Exercices — Probabilités

On lance deux dés cubiques équilibrés discernables : l'un est rouge, l'autre est vert. On note le résultat sous la forme d'un couple, le premier nombre désignant le résultat du dé rouge et le second celui du dé vert.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à cette expérience et donner $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$.

2. Écrire en extension les événements $A$ : « la somme des deux dés vaut $5$ » et $B$ : « les deux dés donnent le même résultat », puis donner leur cardinal.

3. Décrire $A\cap B$, $A\cup B$ et $\bar{A}$, et donner le cardinal de chacun. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?

4. Donner deux systèmes complets d'événements différents associés à cette expérience, en vérifiant à chaque fois la définition.

5. On note $R$ : « le dé rouge donne $6$ » et $V$ : « le dé vert donne $6$ ». Traduire en langage ensembliste les trois phrases suivantes, puis donner le cardinal de l'événement obtenu : « au moins un des deux dés donne $6$ » ; « aucun des deux dés ne donne $6$ » ; « exactement un des deux dés donne $6$ ».

On considère l'univers $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4,{\omega }_5\}$, que l'on souhaite munir d'une probabilité $P$ définie par la distribution suivante, où $a$ désigne un réel :

On pose $A=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\}$, $B=\{{\omega }_3,{\omega }_4,{\omega }_5\}$ et $C=\{{\omega }_1,{\omega }_3\}$.

1. Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle ce tableau définit bien une probabilité sur $\mathrm{\Omega }$.

2. Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

3. Calculer $P(\bar{A})$ de deux façons différentes.

4. Calculer $P(A\cup B)$ à l'aide de la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, puis contrôler le résultat par un calcul direct.

5. Démontrer que si deux événements $E$ et $F$ vérifient $E\subset F$, alors $P(E)⩽P(F)$. Illustrer cette propriété avec les événements $C$ et $A$.

1. On lance deux dés cubiques équilibrés discernables. Après avoir décrit l'univers et justifié l'équiprobabilité, calculer la probabilité des événements suivants :

   a. la somme des deux dés vaut $8$

   b. les deux dés donnent des résultats différents

2. On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes bien battu (les couleurs sont pique, cœur, carreau et trèfle ; chaque couleur comporte les hauteurs $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi et as). Une telle main est appelée une donne. Calculer la probabilité des événements suivants, en donnant la valeur exacte sous forme de fraction irréductible puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près :

   a. la main contient exactement deux cœurs

   b. la main contient au moins un as

   c. la main contient exactement un roi et exactement une dame

   d. la main n'est composée que de figures (valets, dames et rois)

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules blanches et $6$ boules noires. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. On note $A$ l'événement « la première boule tirée est blanche » et $B$ l'événement « la deuxième boule tirée est noire ».

1. Décrire l'univers associé à cette expérience, donner son cardinal et calculer $P(A)$.

2. Calculer $P_A(B)$ en raisonnant directement sur l'univers réduit, c'est-à-dire sur le contenu de l'urne après le premier tirage.

3. En déduire $P(A\cap B)$ par la formule des probabilités composées, puis retrouver ce résultat par un dénombrement direct.

4. Calculer $P(B)$, puis $P_B(A)$. Comparer $P_B(A)$ et $P_A(B)$, et interpréter la valeur obtenue pour $P_B(A)$.

5. Question de cours : pourquoi la probabilité conditionnelle $P_A$ n'est-elle pas définie lorsque $P(A)=0$ ?

On dispose de deux urnes. L'urne ${\mathcal{U}}_1$ contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires ; l'urne ${\mathcal{U}}_2$ contient $1$ boule blanche et $4$ boules noires. On lance une pièce truquée, qui tombe sur pile avec la probabilité ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ : si elle donne pile, on tire une boule au hasard dans ${\mathcal{U}}_1$, sinon on tire une boule au hasard dans ${\mathcal{U}}_2$.

On note $U_1$ l'événement « la boule est tirée dans l'urne ${\mathcal{U}}_1$ », $U_2$ l'événement « la boule est tirée dans l'urne ${\mathcal{U}}_2$ », et $B$ l'événement « la boule tirée est blanche ».

1. Décrire en toutes lettres l'arbre pondéré associé à cette expérience, et vérifier que $(U_1,U_2)$ est un système complet d'événements.

2. Calculer $P(B)$ à l'aide de la formule des probabilités totales. Contrôler le résultat en calculant de même la probabilité de tirer une boule noire.

3. La boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne ${\mathcal{U}}_1$ ?

4. Calculer de même $P_B(U_2)$, et vérifier que $P_B(U_1)+P_B(U_2)=1$. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?

