Exercices — Probabilités sur un ensemble fini

Situation A. On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, l'un rouge et l'autre vert : les deux dés sont donc discernables, et on note les deux numéros obtenus.

1. Décrire l'univers ${\mathrm{\Omega }}_A$ associé à cette expérience et donner son cardinal.

2. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $R_k$ l'événement « le dé rouge donne $k$ » et $V_k$ l'événement « le dé vert donne $k$ ». Écrire à l'aide de $R_6$ et de $V_6$ les événements suivants.

   a. Les deux dés donnent $6$.

   b. Au moins un des deux dés donne $6$.

   c. Aucun des deux dés ne donne $6$.

   d. Exactement un des deux dés donne $6$.

3. Écrire les événements contraires de 2. a. et de 2. b. sous la forme la plus simple possible, puis les traduire en français.

Situation B. À la sortie d'une chaîne de production, un opérateur contrôle trois composants ; chaque composant est déclaré conforme ou défectueux.

4. Décrire l'univers ${\mathrm{\Omega }}_B$ et donner son cardinal.

5. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $D_i$ l'événement « le $i$-ème composant est défectueux ». Écrire à l'aide des $D_i$ les événements suivants.

   a. Les trois composants sont défectueux.

   b. Aucun composant n'est défectueux.

   c. Au moins un composant est défectueux.

   d. Exactement un composant est défectueux.

   e. Pas plus de deux composants sont défectueux.

6. Traduire par une phrase en français les deux événements suivants.

   a. $(D_1\cap D_2)\cup (D_1\cap D_3)\cup (D_2\cap D_3)$

   b. $\overline{D_1}\cap (D_2\cup D_3)$

On lance un dé à six faces et on note le numéro de la face obtenue : $\mathrm{\Omega }=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

1. Pour chacune des cinq familles suivantes, dire si elle constitue un système complet d'événements de $\mathrm{\Omega }$, en examinant séparément les deux conditions de la définition. Lorsque la réponse est négative, modifier la famille pour en faire un système complet.

   a. $(P,I)$ avec $P=\{2,4,6\}$ et $I=\{1,3,5\}$

   b. $(A_1,A_2,A_3)$ avec $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{3,4\}$ et $A_3=\{5\}$

   c. $(B_1,B_2,B_3)$ avec $B_1=\{1,2,3\}$, $B_2=\{3,4\}$ et $B_3=\{5,6\}$

   d. $(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\})$

   e. $(\mathrm{\varnothing },C_1,C_2)$ avec $C_1=\{1,2,3\}$ et $C_2=\{4,5,6\}$

2. Un atelier possède trois machines, chacune pouvant être en panne ou non ; l'univers associé au relevé de l'état des trois machines est ${\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}=\{0,1{\}}^3$, où $1$ code une panne. Construire un système complet d'événements adapté à l'étude du nombre de machines en panne, vérifier les deux conditions, et donner le cardinal de chacun de ses événements.

3. On dispose de six urnes numérotées de $1$ à $6$, chacune contenant des boules de couleurs variées. On lance un dé à six faces, puis on tire une boule dans l'urne portant le numéro obtenu. Quel système complet d'événements permet de décomposer cette expérience selon sa première étape ?

Partie A. Une expérience aléatoire admet cinq issues, et l'on pose $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4,{\omega }_5\}$. On souhaite définir une probabilité $P$ sur $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ par le tableau suivant, où $a$ est un réel à déterminer.

1. Déterminer $a$, puis vérifier que le tableau définit bien une probabilité.

2. On pose $A=\{{\omega }_1,{\omega }_3,{\omega }_5\}$ et $B=\{{\omega }_2,{\omega }_3\}$. Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cup B)$.

Partie B. Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers fini $\mathrm{\Omega }$ tels que

$$P(A)=\mathrm{0,6},P(B)=\mathrm{0,5},P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$$

3. Calculer les quantités suivantes, en citant à chaque fois la propriété du cours utilisée.

   a. $P(A\cup B)$

   b. $P\left(\bar{A}\right)$

   c. $P(A\setminus B)$

   d. $P(\bar{A}\cap \bar{B})$

4. Vérifier la cohérence des résultats précédents en calculant la somme des probabilités des quatre événements $A\cap B$, $A\cap \bar{B}$, $\bar{A}\cap B$ et $\bar{A}\cap \bar{B}$.

Dans les trois situations suivantes, on est en situation d'équiprobabilité. Préciser à chaque fois l'univers et son cardinal avant de calculer.

