Exercices — Calcul différentiel et optimisation

1. Préciser l'ouvert de définition, puis calculer toutes les dérivées partielles premières des fonctions suivantes.

2. On pose $f(x,y)=x^2+xy$, $a=(1,2)$ et $v=(3,-1)$.

a. Calculer $D_{v}f(a)$ en revenant à la définition, c'est-à-dire comme limite d'un taux d'accroissement.

b. Retrouver ce nombre par la formule $\mathrm{d}f(a)(v)={\sum }_i{v}_i{\mathrm{\partial }}_{i}f(a)$, en justifiant que l'on a le droit de l'employer. Comparer.

c. Calculer de la même façon $D_{v}g(a)$ pour $g(x,y)=x{\mathrm{e}}^y$, $a=(2,0)$, $v=(1,3)$, puis $D_v\phi (a)$ pour $\phi (x,y,z)=xy+z^2$, $a=(1,2,3)$, $v=(1,0,-2)$.

3. On pose $f(x,y)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }y$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

a. Montrer que ${\mathrm{\partial }}_{2}f(0,0)$ existe et la calculer.

b. Étudier l'existence de ${\mathrm{\partial }}_{1}f(0,0)$, puis celle de ${\mathrm{\partial }}_{1}f(0,y_0)$ pour $y_0\mathrm{\ne }0$.

c. Conclure : $f$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

Dans tout l'exercice, $E$, $F$ et $G$ désignent des $\mathbb{R}$-espaces vectoriels normés de dimension finie. On rappelle qu'une application $f$ définie sur un ouvert $U$ de $E$, à valeurs dans $F$, est dite différentiable en $a\in U$ s'il existe une application linéaire $L\in \mathcal{L}(E,F)$ telle que

$$f(a+h)=f(a)+L(h)+o\left(\mathrm{\parallel }h\mathrm{\parallel }\right)(h\to 0_E)$$

Une telle application $L$ est alors unique : on la note $\mathrm{d}f(a)$.

Déterminer, en revenant à cette définition, la différentielle en tout point des applications suivantes.

Pour la question e, on précisera pourquoi la réponse n'est pas $H\mapsto 2MH$.

Toutes les applications de cet exercice sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert indiqué (on ne demande pas de le justifier ici). Pour chacune, écrire la matrice jacobienne en un point courant, en précisant sa taille et les bases utilisées.

1. $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$, $f(x,y)=(x^2-y,xy,{\mathrm{e}}^{x+y})$. Donner aussi $J_f(1,0)$.

2. Le passage en coordonnées polaires $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, $\mathrm{\Phi }(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$. Calculer $\det J_{\mathrm{\Phi }}(r,\theta )$ et dire en quels points il s'annule.

3. Le passage en coordonnées sphériques $\mathrm{\Psi }:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ défini par

$$\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )$$

Calculer $\det J_{\mathrm{\Psi }}(r,\theta ,\phi )$.

4. $g:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$, $g(x,y,z)=x^{2}y+{\mathrm{e}}^z$. Quelle est la taille de $J_g$ ? On l'explicitera en un point quelconque, puis au point $(1,1,0)$. Quel lien avec $\mathrm{\nabla }g$ ?

5. Soit $u:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $u(x,y,z)=(x+2y-z,3x+y)$. Vérifier que $u$ est linéaire, puis que $J_u(a)$ est, en tout point $a$, la matrice de $u$ dans les bases canoniques.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de son produit scalaire canonique. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ et $a=(x_0,y_0)\in U$. On note $S$ le graphe de $f$, c'est-à-dire la surface d'équation $z=f(x,y)$ pour $(x,y)\in U$, et $A=(x_0,y_0,f(a))$ le point de $S$ au-dessus de $a$.

1. Rappeler l'équation du plan tangent à $S$ en $A$, et la justifier à partir du développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$.

2. Pour chacune des trois fonctions suivantes, calculer le gradient au point $a$ indiqué, écrire l'équation du plan tangent au graphe en $A$, puis en déduire l'approximation affine de la fonction au voisinage de $a$ et l'appliquer à la valeur numérique proposée. On comparera à la valeur exacte.

a. $f(x,y)=x^2+3y^2$, $a=(1,1)$, valeur à approcher : $f(\mathrm{1,02};\mathrm{0,99})$.

b. $g(x,y)={\mathrm{e}}^x\cos y$, $a=(0,0)$, valeur à approcher : $g(\mathrm{0,1};\mathrm{0,05})$.

c. $h(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{1+x^2}}$, $a=(1,2)$, valeur à approcher : $h(\mathrm{1,02};\mathrm{1,98})$.

