Devoir surveillé — Procédés sommatoires discrets

Les trois questions sont indépendantes. Pour chacune, déterminer la nature de la série proposée, en nommant le théorème utilisé et en vérifiant ses hypothèses.

1. (1 pt) ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\sin \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)}$.

2. (1 pt) ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{u}_n}$, où l'on pose

$$u_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{n}}& \text{si }n\text{ est le carr}\acute{\text{e}}\text{ d’un entier,}\\ {\displaystyle \frac{1}{n^2}}& \text{sinon.}\end{array}$$

3. (1 pt) ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}^a}$, où $a$ est un réel strictement positif. On discutera selon $a$.

Partie A. Une famille dont les deux sommations itérées diffèrent.

On définit une famille ${\left(a_{i,j}\right)}_{(i,j)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2}$ de réels par

$$a_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{2}^{i-j}& \text{si }j>i,\\ 0& \text{si }j=i,\\ -2^{j-i}& \text{si }j<i\mathrm{.}\end{array}$$

1. (0,5 pt) Vérifier que $a_{j,i}=-a_{i,j}$ pour tout couple $(i,j)$.

2. (1 pt) Soit $i⩾1$. Démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{j⩾1}{a}_{i,j}}$ converge absolument et que sa somme vaut $2^{1-i}$. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{i,j}\right)}$.

3. (0,5 pt) En déduire, sans nouveau calcul, la valeur de ${\displaystyle \sum _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{i,j}\right)}$.

4. (0,5 pt) Démontrer que la famille $\left(a_{i,j}\right)$ n'est pas sommable. Quelle hypothèse de quel théorème est ainsi mise en défaut ?

Partie B. Un regroupement licite.

On utilise librement le résultat du cours : pour tout $x\in \mathbb{R}$, ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=e^x}$.

5. (1 pt) Démontrer que les familles ${\left({\displaystyle \frac{1}{(2n)!}}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et ${\left({\displaystyle \frac{1}{(2n+1)!}}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sont sommables, puis calculer leurs sommes. On considérera la partition de $\mathbb{N}$ en entiers pairs et entiers impairs, et l'on appliquera deux fois la sommation par paquets.

6. (0,5 pt) Expliquer précisément ce qui autorise le regroupement de la question 5. et l'interdit à la partie A. Que se passerait-il si les $a_{i,j}$ de la partie A étaient tous positifs ?

Soit ${\left(u_n\right)}_{n⩾1}$ une suite de réels strictement positifs telle que la série $\sum u_n$ diverge. Pour $n⩾1$, on pose

$$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que la suite $\left(S_n\right)$ est strictement croissante et tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. (1,5 pt) Démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{u_n}{S_n}}$ diverge. On pourra raisonner par l'absurde, noter $R_n$ le reste d'ordre $n$ de cette série, et minorer ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^m\frac{u_k}{S_k}}$ pour $m>n$.

3. (1,5 pt) Démontrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}\frac{u_n}{S_n^2}}$ converge, et majorer sa somme par une quantité ne dépendant que de $u_1$.

4. (0,5 pt) Application. On prend $u_n=\ln (1+\frac{1}{n})$. Calculer $S_n$, vérifier que les hypothèses sont satisfaites, puis déduire des questions 2. et 3. la nature des séries

$$\sum _{n⩾1}\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\ln (n+1)}\text{et}\sum _{n⩾2}\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{{(\ln (n+1))}^2}\mathrm{.}$$

On rappelle que le critère des séries de Bertrand n'est pas un résultat du cours de MPSI et ne peut pas être cité.

5. (0,5 pt) En déduire qu'il n'existe aucune suite $\left(a_n\right)$ de réels strictement positifs telle que $\sum a_n$ diverge et que toute série $\sum b_n$ à termes positifs vérifiant $b_n=o\left(a_n\right)$ converge.