On lance un dé cubique équilibré à six faces et on note le résultat. On considère les événements

1. Décrire l'univers, justifier l'équiprobabilité, puis écrire $A$, $B$ et $D$ en extension et donner leur probabilité.

2. Pour chacun des trois couples $(A,B)$, $(A,D)$ et $(B,D)$, dire s'il s'agit d'événements indépendants, en appliquant le critère $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ et en concluant à chaque fois.

3. On note $S$ : « le résultat vaut $1$ » et $T$ : « le résultat vaut $2$ ». Montrer que $S$ et $T$ sont incompatibles mais non indépendants. Démontrer plus généralement que deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

4. Démontrer que si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi. Vérifier la propriété sur le couple $(A,B)$ de la question 2.

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$, telle que $X(\mathrm{\Omega })=\{-1,0,1,2,3\}$ et dont la loi est donnée par le tableau suivant, où $a$ est un réel :

1. Déterminer $a$.

2. Calculer $P(X⩽2)$ et $P(X⩾3)$, et vérifier la cohérence des deux résultats.

3. Déterminer la loi de la variable aléatoire $Y=X^2$, et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

4. Déterminer la loi de la variable aléatoire $Z=\mathrm{\mid }X-2\mathrm{\mid }$.

1. Pour chacune des quatre situations suivantes, préciser $X(\mathrm{\Omega })$ et déterminer la loi de $X$ avec ses paramètres, en justifiant soigneusement le modèle. Si $X$ ne suit aucune des trois lois usuelles du cours, le dire et l'expliquer.

   a. On lance un dé équilibré à douze faces numérotées de $1$ à $12$, et $X$ désigne le numéro obtenu.

   b. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes bien battu ; $X$ vaut $1$ si la carte tirée est un cœur, et $0$ sinon.

   c. On lance $10$ fois de suite une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, les lancers étant indépendants, et $X$ désigne le nombre de piles obtenus.

   d. Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher, dont $4$ blanches. On en tire $3$ simultanément et $X$ désigne le nombre de boules blanches obtenues.

2. Pour la variable aléatoire de la situation c., calculer $P(X=0)$ et $P(X=3)$, sous forme exacte puis avec une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers fini, dont la loi est donnée par le tableau suivant.

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.

2. Calculer $E(X^2)$ à l'aide de la formule de transfert.

3. En déduire $V(X)$ par la formule de Koenig-Huygens, puis retrouver ce résultat en appliquant la définition $V(X)=E((X-E(X){)}^2)$.

4. Calculer $\sigma (X)$, sous forme exacte puis avec une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

5. Calculer $E(3X-2)$ et $V(3X-2)$ à l'aide des propriétés du cours, puis contrôler ces deux valeurs par un calcul direct sur la loi de $3X-2$.

On lance deux dés équilibrés à six faces, discernables l'un de l'autre. On note $X$ le résultat du premier dé, $Y$ celui du second, et l'on pose $S=X+Y$.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ et la probabilité retenue. Justifier que $X$ et $Y$ suivent la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et qu'elles sont indépendantes.

2. Établir que $S(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,12]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et que, pour tout $s\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,12]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

Vérifier que la somme de ces probabilités vaut $1$.

3. Calculer $E(S)$ par linéarité, puis $V(S)$ et $\sigma (S)$ en utilisant l'indépendance.

4. Retrouver la valeur de $E(S)$ par le calcul direct ${\displaystyle \sum _{s=2}^{12}sP(S=s)}$.

5. Calculer $P(S⩾10)$.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher, dont $4$ blanches et $6$ noires. On y prélève $3$ boules, selon deux protocoles différents.

1. Protocole avec remise. On tire successivement $3$ boules, en remettant chaque boule dans l'urne après l'avoir observée. On note $X$ le nombre de boules blanches obtenues. Reconnaître la loi de $X$ en justifiant chaque hypothèse, puis calculer $P(X=2)$.

2. Protocole sans remise. On tire simultanément $3$ boules de l'urne. On note $Y$ le nombre de boules blanches obtenues. Déterminer la loi de $Y$ par dénombrement, puis calculer $P(Y=2)$.

3. Vérifier que les deux lois obtenues somment bien à $1$.

4. Comparer numériquement les deux lois, et en particulier $P(X=2)$ et $P(Y=2)$. Expliquer le sens de l'écart observé.

5. Calculer $E(X)$ et $E(Y)$. Commenter.

Dans une population donnée, une personne sur mille est atteinte d'une certaine maladie. On dispose d'un test de dépistage dont on connaît les performances : il est positif chez $99\mathrm{\%}$ des personnes malades, et négatif chez $98\mathrm{\%}$ des personnes saines. On choisit une personne au hasard dans la population.

1. Introduire les événements utiles, préciser le système complet d'événements employé, et traduire les trois données de l'énoncé.

2. Calculer la probabilité que le test soit positif.

3. Calculer la probabilité qu'une personne dont le test est positif soit effectivement malade. Donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée.

