Devoir surveillé — Probabilités

Un appareil est construit à partir de composants identiques et interchangeables. Chaque composant fonctionne avec la probabilité $p$, où $0<p<1$, et les composants fonctionnent indépendamment les uns des autres.

Deux composants sont dits en série lorsque l'ensemble qu'ils forment ne fonctionne que si les deux fonctionnent, et en parallèle lorsque cet ensemble fonctionne dès que l'un au moins des deux fonctionne.

On compare deux appareils construits chacun avec quatre composants $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ :

• l'appareil $\mathcal{A}$ est formé de deux branches montées en parallèle, la première branche étant $C_1$ et $C_2$ en série, la seconde $C_3$ et $C_4$ en série ;
• l'appareil $\mathcal{B}$ est formé de deux blocs montés en série, le premier bloc étant $C_1$ et $C_2$ en parallèle, le second $C_3$ et $C_4$ en parallèle.

Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « le composant $C_i$ fonctionne », et l'on note $S_{\mathcal{A}}$ et $S_{\mathcal{B}}$ les événements « l'appareil $\mathcal{A}$ fonctionne » et « l'appareil $\mathcal{B}$ fonctionne ».

1. (0,75 pt) Proposer un univers fini $\mathrm{\Omega }$ adapté à cette expérience, donner $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$ et la probabilité d'une issue en fonction de $p$. Écrire ensuite $S_{\mathcal{A}}$ et $S_{\mathcal{B}}$ à l'aide des $A_i$, des symboles $\cap$ et $\cup$.

2. (0,5 pt) Démontrer que $P(A_1\cap A_2)=p^2$ et que $P(A_1\cup A_2)=1-(1-p{)}^2$.

3. (0,5 pt) Calculer $P(S_{\mathcal{A}})$ et $P(S_{\mathcal{B}})$ en fonction de $p$, puis donner leurs valeurs pour $p=\mathrm{0,9}$.

4. (0,75 pt) Démontrer que

$$P(S_{\mathcal{B}})-P(S_{\mathcal{A}})=2p^2(1-p{)}^2\mathrm{.}$$

On note $r_{\mathcal{A}}=1-P(S_{\mathcal{A}})$ et $r_{\mathcal{B}}=1-P(S_{\mathcal{B}})$ les probabilités de panne des deux appareils, et l'on appelle réduction relative du risque le quotient $g(p)={\displaystyle \frac{r_{\mathcal{A}}-r_{\mathcal{B}}}{r_{\mathcal{A}}}}$, c'est-à-dire la fraction dont le risque de panne diminue lorsqu'on passe du montage $\mathcal{A}$ au montage $\mathcal{B}$. Démontrer que $g(p)={\displaystyle \frac{2p^2}{(1+p{)}^2}}$, calculer sa limite lorsque $p$ tend vers $1$, et conclure sur la façon de disposer les quatre composants.

5. (0,5 pt) Les événements $A_1$ et $S_{\mathcal{B}}$ sont-ils indépendants ? Justifier, puis interpréter le résultat en une phrase.

On s'intéresse aux familles de deux enfants, l'un étant né avant l'autre : on parle de l'aîné et du cadet. On choisit une telle famille au hasard.

On note $F$ « fille » et $G$ « garçon », et l'on décrit une issue par les deux lettres correspondantes, celle de l'aîné en premier : ainsi $FG$ désigne la famille dont l'aîné est une fille et le cadet un garçon. On considère les trois événements

$$D:\text{« les deux enfants sont des filles »},$$ $$R:\text{« l’a}\hat{\text{ı}}\text{n}\acute{\text{e}}\text{ est une fille »},U:\text{« la famille compte au moins une fille »}\mathrm{.}$$

Partie A. Deux observations qui ne se valent pas

Dans cette partie, chacun des deux enfants est une fille avec la probabilité $\frac{1}{2}$, indépendamment de l'autre.

1. (0,25 pt) Décrire $\mathrm{\Omega }$ en extension et justifier que la probabilité dont on le munit est la probabilité uniforme.

2. (0,25 pt) Calculer $P_R(D)$.

3. (0,5 pt) Calculer $P_U(D)$, puis expliquer pourquoi le résultat diffère de celui de la question 2.

Partie B. Un paramètre

Dans cette partie et dans la suivante, chacun des deux enfants est une fille avec la probabilité $q$, où $0<q<1$, indépendamment de l'autre.

4. (0,75 pt) Donner la probabilité de chacune des quatre issues, puis exprimer $P(D)$, $P_R(D)$ et $P_U(D)$ en fonction de $q$. Retrouver les valeurs des questions 2. et 3.

5. (0,75 pt) Démontrer que $P_U(D)<P_R(D)$ pour tout $q$ tel que $0<q<1$, puis déterminer la limite de ces deux quantités lorsque $q$ tend vers $1$ par valeurs inférieures. Interpréter.