Le cours affirme, sans le démontrer, qu'il existe des séries convergentes dont le produit de Cauchy diverge. L'objet de cet exercice est d'établir ce résultat, avec une minoration précise.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}},\text{puis}{c}_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, mais qu'aucune des deux ne converge absolument.

2. (2 pts) Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\mid c_n\mid ⩾\frac{2(n+1)}{n+2},$$

puis en déduire la nature de la série $\sum c_n$. Le cours démontre le théorème du produit de Cauchy en établissant d'abord la sommabilité de la famille ${\left(a_p{b}_q\right)}_{(p,q)\in {\mathbb{N}}^2}$, puis en sommant cette famille par paquets suivant les diagonales $p+q=n$ : conclure en démontrant que le premier de ces deux temps échoue ici.

Ce problème étudie ce qui reste de la série harmonique lorsqu'on en retire les termes $\frac{1}{n}$ dont l'entier $n$ « contient un $9$ ». Les trois parties s'enchaînent.

Tout entier $n⩾1$ s'écrit de manière unique $n=\overline{c_{d-1}{c}_{d-2}\cdots c_1{c}_0}$ en base dix, avec $d⩾1$, $c_{d-1}\in \{1,\dots ,9\}$ et $c_i\in \{0,\dots ,9\}$ pour $i⩽d-2$ ; l'entier $d$ est le nombre de chiffres de $n$, et $n$ a exactement $d$ chiffres si et seulement si ${10}^{d-1}⩽n⩽{10}^d-1$.

On note $A$ l'ensemble des entiers $n⩾1$ dont aucun chiffre n'est égal à $9$, et, pour $d⩾1$,

$$A_d=\{n\in A;{10}^{d-1}⩽n⩽{10}^d-1\}$$

l'ensemble des éléments de $A$ ayant exactement $d$ chiffres. Ainsi $A_1=\{1,2,\dots ,8\}$, et $A_2$ est formé des entiers à deux chiffres ne comportant aucun $9$.

Partie A. Le dénombrement.

1. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $d⩾1$, $\mathrm{card}\left(A_d\right)=8\times 9^{d-1}$.

2. (0,5 pt) Démontrer que la famille ${\left(A_d\right)}_{d⩾1}$ est une partition de $A$.

Partie B. Sommabilité et exposant critique.

Soit $s$ un réel strictement positif. On pose $q={\displaystyle \frac{9}{{10}^s}}$.

3. (1,5 pt) Démontrer que, pour tout $d⩾1$,

$$\frac{8}{{10}^s}{q}^{d-1}⩽\sum _{n\in A_d}\frac{1}{n^s}⩽8q^{d-1},$$

puis en déduire que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{n^s}}\right)}_{n\in A}$ est sommable si et seulement si $s>{\displaystyle \frac{\ln 9}{\ln 10}}$.

4. (0,5 pt) Donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près de $s_0={\displaystyle \frac{\ln 9}{\ln 10}}$, sachant que $\ln 3\approx \mathrm{1,0986}$ et $\ln 10\approx \mathrm{2,3026}$. Comparer en une phrase avec l'exposant critique de la famille complète ${\left(\frac{1}{n^s}\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

5. (0,75 pt) En déduire que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}_{n\in A}$ est sommable, et que sa somme $S$ vérifie $8⩽S⩽80$.

Partie C. Une intuition à corriger.

6. (0,75 pt) On note $B={\mathbb{N}}^{\ast }\setminus A$ l'ensemble des entiers dont l'écriture décimale comporte au moins un $9$. Démontrer que la famille ${\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}_{n\in B}$ n'est pas sommable.

7. (0,75 pt) Démontrer que $\mathrm{card}(A\cap [1,{10}^d-1])=9^d-1$, puis que

$$\frac{\mathrm{card}(A\cap [1,{10}^d-1])}{{10}^d-1}\underset{d\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

8. (0,5 pt) Expliquer en quelques lignes pourquoi les résultats des questions 5., 6. et 7. ne constituent pas une contradiction.