1. Rappeler la définition d'un point critique d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert, puis énoncer précisément la condition nécessaire du premier ordre.

2. Déterminer tous les points critiques des fonctions suivantes, définies et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On rédigera à chaque fois le système $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(0,0)$ et on le résoudra complètement.

3. La réciproque de la condition nécessaire du premier ordre est-elle vraie ? Justifier par un exemple.

On note ${\mathrm{\partial }}_i{\mathrm{\partial }}_{j}f={\mathrm{\partial }}_i\left({\mathrm{\partial }}_{j}f\right)$ : on dérive d'abord par rapport à la variable $x_j$, puis par rapport à la variable $x_i$. La matrice hessienne de $f$ en $a$ est $H_f(a)={({\mathrm{\partial }}_i{\mathrm{\partial }}_{j}f(a))}_{1⩽i,j⩽n}$.

Pour chacune des fonctions suivantes : calculer toutes les dérivées partielles premières puis toutes les dérivées partielles secondes, vérifier explicitement l'égalité des dérivées croisées, et écrire la matrice hessienne au point indiqué.

1. $f(x,y)=x^3{y}^2-xy$, au point $(1,1)$.

2. $g(x,y)={\mathrm{e}}^x\sin y$, au point $(0,0)$.

3. $h(x,y,z)=x^{2}y+y{z}^3$, au point $(1,1,1)$.

4. Justifier proprement, et avant tout calcul, que ces trois fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur leur ouvert de définition. Énoncer le théorème de Schwarz avec ses hypothèses et dire ce qu'il garantit sur la matrice hessienne.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de son produit scalaire canonique. Soient $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $\gamma :I\to {\mathbb{R}}^2$ un arc dérivable.

1. Montrer que $f\circ \gamma$ est dérivable sur $I$ et que, pour tout $t\in I$,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\circ \gamma )(t)=⟨\mathrm{\nabla }f(\gamma (t)),{\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)⟩$$

On reviendra au développement limité d'ordre $1$ de $f$.

2. Appliquer cette formule dans les deux cas suivants.

a. $f(x,y)=x^{2}y$ et $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ sur $I=\mathbb{R}$.

b. $f(x,y)={\mathrm{e}}^{x-y}$ et $\gamma (t)=(t^2,t)$ sur $I=\mathbb{R}$.

c. Vérifier les deux résultats en calculant d'abord l'expression de $f(\gamma (t))$, puis en la dérivant comme une fonction d'une variable.

3. On suppose que $f$ est constante sur l'image de $\gamma$. Montrer que $\mathrm{\nabla }f(\gamma (t))$ est orthogonal à ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)$ pour tout $t\in I$. Illustrer avec $f(x,y)=x^2+y^2$ et le cercle unité.

1. Pour chacune des fonctions suivantes : décrire précisément un ouvert sur lequel elle est définie et justifier que c'en est bien un, justifier qu'elle y est de classe ${\mathcal{C}}^1$ en invoquant les théorèmes du cours, puis calculer ses dérivées partielles.

2. On définit $\phi$ sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$\phi (x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),\phi (0,0)=0$$

a. Justifier que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et y calculer ${\mathrm{\partial }}_1\phi$.

b. Montrer que $\phi$ est continue en $(0,0)$.

c. Montrer que ${\mathrm{\partial }}_1\phi (0,0)$ et ${\mathrm{\partial }}_2\phi (0,0)$ existent, et les calculer.

d. La fonction $\phi$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

On note $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ l'application définie par

$$\mathrm{\Phi }(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

Soit $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$. On pose $g=f\circ \mathrm{\Phi }$, c'est-à-dire $g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

1. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, écrire la matrice jacobienne de $\mathrm{\Phi }$, puis exprimer ${\mathrm{\partial }}_{r}g$ et ${\mathrm{\partial }}_{\theta }g$ à l'aide des dérivées partielles de $f$.

2. Soit $r>0$. Inverser le système précédent : exprimer ${\mathrm{\partial }}_{x}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{y}f$ au point $\mathrm{\Phi }(r,\theta )$ à l'aide de ${\mathrm{\partial }}_{r}g(r,\theta )$ et ${\mathrm{\partial }}_{\theta }g(r,\theta )$.

3. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ vérifiant

$$x{\mathrm{\partial }}_{y}f(x,y)-y{\mathrm{\partial }}_{x}f(x,y)=0\text{pour tout }(x,y)\in U$$

4. Vérifier le résultat sur l'exemple $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, avec $n⩾1$, d'une norme sous-multiplicative $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, et on considère l'application $\det :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$. On note $M=\left(m_{ij}\right)$ le coefficient générique, $\left(E_{ij}\right)$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{Com}(M)$ la comatrice de $M$.

