Exercices — Intégration sur un intervalle quelconque

Chacune des fonctions ci-dessous est continue sur l'intervalle ouvert d'intégration.

1. Déterminer la nature (convergente ou divergente) de chacune des huit intégrales suivantes. On reviendra à chaque fois à la définition, et l'on précisera le critère de référence illustré.

2. Calculer la valeur de celles qui convergent.

1. Pour chacune des six intégrales suivantes, justifier la convergence puis calculer sa valeur. On travaillera systématiquement sur un segment, et l'on ne passera à la limite qu'à la fin.

2. À propos de d. Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$. La limite ${\displaystyle \underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_{-A}^{A}f(t)\mathrm{d}t}$, lorsqu'elle existe, peut-elle servir de définition de ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}$ ? On justifiera la réponse par un contre-exemple.

3. À propos de e. A-t-on le droit d'écrire

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t}-{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+1}?$$

On rappelle qu'une fonction $f$ continue par morceaux sur un intervalle $I$ est dite intégrable sur $I$ lorsque l'intégrale ${\int }_I\mid f\mid$ converge, et que l'on dispose, pour les fonctions de signe constant, des deux théorèmes de comparaison suivants au voisinage d'une borne : si $0⩽f⩽g$ et si $g$ est intégrable, alors $f$ l'est aussi ; si $f$ et $g$ sont positives et $f\sim g$, alors $f$ est intégrable si et seulement si $g$ l'est.

1. Pour chacune des six fonctions suivantes, dire si elle est intégrable sur l'intervalle indiqué. On repérera d'abord les bornes qui posent problème, puis on conclura borne par borne, par un équivalent ou par une domination.

2. Reprendre la fonction e. en changeant l'exposant : les fonctions $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^{3\mathrm{/}4}(1+t)}}$ et $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^{3\mathrm{/}2}(1+t)}}$ sont-elles intégrables sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ?

1. Soit $\alpha$ un réel. Démontrer, en revenant à la définition, que l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}}$ converge si et seulement si $\alpha <1$, et donner sa valeur dans ce cas.

2. Soient $a<b$ deux réels. En déduire la nature des intégrales

$${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^{\alpha }}\text{et}{\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(b-x{)}^{\alpha }},$$

ainsi que leur valeur en cas de convergence.

3. Déterminer la nature de chacune des quatre intégrales suivantes.

4. Pour quelles valeurs du réel $\alpha$ la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }(1+t)}}$ est-elle intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ?

1. Énoncer le théorème de changement de variable pour une intégrale sur un intervalle ouvert, en précisant les hypothèses portant sur la fonction de substitution.

2. Calculer les intégrales suivantes. À chaque fois, on écrira explicitement la bijection utilisée et l'on vérifiera qu'elle satisfait les hypothèses du théorème.

Pour d., on commencera par établir que la fonction est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : c'est cette étape, et elle seule, qui autorise ensuite à couper l'intégrale en deux puis à recoller les morceaux.

1. Rappeler comment on pratique une intégration par parties sur un intervalle non compact, et ce qu'il faut impérativement vérifier au sujet du crochet.

2. Justifier la convergence puis calculer les intégrales suivantes.

3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$ converge et vaut $n!$.

Dans tout l'exercice, on attend une rédaction qui vérifie explicitement les trois hypothèses du théorème de convergence dominée : régularité des fonctions en jeu, convergence simple avec identification de la fonction limite, domination par une fonction $\phi$ écrite noir sur blanc et dont l'intégrabilité est justifiée. C'est exactement ce que sanctionnent les concours.

Déterminer la limite des suites suivantes.

1. ${\displaystyle u_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t^2}\mathrm{d}t}$.

2. ${\displaystyle v_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{t}{n}\right)\mathrm{d}t}$, pour $n⩾1$.

3. ${\displaystyle w_n={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2(1+{\mathrm{e}}^{-nt})}}$.

4. Retrouver la limite de $(u_n)$ sans utiliser le théorème de convergence dominée, par une majoration directe. Commenter.

1. Pour $x⩾0$, on pose ${\displaystyle G(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $G$ est définie et continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

b. Calculer $G(0)$.

