Exercices — Procédés sommatoires discrets

1. Pour chacune des séries suivantes, calculer explicitement la somme partielle $S_n$, puis en déduire la nature de la série et, en cas de convergence, la valeur de sa somme.

2. Pour la série a., donner l'expression du reste $R_n$ et vérifier qu'il tend vers $0$.

1. Pour chacune des séries suivantes, étudier la limite du terme général, puis dire si cette seule étude permet de conclure quant à la nature de la série.

2. Pour la série h., calculer la somme partielle $S_n$ et conclure.

3. Expliquer en deux phrases pourquoi le fait que $u_n$ tende vers $0$ ne permet jamais de conclure à la convergence de $\sum u_n$, en citant l'exemple de référence du cours.

1. Énoncer le théorème du lien suite-série.

2. Déterminer la nature et, le cas échéant, la somme des séries suivantes.

1. Déterminer la nature des séries suivantes.

2. Rappeler en une phrase pourquoi l'hypothèse « termes positifs » est indispensable dans le théorème d'équivalence, en s'appuyant sur le contre-exemple du cours.

1. Déterminer la nature des séries suivantes, en précisant à chaque fois le théorème utilisé.

2. Énoncer précisément le théorème des séries de Riemann.

1. Pour chacune des séries suivantes, étudier la convergence absolue, puis conclure quant à la convergence lorsque c'est possible.

2. Pour les séries d. et f., indiquer quel outil du cours permettra de conclure, sans faire l'étude.

1. Pour chacune des séries suivantes, vérifier les trois hypothèses du théorème spécial des séries alternées, puis conclure.

2. Que dire de la série ${\sum }_{n⩾1}(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ ?

3. Pour la série a., combien de termes faut-il sommer pour approcher la somme à ${10}^{-2}$ près ?

1. Les familles suivantes, indexées par ${\mathbb{N}}^2$, sont-elles sommables ? Calculer leur somme.

2. Montrer que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{i+j}}\right)}_{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}$ n'est pas sommable. On pourra la minorer par une seule de ses lignes.

3. Soit $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ une suite de réels positifs. Énoncer le lien entre la sommabilité de la famille $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ et la convergence de la série $\sum u_n$, puis l'illustrer sur $u_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ et sur $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$.

1. Soit $x\in ]-1,1[$. Pour $N⩾1$, on pose $T_N={\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n{x}^n}$. Calculer $(1-x)T_N$, en déduire une expression close de $T_N$, puis montrer que la série $\sum n{x}^n$ converge et que

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}\mathrm{.}$$

2. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n}}$.

3. Retrouver le résultat de 1. pour $x\in ]0,1[$ par sommation par paquets. On écrira $n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1}$ et l'on considérera la famille positive $(x^n{)}_{(k,n)\in I}$ indexée par $I=\{(k,n)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }\mid k⩽n\}$, sommée d'abord à $k$ fixé.

4. Soit $x\in ]-1,1[$. Par la méthode de la question 1., calculer ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}n(n-1)x^n}$, puis en déduire ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{n}^2{x}^n}$.

5. Application numérique : calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{3^n}}$.

Justifier la convergence, puis calculer la somme de chacune des séries suivantes.

Déterminer la nature de chacune des séries suivantes. On précisera à chaque fois le théorème utilisé et l'on vérifiera ses hypothèses.

1. Montrer que pour tout entier $n⩾1$,

$$2\sqrt{n+1}-2⩽\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}⩽2\sqrt{n}-1,$$

puis en déduire que .

2. Encadrer $\ln (n!)={\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln k}$ par deux intégrales et en déduire que .

3. Montrer que , puis conclure sur la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{n\ln n}}$.

4. Montrer que .

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$. On se propose d'établir de trois façons différentes que la série harmonique ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n}}$ diverge.

1. Démonstration d'Oresme. Montrer que pour tout $n⩾1$, $H_{2n}-H_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$. En raisonnant par l'absurde, supposer que la suite $(H_n)$ converge et utiliser la suite extraite $(H_{2n})$ pour aboutir à une contradiction. Conclure.

2. Démonstration par télescopage. Montrer que $\ln (1+x)⩽x$ pour tout $x>-1$, en déduire que $H_n⩾\ln (n+1)$ pour tout $n⩾1$, puis conclure.

3. Démonstration par comparaison série-intégrale. Établir que pour tout $n⩾1$, $\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$, puis en déduire .

4. Applications. Déterminer la nature des séries ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{1}{2n+1}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n+\sqrt{n}}}$.

Soit $\alpha >1$. Pour $n⩾1$, on pose $R_n={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}}$.