1. Justifier que $\det$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\det }{\mathrm{\partial }{m}_{ij}}}(M)$, et en déduire que pour toutes matrices $M$ et $H$,

$$\mathrm{d}\text{\hspace{0.17em}⁣}\det (M)(H)=\mathrm{tr}({}^t\mathrm{Com}(M)H)$$

2. Retrouver directement le cas $M=I_n$ : développer $\det (I_n+tH)$ en puissances de $t$ à l'aide de la formule de Leibniz, et en déduire $\mathrm{d}\text{\hspace{0.17em}⁣}\det (I_n)(H)=\mathrm{tr}(H)$.

3. Soit $M\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$. En écrivant $\det (M+H)=\det (M)\det (I_n+M^{-1}H)$, démontrer que

$$\mathrm{d}\text{\hspace{0.17em}⁣}\det (M)(H)=\det (M)\mathrm{tr}\left(M^{-1}H\right)$$

4. Application numérique. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\det (A+tB)$ en $t=0$ par la formule de la question 3, puis vérifier par le calcul direct du polynôme $t\mapsto \det (A+tB)$.

5. Montrer que $\det$ n'admet aucun extremum local sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ d'une norme sous-multiplicative $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ vérifiant $\parallel I_n\parallel =1$, par exemple la norme subordonnée à la norme euclidienne de ${\mathbb{R}}^n$. On considère l'application

$$\iota :{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})⟶{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R}),M⟼M^{-1}$$

1. Justifier que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Soit $M\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ et $H\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{\parallel }H\mathrm{\parallel }<{\displaystyle \frac{1}{2\parallel M^{-1}\parallel }}$. Établir que $M+H$ est inversible et que

$$(M+H{)}^{-1}=M^{-1}-M^{-1}H{M}^{-1}+o\left(\mathrm{\parallel }H\mathrm{\parallel }\right)(H\to 0)$$

On pourra écrire $(M+H{)}^{-1}={(I_n+M^{-1}H)}^{-1}{M}^{-1}$ et développer en série géométrique matricielle.

3. En déduire que $\iota$ est différentiable en tout point de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ et donner $\mathrm{d}\iota (M)$. Retrouver, pour $n=1$, la dérivée de $x\mapsto 1\mathrm{/}x$.

4. Autre méthode. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $t\mapsto M(t)$ un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ à valeurs dans ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$. En dérivant l'identité $M(t)M(t{)}^{-1}=I_n$, calculer la dérivée de $t\mapsto M(t{)}^{-1}$.

5. Application. On pose $M(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ t& 1\end{array}\right)$ pour $t\in ]-1,1[$. Calculer la dérivée de $t\mapsto M(t{)}^{-1}$ par la formule précédente, puis la retrouver par un calcul direct.

On munit ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme euclidienne associée. On appelle cône ouvert de ${\mathbb{R}}^n$ tout ouvert $\mathrm{\Omega }$ tel que $tx\in \mathrm{\Omega }$ pour tous $x\in \mathrm{\Omega }$ et $t>0$ ; par exemple ${\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$, ou le demi-plan $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\}$.

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Une fonction $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ définie sur un cône ouvert est dite homogène de degré $\alpha$ lorsque

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },\mathrm{\forall }t>0,f(tx)=t^{\alpha }f(x)$$

1. Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est homogène et préciser son degré le cas échéant.

2. Relation d'Euler. Soit $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un cône ouvert, homogène de degré $\alpha$. Démontrer que

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },⟨\mathrm{\nabla }f(x),x⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathrm{\partial }}_{i}f(x)=\alpha f(x)$$

3. Démontrer la réciproque : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathrm{\Omega }$ et vérifie la relation d'Euler en tout point, alors $f$ est homogène de degré $\alpha$. On pourra étudier $\phi (t)=t^{-\alpha }f(tx)$ à $x$ fixé.

4. Montrer que les dérivées partielles d'une fonction homogène de degré $\alpha$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sont homogènes de degré $\alpha -1$.

5. Vérifier la relation d'Euler par le calcul sur la fonction $f$ de la question 1.b. Montrer ensuite qu'une fonction homogène de degré $\alpha \mathrm{\ne }0$ et de classe ${\mathcal{C}}^1$ ne peut avoir de point critique qu'en un point où elle s'annule, et en déduire que la fonction $f$ n'a aucun point critique.