2. Pour $x\in \mathbb{R}$, on pose ${\displaystyle H(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\cos (xt)\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $H$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

b. Calculer $H(x)$ pour tout réel $x$, au moyen d'une double intégration par parties sur un segment.

3. On pose enfin ${\displaystyle K(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t}$.

a. Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $K(x)$ est définie, et donner sa valeur.

b. Montrer qu'il n'existe aucune fonction dominante permettant d'appliquer le théorème de continuité avec une domination valable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ tout entier.

c. Conclure malgré tout à la continuité de $K$.

Toutes les fonctions de cet exercice sont continues et positives sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Pour chacune d'elles, déterminer, en discutant selon les valeurs des paramètres réels, l'ensemble des couples pour lesquels la fonction est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. On rédigera borne par borne, en découpant l'intervalle en $]0,1]$ et $[1,+\mathrm{\infty }[$.

1. $f_{\alpha ,\beta }:t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{\alpha }}{(1+t{)}^{\beta }}}$, avec $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$.

2. $g_{\alpha }:t\mapsto {\displaystyle \frac{1-\cos t}{t^{\alpha }}}$, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.

3. $h_{\alpha ,\beta }:t\mapsto {\displaystyle \frac{\ln (1+t^{\alpha })}{t^{\beta }}}$, avec $\alpha >0$ et $\beta \in \mathbb{R}$.

4. $k_{\alpha ,\beta }:t\mapsto t^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-t^{\beta }}$, avec $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\beta >0$.

Pour chacune des intégrales suivantes, on justifiera d'abord la convergence, puis on calculera la valeur exacte. On prendra soin, lorsqu'une décomposition en éléments simples fait apparaître plusieurs logarithmes, de les regrouper en un seul AVANT de passer à la limite.

3. On se propose de calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}}$.

a. Factoriser $1+t^3$ en produit de polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$, et justifier la convergence de l'intégrale.

b. Décomposer ${\displaystyle \frac{1}{1+t^3}}$ en éléments simples sur $\mathbb{R}$.

c. Déterminer une primitive de $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+t^3}}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. On primitivera le terme du second degré en séparant la partie proportionnelle à la dérivée du dénominateur (qui donne un logarithme) de la partie constante (qui donne un $\mathrm{Arctan}$ après mise sous forme canonique).

d. Conclure en passant à la limite.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f(t)=\frac{\sin t}{t}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$, et en déduire que la borne $0$ ne pose aucun problème : $f$ est intégrable sur $]0,1]$.

2. Soit $x>1$. À l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[1,x]$, montrer que ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t}$ converge. En déduire que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t}$ converge.

3. Montrer que, pour tout entier $n⩾1$,

$${\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\mid \sin t\mid }{t}\mathrm{d}t⩾\frac{2}{(n+1)\pi }\mathrm{.}$$

4. En déduire que $f$ n'est PAS intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

5. Quelle conclusion générale tirer de cet exercice sur les mots « converge » et « intégrable » ? Dans quel cas ces deux notions coïncident-elles ?

Dans tout l'exercice, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point.

1. Soit $f:I\to \mathbb{R}$ continue, positive et intégrable sur $I$, telle que ${\displaystyle {\int }_{I}f(t)\mathrm{d}t=0}$. Démontrer que $f$ est identiquement nulle sur $I$.

2. Montrer, par un contre-exemple explicite, que l'hypothèse de continuité ne peut pas être remplacée par « continue par morceaux ».

3. Soit $f:I\to \mathbb{C}$ continue par morceaux et intégrable sur $I$. Démontrer l'inégalité triangulaire

$$\mid {\int }_{I}f(t)\mathrm{d}t\mid ⩽{\int }_I\mid f(t)\mid \mathrm{d}t\mathrm{.}$$

4. Soit maintenant $f:I\to \mathbb{R}$ continue et intégrable. Montrer que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si $f$ garde un signe constant sur $I$.

5. Application. Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue et intégrable, telle que

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\mid f(t)\mid \mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Que peut-on dire de $f$ ?

Soit $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$. On étudie dans cet exercice les intégrales dites de Bertrand, qui mêlent une puissance et un logarithme. Elles ne figurent pas au programme comme résultat de cours : elles doivent être REDÉMONTRÉES à chaque usage, ce que la méthode ci-dessous permet de faire en quelques lignes.