Situation 1. On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces et on note les deux résultats dans l'ordre.

Situation 2. Une urne contient dix jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $10$. On en tire deux simultanément.

Situation 3. On distribue une main de deux cartes dans un jeu de $32$ cartes bien battu.

Une promotion compte $200$ étudiants, répartis selon deux critères : être boursier ou non, et suivre le parcours mathématiques approfondies ou le parcours mathématiques appliquées. On sait que $80$ étudiants sont boursiers, dont $30$ suivent le parcours approfondies, et que $60$ étudiants non boursiers suivent le parcours approfondies.

On choisit un étudiant au hasard dans cette promotion, chaque étudiant ayant la même probabilité d'être choisi. On note $B$ l'événement « l'étudiant est boursier » et $A$ l'événement « l'étudiant suit le parcours approfondies ».

1. Dresser le tableau des effectifs à double entrée, totaux compris.

2. Calculer $P(B)$, $P(A)$ et $P(A\cap B)$.

3. Calculer $P_B(A)$ et $P_A(B)$. Ces deux nombres sont-ils égaux ? Expliquer en une phrase ce que signifie chacun d'eux.

4. Calculer $P_{\bar{B}}(A)$ et comparer à $P_B(A)$. Que peut-on en dire sur cette promotion ?

5. Un étudiant affirme : « $30$ étudiants sont à la fois boursiers et en approfondies, donc la probabilité qu'un boursier suive le parcours approfondies vaut $\mathrm{0,15}$ ». Expliquer son erreur.

Un atelier s'approvisionne en pièces auprès de deux fournisseurs. Le fournisseur $1$ livre $60\mathrm{\%}$ des pièces du stock, le fournisseur $2$ les $40\mathrm{\%}$ restants. Les deux fournisseurs n'ont pas la même fiabilité : $3\mathrm{\%}$ des pièces livrées par le fournisseur $1$ sont défectueuses, contre $5\mathrm{\%}$ de celles livrées par le fournisseur $2$.

On prélève une pièce au hasard dans le stock. Pour $i\in \{1,2\}$, on note $F_i$ l'événement « la pièce provient du fournisseur $i$ », et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Traduire les données de l'énoncé en probabilités et en probabilités conditionnelles.

2. Justifier que $(F_1,F_2)$ est un système complet d'événements, puis décrire en toutes lettres l'arbre pondéré associé à cette expérience.

3. Calculer $P(F_1\cap D)$ et $P(F_2\cap D)$.

4. En déduire $P(D)$ par la formule des probabilités totales, et exprimer le résultat en pourcentage.

5. Calculer $P\left(\bar{D}\right)$ de deux façons différentes.

On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro obtenu : $\mathrm{\Omega }=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, muni de l'équiprobabilité. On considère les événements suivants.

1. Écrire chacun de ces six événements en extension et donner sa probabilité.

2. Pour chacun des quatre couples suivants, dire si les deux événements sont indépendants, en revenant à la définition.

   a. $A$ et $B$

   b. $A$ et $C$

   c. $A$ et $D$

   d. $G$ et $H$

3. Pour les couples indépendants de la question précédente, vérifier que le conditionnement par $A$ ne modifie pas la probabilité de l'autre événement. Calculer également $P_A(B)$ et le comparer à $P(B)$ : qu'observe-t-on ?

4. Soient $E$ et $F$ deux événements incompatibles tels que $P(E)>0$ et $P(F)>0$. Montrer qu'ils ne sont jamais indépendants. Illustrer avec $E=\{5,6\}$ et $F=\{1,2\}$.

Un artisan reçoit chaque jour un nombre aléatoire de commandes, noté $X$. Une étude statistique conduit à modéliser la loi de $X$ par le tableau suivant, où $p$ est un réel à déterminer.

1. Déterminer $p$.

2. Calculer $E(X)$ et interpréter concrètement le résultat.

3. Calculer $E(X^2)$, puis $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, et enfin $\sigma (X)$.

4. Retrouver $V(X)$ directement à partir de sa définition, puis comparer les deux méthodes.

Pour chacune des six situations suivantes, préciser l'ensemble $X(\mathrm{\Omega })$ des valeurs prises par $X$, reconnaître la loi de $X$ et ses paramètres lorsqu'il s'agit d'une loi usuelle du cours, puis donner $E(X)$ et $V(X)$ à l'aide des formules du cours. Si $X$ ne suit aucune loi usuelle, le dire et le justifier.