On définit $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ par

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),f(0,0)=0$$

1. Montrer que $f$ admet des dérivées partielles en tout point de ${\mathbb{R}}^2$ et les calculer. On précisera la valeur de ${\mathrm{\partial }}_{x}f(0,0)$ et ${\mathrm{\partial }}_{y}f(0,0)$.

2. Montrer que $f$ n'est pas continue en $(0,0)$. Qu'en déduit-on quant à la différentiabilité de $f$ en ce point ?

3. Soit $v=(v_1,v_2)$ un vecteur non nul de ${\mathbb{R}}^2$. Étudier l'existence de $D_{v}f(0,0)$, et montrer qu'elle a lieu si et seulement si $v_1{v}_2=0$.

4. On définit maintenant $g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ par

$$g(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),g(0,0)=0$$

Montrer que $D_{v}g(0,0)$ existe pour tout vecteur $v$, et la calculer. Montrer néanmoins que $g$ n'est pas continue en $(0,0)$. Conclure.

5. Rédiger en deux phrases la morale de l'exercice.

On munit ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme euclidienne associée $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. On rappelle que si $f$ est différentiable en $x$, son gradient en $x$ est l'unique vecteur $\mathrm{\nabla }f(x)\in {\mathbb{R}}^n$ tel que

$$\mathrm{\forall }h\in {\mathbb{R}}^n,\mathrm{d}f(x)(h)=⟨\mathrm{\nabla }f(x),h⟩$$

Calculer le gradient des fonctions suivantes en tout point où elles sont différentiables, en revenant à la définition plutôt qu'en passant par les coordonnées. Dans ce qui suit, $a$ et $b$ sont des vecteurs fixés de ${\mathbb{R}}^n$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Synthèse. On suppose $A$ symétrique. En quels points le gradient de $x\mapsto ⟨Ax,x⟩$ est-il colinéaire à $x$ ? Que reconnaît-on ?

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et $f:U\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$. En un point $a\in U$, on note selon l'usage

$$r=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}(a),s=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}(a),t=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}(a),H_f(a)=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)$$

1. Énoncer et démontrer le critère du second ordre permettant de reconnaître la nature d'un point critique de $f$ à partir du signe de $rt-s^2$ et de $r$. On précisera pourquoi la matrice $H_f(a)$ est symétrique, et ce que l'on peut dire lorsque $rt-s^2=0$.

2. Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2$ : déterminer les points critiques, écrire la hessienne en chacun d'eux, appliquer le critère, et préciser à chaque fois s'il s'agit d'un extremum local, d'un extremum global, ou d'aucun des deux.

3. Illustrer le cas $rt-s^2=0$ sur les trois fonctions $u_1(x,y)=x^4+y^4$, $u_2(x,y)=x^4-y^4$ et $u_3(x,y)=-x^4-y^4$.

Toutes les fonctions inconnues sont à valeurs réelles et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert indiqué. On note $(x,y)$ les variables de départ et $(u,v)$ les variables obtenues après changement de variables.

1. On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$2{\mathrm{\partial }}_{x}f(x,y)-3{\mathrm{\partial }}_{y}f(x,y)=0\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$$

a. Vérifier que $\mathrm{\Phi }:(x,y)\mapsto (3x+2y,y)$ est une bijection de ${\mathbb{R}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ ainsi que sa réciproque, et expliciter ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$.

b. On pose $g=f\circ {\mathrm{\Phi }}^{-1}$, c'est-à-dire $f(x,y)=g(3x+2y,y)$. Exprimer ${\mathrm{\partial }}_{x}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{y}f$ en fonction des dérivées partielles de $g$, en passant par les matrices jacobiennes.

c. En déduire l'ensemble des solutions, puis vérifier la réponse par un calcul direct.

2. Reprendre la méthode pour l'équation $x{\mathrm{\partial }}_{x}f+y{\mathrm{\partial }}_{y}f=0$ sur l'ouvert $\mathrm{\Omega }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\}$, avec le changement de variables $u=x$, $v=y\mathrm{/}x$.

3. Résoudre sur ${\mathbb{R}}^2$ l'équation avec second membre ${\mathrm{\partial }}_{x}f-{\mathrm{\partial }}_{y}f=x+y$. On pourra poser $u=x+y$ et $v=x-y$.

4. Expliquer pourquoi la méthode exige que le changement de variables soit une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ dont la réciproque est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et dire ce qui rend cette vérification immédiate dans les trois cas ci-dessus.