1. Étudier, selon les valeurs de $(\alpha ,\beta )$, la nature de

$${\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }(\ln t{)}^{\beta }}\mathrm{.}$$

On traitera successivement les cas $\alpha >1$ (comparer à ${\displaystyle \frac{1}{t^{\gamma }}}$ pour un $\gamma$ bien choisi tel que $1<\gamma <\alpha$), $\alpha <1$ (comparaison analogue) et $\alpha =1$ (changement de variable $u=\ln t$).

2. Mener la même étude pour

$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }\mid \ln t{\mid }^{\beta }}\mathrm{.}$$

3. Applications. Déterminer la nature des deux intégrales suivantes.

On sera particulièrement attentif à la borne inférieure dans le cas a.

4. Récapituler le résultat de Bertrand dans un tableau de trois lignes au maximum.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on pose lorsque cela a un sens

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si $x>0$. La fonction $\mathrm{\Gamma }$ est donc définie exactement sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Établir la relation fonctionnelle

$$\mathrm{\forall }x>0,\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x),$$

par une intégration par parties dont on justifiera soigneusement le crochet.

3. Calculer $\mathrm{\Gamma }(1)$, puis en déduire $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ pour tout entier naturel $n$.

4. Montrer que $\mathrm{\Gamma }(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{x}}$ quand $x\to 0^{+}$ (on admettra à ce stade la continuité de $\mathrm{\Gamma }$ en $1$, qui sera établie plus loin dans la fiche par le théorème de continuité des intégrales à paramètre). En déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{\Gamma }(x)=+\mathrm{\infty }}$.

5. On admet ici le résultat ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$ (intégrale de Gauss, démontrée plus loin dans la fiche). Calculer $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ à l'aide du changement de variable $t=u^2$, puis $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ et $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. À chaque fois, on rédigera COMPLÈTEMENT les trois hypothèses du théorème de convergence dominée : continuité par morceaux de chaque fonction $f_n$ sur l'intervalle d'intégration, convergence simple vers une fonction continue par morceaux, et domination $\mid f_n\mid ⩽\phi$ par une fonction $\phi$ positive intégrable indépendante de $n$.

5. Une question de vigilance. On pose $y_n={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}n{\mathrm{e}}^{-nt}\mathrm{d}t}$. Calculer $y_n$, puis déterminer la limite simple sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ de la suite de fonctions $t\mapsto n{\mathrm{e}}^{-nt}$. Constater que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n$ n'est pas l'intégrale de la limite simple, et identifier laquelle des trois hypothèses est en défaut, en le démontrant.

Le théorème de convergence dominée porte sur des fonctions définies sur un intervalle FIXE. Quand le domaine d'intégration dépend de $n$, on s'y ramène en multipliant par la fonction indicatrice

$${\mathbf{1}}_{[0,n]}(t)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }0⩽t⩽n,\\ 0& \text{si }t>n,\end{array}$$

qui est continue par morceaux sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : on intègre alors sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ pour tout $n$, et la domination doit être valable sur cet intervalle tout entier.

1. Démontrer que

$$\mathrm{\forall }n⩾1,\mathrm{\forall }t\in [0,n],{(1-\frac{t}{n})}^n⩽{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{.}$$

On pourra passer au logarithme et utiliser l'inégalité $\ln (1-u)⩽-u$.

2. En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^n{(1-\frac{t}{n})}^n\mathrm{d}t}$.

3. Par la même méthode, déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^n{(1-\frac{t}{n})}^n{t}^2\mathrm{d}t}$.

4. Calculer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^n\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}}$ et expliquer pourquoi le théorème de convergence dominée n'était pas nécessaire dans ce dernier cas.

Dans tout l'exercice, on admet le résultat classique

$$\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\mathrm{.}$$

1. On s'intéresse à ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\ln t}{t-1}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que cette intégrale converge.

b. Calculer, pour tout entier naturel $n$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^1(-t^n\ln t)\mathrm{d}t}$.

c. En intégrant terme à terme le développement ${\displaystyle \frac{1}{1-t}}={\displaystyle \sum _{n⩾0}{t}^n}$, montrer que ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\ln t}{t-1}\mathrm{d}t=\frac{{\pi }^2}{6}}$. On vérifiera explicitement les hypothèses de la version « série de fonctions positives » du théorème.