4. Le test se trompe pourtant très rarement. Commenter ce paradoxe apparent, par exemple en raisonnant sur une population de $100000$ personnes.

5. Calculer la probabilité qu'une personne dont le test est négatif soit effectivement saine.

6. On cherche à améliorer le test. Les autres données restant inchangées, jusqu'à quelle valeur faudrait-il abaisser le taux de faux positifs pour que la probabilité d'être malade sachant que le test est positif dépasse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?

Une source émet un bit, qui vaut $1$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ et $0$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{2}{5}}$. Ce bit traverse un canal binaire symétrique : lors de la transmission, il est inversé avec la probabilité $p\in ]0,1[$ et transmis correctement avec la probabilité $1-p$, indépendamment de tout le reste. On note $E_1$ et $E_0$ les événements « le bit émis vaut $1$ » et « le bit émis vaut $0$ », $R_1$ et $R_0$ les événements analogues pour le bit reçu.

1. Calculer $P(R_1)$ en fonction de $p$.

2. Calculer $P_{R_1}(E_1)$ en fonction de $p$, puis donner sa valeur pour $p=\mathrm{0,1}$.

3. Étudier le cas $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : montrer que $E_1$ et $R_1$ sont alors indépendants, et interpréter.

4. Pour fiabiliser la transmission, on utilise un code de répétition : la source émet trois fois le même bit, chaque bit étant inversé indépendamment avec la probabilité $p$, et le récepteur décide à la majorité. Calculer la probabilité que le décodage soit erroné, puis comparer cette probabilité à $p$ pour $p=\mathrm{0,1}$.

5. Démontrer que le code de répétition améliore la transmission si et seulement si $p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Une urne contient initialement $b$ boules blanches et $r$ boules rouges, avec $b⩾1$ et $r⩾1$. On effectue des tirages successifs selon le protocole suivant : on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on ajoute en plus $c$ boules de la même couleur, où $c\in \mathbb{N}$ est fixé ; puis on recommence. À chaque tirage, toutes les boules présentes dans l'urne ont la même probabilité d'être choisies.

Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $B_k$ l'événement « la $k$-ième boule tirée est blanche » et $R_k=\overline{B_k}$.

1. Dans cette question, $b=3$, $r=2$ et $c=2$. Calculer $P(B_1\cap B_2\cap R_3)$ à l'aide de la formule des probabilités composées.

2. Dans le cas général, démontrer que $P(B_2)=P(B_1)$.

3. Vérifier ce résultat sur l'exemple numérique de la question 1, et comparer $P(B_1\cap B_2)$ à $P(B_1)P(B_2)$.

4. Commenter : le protocole renforce pourtant la couleur qui vient de sortir. Comment concilier ce renforcement avec le résultat de la question 2 ?

On lance deux pièces équilibrées, discernables l'une de l'autre. On considère les événements

1. Décrire l'univers et la probabilité choisie, puis calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ ainsi que les probabilités des trois intersections deux à deux. Conclure que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants.

2. Calculer $P(A\cap B\cap C)$ et comparer à $P(A)P(B)P(C)$. Que peut-on en conclure ?

3. Expliquer pourquoi ces deux résultats ne sont pas contradictoires.

4. Réciproquement, on lance un dé équilibré à six faces et l'on pose $A^{\mathrm{\prime }}=\{1,2,3\}$, $B^{\mathrm{\prime }}=\{2,3,4\}$ et $C^{\mathrm{\prime }}=\{1,2,5,6\}$. Vérifier que $P(A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }}\cap C^{\mathrm{\prime }})=P(A^{\mathrm{\prime }})P(B^{\mathrm{\prime }})P(C^{\mathrm{\prime }})$ alors que $A^{\mathrm{\prime }}$ et $B^{\mathrm{\prime }}$ ne sont pas indépendants.

5. Énoncer la définition correcte de l'indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements, et dire ce que les deux exemples précédents démontrent.

Un tireur atteint la cible avec la probabilité $\mathrm{0,3}$ à chaque tir. Il effectue $10$ tirs, dans des conditions identiques et de façon mutuellement indépendante. On note $X$ le nombre de tirs qui atteignent la cible. Les valeurs approchées seront données à ${10}^{-4}$ près.

1. Justifier précisément que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres, en explicitant les hypothèses utilisées.

2. Calculer les probabilités suivantes, en passant par l'événement contraire pour la deuxième :

   a. $P(X=3)$

   b. $P(X⩾1)$

   c. $P(2⩽X⩽4)$

3. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

4. Le tireur se fatigue en réalité, et sa probabilité de réussite baisse à chaque tir. Expliquer quelle hypothèse du modèle est alors violée, et ce qui subsiste malgré tout.