1. Justifier l'existence de $R_n$.

2. Par comparaison série-intégrale, établir que pour tout $n⩾1$,

$$\frac{1}{(\alpha -1)(n+1{)}^{\alpha -1}}⩽R_n⩽\frac{1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}\mathrm{.}$$

3. En déduire un équivalent de $R_n$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

4. Cas $\alpha =2$. Donner l'équivalent de $R_n$, puis déterminer combien de termes il faut sommer pour obtenir une valeur approchée de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}}$ à ${10}^{-3}$ près.

5. Reste de la série exponentielle. Montrer que pour tout $n⩾0$,

$$\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}⩽\frac{2}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

1. Soit $S={\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{n^2}}$. Justifier l'existence de $S$, encadrer $S$ entre deux sommes partielles consécutives, donner le signe de $S$, puis déterminer un nombre de termes suffisant pour en obtenir une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

2. Mêmes questions pour ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{n!}}$, dont on précisera la somme. Comparer le nombre de termes nécessaires avec celui de la question 1.

3. Mêmes questions pour ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}}$, dont on admet que la somme vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Montrer que la majoration du TSSA n'assure une précision de ${10}^{-2}$ qu'à partir de $50$ termes, et commenter cette lenteur.

4. Synthèse. Pourquoi la majoration $\mathrm{\mid }{R}_n\mathrm{\mid }⩽a_{n+1}$ est-elle propre aux séries alternées, et fausse en général pour les séries à termes positifs ?

1. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}$ converge.

2. Pour $n⩾2$, on pose $u_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}}$. Vérifier que $u_n$ est bien défini, puis montrer que

3. Établir le développement $u_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^{3\mathrm{/}2}}}\right)$ et en déduire que la série $\sum u_n$ diverge.

4. Quelle conclusion en tirer sur le théorème d'équivalence ?

5. Étudier de la même façon la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}})}$.

1. Déterminer la nature des séries suivantes.

2. Soit $(a_n)$ une suite bornée de nombres complexes et soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<1$. Montrer que la série $\sum a_n{z}^n$ converge absolument.

3. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que les séries $\sum u_n^2$ et $\sum v_n^2$ convergent. Montrer que la série $\sum \mathrm{\mid }{u}_n{v}_n\mathrm{\mid }$ converge. On pourra partir de l'inégalité $2\mathrm{\mid }ab\mathrm{\mid }⩽a^2+b^2$.

4. Montrer que si la série $\sum u_n$ converge absolument, alors la série $\sum u_n^2$ converge.

5. Montrer, en considérant la suite définie par $u_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}$ pour $n⩾1$, que la conclusion de la question 4. tombe en défaut si l'on suppose seulement que la série $\sum u_n$ converge.

Déterminer la nature des séries suivantes. Dans chaque cas, on écrira un développement asymptotique du terme général et l'on justifiera soigneusement le théorème utilisé pour conclure.

1. Calculer ${\displaystyle \sum _{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2}\frac{1}{3^{i+j}}}$ en sommant par diagonales, c'est-à-dire en regroupant les couples selon la valeur de $i+j$. Retrouver le résultat en sommant par lignes, c'est-à-dire à $i$ fixé.

2. On pose $I=\{(n,k)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2\mid 1⩽k⩽n\}$ et $u_{n,k}={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ pour $(n,k)\in I$. La famille $(u_{n,k}{)}_{(n,k)\in I}$ est-elle sommable ?

3. Montrer que tout entier $n⩾1$ s'écrit de manière unique sous la forme $n=2^p(2q+1)$ avec $p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}$. En déduire, par sommation par paquets, que

$$\zeta (2)=\frac{4}{3}\sum _{q=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2q+1{)}^2},\text{o}\grave{\text{u}}\zeta (2)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\mathrm{.}$$

4. En admettant que $\zeta (2)={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$, en déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{q=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2q+1{)}^2}}$.

Pour $s>1$, on note $\zeta (s)={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}}$.

1. Montrer que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{i^2{j}^3}}\right)}_{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}$ est sommable et que sa somme vaut $\zeta (2)\zeta (3)$.

2. On pose $I=\{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2\mid i⩽j\}$. Montrer que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{j^3}}\right)}_{(i,j)\in I}$ est sommable et calculer sa somme.

3. Montrer que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{i^2+j^2}}\right)}_{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}$ n'est pas sommable.

4. Question de méthode. Rédiger en trois lignes la procédure générale « sommabilité d'abord, valeur ensuite » pour une famille de réels positifs, et expliquer pourquoi elle est plus simple que dans le cas d'une famille de nombres complexes.