1. On pose $f(x,y)=x^2+y^2-xy$ et on note $\bar{D}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2⩽1\}$ le disque fermé de centre l'origine et de rayon $1$.

a. Justifier que $f$ admet un maximum global et un minimum global sur $\bar{D}$.

b. Déterminer les points critiques de $f$ dans le disque ouvert $D$.

c. Étudier $f$ sur le cercle unité en le paramétrant par $t\mapsto (\cos t,\sin t)$.

d. Conclure : donner les valeurs exactes du minimum et du maximum de $f$ sur $\bar{D}$, ainsi que les points où ils sont atteints.

2. On pose $g(x,y)=xy(1-x-y)$ et on note $T$ le triangle plein fermé de sommets $A(0,0)$, $B(1,0)$ et $C(0,1)$, c'est-à-dire

$$T=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x⩾0,y⩾0,x+y⩽1\}$$

Déterminer le minimum et le maximum de $g$ sur $T$, en traitant séparément l'intérieur et les trois côtés.

3. Rédiger en cinq lignes le plan type d'une recherche d'extremums sur un compact, puis expliquer pourquoi la condition « gradient nul » n'a aucune raison d'être vérifiée en un point de la frontière où le maximum est atteint.

Dans tout l'exercice, $U$ désigne un ouvert non vide de ${\mathbb{R}}^n$ et $f:U\to \mathbb{R}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ telle que $\mathrm{d}f(x)=0$ pour tout $x\in U$.

1. On suppose ici $U$ convexe. Soient $a$ et $b$ deux points de $U$. Montrer que $\phi :t\mapsto f(a+t(b-a))$ est bien définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$, calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$, et en déduire que $f$ est constante sur $U$.

2. On suppose maintenant $U$ connexe par arcs. On admet que deux points quelconques de $U$ peuvent être reliés par un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ par morceaux tracé dans $U$. Montrer que $f$ est encore constante.

3. Donner un exemple d'ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ et de fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, de différentielle nulle en tout point et pourtant non constante. Justifier que l'ouvert construit n'est pas connexe par arcs.

4. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(2x+y,x-3y^2)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$$

5. Soit $h$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telle que ${\mathrm{\partial }}_{x}h=0$ en tout point.

a. Montrer qu'il existe une fonction $\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $h(x,y)=\phi (y)$ pour tout $(x,y)$.

b. Montrer que la conclusion tombe en défaut si l'on remplace ${\mathbb{R}}^2$ par le complémentaire de l'axe des ordonnées, et identifier précisément ce qui manque.

On munit ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique, noté $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, et de la norme euclidienne associée.

1. Soient $U$ un ouvert de ${\mathbb{R}}^n$, $f:U\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$, $c\in \mathbb{R}$ et $X=\{x\in U;f(x)=c\}$ la ligne de niveau $c$ de $f$. Soit $a\in X$.

a. Rappeler la définition d'un vecteur tangent en $a$ à une partie $X$ de ${\mathbb{R}}^n$.

b. Montrer que $\mathrm{\nabla }f(a)$ est orthogonal à tout vecteur tangent en $a$ à $X$.

2. Soit $f(x,y)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2$ et soit $\mathcal{E}$ l'ellipse d'équation $f(x,y)=1$.

a. Vérifier que $\gamma :t\mapsto (2\cos t,\sin t)$ est un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ tracé sur $\mathcal{E}$, et que tout point de $\mathcal{E}$ est atteint.

b. Calculer $\mathrm{\nabla }f(\gamma (t))$ et ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis vérifier directement l'orthogonalité.

c. Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{E}$ au point de paramètre $t_0$, de deux façons : par le point et le vecteur directeur ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t_0)$, puis par le point et le vecteur normal $\mathrm{\nabla }f(\gamma (t_0))$. Traiter le cas $t_0=\frac{\pi }{3}$.

3. Mêmes questions pour la branche de l'hyperbole $\mathcal{H}$ d'équation $xy=1$ contenue dans le quart de plan $x>0$, $y>0$, paramétrée par $t\mapsto (t,\frac{1}{t})$ avec $t>0$.

4. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ et $a\in U$ tel que $\mathrm{\nabla }f(a)\mathrm{\ne }0$.

a. Montrer que $\max \{D_{v}f(a);\mathrm{\parallel }v\mathrm{\parallel }=1\}=\mathrm{\parallel }\mathrm{\nabla }f(a)\mathrm{\parallel }$, et préciser le vecteur unitaire qui réalise ce maximum.

b. En déduire pourquoi, sur une carte topographique, la direction de plus forte pente est perpendiculaire aux courbes de niveau.