On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces et l'on note $X$ le nombre de faces différentes obtenues, c'est-à-dire le nombre de valeurs distinctes apparaissant dans le triplet des résultats. Les valeurs approchées seront données à ${10}^{-4}$ près.

1. Décrire l'univers et la probabilité choisie, puis justifier que $X(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$.

2. Calculer $P(X=1)$ et $P(X=3)$ par dénombrement.

3. En déduire $P(X=2)$, retrouver cette valeur par un dénombrement direct, et vérifier que la loi de $X$ somme à $1$.

4. Calculer $E(X)$, puis retrouver le résultat en écrivant $X$ comme une somme d'indicatrices.

5. Calculer $V(X)$ et $\sigma (X)$.

6. Généralisation : pour un dé équilibré à $n$ faces avec $n⩾3$, donner $P(X=3)$ et contrôler la cohérence avec la question 2.

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un même univers fini $\mathrm{\Omega }$, avec $X(\mathrm{\Omega })=\{1,2,3\}$ et $Y(\mathrm{\Omega })=\{0,1,2\}$. La loi conjointe du couple est donnée par le tableau suivant, où la case située à l'intersection de la ligne $X=x$ et de la colonne $Y=y$ contient $P((X=x)\cap (Y=y))$ :

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi d'un couple de variables aléatoires.

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier à l'aide d'une seule case du tableau.

4. Déterminer la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=1)$, vérifier qu'elle somme à $1$, et la comparer à la loi de $Y$.

5. Calculer $E(XY)$ et $E(X)E(Y)$, puis en déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$. Que retrouve-t-on ?

6. Peut-on rendre $X$ et $Y$ indépendantes en modifiant une seule ligne du tableau, les deux autres restant inchangées ? Justifier.

Pour un événement $A$ d'un univers fini $\mathrm{\Omega }$, on note ${\mathbf{1}}_A$ la variable aléatoire définie sur $\mathrm{\Omega }$ par ${\mathbf{1}}_A(\omega )=1$ si $\omega \in A$, et ${\mathbf{1}}_A(\omega )=0$ sinon. L'objectif de l'exercice est de calculer des espérances sans jamais déterminer la loi de la variable étudiée.

1. Déterminer la loi de ${\mathbf{1}}_A$ et démontrer que $E\left({\mathbf{1}}_A\right)=P(A)$.

2. On lance $n$ dés équilibrés à six faces, discernables, les lancers étant indépendants. On note $X$ le nombre de six obtenus. Écrire $X$ comme une somme d'indicatrices, en déduire $E(X)$, puis reconnaître la loi de $X$ et contrôler le résultat.

3. On tire au hasard une main de $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes, toutes les mains étant équiprobables. On note $Y$ le nombre de cœurs de la main. Écrire $Y$ comme une somme de $8$ indicatrices, calculer la probabilité de chacun des événements associés, puis $E(Y)$. Ces $8$ événements sont-ils indépendants ? Le calcul en est-il affecté ?

4. On lance $n⩾2$ fois une pièce équilibrée. On note $Z$ le nombre d'indices $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ tels que les lancers numéros $i$ et $i+1$ donnent le même résultat. Calculer $E(Z)$, puis donner sa valeur pour $n=100$.

5. Résumer en une phrase la méthode employée dans les trois situations précédentes.

Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$. On rappelle les sommes usuelles

ainsi que la formule du pivot $k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)$, valable pour $1⩽k⩽n$.

1. Soit $X\sim \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$. Calculer $E(X)$, puis $E\left(X^2\right)$, et en déduire $V(X)$.

2. Soit $X\sim \mathcal{B}(p)$ avec $p\in [0,1]$. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

3. Soit $X\sim \mathcal{B}(n,p)$, où l'on pose $q=1-p$. Calculer $E(X)$ puis $V(X)$ par le calcul direct, en utilisant la formule du pivot.

4. Retrouver ces deux résultats par la méthode des indicatrices, en écrivant $X$ comme une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes.

5. Comparer l'efficacité des deux méthodes. Application numérique : donner $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$ pour $X\sim \mathcal{B}(20;\mathrm{0,25})$.

On réunit $n$ personnes, avec $2⩽n⩽365$. On suppose que l'année compte $365$ jours, que la date d'anniversaire d'une personne est uniformément répartie sur ces $365$ jours, et que les dates des $n$ personnes sont indépendantes. On note $p_n$ la probabilité qu'au moins deux personnes du groupe aient le même anniversaire.

1. Décrire un univers $\mathrm{\Omega }$ adapté, donner $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$ et justifier que la probabilité uniforme convient.

2. Exprimer $1-p_n$ à l'aide d'un arrangement, puis sous la forme d'un produit ${\prod }_{k=0}^{n-1}(1-{\displaystyle \frac{k}{365}})$.

