Devoir surveillé — Calcul différentiel et optimisation

Le groupe orthogonal n'est pas un sous-espace vectoriel : c'est une partie courbe de l'espace des matrices. Le calcul différentiel lui attache pourtant, en chacun de ses points, un espace vectoriel de directions autorisées, que l'on détermine ici en la matrice identité.

Dans tout l'exercice, $n⩾2$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de la norme $\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }=\sqrt{\mathrm{tr}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({}^{t}MM\right)}$, dont on admet que $\mathrm{\parallel }UV\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\parallel }U\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }V\mathrm{\parallel }$ et $\parallel {}^{t}U\parallel =\mathrm{\parallel }U\mathrm{\parallel }$. On note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques, ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})=\{M;{}^{t}MM=I_n\}$, et enfin $\mathrm{\Phi }:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{\Phi }(M)={}^{t}MM$.

1. (0,5 pt) Justifier que $\mathrm{\Phi }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$. Puis, en développant $\mathrm{\Phi }(M+H)$ et en revenant à la définition de la différentiabilité, montrer que $\mathrm{\Phi }$ est différentiable en toute matrice $M$, avec $\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(M)(H)={}^{t}HM+{}^{t}MH$.

2. (0,25 pt) Montrer que $\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(M)(H)$ est symétrique, quelles que soient $M$ et $H$.

3. (0,5 pt) Expliciter $\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(I_n)$, déterminer son noyau et son image, puis retrouver par le théorème du rang la dimension de ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

4. (0,5 pt) On note $T_{I_n}{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des vecteurs tangents à ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ en $I_n$, c'est-à-dire l'ensemble des ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(0)$ où $\gamma$ décrit les arcs définis sur un intervalle ouvert contenant $0$, tracés sur ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, dérivables en $0$ et tels que $\gamma (0)=I_n$. Soit $\gamma$ un tel arc : montrer que ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(0)$ est antisymétrique, et en déduire une inclusion entre $T_{I_n}{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

5. (1,25 pt) Réciproque. Soit $A\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

a. Montrer que $I_n-tA$ est inversible pour tout réel $t$, en partant d'un vecteur $X$ du noyau et en calculant $\mathrm{\parallel }X{\mathrm{\parallel }}_2^2$, où $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ désigne la norme euclidienne canonique de ${\mathbb{R}}^n$, à ne pas confondre avec la norme matricielle ci-dessus.

b. On pose $\gamma (t)={(I_n-tA)}^{-1}(I_n+tA)$. Montrer que $I_n-tA$ et $I_n+tA$ commutent, puis que $\gamma (t)\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ pour tout $t$.

c. Établir que ${(I_n-tA)}^{-1}=I_n+tA+t^2{A}^2{(I_n-tA)}^{-1}$, puis que $\gamma (t)=I_n+2tA+O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(t^2\right)$ au voisinage de $0$.

d. En déduire que $\gamma$ est dérivable en $0$ avec ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(0)=2A$, puis conclure : $T_{I_n}{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

6. (0,5 pt) Le cas $n=2$, avec $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Vérifier que ${\mathcal{A}}_2(\mathbb{R})=\mathbb{R}J$, calculer explicitement $\gamma (t)$ pour $A=J$, y reconnaître une rotation dont on précisera l'angle en fonction de $t$, et dire quels éléments de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ ne sont atteints par aucun $\gamma (t)$.

Le gradient indique en chaque point la direction dans laquelle une fonction croît le plus vite. En le suivant sans jamais s'en écarter, on trace des courbes : les lignes de plus grande pente, celles que remonterait une bille sur la surface. On les détermine ici complètement pour une fonction dont le seul point critique est un point selle, et l'on constate qu'elles racontent la même chose que la matrice hessienne.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme euclidienne associée. On considère la fonction

$$f(x,y)=x^2-y^2+2x\text{pour }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

On appelle ligne de plus grande pente de $f$ tout arc $\gamma :I\to {\mathbb{R}}^2$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un intervalle $I$ vérifiant

$${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)=\mathrm{\nabla }f\text{\hspace{0.17em}⁣}(\gamma (t))\text{pour tout }t\in I\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et déterminer l'unique point critique $\omega$ de $f$. Écrire la matrice hessienne de $f$ en $\omega$, donner ses valeurs propres et en déduire la nature de $\omega$.