2. Montrer de même que ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{-\ln t}{1+t}\mathrm{d}t=\frac{{\pi }^2}{12}}$. On prendra garde au fait que la série obtenue n'est plus à termes positifs : c'est la version ${\displaystyle \sum _n{\int }_I\mid f_n\mid <+\mathrm{\infty }}$ du théorème qu'il faut invoquer.

3. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^t-1}}$ diverge, et expliquer ce que devient, dans ce cas, la tentative d'intégration terme à terme.

1. On pose ${\displaystyle \mathrm{\Phi }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x{t}^2}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est définie exactement sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

b. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et exprimer ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)$ sous forme d'une intégrale.

c. À l'aide d'une intégration par parties menée sur cette intégrale (et non par un calcul explicite de $\mathrm{\Phi }$), établir

$$\mathrm{\forall }x>0,{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2x}\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{.}$$

d. En déduire qu'il existe une constante $C$ telle que $\mathrm{\Phi }(x)={\displaystyle \frac{C}{\sqrt{x}}}$ pour tout $x>0$, puis déterminer $C$ sachant que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$ (résultat admis ici).

2. On pose ${\displaystyle F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t}$. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ (la domination sur tout segment sera écrite complètement) et qu'elle vérifie

$$\mathrm{\forall }x>0,F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+F(x)=\frac{1}{x}\mathrm{.}$$

3. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)}$, puis un équivalent de $F(x)$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$ (on posera $u=xt$ et l'on utilisera le théorème de convergence dominée).

Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ continue par morceaux et bornée. On pose $M={\sup }_{t⩾0}\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }$, puis, lorsque l'intégrale converge,

$$L(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que $L$ est définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer que $L$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $L$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et exprimer $L^{(k)}(x)$ sous forme intégrale.

4. Montrer que $L(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$, puis, en supposant de plus $f$ continue en $0$, que $xL(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}f(0)$.

5. Calculer $L$ dans les trois cas suivants, et vérifier à chaque fois le résultat de la question 4 : $f=1$ ; $f:t\mapsto \cos t$ ; $f:t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t}$.

6. On suppose $f$ continue et $L$ identiquement nulle sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Peut-on en déduire que $f$ est la fonction nulle ?

1. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}}$ converge.

2. Montrer que

$${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}\mathrm{.}$$

On commencera par vérifier qu'aucun des deux théorèmes d'intégration terme à terme ne s'applique ici, puis on raisonnera sur les sommes partielles.

3. Calculer explicitement ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}}$ par décomposition en éléments simples, et en déduire la valeur de la somme précédente.

4. Reprendre la méthode pour établir la formule de Leibniz :

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

1. Soit $f$ continue et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, à valeurs réelles, admettant une limite $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$. Montrer que $\mathrm{\ell }=0$.

2. Construire une fonction $f$ continue, positive et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ qui ne tend pas vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$, et qui n'est même pas bornée. On décrira précisément une fonction formée de pics triangulaires, le pic centré en l'entier $n$ ayant pour hauteur $n$ et pour largeur $\frac{1}{n^3}$ ; on calculera ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$ et l'on justifiera sa convergence.

3. Montrer en revanche que si $f$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et uniformément continue, alors $f$ tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

4. Montrer que si $f$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, de classe ${\mathcal{C}}^1$, et si $f^{\mathrm{\prime }}$ est elle aussi intégrable, alors $f$ tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

1. Énoncer précisément le théorème d'intégration des relations de comparaison dans le cas convergent (comparaison des restes), puis démontrer le cas de la négligeabilité : si $f=o(g)$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, avec $g$ positive et intégrable sur $[a,+\mathrm{\infty }[$, alors

$${\int }_x^{+\mathrm{\infty }}f=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\int }_x^{+\mathrm{\infty }}g\right)(x\to +\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

2. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle {\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^4}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

3. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle {\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln t}{t^3}\mathrm{d}t}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, et vérifier le résultat par un calcul explicite de cette intégrale.

4. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle {\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2\sqrt{1+t}}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

5. Montrer sur un exemple que l'énoncé du théorème tombe en défaut si la fonction de référence n'est pas de signe constant.