3. Calculer une valeur approchée de $p_{23}$ et de $p_{50}$.

4. Démontrer que $1-x⩽{\mathrm{e}}^{-x}$ pour tout $x$ réel, puis en déduire l'encadrement

5. En déduire une valeur de $n$ garantissant $p_n⩾\mathrm{0,99}$.

6. Commenter le « paradoxe » en comparant $n$ au nombre de paires de personnes du groupe.

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$.

1. Soit $X$ une variable aléatoire positive et $a>0$. Démontrer l'inégalité de Markov :

2. On lance $10$ fois une pièce équilibrée et l'on note $X$ le nombre de piles obtenus. Majorer $P(X⩾8)$ par l'inégalité de Markov, puis calculer la valeur exacte de $P(X⩾8)$. Commenter l'écart.

3. Soit $X$ une variable aléatoire quelconque et $\epsilon >0$. Déduire de la question 1 l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

4. Soit $X\sim \mathcal{B}(100,1\mathrm{/}2)$. Majorer $P(\mid X-50\mid ⩾20)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. On admet que la valeur exacte de cette probabilité est environ $\mathrm{0,0000785}$. Commenter l'écart.

5. Montrer qu'il existe une variable aléatoire pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une égalité. On cherchera une variable ne prenant que trois valeurs.

Un jeu télévisé propose trois portes numérotées de $1$ à $3$. Derrière l'une d'elles, tirée au hasard de façon uniforme, se trouve une voiture ; derrière chacune des deux autres, une chèvre. Le candidat désigne une porte sans l'ouvrir. Le présentateur, qui connaît l'emplacement de la voiture, ouvre alors une porte selon des règles strictes : la porte ouverte est toujours perdante, et toujours différente de celle désignée par le candidat ; lorsque ces deux conditions lui laissent le choix entre deux portes, il tire au sort celle qu'il ouvre, chacune avec la probabilité $\frac{1}{2}$. Le candidat décide enfin de garder sa porte ou de prendre l'autre porte encore fermée.

Les règles étant symétriques, on suppose que le candidat a désigné la porte numéro $1$. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $G_i$ l'événement « la voiture est derrière la porte numéro $i$ » et, pour $j\in \{2,3\}$, $O_j$ l'événement « le présentateur ouvre la porte numéro $j$ ».

1. Justifier que ${\left(G_i\right)}_{1⩽i⩽3}$ est un système complet d'événements, donner $P\left(G_i\right)$, puis traduire les règles du présentateur en probabilités conditionnelles $P_{G_i}\left(O_j\right)$.

2. Calculer, par la formule des probabilités totales, la probabilité de gagner en gardant sa porte, puis la probabilité de gagner en changeant.

3. Le candidat objecte : « la porte $3$ est ouverte, il reste deux portes fermées, donc une chance sur deux ». Calculer $P\left(O_3\right)$, puis $P_{O_3}\left(G_1\right)$ et $P_{O_3}\left(G_2\right)$ par la formule de Bayes. Que répondre au candidat ?

4. Généraliser à $n⩾3$ portes, le présentateur ouvrant $n-2$ portes perdantes, toutes différentes de celle du candidat.

5. Commenter le cas $n=100$.

6. Vigilance. On suppose maintenant que le présentateur ignore l'emplacement de la voiture : il ouvre la porte $2$ ou la porte $3$ au hasard, chacune avec la probabilité $\frac{1}{2}$, indépendamment de la position de la voiture. Sachant qu'il a ouvert la porte $3$ et que celle-ci s'est révélée perdante, calculer la probabilité que la voiture soit derrière la porte $1$. Conclure.

Soit $n⩾2$. On choisit une permutation $\sigma$ au hasard, de façon uniforme, dans le groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_n$ : l'univers est $\mathrm{\Omega }={\mathfrak{S}}_n$ muni de la probabilité uniforme. On note $X$ le nombre de points fixes de $\sigma$, c'est-à-dire

et, pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $A_i$ l'événement $(\sigma (i)=i)$.

1. Justifier que $X={\sum }_{i=1}^n{\mathbf{1}}_{A_i}$, calculer $P\left(A_i\right)$ et en déduire $E(X)$. Commenter le résultat.

2. Calculer $P(A_i\cap A_j)$ pour $i\mathrm{\ne }j$.

3. En déduire que, pour $i\mathrm{\ne }j$, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{A_i},{\mathbf{1}}_{A_j})={\displaystyle \frac{1}{n^2(n-1)}}$.

4. En déduire $V(X)$.

5. Vérifier entièrement les résultats pour $n=3$, en énumérant les six permutations de ${\mathfrak{S}}_3$.

6. Les indicatrices ${\mathbf{1}}_{A_i}$ sont-elles indépendantes ? Pourquoi le calcul de $E(X)$ ne s'en est-il pas soucié, contrairement à celui de $V(X)$ ?