a. On lance un dé équilibré à six faces et $X$ est le numéro de la face obtenue.

b. Une pièce sortant d'une chaîne de production est défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,03}$. On en prélève une au hasard et $X$ vaut $1$ si elle est défectueuse, $0$ sinon.

c. Un télévendeur passe $20$ appels, les appels constituant des épreuves indépendantes ; chaque appel aboutit à une vente avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{10}}$. La variable $X$ est le nombre de ventes de la journée.

d. Une urne contient $10$ stylos, dont $4$ défectueux. On en prélève $3$ simultanément et $X$ est le nombre de stylos défectueux prélevés.

e. Une urne contient des jetons indiscernables au toucher, numérotés de $10$ à $25$. On en tire un au hasard et $X$ est le numéro obtenu.

f. Un contrat de maintenance prévoit le versement d'une prime forfaitaire de $50$ euros en fin de mois, quelles que soient les interventions effectuées. La variable $X$ est le montant de la prime versée.

Un institut interroge $100$ foyers sur leurs abonnements à trois services payants : la vidéo à la demande, la musique en ligne et la presse numérique. Le dépouillement donne les effectifs suivants : $62$ foyers sont abonnés à la vidéo, $45$ à la musique, $30$ à la presse ; $28$ sont abonnés à la fois à la vidéo et à la musique, $18$ à la vidéo et à la presse, $15$ à la musique et à la presse ; enfin $10$ foyers cumulent les trois abonnements.

On interroge au hasard l'un de ces $100$ foyers, tous les foyers ayant la même probabilité d'être choisis. On note $V$, $M$ et $R$ les événements « le foyer est abonné à la vidéo », « à la musique », « à la presse ».

1. Donner les probabilités $P(V)$, $P(M)$, $P(R)$, $P(V\cap M)$, $P(V\cap R)$, $P(M\cap R)$ et $P(V\cap M\cap R)$.

2. Soit $A$, $B$ et $C$ trois événements quelconques. En n'utilisant que la formule du crible pour deux événements, démontrer que

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$

3. Calculer la probabilité que le foyer interrogé soit abonné à au moins un des trois services, puis la probabilité qu'il ne soit abonné à aucun.

4. Calculer la probabilité que le foyer soit abonné à exactement deux services, puis à exactement un service. Vérifier la cohérence de l'ensemble des résultats.

Un lot de contrôle contient $10$ articles indiscernables au toucher : $5$ articles de la gamme rouge, $3$ de la gamme verte et $2$ de la gamme noire. Un inspecteur prélève simultanément $3$ articles au hasard, tous les prélèvements de trois articles étant équiprobables.

1. Déterminer le nombre de prélèvements possibles.

2. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, calculer la probabilité $p_k$ d'obtenir exactement $k$ articles rouges. Vérifier que la somme des $p_k$ vaut $1$.

3. En déduire, en passant par l'événement contraire, la probabilité d'obtenir au moins un article rouge.

4. Calculer la probabilité que les trois articles prélevés soient de la même gamme, puis la probabilité qu'au moins deux gammes soient représentées.

5. L'inspecteur prélève maintenant les trois articles successivement et sans remise. Calculer la probabilité que les trois articles soient rouges, et comparer avec le résultat de la question 2. Commenter.

Une caisse contient $9$ dossiers de candidature, indiscernables au toucher : $4$ dossiers rouges, $3$ blancs et $2$ noirs. Un recruteur en extrait successivement trois, sans remise, chaque dossier restant ayant à chaque étape la même probabilité d'être extrait.

Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $R_i$, $B_i$ et $N_i$ les événements « le $i$-ième dossier extrait est rouge », « est blanc », « est noir ».

1. Calculer $P(R_1\cap B_2\cap N_3)$, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir dans cet ordre un dossier rouge, puis un blanc, puis un noir.

2. Calculer la probabilité que les trois dossiers extraits soient de la même couleur.

3. Calculer $P(R_2)$, probabilité que le deuxième dossier extrait soit rouge. Comparer à $P(R_1)$ et commenter.

4. Sans nouveau calcul, que vaut $P(R_3)$ ? Justifier par un argument de symétrie.

Une agence de santé publique envisage un dépistage systématique d'une maladie qui touche $2$ personnes sur $1000$ dans la population générale. Le test retenu possède les caractéristiques suivantes :

a. Sa sensibilité est de $99\mathrm{\%}$ : si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de $\mathrm{0,99}$.

b. Sa spécificité est de $98\mathrm{\%}$ : si la personne n'est pas malade, le test est négatif avec une probabilité de $\mathrm{0,98}$.