1. Énoncer le théorème d'intégration des relations de comparaison dans le cas divergent (comparaison des intégrales partielles), puis démontrer le cas de l'équivalence : si $f\sim g$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, avec $g$ positive sur $[a,+\mathrm{\infty }[$ et ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g$ divergente, alors

$${\int }_a^{x}f\sim {\int }_a^{x}g(x\to +\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

2. Montrer que ${\displaystyle {\int }_1^x\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t\sim \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

3. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\sim \frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{2x}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

4. Déterminer un équivalent de ${\displaystyle {\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}(1+\ln t)}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

5. Expliquer, sur un exemple, pourquoi l'on ne peut pas passer de $f(t)\sim g(t)$ à ${\int }_a^{x}f\sim {\int }_a^{x}g$ lorsque $g$ change de signe une infinité de fois.

Pour $x>0$, on pose

$$R(x)={\int }_x^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Justifier l'existence de $R(x)$ et montrer que $R(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

2. En écrivant ${\mathrm{e}}^{-t^2}={\displaystyle \frac{1}{2t}}\times 2t{\mathrm{e}}^{-t^2}$, montrer par une intégration par parties que

$$R(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{2x}-{\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. En déduire que $R(x)\sim {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{2x}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

4. Itérer le procédé pour obtenir un développement asymptotique de $R(x)$ à trois termes.

5. Que se passe-t-il si l'on itère indéfiniment ? La série ainsi obtenue converge-t-elle ?

Pour $x⩾0$, on pose

$$F(x)={\left({\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)}^2\text{et}G(x)={\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$ converge.

2. Montrer que $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $G^{\mathrm{\prime }}(x)$.

3. Montrer que $F^{\mathrm{\prime }}(x)=-G^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x⩾0$.

4. En déduire que $F+G$ est constante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et calculer cette constante.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }G(x)}$ par convergence dominée, et conclure que

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{.}$$

On rappelle la définition de la fonction Gamma d'Euler :

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est définie et continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que, pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$${\mathrm{\Gamma }}^{(k)}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(\ln t{)}^k{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. En déduire que $\mathrm{\Gamma }$ est convexe sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Montrer que ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\prime }}(x{)}^2⩽\mathrm{\Gamma }(x){\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln \mathrm{\Gamma }$ est convexe sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

5. Déterminer les limites de $\mathrm{\Gamma }$ en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$, montrer que $\mathrm{\Gamma }$ admet un unique minimum sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, situer le point où il est atteint entre $1$ et $2$, et décrire les variations de $\mathrm{\Gamma }$.

Pour $x⩾0$, on pose

$$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xt}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que $F(x)$ est bien définie pour tout $x⩾0$. On distinguera soigneusement le cas $x>0$, où la fonction intégrée est intégrable, du cas $x=0$, où l'intégrale converge sans que la fonction soit intégrable.

2. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que $F^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$.

3. En déduire l'expression de $F$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, en déterminant la constante d'intégration à l'aide de ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}F(x)$.

4. Montrer que $F$ est continue en $0$. On prendra garde : la domination ne fonctionne pas ici, il faut couper l'intégrale en ${\int }_0^A+{\int }_A^{+\mathrm{\infty }}$ et majorer le second morceau uniformément en $x$ par une intégration par parties.

5. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. On s'intéresse à l'intégrale

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-bt}}{t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que cette intégrale converge. On étudiera séparément les deux bornes : en $0$, on montrera que la fonction se prolonge par continuité ; en $+\mathrm{\infty }$, on montrera qu'elle est intégrable.

2. Soient $0<\epsilon <X$. Exprimer ${\displaystyle {\int }_{\epsilon }^X\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-bt}}{t}\mathrm{d}t}$ à l'aide de ${\displaystyle {\int }_{a\epsilon }^{aX}\frac{{\mathrm{e}}^{-u}}{u}\mathrm{d}u}$ et de ${\displaystyle {\int }_{b\epsilon }^{bX}\frac{{\mathrm{e}}^{-u}}{u}\mathrm{d}u}$ au moyen de deux changements de variable. En supposant de plus $b\epsilon ⩽aX$, se ramener par la relation de Chasles à

$${\int }_{\epsilon }^X\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-bt}}{t}\mathrm{d}t={\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{{\mathrm{e}}^{-u}}{u}\mathrm{d}u-{\int }_{aX}^{bX}\frac{{\mathrm{e}}^{-u}}{u}\mathrm{d}u\mathrm{.}$$

3. Déterminer la limite de chacun de ces deux morceaux (on encadrera ${\mathrm{e}}^{-u}$ sur l'intervalle d'intégration) et en déduire la valeur de l'intégrale.