Le critère étudié ici, parfois appelé règle de d'Alembert, n'est pas un résultat du cours de MPSI : il est donc interdit de le citer tel quel dans une copie. Il se redémontre à chaque usage par comparaison avec une série géométrique, et c'est exactement l'objet de cet exercice, dont la rédaction est à savoir reproduire.

Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$.

1. On suppose $\mathrm{\ell }<1$. On pose $q={\displaystyle \frac{1+\mathrm{\ell }}{2}}$. Montrer qu'il existe un rang $N$ tel que $u_{n+1}⩽q{u}_n$ pour tout $n⩾N$, en déduire que $u_n⩽u_N{q}^{n-N}$ pour tout $n⩾N$, puis conclure que la série $\sum u_n$ converge.

2. On suppose $\mathrm{\ell }>1$, le cas $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$ étant inclus. Montrer que la suite $(u_n)$ ne tend pas vers $0$, et conclure.

3. Montrer, à l'aide des deux exemples $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ et $u_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$, que le cas $\mathrm{\ell }=1$ ne permet aucune conclusion.

4. Déterminer la nature des séries suivantes.

Le résultat démontré dans cet exercice, connu sous le nom de critère des séries de Bertrand, n'est pas un résultat du cours de MPSI : il ne peut jamais être cité tel quel. Il doit être redémontré à chaque usage, et c'est ce que l'on fait ici une fois pour toutes, avec la rédaction attendue.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels. On étudie la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}}$, dont on note $u_n$ le terme général.

1. On suppose $\alpha >1$. Montrer que la série converge, en la comparant à une série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{\lambda }}$ avec $1<\lambda <\alpha$.

2. On suppose $\alpha <1$. Montrer, par la même technique, que la série diverge.

3. On suppose $\alpha =1$. Montrer, par comparaison série-intégrale avec la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t(\ln t{)}^{\beta }}}$, que la série converge si et seulement si $\beta >1$. On traitera séparément les cas $\beta ⩽0$, $0<\beta <1$, $\beta =1$ et $\beta >1$.

4. Déterminer la nature des séries suivantes.

Pour $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$ et $u_n=H_n-\ln n$.

1. Montrer que $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$, puis que $u_{n+1}-u_n=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$.

2. En déduire, par le lien suite-série, que la suite $(u_n)$ converge. On note $\gamma$ sa limite, appelée constante d'Euler. Écrire le développement asymptotique de $H_n$ qui en résulte.

3. Montrer que $\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$ pour tout $n⩾1$, et en déduire que $0⩽\gamma ⩽1$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}}$.

5. En déduire la somme de la série harmonique alternée ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}$, en passant par sa somme partielle d'indice pair $S_{2n}=H_{2n}-H_n$.

6. On pose $v_n=u_n-\gamma$. Montrer que $v_n=-{\displaystyle \sum _{k=n}^{+\mathrm{\infty }}(u_{k+1}-u_k)}$, puis que , c'est-à-dire $H_n=\ln n+\gamma +{\displaystyle \frac{1}{2n}}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$.

Le critère établi dans cet exercice est un résultat classique, mais il ne figure pas au programme de MPSI : il ne peut pas être cité tel quel et doit être redémontré à chaque usage. Sa démonstration ne repose que sur le regroupement des termes par paquets de longueurs $1,2,4,8,\dots$ et sur la majoration des sommes partielles.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite positive et décroissante.

1. Montrer que pour tout entier $p⩾0$ :

$$2^p{u}_{2^{p+1}}⩽\sum _{k=2^p}^{2^{p+1}-1}{u}_k⩽2^p{u}_{2^p}\mathrm{.}$$

2. En déduire que les séries ${\sum }_{n⩾1}{u}_n$ et ${\sum }_{p⩾0}{2}^p{u}_{2^p}$ sont de même nature.

3. Retrouver le critère de convergence des séries de Riemann ${\sum }_{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}$, pour $\alpha$ réel.

4. Retrouver, dans le cas $\alpha =1$, le résultat des séries de Bertrand : pour $\beta$ réel, la série ${\sum }_{n⩾2}{\displaystyle \frac{1}{n(\ln n{)}^{\beta }}}$ converge si et seulement si $\beta >1$.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite positive et décroissante telle que la série $\sum u_n$ converge. On note $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$ ses sommes partielles.

1. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}{u}_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0}$.

2. En déduire que $2n{u}_{2n}\to 0$, puis que $n{u}_n\to 0$.

3. Application. Redémontrer la divergence de la série harmonique $\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$.