Une urne contient $N$ boules indiscernables au toucher mais numérotées, dont $b$ blanches et $N-b$ noires, avec $1⩽b⩽N$. On en tire simultanément $n$ boules, avec $1⩽n⩽N$, tous les tirages étant équiprobables. On note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

1. Décrire l'univers, préciser $X(\mathrm{\Omega })$ et démontrer que

2. Vérifier que la somme de ces probabilités vaut $1$, en invoquant la formule de Vandermonde.

3. Calculer $E(X)$ par la méthode des indicatrices : on posera, pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, ${\mathbf{1}}_i$ l'indicatrice de l'événement « la boule blanche numéro $i$ figure dans le tirage », dont on montrera qu'il a pour probabilité ${\displaystyle \frac{n}{N}}$.

4. Comparer avec l'espérance du même comptage effectué avec remise, et commenter.

5. Application numérique : un lot de $50$ pièces contient $5$ pièces défectueuses ; on en prélève $10$ au hasard. Calculer l'espérance du nombre de pièces défectueuses prélevées, puis la probabilité d'en détecter au moins une.

6. Que devient la loi de $X$ lorsque $N$ devient très grand, la proportion ${\displaystyle \frac{b}{N}}=p$ restant fixée ? Réponse qualitative attendue.

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même univers fini $\mathrm{\Omega }$.

1. Démontrer que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$.

2. Soit $X\sim \mathcal{U}(\{-1,0,1\})$ et $Y=X^2$. Donner la loi conjointe du couple $(X,Y)$ et les deux lois marginales, puis calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

3. Démontrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes. Que conclure sur la réciproque de la question 1 ?

4. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,aX+b)$ pour $a,b$ réels. Qu'est-ce que la covariance mesure réellement ?

5. Soit $X\sim \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$ et $Y={\mathbf{1}}_{(X\text{ pair})}$. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et conclure quant à l'indépendance.

6. Soient enfin $X\sim \mathcal{B}(p)$ et $Y\sim \mathcal{B}(q)$ telles que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0$. Démontrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$ et l'on considère $X\sim \mathcal{B}(n,p)$. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $u_k=P(X=k)$. On cherche la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $u_k$ est maximal : ce sont les valeurs les plus probables, ou modes, de la loi.

1. Justifier que $u_k>0$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis calculer et simplifier le rapport ${\displaystyle \frac{u_{k+1}}{u_k}}$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

2. Démontrer que, pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $u_{k+1}⩾u_k$ si et seulement si $k+1⩽(n+1)p$. En déduire le sens de variation de la suite finie ${\left(u_k\right)}_{0⩽k⩽n}$.

3. On pose $k_0=\lfloor (n+1)p\rfloor$. Démontrer que $u_{k_0}$ est le maximum de $\left(u_k\right)$, qu'il y a exactement deux valeurs les plus probables lorsque $(n+1)p$ est un entier, et une seule sinon.

4. Applications numériques : déterminer le ou les modes et la probabilité maximale pour $(n,p)=(10;\mathrm{0,3})$, puis $(9;\mathrm{0,5})$, puis $(5,\frac{1}{6})$.

5. Comparer le mode et l'espérance $np$. Démontrer que $\mid k_0-np\mid <1$.

Soient $n,m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in ]0,1[$. Sur un même univers fini $\mathrm{\Omega }$, on considère deux variables aléatoires indépendantes $X\sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y\sim \mathcal{B}(m,p)$, de même paramètre $p$.

1. Déterminer $(X+Y)(\mathrm{\Omega })$.

2. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n+m]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. En appliquant la formule des probabilités totales au système complet d'événements $((X=i){)}_{0⩽i⩽n}$, écrire $P(X+Y=k)$ sous forme d'une somme, puis conclure à l'aide de la formule de Vandermonde que $X+Y\sim \mathcal{B}(n+m,p)$.

3. Retrouver ce résultat en une ligne, en décomposant $X$ et $Y$ en sommes d'indicatrices dans un schéma d'épreuves répétées.

4. Contrôler la cohérence du résultat sur les espérances, puis sur les variances.

5. On suppose maintenant $n=m=1$, avec $X\sim \mathcal{B}(p_1)$ et $Y\sim \mathcal{B}(p_2)$ indépendantes et $p_1\mathrm{\ne }{p}_2$. Montrer que $X+Y$ ne suit aucune loi binomiale $\mathcal{B}(2,r)$ : on déterminera d'abord la seule valeur possible de $r$ grâce à l'espérance, puis on comparera $P(X+Y=2)$ à ce que cette loi imposerait. Illustrer avec $p_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $p_2={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$, à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

1. Démontrer la formule de la queue :

On explicitera soigneusement le domaine de la somme double avant d'intervertir.