2. (0,5 pt) Écrire la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ de $f$ en $\omega$ et constater que le reste est nul : justifier pourquoi. Décrire ensuite les lignes de niveau de $f$, en distinguant le niveau $f(\omega )$ des autres.

3. (0,5 pt) Soit $\gamma$ une ligne de plus grande pente. Montrer que $f\circ \gamma$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et que

$${(f\circ \gamma )}^{\mathrm{\prime }}(t)={\parallel \mathrm{\nabla }f\text{\hspace{0.17em}⁣}(\gamma (t))\parallel }^2\mathrm{.}$$

En déduire que $f\circ \gamma$ est croissante, et préciser à quelle condition elle est strictement croissante.

4. (0,5 pt) Soit $\gamma$ une ligne de plus grande pente et $\sigma$ un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ tracé sur une ligne de niveau de $f$. On suppose que $\gamma (s_0)=\sigma (t_0)$ pour certains paramètres $s_0$ et $t_0$. Montrer que ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(s_0)$ et ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}(t_0)$ sont orthogonaux, et énoncer le résultat géométrique obtenu.

5. (0,5 pt) Soit $\gamma =(x,y)$ une ligne de plus grande pente. Montrer que la fonction $t\mapsto (x(t)+1)y(t)$ est constante sur $I$. Qu'en déduit-on sur la trajectoire de $\gamma$ ?

6. (0,5 pt) Déterminer toutes les lignes de plus grande pente de $f$ définies sur $\mathbb{R}$. Expliciter celle qui vérifie $\gamma (0)=(0,1)$, donner une équation cartésienne de sa trajectoire, et vérifier sur cet exemple le résultat de la question 5.

7. (0,25 pt) Décrire le comportement de $\gamma (t)$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$ et quand $t\to -\mathrm{\infty }$, selon la position du point de départ. Quelles sont exactement les lignes de plus grande pente qui aboutissent au point critique $\omega$ ? Comparer avec les directions propres de la matrice hessienne.

Sur le quart de plan des coordonnées strictement positives, le couple produit-quotient $(xy,x\mathrm{/}y)$ remplace avantageusement le couple $(x,y)$ : c'est un changement de variables licite, et il transforme un opérateur du second ordre à coefficients variables en une simple équation différentielle. L'ensemble des solutions se décrit alors par deux fonctions arbitraires d'une variable.

On note $P=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0\text{ et }y>0\}$ le quart de plan ouvert, et l'on considère

$$\mathrm{\Phi }(x,y)=(xy,\frac{x}{y})\text{pour }(x,y)\in P\mathrm{.}$$

Toutes les fonctions inconnues sont à valeurs réelles. On s'intéresse à l'équation aux dérivées partielles

$$(\mathcal{E})x^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}(x,y)+2xy\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}(x,y)+y^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}(x,y)=0,$$

posée pour tout $(x,y)\in P$, l'inconnue $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $P$.

1. (0,75 pt) Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est une bijection de $P$ sur $P$, expliciter sa réciproque $\mathrm{\Psi }$, et justifier que $\mathrm{\Phi }$ et $\mathrm{\Psi }$ sont de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $P$. Écrire la matrice jacobienne $J_{\mathrm{\Phi }}(x,y)$, calculer son déterminant, puis vérifier que $J_{\mathrm{\Psi }}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mathrm{\Phi }(x,y))=J_{\mathrm{\Phi }}(x,y{)}^{-1}$.