4. Montrer que l'hypothèse de décroissance est indispensable : construire une suite positive $(u_n)$ telle que $\sum u_n$ converge et que $(n{u}_n)$ ne tende pas vers $0$.

5. La réciproque est-elle vraie ? Autrement dit, si $(u_n)$ est positive décroissante et si $n{u}_n\to 0$, la série $\sum u_n$ converge-t-elle nécessairement ?

L'objectif est d'établir de deux façons indépendantes que

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2.$$

On note $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}$ et $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

Partie A. Par les sommes partielles.

1. Justifier la convergence de la série $\sum {\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}$.

2. Montrer que pour tout $n⩾1$, $S_{2n}=H_{2n}-H_n$.

3. En utilisant le développement $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$ établi à l'exercice 23, conclure.

Partie B. Par une intégrale.

4. Établir, pour tout réel $t\mathrm{\ne }-1$ et tout $n⩾1$, l'identité ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k{t}^k=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}}$.

5. Intégrer cette identité sur $[0,1]$ et en déduire que $S_n=\ln 2-(-1{)}^n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}dt}$.

6. Majorer ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}dt}$ par ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ et conclure.

7. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}}$, et commenter le rapport entre ce calcul et le développement asymptotique de $H_n$.

On rappelle le théorème du produit de Cauchy : si les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont absolument convergentes, alors la série $\sum c_n$ de terme général $c_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}}$ est absolument convergente et

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n=\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n\right)\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, $x$ désigne un réel (ou un complexe) tel que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$. À chaque question, on vérifiera explicitement l'hypothèse de convergence absolue avant d'appliquer le théorème.

1. Calculer le produit de Cauchy de $\sum x^n$ par elle-même, et en déduire ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^2}}$.

2. En recommençant l'opération, montrer que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(n+1)(n+2)}{2}{x}^n=\frac{1}{(1-x{)}^3}}$.

3. Calculer le produit de Cauchy de $\sum (-1{)}^n{x}^n$ par $\sum x^n$ et retrouver ainsi ${\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$.

4. Calculer le produit de Cauchy de $\sum {\displaystyle \frac{1}{n!}}$ par elle-même et en déduire ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n!}=e^2}$.

5. Montrer que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)x^n=\frac{e^x}{1-x}}$.

Pour $s>1$ on pose $\zeta (s)={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}}$ (série de Riemann convergente). On note

$$I=\{(k,n)\in {\mathbb{N}}^2\mid k⩾2\text{ et }n⩾2\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{k^n}}\right)}_{(k,n)\in I}$ est sommable (on sommera d'abord en $n$, à $k$ fixé).

2. En déduire, par interversion, que ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}(\zeta (n)-1)=1}$.

3. Montrer de même que ${\displaystyle \sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\zeta (n)-1)=\frac{1}{2}}$.

4. Question de rigueur. Expliquer précisément où la sommabilité a été utilisée, et ce qui pourrait se passer si l'on omettait de la vérifier.

La technique étudiée ici, appelée transformation d'Abel, est l'analogue discret de l'intégration par parties. Elle ne figure pas au programme de MPSI : elle ne peut pas être citée telle quelle et doit être redémontrée à chaque usage. C'est exactement l'objet de cet exercice, dont la rédaction est à savoir reproduire. Elle donne accès aux séries de signe variable qui ne sont pas alternées, que le théorème spécial ne sait pas traiter.

Dans tout l'exercice, $\theta$ désigne un réel tel que $e^{i\theta }\mathrm{\ne }1$, c'est-à-dire $\theta \mathrm{\notin }2\pi \mathbb{Z}$. Pour $n⩾1$ on pose

$$D_n=\sum _{k=1}^n{e}^{ik\theta },\text{et l’on convient que }{D}_0=0.$$

1. Calculer $D_n$ et démontrer que, pour tout $n⩾1$,

$$\mid D_n\mid ⩽\frac{1}{\mid \sin \frac{\theta }{2}\mid }\mathrm{.}$$

On notera $M$ ce majorant, qui ne dépend que de $\theta$. La suite $(D_n)$ est donc bornée, alors qu'elle ne converge pas.

2. La transformation d'Abel. Soit $(a_k{)}_{k⩾1}$ une suite de réels. Démontrer que, pour tout $n⩾1$,

$$\sum _{k=1}^n{a}_k{e}^{ik\theta }=a_n{D}_n+\sum _{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})D_k\mathrm{.}$$

3. On suppose désormais la suite $(a_k)$ positive, décroissante et de limite nulle. Démontrer que la série $\sum (a_k-a_{k+1})D_k$ converge absolument, puis que la série $\sum a_k{e}^{ik\theta }$ converge.

