Devoir surveillé — Intégration sur un intervalle quelconque

Consignes valables pour tout le sujet, à lire avant de commencer. La durée est de 3 heures et la calculatrice n'est pas autorisée. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; l'exercice 5 est un problème en trois parties, dont la partie C utilise la formule établie à la question B.2. Chaque application d'un théorème du chapitre (convergence dominée, intégration terme à terme, continuité ou dérivation d'une intégrale à paramètre) doit être précédée de la vérification EXPLICITE de toutes ses hypothèses, la fonction dominante étant à chaque fois écrite noir sur blanc et son intégrabilité justifiée : c'est ce que sanctionnent les concours, et c'est ce qui est noté ici. Un résultat admis peut être utilisé dans la suite à condition de le signaler. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Pour chacune des six assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, la réfuter par un contre-exemple entièrement explicité, calculs conduits jusqu'au bout. (0,5 pt par assertion.)

a. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. L'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

b. Si $f$ est continue et intégrable sur $]0,1]$, alors $f^2$ est intégrable sur $]0,1]$.

c. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle $I$, convergeant simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux. On suppose qu'il existe une fonction $\phi$ positive et intégrable sur $I$ telle que $\mathrm{\mid }{f}_n\mathrm{\mid }⩽\phi$ pour tout $n$. Alors

$${\int }_I\mid f_n(t)-f(t)\mid \mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

d. Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f:I\times J\to \mathbb{R}$ une fonction telle que, d'une part, pour tout $x\in I$, la fonction $t⟼f(x,t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $J$, et, d'autre part, pour tout $t\in J$, la fonction $x⟼f(x,t)$ est continue sur $I$. Alors la fonction $F:x⟼{\displaystyle {\int }_{J}f(x,t)\mathrm{d}t}$ est continue sur $I$.

e. Soit $(f_n{)}_{n⩾0}$ une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle $I$. Si la série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $S$ continue par morceaux et intégrable sur $I$, alors

$${\int }_{I}S(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

f. Soit $f$ une fonction continue, positive et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Si ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}$ converge, alors $tf(t)⟶0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

Pour $t\in \mathbb{R}$, on note $\lfloor t\rfloor$ la partie entière de $t$ (le plus grand entier inférieur ou égal à $t$) et

$$\{t\}=t-\lfloor t\rfloor \in [0,1[$$

sa partie fractionnaire. On rappelle enfin l'existence de la constante d'Euler $\gamma$, définie par

$$H_N=\sum _{k=1}^N\frac{1}{k}=\ln N+\gamma +o(1)(N\to +\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

On pose, pour $t⩾1$,

$$\phi (t)=\frac{\{t\}}{t^2}\text{et}\psi (t)=\frac{\lfloor t\rfloor }{t^2}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $\phi$ est continue par morceaux sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ et qu'elle y est intégrable.

2. (0,5 pt) Démontrer que $\psi$ n'est pas intégrable sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

3. (1 pt) Soit $N⩾2$ un entier. En découpant l'intervalle d'intégration aux entiers, démontrer que

$${\int }_1^N\psi (t)\mathrm{d}t=H_N-1.$$

4. (0,5 pt) En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\phi (t)\mathrm{d}t}$. On prendra garde à justifier le passage d'une limite le long des entiers à une limite en $+\mathrm{\infty }$.

5. (0,5 pt) Soit $s>0$. Déterminer, selon $s$, la nature de ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\{t\}}{t^s}\mathrm{d}t}$.

Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, on pose, lorsque cette intégrale a un sens,

$$B(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t,$$

où l'on rappelle que $t^{x-1}={\mathrm{e}}^{(x-1)\ln t}$ pour $t>0$.

1. (0,75 pt) Démontrer que cette intégrale converge si et seulement si $x>0$ et $y>0$. Dans toute la suite, $x$ et $y$ sont des réels strictement positifs.

2. (0,5 pt) Démontrer que $B(x,y)=B(y,x)$.

3. (1 pt) Établir successivement les trois relations

$$B(x+1,y)=\frac{x}{y}B(x,y+1),B(x,y)=B(x+1,y)+B(x,y+1),B(x+1,y)=\frac{x}{x+y}B(x,y)\mathrm{.}$$

Pour la première, on intégrera par parties sur un segment $[\epsilon ,1-\epsilon ]$ avant de passer à la limite.

4. (0,75 pt) Calculer $B(1,y)$, puis démontrer que, pour tout couple d'entiers $(m,n)\in ({\mathbb{N}}^{\ast }{)}^2$,

$$B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\mathrm{.}$$

5. (0,5 pt) Calculer $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ au moyen du changement de variable $t={\sin }^2\theta$, puis en déduire $B(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.