2. (0,5 pt) Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $P$. On pose $g=f\circ \mathrm{\Psi }$, de sorte que $f(x,y)=g\text{\hspace{0.17em}⁣}(xy,\frac{x}{y})$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $P$, exprimer ${\mathrm{\partial }}_{x}f$ et ${\mathrm{\partial }}_{y}f$ à l'aide des dérivées partielles de $g$, puis établir que, en notant $(u,v)=\mathrm{\Phi }(x,y)$,

$$x{\mathrm{\partial }}_{x}f+y{\mathrm{\partial }}_{y}f=2u{\mathrm{\partial }}_{u}g\text{et}x{\mathrm{\partial }}_{x}f-y{\mathrm{\partial }}_{y}f=2v{\mathrm{\partial }}_{v}g\mathrm{.}$$

3. (1 pt) Pour $h$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $P$, on note $Dh=x{\mathrm{\partial }}_{x}h+y{\mathrm{\partial }}_{y}h$.

a. Montrer que, pour toute fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $P$,

$$D(Df)=x^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}+2xy\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+y^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}+Df\mathrm{.}$$

On précisera très exactement où intervient le théorème de Schwarz.

b. En appliquant deux fois la première formule de la question 2, montrer que

$$D(Df)=4u^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{u}^2}+4u\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u},$$

puis en déduire que $f$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si $g$ vérifie

$$2u\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}g}{\mathrm{\partial }{u}^2}(u,v)+\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }u}(u,v)=0\text{pour tout }(u,v)\in P\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Résoudre cette dernière équation : montrer qu'il existe deux fonctions $A$ et $B$ définies sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ telles que $g(u,v)=A(v)\sqrt{u}+B(v)$ pour tout $(u,v)\in P$. On traitera $v$ comme un paramètre et l'on justifiera soigneusement chaque intégration.

5. (0,5 pt) Montrer que les fonctions $A$ et $B$ obtenues sont nécessairement de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ — on pourra évaluer $g$ en $u=1$ et en $u=4$ — puis vérifier la réciproque. Conclure en donnant l'ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$.

6. (0,25 pt) Vérifier directement, par le calcul des dérivées partielles, que les trois fonctions suivantes sont solutions de $(\mathcal{E})$ sur $P$, et identifier pour chacune le couple $(A,B)$.

Toutes les normes de ${\mathbb{R}}^n$ sont équivalentes : il existe donc une constante $c$ telle que $\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_1⩽c\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_4$ pour tout vecteur $u$. Le théorème d'équivalence des normes ne dit rien de la valeur de $c$, et sa démonstration par compacité n'en fournit aucune. L'optimisation sous contrainte, elle, donne la meilleure constante possible, et le point où elle est atteinte.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de sa structure euclidienne canonique. On note

$$\mathrm{\Gamma }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^4+y^4=1\}\text{et}f(x,y)=x+y\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est une partie compacte non vide de ${\mathbb{R}}^2$, et en déduire que $f$ y admet un maximum et un minimum, tous deux atteints.

2. (0,5 pt) Écrire $\mathrm{\Gamma }$ comme l'ensemble des zéros d'une fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, vérifier que $\mathrm{\nabla }g$ ne s'annule en aucun point de $\mathrm{\Gamma }$, puis énoncer précisément ce que donne le théorème d'optimisation sous une contrainte en un point où $f$ atteint un extremum sur $\mathrm{\Gamma }$. Traduire la colinéarité par l'annulation d'un déterminant et résoudre.

3. (0,5 pt) Conclure : donner ${\max }_{\mathrm{\Gamma }}f$ et ${\min }_{\mathrm{\Gamma }}f$, ainsi que les points où ces valeurs sont atteintes. On donnera une valeur décimale approchée du maximum à ${10}^{-3}$ près.

4. (0,5 pt) Retrouver le maximum sans aucun calcul différentiel, à l'aide de la convexité de $t\mapsto t^4$ sur $\mathbb{R}$, et discuter le cas d'égalité. En déduire que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }⩽2^{3\mathrm{/}4}{(x^4+y^4)}^{1\mathrm{/}4},$$

et que la constante $2^{3\mathrm{/}4}$ ne peut pas être remplacée par une constante plus petite.

5. (0,75 pt) Généralisation. Pour $u=(u_1,\dots ,u_n)\in {\mathbb{R}}^n$ avec $n⩾1$, on pose

$$\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_1=\sum _{i=1}^n\mid u_i\mid \text{et}\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_4={\left(\sum _{i=1}^n{u}_i^4\right)}^{1\mathrm{/}4}\mathrm{.}$$

En reprenant la méthode des questions 1 à 3 sur la contrainte ${\sum }_i{x}_i^4=1$, déterminer le maximum de $x_1+\cdots +x_n$ sur cette contrainte, puis en déduire la meilleure constante $c_n$ telle que $\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_1⩽c_n\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_4$ pour tout $u\in {\mathbb{R}}^n$.

