g(a)⩽0$. Montrer sur l'exemple $g_0(x,y)=x^2-2y^2$ que la réciproque est fausse.

Partie B — le cas strict. Dans cette partie, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathrm{\Omega }$ et vérifie $\mathrm{\Delta }f(m)>0$ pour tout $m\in D$.

4. (0,25 pt) Montrer que $f$ ne présente de maximum local en aucun point de $D$.

5. (0,5 pt) Justifier que $f$ atteint sur $\bar{D}$ un maximum global, en vérifiant soigneusement toutes les hypothèses du théorème utilisé.

6. (0,5 pt) En déduire que ${\displaystyle \underset{\bar{D}}{\max }f=\underset{C}{\max }f}$.

Partie C — le cas général. Dans cette partie, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathrm{\Omega }$ et vérifie seulement $\mathrm{\Delta }f(m)⩾0$ pour tout $m\in D$. Pour $\epsilon >0$, on pose

$$f_{\epsilon }(x,y)=f(x,y)+\epsilon (x^2+y^2),(x,y)\in \mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

7. (0,5 pt) Justifier que $f_{\epsilon }$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathrm{\Omega }$, calculer $\mathrm{\Delta }{f}_{\epsilon }$ et montrer que la partie B s'applique à $f_{\epsilon }$.

8. (0,5 pt) Montrer que ${\displaystyle \underset{\bar{D}}{\max }{f}_{\epsilon }=\underset{C}{\max }f+\epsilon }$.

9. (0,5 pt) En déduire que ${\displaystyle \underset{\bar{D}}{\max }f=\underset{C}{\max }f}$.

Partie D — fonctions harmoniques. Une fonction $h$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathrm{\Omega }$ est dite harmonique lorsque $\mathrm{\Delta }h=0$ en tout point de $\mathrm{\Omega }$.

10. (0,5 pt) Soit $h$ harmonique sur $\mathrm{\Omega }$. Montrer que

$$\underset{\bar{D}}{\max }h=\underset{C}{\max }h\text{et}\underset{\bar{D}}{\min }h=\underset{C}{\min }h\mathrm{.}$$

11. (0,5 pt) Soient $h_1$ et $h_2$ deux fonctions harmoniques sur $\mathrm{\Omega }$ qui coïncident en tout point de $C$. Montrer qu'elles coïncident en tout point de $\bar{D}$.

12. (0,75 pt) On pose $h(x,y)=x^2-y^2+3x$.

a. Vérifier que $h$ est harmonique sur ${\mathbb{R}}^2$.

b. Déterminer le maximum et le minimum de $h$ sur $\bar{D}$, ainsi que les points où ils sont atteints, en étudiant $\theta \mapsto h(\cos \theta ,\sin \theta )$ sur $[0,2\pi ]$.

c. Déterminer les points critiques de $h$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et vérifier la cohérence avec la question précédente.