4. Retrouver ce résultat par une intégrale à paramètre. Pour $x>0$, on pose

$$I(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-xt}}{t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

a. Justifier que $I$ est bien définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

b. Montrer que $I$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que $I^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

c. En déduire une expression de $I(x)$, puis retrouver la valeur trouvée à la question 3.

5. Application : calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-2t}-{\mathrm{e}}^{-5t}}{t}\mathrm{d}t}$.

Pour $s>1$, on note ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^s}}$ (série de Riemann convergente) et l'on rappelle la définition de la fonction Gamma d'Euler :

$$\mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Soit $s\in \mathbb{R}$. Montrer que la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{s-1}}{{\mathrm{e}}^t-1}}$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ si et seulement si $s>1$. On utilisera un équivalent en $0^{+}$ et une domination en $+\mathrm{\infty }$.

2. Montrer que, pour tout $t>0$,

$$\frac{1}{{\mathrm{e}}^t-1}=\sum _{n⩾1}{\mathrm{e}}^{-nt}\mathrm{.}$$

3. Soit $s>1$. Justifier l'intégration terme à terme dans la version « série de fonctions positives », puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-nt}\mathrm{d}t}$ à l'aide du changement de variable $u=nt$.

4. En déduire que, pour tout $s>1$,

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^{s-1}}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)\mathrm{.}$$

5. Application numérique. Sachant que $\zeta (2)={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$ et $\zeta (4)={\displaystyle \frac{{\pi }^4}{90}}$, calculer

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t\text{et}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^3}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

6. Variante avec un signe $+$. Établir de même, pour $s>1$,

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^{s-1}}{{\mathrm{e}}^t+1}\mathrm{d}t=(1-2^{1-s})\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)\mathrm{.}$$

On précisera quel théorème d'interversion s'applique ici et pourquoi ce n'est plus le même qu'à la question 3.

Pour $t\in ]0,1]$, on pose $t^t={\mathrm{e}}^{t\ln t}$ et $t^{-t}={\mathrm{e}}^{-t\ln t}$. On se propose d'établir les deux identités

$${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^t}=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^n}\text{et}{\int }_0^1{t}^t\mathrm{d}t=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^n},$$

que la tradition anglo-saxonne appelle le « rêve de l'étudiant » : une intégrale et une série qui se ressemblent, et qui sont pourtant réellement égales.

1. Montrer que $t\mapsto t^{-t}$ se prolonge par continuité en $0$, et en déduire que ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^{-t}\mathrm{d}t}$ a un sens. Est-ce une intégrale généralisée ?

2. Écrire $t^{-t}$ comme somme d'une série de fonctions de $n$ et $t$, et vérifier que chaque terme est positif sur $]0,1[$.

3. Soit $n\in \mathbb{N}$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{(-t\ln t)}^n\mathrm{d}t}$. On posera $t={\mathrm{e}}^{-v}$ pour se ramener à une intégrale de la fonction Gamma. C'est le cœur de l'exercice : le calcul doit être mené en détail.

4. Justifier l'intégration terme à terme et conclure sur la première identité.

5. Établir de la même façon la seconde identité ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^t\mathrm{d}t=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^n}}$. On précisera quelle version du théorème d'interversion s'applique, la série n'étant plus à termes positifs.

6. Donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près de chacune des deux intégrales, en majorant le reste de la série.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on pose

$$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\cos (xt)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On admet la valeur de l'intégrale de Gauss : $F(0)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$.

1. Montrer que $F$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et exprimer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ sous forme intégrale.

3. À l'aide d'une intégration par parties menée sur $F^{\mathrm{\prime }}(x)$, établir que

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},2F^{\mathrm{\prime }}(x)+xF(x)=0.$$

4. Résoudre cette équation différentielle et en déduire une expression explicite de $F(x)$.

5. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\cos (2t)\mathrm{d}t}$.