6. (0,5 pt) Soit $x>0$ fixé. Démontrer que $y⟼B(x,y)$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

On rappelle que la fonction Gamma d'Euler est définie, pour $x>0$, par

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,$$

et que cette intégrale diverge pour $x⩽0$ : ce résultat est acquis et n'est pas à redémontrer. On pose, pour $x\in \mathbb{R}$,

$$H(x)={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que $H(x)$ est définie pour tout réel $x$, et que $H$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. (1 pt) Soit $x>0$. Démontrer que

$${\int }_0^1{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!(n+x)},$$

en vérifiant soigneusement toutes les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme employé, et en précisant pourquoi ce n'est pas la version « série de fonctions positives ».

3. (0,5 pt) En déduire que, pour tout $x>0$,

$$\mathrm{\Gamma }(x)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!(n+x)}+H(x)\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Démontrer que la série de fonctions ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{n!(n+x)}}$ converge normalement sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et que sa somme y est continue.

5. (0,5 pt) En déduire que $\mathrm{\Gamma }(x)-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ quand $x\to 0^{+}$, et exprimer $\mathrm{\ell }$ à l'aide d'une série et d'une intégrale. Que peut-on alors écrire de plus précis que l'équivalent $\mathrm{\Gamma }(x)\sim \frac{1}{x}$ ?

Pour chaque entier $n$, on considère l'intégrale

$$u_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}\mathrm{.}$$

On ne cherchera à AUCUN moment à calculer $u_n$ : tout l'objet du problème est d'obtenir, sans expression close, le comportement de la suite $(u_n)$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$, et cela à deux termes. La partie A met la suite en place, la partie B en donne la limite, la partie C le terme suivant. La partie C utilise la formule établie à la question B.2, et rien d'autre de la partie B.

On admet le résultat de l'exercice 17 de la fiche :

$${\int }_0^1\frac{-\ln u}{1+u}\mathrm{d}u=\frac{{\pi }^2}{12}\mathrm{.}$$

Partie A — La famille $(u_n)$

A.1. (0,5 pt) Déterminer l'ensemble des entiers $n⩾1$ pour lesquels $u_n$ est définie. Dans toute la suite du problème, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$.

A.2. (0,75 pt) Au moyen du changement de variable $t={\displaystyle \frac{1}{s}}$, démontrer que

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}={\int }_0^1\frac{s^{n-2}}{1+s^n}\mathrm{d}s\mathrm{.}$$

En déduire l'égalité

$$u_n-1={\int }_0^1\frac{t^{n-2}-t^n}{1+t^n}\mathrm{d}t,$$

puis que $u_n>1$ pour tout $n⩾2$.

A.3. (0,75 pt) Soit $n⩾2$ fixé. Déterminer, à l'aide du théorème d'intégration des relations de comparaison, un équivalent de

$$r_n(A)={\int }_A^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}\text{quand }A\to +\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Partie B — La limite

B.1. (1 pt) Démontrer, par le théorème de convergence dominée, que $u_n⟶1$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$. On identifiera précisément la fonction limite simple et l'on construira explicitement une fonction dominante.

B.2. (1 pt) Au moyen du changement de variable $t=u^{1\mathrm{/}n}$ dans l'égalité de la question A.2, établir que

$$n(u_n-1)={\int }_0^1\frac{u^{-1\mathrm{/}n}-u^{1\mathrm{/}n}}{1+u}\mathrm{d}u,$$

puis démontrer, de nouveau par convergence dominée, que $n(u_n-1)⟶0$. Que peut-on en conclure sur $u_n$ ?

Partie C — Le terme suivant

C.1. (0,5 pt) Démontrer que

$$\mathrm{\forall }y⩾0,{\mathrm{e}}^y-{\mathrm{e}}^{-y}⩽2y{\mathrm{e}}^y\mathrm{.}$$

C.2. (1,5 pt) Démontrer que

$$n^2(u_n-1)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{{\pi }^2}{6}\mathrm{.}$$

C.3. (0,5 pt) En déduire un développement asymptotique de $u_n$ à deux termes, puis la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾2}(u_n-1)}$.

C.4. (0,5 pt) On admet que, pour tout $n⩾2$,

$$u_n=\frac{\pi \mathrm{/}n}{\sin (\pi \mathrm{/}n)}\mathrm{.}$$

Vérifier la cohérence de cette formule avec le résultat de la question C.3, et en déduire le terme suivant du développement asymptotique de $u_n$.