2. Vérifier cette formule lorsque $X\sim \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$.

3. Une urne contient $N⩾2$ boules numérotées de $1$ à $N$. On en tire deux simultanément, et l'on note $M$ le plus grand des deux numéros obtenus. Déterminer $P(M⩽k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis $P(M⩾k)$.

4. En déduire, à l'aide de la question 1, que

On établira au passage l'identité ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{j}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{3}\right)}$. Vérifier le résultat pour $N=2$ et $N=3$ en énumérant les tirages.

5. Dans quelles situations la formule de la queue est-elle plus économique que le calcul direct de $E(X)$ à partir de la loi de $X$ ?

Une puce occupe, à chaque top d'horloge, l'une des deux positions $A$ ou $B$. À chaque top :

• si elle est en $A$, elle saute en $B$ avec la probabilité $a$, et reste en $A$ avec la probabilité $1-a$ ;
• si elle est en $B$, elle saute en $A$ avec la probabilité $b$, et reste en $B$ avec la probabilité $1-b$,

avec $0<a<1$ et $0<b<1$. On observe les $n$ premiers déplacements : l'univers est l'ensemble fini des trajectoires possibles. On note $A_n$ l'événement « la puce est en $A$ à l'instant $n$ », $p_n=P(A_n)$, et l'on se donne $p_0\in [0,1]$.

1. Justifier, par la formule des probabilités totales appliquée au système complet $(A_n,\overline{A_n})$, que pour tout $n\in \mathbb{N}$

2. Réécrire cette relation sous la forme $p_{n+1}=\alpha p_n+\beta$ et vérifier que $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }<1$.

3. Déterminer l'unique point fixe $\mathrm{\ell }$ de la relation, puis donner l'expression explicite de $p_n$ en fonction de $n$, $a$, $b$ et $p_0$.

4. Étudier la limite de $(p_n)$ et montrer qu'elle ne dépend pas de $p_0$.

5. Application numérique : $a=\mathrm{0,3}$, $b=\mathrm{0,2}$ et $p_0=1$. Donner $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$ et la limite.

6. Commenter : que se passe-t-il si $p_0=\mathrm{\ell }$ ? Comment la vitesse de convergence dépend-elle de $a$ et $b$ ?

On interroge $n$ personnes, indépendamment les unes des autres. Chacune répond « oui » avec la même probabilité $p\in [0,1]$, inconnue. On note $S_n$ le nombre de réponses « oui » et

la fréquence observée de « oui » dans l'échantillon.

1. Donner la loi de $S_n$, puis calculer $E(F_n)$ et $V(F_n)$.

2. Démontrer que $V(F_n)⩽{\displaystyle \frac{1}{4n}}$, et souligner pourquoi cette majoration est précieuse ici.

3. Soit $\epsilon >0$. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer $P(\mathrm{\mid }{F}_n-p\mathrm{\mid }⩾\epsilon )$ par une quantité qui ne dépend pas de $p$.

4. En déduire une taille d'échantillon $n$ garantissant

Donner le plus petit entier fourni par cette méthode.

5. Commenter la dépendance en ${\displaystyle \frac{1}{{\epsilon }^2}}$ : quel est le coût d'une division de l'erreur par $2$ ?

6. Énoncer la loi faible des grands nombres dans ce cadre. Que garantit-elle exactement, et que ne garantit-elle pas ?

Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$. Pour $a\in \mathbb{R}$, on pose

appelé écart quadratique moyen entre $X$ et la constante $a$.

1. Montrer que $f$ est une fonction polynomiale du second degré de la variable $a$, et expliciter ses trois coefficients en fonction de $E(X)$ et de $E(X^2)$.

2. Mettre $f$ sous forme canonique. En déduire que $f$ atteint son minimum en un unique point, que ce point est $a=E(X)$, et que ce minimum vaut $V(X)$.

3. Retrouver au passage la formule de Koenig-Huygens.

4. Application numérique. La variable $X$ a pour loi

Expliciter $f$, retrouver son minimum, et vérifier directement la valeur de $f(0)$ et de $f(E(X))$.

5. Interpréter le résultat : en quel sens $E(X)$ est-elle la « meilleure approximation constante » de $X$ ?

6. Montrer que $V(X)=0$ si et seulement si $X$ est constante sur tous les événements élémentaires de probabilité non nulle.

Soit $n⩾1$. On lance exactement $n$ fois une pièce équilibrée, les lancers étant mutuellement indépendants. On code le résultat par un mot de longueur $n$ sur l'alphabet $\{0,1\}$, le chiffre $1$ signifiant « pile » et le chiffre $0$ « face » : l'univers est donc l'ensemble fini ${\mathrm{\Omega }}_n=\{0,1{\}}^n$, de cardinal $2^n$, muni de la probabilité uniforme.