On teste une personne choisie au hasard dans la population. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités portant sur $M$ et $T$.

2. Calculer $P(T)$, probabilité que le test soit positif.

3. Calculer $P_T(M)$, probabilité que la personne soit réellement malade sachant que son test est positif. Donner une valeur arrondie au millième et commenter.

4. L'agence renonce au dépistage systématique et cible une population à risque, dans laquelle la maladie touche $5\mathrm{\%}$ des personnes. Le test étant inchangé, calculer la nouvelle valeur de $P_T(M)$ et conclure sur la stratégie de dépistage.

Une entreprise réunit $n$ collaborateurs pour un séminaire, avec $1⩽n⩽365$. On suppose que l'année compte $365$ jours, que la date d'anniversaire d'un collaborateur est l'un de ces $365$ jours de façon équiprobable, et que les dates des différents collaborateurs sont fixées de façon indépendante. On note $A_n$ l'événement « au moins deux collaborateurs partagent leur date d'anniversaire ».

1. Décrire l'événement contraire $\overline{A_n}$ et calculer sa probabilité, d'abord par dénombrement, puis en retrouvant le résultat par la formule des probabilités composées.

2. En déduire une expression de $P(A_n)$ sous forme d'un produit.

3. Calculer $P(A_n)$ pour $n=10$, $n=23$ et $n=40$ (valeurs arrondies au millième). Commenter le résultat obtenu pour $n=23$.

4. On s'intéresse maintenant au seul mois d'anniversaire, en supposant les $12$ mois équiprobables. Calculer, sous forme de fraction irréductible, la probabilité qu'au moins deux collaborateurs d'un groupe de $4$ soient nés le même mois. Déterminer le plus petit groupe pour lequel cette probabilité dépasse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Soit $\mathrm{\Omega }$ un univers fini muni d'une probabilité $P$ définie sur $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$, et soit $A$ un événement. On appelle indicatrice de $A$ l'application ${\mathbf{1}}_A$ définie sur $\mathrm{\Omega }$ par

$${\mathbf{1}}_A(\omega )=1\text{ si }\omega \in A,{\mathbf{1}}_A(\omega )=0\text{ si }\omega \mathrm{\notin }A$$

1. Justifier que ${\mathbf{1}}_A$ est une variable aléatoire réelle finie et déterminer sa loi. Reconnaître une loi usuelle.

2. En déduire $E\left({\mathbf{1}}_A\right)$ et $V\left({\mathbf{1}}_A\right)$.

3. Soit $B$ un second événement. Démontrer les trois identités suivantes, valables en tout point de $\mathrm{\Omega }$ :

4. En prenant l'espérance dans l'identité c., retrouver la formule du crible pour deux événements.

5. Application numérique : on suppose $P(A)=\mathrm{0,6}$, $P(B)=\mathrm{0,5}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$. Donner la loi, l'espérance et la variance de ${\mathbf{1}}_{A\cup B}$.

Une chaîne de production fabrique des pièces dont une proportion $p=\mathrm{0,03}$ présente un défaut. Le service qualité prélève un lot de $20$ pièces. La production étant très importante devant la taille du lot, on admet que ce prélèvement peut être assimilé à $20$ épreuves identiques et indépendantes, chacune consistant à observer si la pièce prélevée est défectueuse. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot.

On utilisera librement les propriétés de la fonction $\ln$ vues au lycée, notamment sa stricte croissance sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, l'égalité $\ln \left(x^n\right)=n\ln (x)$ pour $x>0$ et $n\in \mathbb{N}$, ainsi que les valeurs approchées $\ln (\mathrm{0,05})\approx -\mathrm{2,9957}$ et $\ln (\mathrm{0,97})\approx -\mathrm{0,03046}$.

1. Justifier soigneusement que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, et donner $P(X=k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,20]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

2. Vérifier, à l'aide de la formule du binôme de Newton, que la somme des probabilités $P(X=k)$ pour $k$ variant de $0$ à $20$ vaut bien $1$.

3. Calculer $P(X=0)$, puis $P(X⩾1)$, puis $P(X⩽2)$, à ${10}^{-4}$ près.

4. Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type de $X$.

5. On prélève maintenant un lot de $n$ pièces et l'on note $X_n$ le nombre de pièces défectueuses. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X_n⩾1)⩾\mathrm{0,95}$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ lorsque $X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et que $P(X=k)={\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On note alors $X\hookrightarrow \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$.