1. Soient $U$ un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, $f:U\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ et $a=(a_1,a_2)\in U$. Énoncer précisément la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$, d'abord en coordonnées, puis sous forme matricielle à l'aide de la matrice hessienne $H_f(a)$. Préciser le rôle du théorème de Schwarz.

2. Écrire le développement limité à l'ordre $2$ en $(0,0)$ des trois fonctions suivantes, par deux méthodes : le calcul des dérivées partielles d'une part, la composition et le produit de développements limités d'une variable d'autre part. Vérifier que l'on trouve la même chose.

3. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction

$$(x,y)⟼{\mathrm{e}}^x\cos y-(1+x+a{x}^2+b{y}^2)$$

soit un $o\text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2+y^2)$ au voisinage de l'origine.

4. Donner une valeur approchée de $K(\mathrm{0,02};-\mathrm{0,01})$ à l'aide du développement limité obtenu en 2.c, comparer à la valeur exacte et commenter la qualité de l'approximation.

Dans tout l'exercice, $n⩾1$ et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est muni d'une norme quelconque (toutes sont équivalentes, l'espace étant de dimension finie). On rappelle que si $B$ est une application bilinéaire entre espaces de dimension finie et si $u$ et $v$ sont deux arcs dérivables, alors $t\mapsto B(u(t),v(t))$ est dérivable, de dérivée $B(u^{\mathrm{\prime }},v)+B(u,v^{\mathrm{\prime }})$.

1. Soient $A$ et $H$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

a. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}[(A+tH{)}^2]$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}[(A+tH{)}^3]$.

b. Expliquer pourquoi les réponses ne sont pas $2(A+tH)H$ et $3(A+tH{)}^{2}H$ en général, et donner un contre-exemple explicite dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

c. Démontrer la formule générale, pour $p⩾1$ : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}[(A+tH{)}^p]={\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}(A+tH{)}^{k}H(A+tH{)}^{p-1-k}}$.

2. Soit $M:I\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un intervalle $I$. Montrer que $t\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}(M(t{)}^2)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et calculer sa dérivée.

3. Avec les mêmes notations, montrer que $t\mapsto \det (M(t))$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, et exprimer sa dérivée en un instant $t$ où $M(t)$ est inversible. On admet que la différentielle du déterminant en une matrice inversible $M$ est donnée par $\mathrm{d}\det (M)(H)=\det (M)\mathrm{t}\mathrm{r}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(M^{-1}H\right)$.

4. Appliquer ce qui précède à l'arc $M(t)=\left(\begin{array}{cc}1+t^2& t\\ -t& 1\end{array}\right)$, et vérifier le résultat en calculant directement $\det (M(t))$.

5. Soit $M$ un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ défini sur un intervalle contenant $0$, à valeurs dans le groupe orthogonal ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, tel que $M(0)=I_n$. Montrer que $M^{\mathrm{\prime }}(0)$ est antisymétrique.

On considère la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer ses points critiques.

2. Calculer la matrice hessienne de $f$ en chaque point critique et en déduire la nature de ces points. On montrera aussi « à la main » que l'origine n'est pas un extremum local, en comparant $f(t,t)$ et $f(t,-t)$ au voisinage de $0$.

3. Montrer que $f$ n'admet ni minimum global ni maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$.

4. Déterminer le minimum et le maximum globaux de $f$ sur le carré $K=[0,2]\times [0,2]$, en traitant l'intérieur puis les quatre côtés.

5. Rédiger un bilan : que dit la matrice hessienne, et surtout que ne dit-elle pas ?

Dans tout l'exercice, ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathbb{R}}^p$ sont munis de normes toutes deux notées $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. On rappelle que si $L:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^p$ est linéaire, sa norme subordonnée est

$$\mathrm{\parallel }L\mathrm{\parallel }=\underset{\mathrm{\parallel }h\mathrm{\parallel }⩽1}{\sup }\mathrm{\parallel }L(h)\mathrm{\parallel }\text{et v}\acute{\text{e}}\text{rifie}\mathrm{\forall }h\in {\mathbb{R}}^n,\mathrm{\parallel }L(h)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }L\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }h\mathrm{\parallel }$$

On rappelle également l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions vectorielles d'une variable réelle : si $\phi :[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{R}}^p$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et si $\mathrm{\parallel }{\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }⩽k$ pour tout $t\in [\alpha ,\beta ]$, alors $\mathrm{\parallel }\phi (\beta )-\phi (\alpha )\mathrm{\parallel }⩽k(\beta -\alpha )$.