On note $A_n$ l'événement « la suite obtenue ne contient jamais deux piles consécutifs », c'est-à-dire « le mot obtenu ne contient pas le facteur $11$ », et $u_n=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A_n)$.

1. Déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ en énumérant les mots favorables.

2. Démontrer que pour tout $n⩾1$,

en partitionnant les mots favorables de longueur $n+2$ selon le résultat du premier lancer. Relire cette relation comme une formule des probabilités totales.

3. Reconnaître la suite de Fibonacci, puis donner l'expression explicite de $u_n$ en résolvant la récurrence linéaire d'ordre $2$.

4. En déduire $P(A_n)$, et calculer sa valeur pour $n=5$ et $n=10$.

5. Déterminer un équivalent de $P(A_n)$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$. En déduire que $P(A_n)\to 0$, et préciser à quelle vitesse.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini $\mathrm{\Omega }$. Pour $t\in \mathbb{R}$, on pose

1. Montrer que $g$ est une fonction polynomiale de degré au plus $2$ en $t$, à coefficients exprimés à l'aide de $V(X)$, $V(Y)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, et que $g$ est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$.

2. En discutant selon la nullité de $V(Y)$ et en utilisant le discriminant, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

3. On suppose désormais $\sigma (X)>0$ et $\sigma (Y)>0$. Définir le coefficient de corrélation $\rho (X,Y)$ et montrer que $-1⩽\rho (X,Y)⩽1$.

4. Étudier le cas d'égalité : démontrer que $\mid \rho (X,Y)\mid =1$ si et seulement s'il existe des réels $\alpha \mathrm{\ne }0$ et $\beta$ tels que $Y=\alpha X+\beta$ presque sûrement, et préciser le signe de $\alpha$.

5. Application. La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant.

Déterminer les lois marginales, puis calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $\rho (X,Y)$.

6. Soient $a\mathrm{\ne }0$ et $b$ deux réels. Que vaut $\rho (X,aX+b)$ selon le signe de $a$ ?

Soit $n⩾1$. On choisit une permutation $\sigma$ uniformément dans le groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_n$ : l'univers est $\mathrm{\Omega }={\mathfrak{S}}_n$, de cardinal $n!$, muni de la probabilité uniforme.

On dit que l'indice $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ est un record de $\sigma$ lorsque

condition vide pour $i=1$ : l'indice $1$ est toujours un record. On note $C_i$ l'événement « l'indice $i$ est un record », $R_i={\mathbf{1}}_{C_i}$ son indicatrice, et $R={\sum }_{i=1}^n{R}_i$ le nombre de records de $\sigma$.

1. Traiter entièrement le cas $n=3$ : énumérer les six permutations, donner la loi de $R$, puis $E(R)$ et $V(R)$.

2. Démontrer que pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

On remarquera que $C_i$ signifie « le maximum de $\sigma (1),\dots ,\sigma (i)$ est atteint en position $i$ », et l'on utilisera un argument de symétrie entre les $i$ premières positions.

3. En déduire $E(R)$, et vérifier le résultat sur le cas $n=3$.

4. Par comparaison somme-intégrale, démontrer que $E(R)\sim \ln n$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

5. On admet que la famille d'événements $(C_1,C_2,\dots ,C_n)$ est mutuellement indépendante. En déduire

et vérifier cette formule sur le cas $n=3$.

6. Commenter le contraste avec le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire.

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[0,1]$, à valeurs réelles. Pour $n⩾1$ et $x\in [0,1]$, on définit le $n$-ième polynôme de Bernstein de $f$ :

1. Justifier que $B_n$ est une fonction polynomiale de degré au plus $n$. Puis, $x\in [0,1]$ étant fixé et $S_n$ désignant une variable aléatoire de loi $\mathcal{B}(n,x)$, montrer que

2. Rappeler $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$ et $V\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)$, et démontrer que $V\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right)⩽{\displaystyle \frac{1}{4n}}$.

3. Soit $\delta >0$. Majorer $P\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mid {\displaystyle \frac{S_n}{n}}-x\mid ⩾\delta )$ par une quantité indépendante de $x$.

4. Soit $\epsilon >0$. En utilisant la continuité uniforme de $f$ sur $[0,1]$ et le fait que $f$ est bornée, découper la somme donnant $\mathrm{\mid }{B}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }$ selon que $\mid {\displaystyle \frac{k}{n}}-x\mid$ est petit ou grand, et exhiber un entier $N$ explicite tel que

5. Énoncer le théorème ainsi démontré.

6. Application : expliciter $B_2$ pour $f(x)=x^2$ et calculer l'écart maximal avec $f$.