6. Question de vigilance. Montrer que $F$ est en réalité de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$, et écrire $F^{(k)}(x)$ sous forme intégrale pour tout $k\in \mathbb{N}$.

Le lemme de Riemann-Lebesgue affirme que les oscillations de plus en plus rapides de $\sin (\lambda t)$ finissent par se compenser : l'intégrale $\int f(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t$ tend vers $0$ quand $\lambda \to +\mathrm{\infty }$. On le démontre ici par étapes, en partant du cas le plus régulier et en élargissant progressivement la classe de fonctions.

Dans tout l'exercice, $[a,b]$ désigne un segment de $\mathbb{R}$ avec $a<b$, et $\lambda$ un réel strictement positif.

1. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que

$${\int }_a^{b}f(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t\underset{\lambda \to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

en exhibant une majoration EXPLICITE de la forme ${\displaystyle \frac{C}{\lambda }}$, où l'on précisera $C$.

2. Soit $f$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. Montrer, par un calcul direct sur chaque marche, que la même conclusion vaut.

3. Soit $f$ continue par morceaux sur $[a,b]$. On admet le résultat de première année suivant : pour tout $\epsilon >0$, il existe une fonction en escalier $\phi$ sur $[a,b]$ telle que ${\int }_a^b\mid f-\phi \mid ⩽\epsilon$. En déduire que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t\to 0}$ quand $\lambda \to +\mathrm{\infty }$.

4. Extension à un intervalle non borné. Soit $f$ continue par morceaux et INTÉGRABLE sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Montrer que

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t\underset{\lambda \to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

On découpera l'intégrale en trois morceaux ${\int }_0^{\eta }$, ${\int }_{\eta }^A$ et ${\int }_A^{+\mathrm{\infty }}$.

5. Applications. Déterminer

a. ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^1\frac{\sin (nt)}{1+t}\mathrm{d}t}$ ;

b. ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\sin (nt)\mathrm{d}t}$, que l'on calculera aussi explicitement pour vérifier.

6. Question de vigilance. Pourquoi le théorème de convergence dominée ne permet-il pas de traiter la question 5. a ?

Pour $x⩾0$, on pose

$$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{Arctan}(xt)}{t(1+t^2)}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que $F$ est définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. On étudiera séparément les deux bornes.

2. Montrer que $F$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que

$$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(1+x^2{t}^2)(1+t^2)}\mathrm{.}$$

4. Soit $x>0$ avec $x\mathrm{\ne }1$. Établir la décomposition

$$\frac{1}{(1+x^2{t}^2)(1+t^2)}=\frac{1}{1-x^2}(\frac{1}{1+t^2}-\frac{x^2}{1+x^2{t}^2}),$$

puis en déduire que $F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\pi }{2(1+x)}}$. Que se passe-t-il en $x=1$ ?

5. En déduire une expression explicite de $F(x)$ pour tout $x⩾0$.

6. Déterminer un équivalent de $F(x)$ quand $x\to 0^{+}$ puis quand $x\to +\mathrm{\infty }$, et vérifier la cohérence de chacun avec les majorations obtenues à la question 1.

Pour $x>2$, on pose

$$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)={\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\mathrm{.}$$

Cette fonction est appelée logarithme intégral. La borne inférieure $2$ n'a rien de canonique : elle sert seulement à éviter le point $t=1$, où $\ln t$ s'annule. Plus généralement, on notera dans tout l'exercice, pour $k⩾1$,

$$J_k(x)={\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{{(\ln t)}^k},\text{de sorte que }\mathrm{l}\mathrm{i}=J_1\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

2. Un lemme, une fois pour toutes. Soit $k⩾1$. En comparant $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{(\ln t{)}^k}}$ à la dérivée de $t\mapsto {\displaystyle \frac{t}{(\ln t{)}^k}}$, montrer, à l'aide du théorème d'intégration des relations de comparaison dans le cas divergent, que

En déduire en particulier que $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)\sim {\displaystyle \frac{x}{\ln x}}$.