1. Soient $U$ un ouvert convexe de ${\mathbb{R}}^n$, $f:U\to {\mathbb{R}}^p$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $M⩾0$ tels que $\mathrm{\parallel }\mathrm{d}f(x)\mathrm{\parallel }⩽M$ pour tout $x\in U$. Soient $a$ et $b$ deux points de $U$. On pose $\phi (t)=f(a+t(b-a))$.

a. Montrer que $\phi$ est définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert de $\mathbb{R}$ contenant $[0,1]$, et calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$.

b. En déduire l'inégalité des accroissements finis : $\mathrm{\parallel }f(b)-f(a)\mathrm{\parallel }⩽M\mathrm{\parallel }b-a\mathrm{\parallel }$.

2. Soit $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^p$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ dont la différentielle est bornée. Montrer que $f$ est lipschitzienne, puis uniformément continue sur ${\mathbb{R}}^n$.

3. On veut montrer que la convexité n'est pas une hypothèse gratuite. On note $D=\{(x,0);x⩽0\}$ la demi-droite fermée des abscisses négatives, $V={\mathbb{R}}^2\setminus D$, et pour $(x,y)\in V$ on pose $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et

$$\theta (x,y)=2\mathrm{Arctan}\left(\frac{y}{x+r}\right)$$

a. Montrer que $\theta$ est bien définie et de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $V$, puis vérifier que $\cos \theta (x,y)={\displaystyle \frac{x}{r}}$ et $\sin \theta (x,y)={\displaystyle \frac{y}{r}}$ : la fonction $\theta$ est donc une mesure de l'angle polaire, à valeurs dans $]-\pi ,\pi [$.

b. Montrer que $\mathrm{\nabla }\theta (x,y)={\displaystyle \frac{1}{r^2}}(-y,x)$, et en déduire $\mathrm{\parallel }\mathrm{\nabla }\theta (x,y)\mathrm{\parallel }={\displaystyle \frac{1}{r}}$ pour la norme euclidienne.

c. On pose $U=\{(x,y)\in V;1<x^2+y^2<4\}$, un « fer à cheval ». Montrer que $U$ est un ouvert connexe par arcs non convexe de ${\mathbb{R}}^2$, et que la restriction de $\theta$ à $U$ vérifie $\mathrm{\parallel }\mathrm{d}\theta (x,y)\mathrm{\parallel }⩽1$ en tout point.

d. En considérant les points $a_{\epsilon }=(-\frac{3}{2},\epsilon )$ et $b_{\epsilon }=(-\frac{3}{2},-\epsilon )$ pour $\epsilon >0$ petit, montrer qu'il n'existe aucune constante $M$ telle que $\mathrm{\mid }\theta (a)-\theta (b)\mathrm{\mid }⩽M\mathrm{\parallel }a-b\mathrm{\parallel }$ pour tous $a,b\in U$. Où exactement la convexité est-elle intervenue dans la démonstration de la question 1 ?

4. On munit ${\mathbb{R}}^2$ de sa norme euclidienne et on pose

$$T(x,y)=(\frac{1}{2}\sin (x+y),\frac{1}{2}\cos (x-y))$$

a. Justifier que $T$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et écrire sa matrice jacobienne.

b. Montrer que $\mathrm{\parallel }\mathrm{d}T(X)(h)\mathrm{\parallel }⩽{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{\parallel }h\mathrm{\parallel }$ pour tous $X$ et $h$, puis que $T$ est ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$-lipschitzienne sur ${\mathbb{R}}^2$.

c. Montrer que $T\left({\mathbb{R}}^2\right)\subset K$ où $K={[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}^2$, et que $K$ est compact et stable par $T$.

d. En étudiant la fonction $\psi (X)=\mathrm{\parallel }T(X)-X\mathrm{\parallel }$ sur $K$, montrer que $T$ admet un unique point fixe dans ${\mathbb{R}}^2$. On n'invoquera aucun théorème de point fixe.

Deux changements de variables classiques, à savoir refaire sans hésitation. Dans tout l'exercice, $c$ désigne un réel strictement positif, et on note $\mathrm{\Delta }f={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}$ le laplacien d'une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ de deux variables.

Partie A. L'équation des ondes

On cherche toutes les fonctions $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$, de variables notées $(x,t)$, vérifiant sur ${\mathbb{R}}^2$

$$(\mathcal{E})\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{t}^2}=0$$

On pose $\mathrm{\Phi }(u,v)=({\displaystyle \frac{u+v}{2}},{\displaystyle \frac{u-v}{2c}})$ et $g=f\circ \mathrm{\Phi }$, ce qui revient au changement de variables $u=x+ct$, $v=x-ct$.