Partie C. Un prénom

On suppose de plus que chaque fille porte le prénom Camille avec la probabilité $\epsilon$, où $0<\epsilon ⩽1$, indépendamment de tout le reste, et qu'aucun garçon ne porte ce prénom. On note $A$ l'événement « la famille compte au moins une fille prénommée Camille ».

6. (0,75 pt) Proposer un univers fini adapté à cette nouvelle expérience et la probabilité dont on le munit, puis calculer $P(A)$ et $P(D\cap A)$ en fonction de $q$ et de $\epsilon$.

7. (0,75 pt) En déduire que $P_A(D)={\displaystyle \frac{q(2-\epsilon )}{2-q\epsilon }}$. Démontrer que cette quantité est strictement décroissante en $\epsilon$ sur l'intervalle $]0,1]$, calculer sa valeur en $\epsilon =1$ et sa limite lorsque $\epsilon$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, puis comparer aux deux quantités de la question 5. et conclure.

Un questionnaire comporte $24$ questions. Chacune propose cinq réponses, dont une seule est exacte, et le candidat doit en cocher exactement une. Un candidat qui ne connaît rien au sujet coche à chaque question l'une des cinq réponses au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. On note $X$ le nombre de ses réponses exactes.

1. (0,5 pt) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis donner $E(X)$ et $V(X)$.

2. (0,75 pt) Le barème attribue $1$ point par réponse exacte et retire $m$ points par réponse fausse, où $m⩾0$. On note $G$ la note obtenue par le candidat. Exprimer $G$ en fonction de $X$ et de $m$, calculer $E(G)$, puis déterminer la valeur $m_0$ de $m$ pour laquelle $E(G)=0$. Le barème est dit juste pour cette valeur, que l'on conserve dans toute la suite.

3. (0,5 pt) Calculer $V(G)$ et $\sigma (G)$, en donnant une valeur approchée de $\sigma (G)$ à ${10}^{-2}$ près.

4. (0,75 pt) Majorer $P(G⩾5)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

5. (0,5 pt) Un candidat affirme : « l'inégalité de Markov donne directement une majoration de $P(G⩾5)$ ». Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier. Indiquer ensuite une variable aléatoire à laquelle l'inégalité de Markov s'applique et qui permet de majorer $P(G⩾5)$, puis comparer la majoration obtenue à celle de la question 4.

Un tournoi réunit $2n$ joueurs, où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Le premier tour est organisé par un tirage au sort qui répartit les $2n$ joueurs en $n$ paires, toutes les répartitions ayant la même probabilité. On appelle appariement une telle répartition et l'on note $a_n$ le nombre d'appariements de $2n$ joueurs. On admet que $a_n={\displaystyle \frac{(2n)!}{2^{n}n!}}$.

1. (0,5 pt) Démontrer, en raisonnant sur le partenaire du joueur numéro $1$, que $a_n=(2n-1)a_{n-1}$ pour tout entier $n⩾2$. Vérifier que la formule admise satisfait cette relation, puis calculer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$.

2. (0,5 pt) Deux joueurs sont fixés à l'avance. Démontrer que la probabilité qu'ils soient appariés vaut ${\displaystyle \frac{1}{2n-1}}$.

Dans les questions 3. et 4., on prend $n=4$ : le tournoi réunit $8$ joueurs, dont exactement $4$ appartiennent à un même club. On note $X$ le nombre de paires de l'appariement formées de deux joueurs de ce club.

3. (1 pt) Déterminer $X(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $X$, et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

4. (1 pt) Calculer $E(X)$ à partir de la loi obtenue, puis retrouver cette valeur en écrivant $X$ comme une somme d'indicatrices. Expliquer enfin pourquoi cette seconde méthode ne permet pas d'obtenir $V(X)$ aussi rapidement.

Un semencier met en terre $n$ graines, où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chaque graine germe avec la probabilité $q$, et une graine qui a germé donne ensuite une fleur avec la probabilité $p$. On suppose $0<p<1$ et $0<q<1$, et l'on admet que toutes ces éventualités sont indépendantes les unes des autres.

On note $N$ le nombre de graines qui germent, $X$ le nombre de fleurs obtenues et $Y=N-X$ le nombre de graines qui ont germé sans fleurir.

Le problème détermine d'abord la loi de $X$ (partie B), étudie ensuite le couple $(X,Y)$ (partie C), et répond enfin à la question inverse : que peut-on dire du nombre de germinations lorsqu'on n'observe que les fleurs (partie D) ?