3. Établir, pour $k⩾1$, la relation d'intégration par parties

$$J_k(x)=\frac{x}{(\ln x{)}^k}-\frac{2}{(\ln 2{)}^k}+k{J}_{k+1}(x),$$

puis en déduire le développement asymptotique

$$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x{)}^2}+\frac{2x}{(\ln x{)}^3}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{(\ln x{)}^3}\right)\mathrm{.}$$

Interpréter les coefficients $1$, $1$, $2$ et donner le terme suivant.

4. Montrer que $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-{\displaystyle \frac{x}{\ln x}}\to +\mathrm{\infty }$, et préciser un équivalent de cette différence.

5. Réinvestissement de la méthode.

a. Vérifier que ${\displaystyle {\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{(\ln t{)}^2}=o(\mathrm{l}\mathrm{i}(x))}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

b. Par la même méthode, donner un développement asymptotique à deux termes de ${\displaystyle {\int }_2^x\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

On admet le résultat établi dans l'exercice sur l'intégrale de Dirichlet :

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

On note $L={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2\mathrm{d}t}$, dont on va montrer de deux façons indépendantes qu'elle vaut elle aussi ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. Montrer que $t\mapsto {\left({\displaystyle \frac{\sin t}{t}}\right)}^2$ est INTÉGRABLE sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Montrer en revanche que $t\mapsto {\displaystyle \frac{\sin t}{t}}$ ne l'est pas, bien que son intégrale converge : on minorera ${\displaystyle {\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\mid \sin t\mid }{t}\mathrm{d}t}$.

2. Soient $0<\epsilon <X$. En intégrant par parties sur $[\epsilon ,X]$ avec $u(t)={\sin }^{2}t$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{t^2}}$, montrer que

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\mathrm{d}t={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2t)}{t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. En déduire, par le changement de variable $u=2t$, la valeur de $L$.

4. Seconde méthode, par une intégrale à paramètre. Pour $x⩾0$, on pose

$$G(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xt}\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

a. Montrer que $G$ est définie et continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, que $G(0)=L$, et que $G(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

b. Montrer que $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que $G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-xt}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t}$.

c. Calculer explicitement $G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x>0$.

d. Intégrer deux fois, en déterminant chacune des deux constantes par un passage à la limite en $+\mathrm{\infty }$, puis retrouver la valeur de $L$ en faisant tendre $x$ vers $0^{+}$.

Soit $x>0$. On rappelle que ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$, intégrale convergente pour tout $x>0$. Pour $n⩾1$, on pose

$$I_n(x)={\int }_0^n{(1-\frac{t}{n})}^n{t}^{x-1}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

L'idée est que ${(1-\frac{t}{n})}^n$ « approche » ${\mathrm{e}}^{-t}$ tout en étant un simple polynôme, ce qui rend $I_n(x)$ calculable exactement.

1. Montrer que $I_n(x)$ est bien définie.

2. Montrer que

$$\mathrm{\forall }t\in [0,n],0⩽{(1-\frac{t}{n})}^n⩽{\mathrm{e}}^{-t},$$

et que, pour tout $t⩾0$ fixé, ${(1-\frac{t}{n})}^n\to {\mathrm{e}}^{-t}$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

3. On pose, pour $t>0$,

$$f_n(t)={(1-\frac{t}{n})}^n{t}^{x-1}{\mathbf{1}}_{[0,n]}(t)\mathrm{.}$$

Démontrer, par le théorème de convergence dominée, que $I_n(x)\to \mathrm{\Gamma }(x)$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

4. Calculer $I_n(x)$ explicitement. On posera $t=nu$, puis on établira par récurrence, à l'aide d'intégrations par parties successives, que

$$I_n(x)=\frac{n^{x}n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}\mathrm{.}$$

5. En déduire la formule de Gauss :

$$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}\mathrm{.}$$

6. Applications.

a. Retrouver, à partir de la seule formule de Gauss, l'équation fonctionnelle $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$, en étudiant le quotient ${\displaystyle \frac{I_n(x+1)}{I_n(x)}}$.

b. On note $(2n)!!=2\times 4\times \cdots \times (2n)$ et $(2n-1)!!=1\times 3\times \cdots \times (2n-1)$, avec la convention $(-1)!!=1$. En admettant la formule de Wallis

$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2n+1}{\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2,$$

retrouver $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.