6. (0,25 pt) Lecture géométrique, pour $n=2$. Écrire l'équation de la tangente à $\mathrm{\Gamma }$ au point où le maximum est atteint, et constater qu'elle coïncide avec une ligne de niveau de $f$. Expliquer en une phrase pourquoi le théorème d'optimisation sous une contrainte rendait ce phénomène inévitable.

Étant donné trois villes, où installer un entrepôt pour que la somme des trois distances soit minimale ? Le centre de gravité, qui minimise la somme des carrés des distances, n'est pas la réponse. La fonction à minimiser n'est même pas différentiable partout : elle ne l'est en aucun des trois sommets, et c'est justement là que se cache la moitié du problème. On établit ici que la réponse est, selon la forme du triangle, soit un point intérieur d'où l'on voit les trois côtés sous un angle de $120$ degrés, soit un sommet.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme euclidienne associée $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Pour deux points $M$ et $N$, on note indifféremment $\mathrm{\parallel }M-N\mathrm{\parallel }$ ou $MN$ leur distance. Pour trois points $X$, $Y$, $Z$ avec $Y\mathrm{\ne }X$ et $Y\mathrm{\ne }Z$, l'angle géométrique $\widehat{XYZ}\in [0,\pi ]$ est défini par

$$\cos \widehat{XYZ}=\frac{⟨\overrightarrow{YX},\overrightarrow{YZ}⟩}{YX\times YZ}\mathrm{.}$$

Enfin, si $\phi$ est définie au voisinage d'un point $M$ et si $v\in {\mathbb{R}}^2$ est non nul, on appelle dérivée à droite de $\phi$ en $M$ selon $v$, lorsqu'elle existe, la limite

$$D_v^{+}\phi (M)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\phi (M+tv)-\phi (M)}{t}\mathrm{.}$$

Dans les parties B, C et D, $A$, $B$ et $C$ désignent trois points non alignés du plan, et l'on pose

$$F(M)=MA+MB+MC\text{pour }M\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

Les parties dépendent les unes des autres et sont à traiter dans l'ordre.

Partie A. La distance à un point fixe. Dans cette partie, $a$ est un point fixé de ${\mathbb{R}}^2$ et l'on pose $n_a(M)=\mathrm{\parallel }M-a\mathrm{\parallel }$.

A.1. (0,5 pt) Montrer que $n_a$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2\setminus \{a\}$ et que, pour tout $M\mathrm{\ne }a$,

$$\mathrm{\nabla }{n}_a(M)=\frac{M-a}{\mathrm{\parallel }M-a\mathrm{\parallel }}\mathrm{.}$$

A.2. (0,5 pt) Soit $v$ un vecteur non nul. Calculer ${\displaystyle \frac{n_a(a+tv)-n_a(a)}{t}}$ pour $t\mathrm{\ne }0$, puis ses limites à droite et à gauche en $0$. En déduire que $n_a$ n'admet en $a$ de dérivée selon aucun vecteur non nul, et qu'elle n'y est donc pas différentiable. Que vaut $D_v^{+}{n}_a(a)$ ?

A.3. (0,25 pt) Vérifier que $\parallel \mathrm{\nabla }{n}_a(M)\parallel =1$ pour tout $M\mathrm{\ne }a$ et interpréter géométriquement ce gradient, en précisant son lien avec les lignes de niveau de $n_a$.

Partie B. Le minimum existe, et il est dans le triangle.

B.1. (0,25 pt) Justifier que $F$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

B.2. (0,5 pt) Montrer que $F(M)\to +\mathrm{\infty }$ quand $\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }\to +\mathrm{\infty }$, et en déduire que $F$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, atteint en au moins un point.