Partie A. Le modèle

On pose $\mathrm{\Omega }=\{0,1{\}}^{2n}$ et l'on note une issue $\omega =(g_1,\dots ,g_n,f_1,\dots ,f_n)$. La graine numéro $i$ germe lorsque $g_i=1$, et elle donne une fleur lorsque $g_i=1$ et $f_i=1$. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $G_i$ et $F_i$ les variables aléatoires définies par $G_i(\omega )=g_i$ et $F_i(\omega )=f_i$.

On admet que la distribution

$$P(\{\omega \})=\prod _{i=1}^n{q}^{g_i}(1-q{)}^{1-g_i}\times \prod _{i=1}^n{p}^{f_i}(1-p{)}^{1-f_i}$$

définit bien une probabilité $P$ sur $\mathrm{\Omega }$.

1. (0,5 pt) Justifier que les $2n$ variables $G_1,\dots ,G_n,F_1,\dots ,F_n$ sont mutuellement indépendantes, avec $G_i\sim \mathcal{B}(q)$ et $F_i\sim \mathcal{B}(p)$ pour tout $i$. Expliquer ensuite pourquoi le nombre de fleurs $X$ ne dépend pas des marqueurs $f_i$ des graines qui n'ont pas germé, et pourquoi il est néanmoins commode de définir ces marqueurs pour toutes les graines.

2. (0,25 pt) En déduire la loi de $N$, puis $E(N)$ et $V(N)$.

Partie B. La loi de $X$

3. (0,75 pt) Soient $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,k]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Démontrer que

$$P(N=k,X=j)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{k}{j}\right)q^k(1-q{)}^{n-k}{p}^j(1-p{)}^{k-j}\mathrm{.}$$

On pourra fixer l'ensemble des graines germées et celui des graines fleuries, puis sommer sur les marqueurs des graines qui n'ont pas germé en les regroupant selon leur nombre de $1$. En déduire que la loi conditionnelle de $X$ sachant $(N=k)$ est la loi $\mathcal{B}(k,p)$ lorsque $k⩾1$, et que $X$ est nulle sachant $(N=0)$.

4. (0,5 pt) Démontrer que, pour tous entiers $j$, $k$, $n$ tels que $0⩽j⩽k⩽n$,

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{k}{j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-j}{k-j}\right)\mathrm{.}$$

On écrira les coefficients binomiaux à l'aide de factorielles.

5. (1 pt) En appliquant la formule des probabilités totales au système complet d'événements $((N=k){)}_{0⩽k⩽n}$, démontrer que $X\sim \mathcal{B}(n,pq)$, puis donner $E(X)$ et $V(X)$.

Partie C. Le couple $(X,Y)$

6. (0,75 pt) Soient $i$ et $j$ deux entiers naturels. Démontrer que $P(X=i,Y=j)=0$ lorsque $i+j>n$, et qu'en appliquant les questions 3. et 4. avec $k=i+j$ on obtient, dans le cas $i+j⩽n$,

$$P(X=i,Y=j)={\displaystyle \frac{n!}{i!j!(n-i-j)!}}(pq{)}^i(q(1-p){)}^j(1-q{)}^{n-i-j}\mathrm{.}$$

7. (0,25 pt) Donner la loi de $Y$ sans nouveau calcul, en justifiant par un argument de symétrie du modèle.

8. (0,5 pt) Sans aucun calcul, prévoir le signe de $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ en invoquant une contrainte qui relie $X$ et $Y$. Démontrer ensuite, à l'aide de cette même contrainte, que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

9. (0,5 pt) Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $U_i$ l'indicatrice de l'événement « la graine $i$ donne une fleur » et $W_i$ celle de l'événement « la graine $i$ germe sans fleurir ». Donner les lois de $U_i$ et de $W_i$, puis calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(U_i,W_i)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(U_i,W_{\mathrm{\ell }})$ pour $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }i$.

10. (0,75 pt) En déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, et contrôler le résultat en calculant $V(X+Y)$ de deux façons.

Partie D. La question inverse

11. (0,75 pt) Soit $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On pose $\alpha ={\displaystyle \frac{q(1-p)}{1-pq}}$. Vérifier que $0<\alpha <1$ et que $1-\alpha ={\displaystyle \frac{1-q}{1-pq}}$, puis démontrer que pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[j,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$P_{(X=j)}(N=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-j}{k-j}\right){\alpha }^{k-j}(1-\alpha {)}^{n-k}\mathrm{.}$$

12. (0,5 pt) En déduire la loi de $N-j$ sachant $(X=j)$, et contrôler la cohérence du résultat dans le cas $j=n$. Application numérique : pour $n=100$, $p=\frac{4}{5}$, $q=\frac{3}{4}$ et $j=50$, calculer $\alpha$, puis donner $E(Z)$ pour une variable aléatoire $Z$ suivant la loi obtenue, et interpréter.