4. En déduire que, pour tout réel $\alpha >0$ et tout $\theta \mathrm{\notin }2\pi \mathbb{Z}$, les séries

$$\sum _{n⩾1}\frac{\cos (n\theta )}{n^{\alpha }}\text{et}\sum _{n⩾1}\frac{\sin (n\theta )}{n^{\alpha }}$$

convergent.

5. Soit $\theta \mathrm{\notin }\pi \mathbb{Z}$. Démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{\mid \cos (n\theta )\mid }{n}}$ diverge. On pourra minorer $\mid \cos x\mid$ par ${\cos }^{2}x$ et linéariser. Que peut-on en conclure sur la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{\cos (n\theta )}{n}}$ ?

6. Que devient le résultat de la question 3. pour $\theta =\pi$ ? Quel théorème du cours retrouve-t-on ainsi ?

Cet exercice construit un exemple explicite et entièrement guidé. Aucun théorème général de réarrangement n'est au programme, et il n'en sera énoncé aucun : tout se démontre ici à la main, sur cet exemple.

On sait (exercice 26) que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2}$. On réécrit les mêmes termes dans un autre ordre, en énumérant, pour $m=1,2,3,\dots$, les trois termes

$$\frac{1}{4m-3},\frac{1}{4m-1},-\frac{1}{2m}$$

dans cet ordre, ce qui produit la suite de termes

$$1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\cdots$$

On note $T_N$ la somme des $N$ premiers termes ainsi énumérés, et $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

1. Vérifier que chaque terme de la série harmonique alternée apparaît une fois et une seule dans cette énumération, puis montrer que pour tout $n⩾1$,

$$T_{3n}=\sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}{H}_n\mathrm{.}$$

2. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{2k-1}=H_{4n}-\frac{1}{2}{H}_{2n}}$.

3. À l'aide du développement $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$, en déduire la limite de $T_{3n}$.

4. Montrer que $(T_{3n+1})$ et $(T_{3n+2})$ ont la même limite, et conclure.

5. Expliquer pourquoi un tel phénomène est impossible pour une famille sommable, et ce que l'on en déduit sur la famille ${\left(\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\right)}_{n⩾1}$.

Soit $x\in ]0,1[$. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $d(n)$ le nombre de diviseurs positifs de $n$ et $\sigma (n)$ la somme des diviseurs positifs de $n$. Par exemple $d(6)=4$ et $\sigma (6)=1+2+3+6=12$.

1. Montrer que la famille ${\left(x^{ij}\right)}_{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}$ est sommable. On sommera à $i$ fixé, puis on majorera ${\displaystyle \frac{x^i}{1-x^i}}$ par ${\displaystyle \frac{x^i}{1-x}}$.

2. En sommant par paquets suivant la valeur du produit $n=ij$, montrer que

$$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}d(n)x^n=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{1-x^i}\mathrm{.}$$

3. Adapter la méthode à la famille ${\left(i{x}^{ij}\right)}_{(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2}$ pour montrer que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sigma (n)x^n=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{i{x}^i}{1-x^i}}$.

4. Application numérique. Montrer que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{2^n}=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i-1}}$, puis en donner un encadrement à ${10}^{-2}$ près, en majorant le reste par une série géométrique (calculatrice autorisée pour l'application numérique).

5. Justifier que le nombre de couples $(i,j)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$ tels que $ij=n$ vaut bien $d(n)$.

Pour $z\in \mathbb{C}$, on pose $E(z)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}}$.

1. Montrer que la série $\sum {\displaystyle \frac{z^n}{n!}}$ converge absolument pour tout $z\in \mathbb{C}$, par comparaison avec une série géométrique à partir du rang $n⩾2\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$. L'application $E$ est donc bien définie sur $\mathbb{C}$.

2. À l'aide du produit de Cauchy et de la formule du binôme, montrer que $E(z)E(z^{\mathrm{\prime }})=E(z+z^{\mathrm{\prime }})$ pour tous $z,z^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{C}$.

3. En déduire que $E(z)\mathrm{\ne }0$ pour tout $z$, que $E(-z)={\displaystyle \frac{1}{E(z)}}$, et que $E$ est un morphisme du groupe $(\mathbb{C},+)$ dans le groupe $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$.

4. Montrer que $\overline{E(z)}=E(\bar{z})$, et en déduire que $\mathrm{\mid }E(it)\mathrm{\mid }=1$ pour tout $t\in \mathbb{R}$.

5. Application. Pour $\theta \in \mathbb{R}$, montrer que

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos (n\theta )}{n!}=e^{\cos \theta }\cos (\sin \theta )\mathrm{.}$$