1. Vérifier que $\mathrm{\Phi }$ est une bijection de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ de ${\mathbb{R}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, préciser sa réciproque, et justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}}$, puis ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }v\mathrm{\partial }u}}$ en fonction des dérivées partielles secondes de $f$. On signalera précisément l'endroit où intervient le théorème de Schwarz.

3. En déduire que $f$ vérifie $(\mathcal{E})$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }v\mathrm{\partial }u}}=0$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

4. Résoudre cette dernière équation, puis conclure : déterminer toutes les solutions de $(\mathcal{E})$. Vérifier la réciproque par un calcul direct.

Partie B. Le laplacien en coordonnées polaires

Soient $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$. On pose, pour $(r,\theta )\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\times \mathbb{R}$,

$$g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

5. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\times \mathbb{R}$, puis calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }\theta }}$.

6. Calculer ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{r}^2}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}}$.

7. En déduire la formule du laplacien en polaires :

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{\theta }^2}=\left(\mathrm{\Delta }f\right)(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

8. Une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathrm{\Omega }$ est dite harmonique si $\mathrm{\Delta }f=0$ sur $\mathrm{\Omega }$, et radiale s'il existe $\phi :{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ telle que $f(x,y)=\phi \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$. Déterminer toutes les fonctions harmoniques radiales sur $\mathrm{\Omega }$.

9. Vérifier le résultat obtenu par un calcul cartésien direct sur $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$.

On considère la fonction $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ définie par

$$f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\text{si}(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),f(0,0)=0$$

L'objectif est de montrer que ses deux dérivées partielles secondes croisées à l'origine existent mais ne sont pas égales. On notera $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$.

1. Vérifier que $f(y,x)=-f(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$.

2. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathrm{\Omega }$, puis établir que pour tout $(x,y)\in \mathrm{\Omega }$

$$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=\frac{y(x^4+4x^2{y}^2-y^4)}{{(x^2+y^2)}^2}\text{et}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=\frac{x(x^4-4x^2{y}^2-y^4)}{{(x^2+y^2)}^2}$$

On pourra déduire la seconde formule de la première grâce à la question 1.

3. Écrire $f$ en coordonnées polaires et en déduire que $f$ est différentiable en $(0,0)$, avec $\mathrm{\nabla }f(0,0)=(0,0)$.

4. En revenant à la définition, calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(0,y)$ pour tout $y\in \mathbb{R}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}(x,0)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

5. En déduire que ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}}(0,0)=-1$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}(0,0)=1$.

6. Montrer que $f$ est cependant de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier, puis conclure : que peut-on dire de la classe de $f$ en $(0,0)$, et que faut-il en retenir sur le théorème de Schwarz ?

Sur un fermé borné, une fonction continue atteint ses bornes : c'est le théorème des bornes atteintes. Sur ${\mathbb{R}}^n$ tout entier, ce n'est plus vrai, et il faut une hypothèse de remplacement. C'est l'objet de cet exercice.

Définition. Une fonction $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ est dite coercive si $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\to +\mathrm{\infty }$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\forall }A\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }R>0,\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n,\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }>R⟹f(x)>A$$

1. (Le théorème.) Soit $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ continue et coercive. Montrer que $f$ est minorée sur ${\mathbb{R}}^n$ et qu'elle y atteint sa borne inférieure. On pourra appliquer la définition ci-dessus à $A=f(0)+1$.

2. On pose $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y{)}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

a. Montrer que $f$ est coercive. On pourra minorer $f$ par une expression ne dépendant que de $t=x^2+y^2$.

b. Déterminer tous les points critiques de $f$.

c. En déduire le minimum global de $f$ et les points où il est atteint.

d. Le point $(0,0)$ est-il un extremum local de $f$ ?

3. (La coercivité est indispensable.) On pose $g(x,y)={\mathrm{e}}^{-x}+y^2$. Montrer que $g$ est minorée par $0$, que ${\inf }_{{\mathbb{R}}^2}g=0$, mais que cette borne inférieure n'est pas atteinte. Que dire de la coercivité de $g$ et de ses points critiques ?

4. (Synthèse.) Une fonction polynomiale de deux variables peut-elle être coercive alors que l'un de ses termes de plus haut degré est affecté d'un coefficient négatif ? Pour répondre, on étudiera la coercivité des quatre fonctions suivantes.

On dégagera ensuite une condition suffisante générale portant sur la partie homogène de plus haut degré, et l'on discutera si elle est nécessaire.