B.3. (0,5 pt) On note $T$ le triangle plein fermé de sommets $A$, $B$ et $C$. Soit $\mathcal{D}$ la droite $(AB)$ et $H$ le demi-plan fermé de frontière $\mathcal{D}$ contenant $C$. On choisit un repère orthonormé dans lequel $\mathcal{D}$ a pour équation $y=0$ et $H=\{(x,y);y⩾0\}$. Soit $M=(m_1,m_2)$ avec $m_2<0$, et $M^{\mathrm{\prime }}=(m_1,0)$.

a. Montrer que $\parallel M-X\parallel >\parallel M^{\mathrm{\prime }}-X\parallel$ pour tout point $X$ de coordonnées $(x_1,x_2)$ avec $x_2⩾0$.

b. En déduire que $F(M^{\mathrm{\prime }})<F(M)$, puis que tout point où $F$ atteint son minimum appartient à $H$. Conclure que ce point appartient à $T$.

Partie C. Trois vecteurs unitaires de somme nulle. Pour $M\mathrm{\notin }\{A,B,C\}$, on pose

$$u_A(M)=\frac{M-A}{MA},u_B(M)=\frac{M-B}{MB},u_C(M)=\frac{M-C}{MC}\mathrm{.}$$

C.1. (0,5 pt) Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $\mathrm{\Omega }={\mathbb{R}}^2\setminus \{A,B,C\}$ et que

$$\mathrm{\nabla }F(M)=u_A(M)+u_B(M)+u_C(M)\text{pour }M\in \mathrm{\Omega }\mathrm{.}$$

C.2. (0,5 pt) Soient $w_1$, $w_2$, $w_3$ trois vecteurs unitaires de ${\mathbb{R}}^2$ tels que $w_1+w_2+w_3=0$. Montrer que $⟨w_i,w_j⟩=-\frac{1}{2}$ pour $i\mathrm{\ne }j$, et interpréter en termes d'angles.

C.3. (0,5 pt) Soit $P$ un point où $F$ atteint son minimum global. On suppose $P\mathrm{\notin }\{A,B,C\}$. Montrer que

$$\widehat{APB}=\widehat{BPC}=\widehat{CPA}=\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}$$

C.4. (0,5 pt) Application. On suppose le triangle $ABC$ équilatéral de côté $1$ et l'on note $G$ son centre. Montrer que $G$ est un point critique de $F$, calculer $F(G)$ et $F(A)$, et comparer.

Partie D. Quand le minimum est un sommet. On pose $w=u_B(A)+u_C(A)$, où $u_B(A)={\displaystyle \frac{A-B}{AB}}$ et $u_C(A)={\displaystyle \frac{A-C}{AC}}$, et l'on note $\alpha =\widehat{BAC}$.

D.1. (0,5 pt) Montrer que, pour tout vecteur $v$ non nul, $F$ admet en $A$ une dérivée à droite selon $v$, donnée par

$$D_v^{+}F(A)=\mathrm{\parallel }v\mathrm{\parallel }+⟨w,v⟩\mathrm{.}$$

D.2. (0,5 pt) Montrer que l'on a $D_v^{+}F(A)⩾0$ pour tout $v$ non nul si et seulement si $\mathrm{\parallel }w\mathrm{\parallel }⩽1$.

D.3. (0,5 pt) Calculer $\mathrm{\parallel }w{\mathrm{\parallel }}^2$ en fonction de $\cos \alpha$. En déduire que si $F$ atteint son minimum global en $A$, alors $\alpha ⩾\frac{2\pi }{3}$.

D.4. (0,5 pt) Synthèse.

a. On suppose que les trois angles du triangle sont strictement inférieurs à $\frac{2\pi }{3}$. Montrer que le minimum de $F$ est atteint en un point intérieur au triangle, d'où l'on voit les trois côtés sous un angle de $\frac{2\pi }{3}$.

b. On suppose maintenant $\alpha ⩾\frac{2\pi }{3}$. Montrer qu'aucun point de $T$ autre que $A$, $B$ et $C$ n'est un point critique de $F$, puis que le minimum de $F$ est atteint en $A$.

c. Traiter l'exemple $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ et $C=(-1,1)$ : déterminer le minimum de $F$ et le point où il est atteint.