On rappelle les deux sommes usuelles, établies au chapitre sur les sommes :

$$\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\text{et}\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

1. Vérifier que la loi de $X$ est bien une loi de probabilité, puis démontrer que $E(X)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$.

2. Calculer $E\left(X^2\right)$ par le théorème de transfert, puis en déduire que $V(X)={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}$.

3. Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $a⩽b$, et soit $Y$ une variable suivant la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On pose $n=b-a+1$. Démontrer que si $X\hookrightarrow \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$, alors $X+a-1$ suit la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. En déduire $E(Y)$ et $V(Y)$.

4. Applications. a. Lors d'un séminaire, chaque participant se voit attribuer par tirage au sort un numéro de place parmi $40$. b. Un fournisseur annonce une livraison à une date tirée au hasard entre le $10$ et le $20$ du mois. Dans chaque cas, donner l'espérance, la variance et l'écart-type du numéro obtenu.

Le résultat mensuel d'une petite activité, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la loi est donnée par le tableau suivant.

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.

2. On pose $Y=2X+3$. Déterminer la loi de $Y$, puis calculer $E(Y)$ de deux façons : à partir de la loi de $Y$, puis par le théorème de transfert. Vérifier enfin que $V(Y)=4V(X)$.

3. On pose $Z=X^2$. Déterminer la loi de $Z$, puis calculer $E(Z)$ à partir de cette loi, et retrouver le résultat par le théorème de transfert.

4. Comparer $E\left(X^2\right)$ et ${(E(X))}^2$. Commenter.

Une petite entreprise de dépannage informatique enregistre chaque jour le nombre $X$ d'interventions urgentes. L'exploitation d'une année d'activité conduit à retenir le modèle suivant.

On rappelle le théorème de transfert (admis) : si $X$ est une variable aléatoire finie et $g$ une fonction définie sur $X(\mathrm{\Omega })$, alors

$$E(g(X))=\sum _{k\in X(\mathrm{\Omega })}g(k)P(X=k)$$

1. Vérifier que le tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.

2. Calculer $E\left(X^2\right)$. Comparer avec ${(E(X))}^2$ et en déduire $V(X)$.

3. La journée de travail est partagée en parts égales entre les $X$ interventions et un unique bloc de tâches administratives : la durée d'un bloc représente donc la fraction $T={\displaystyle \frac{1}{X+1}}$ de la journée. Calculer $E(T)$. Comparer avec ${\displaystyle \frac{1}{E(X)+1}}$ et commenter.

4. L'équipe a été dimensionnée pour deux interventions par jour, et l'entreprise mesure son inadéquation par la pénalité $Y=(X-2{)}^2$. Calculer $E(Y)$ par le théorème de transfert.

5. Déterminer la loi de $Y$, puis recalculer $E(Y)$ à partir de cette loi. Expliquer pourquoi les deux calculs donnent le même résultat alors que la fonction $g:x\mapsto (x-2{)}^2$ n'est pas injective sur $X(\mathrm{\Omega })$.

6. Calculer $E\left({(X-E(X))}^2\right)$ et comparer avec le résultat de la question 2.

Un stand de fête foraine propose le jeu suivant. Une urne contient $20$ jetons indiscernables au toucher : $1$ jeton rouge, $4$ jetons verts et $15$ jetons blancs. Le joueur verse une mise de $3$ euros, puis tire un jeton au hasard. Il reçoit $20$ euros si le jeton est rouge, $5$ euros s'il est vert, et rien s'il est blanc.

On note $G$ le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise. Un jeu est dit équitable lorsque le gain algébrique du joueur est d'espérance nulle.

1. Déterminer $G(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $G$.

2. Calculer $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ? Quel bénéfice moyen le forain peut-il espérer sur $500$ parties ?

3. Déterminer la mise $m$ qui rendrait ce jeu équitable.

4. Calculer $V(G)$, puis l'écart-type $\sigma (G)$ (valeur approchée à ${10}^{-2}$ près). Donner la variable centrée réduite associée à $G$.

5. Le stand voisin propose, pour la même mise de $3$ euros, un lot unique de $5$ euros obtenu avec la probabilité ${\displaystyle \frac{2}{5}}$, et rien sinon. On note $G^{\mathrm{\prime }}$ le gain algébrique correspondant. Comparer les deux jeux du point de vue de l'espérance, puis du point de vue du risque.

On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces, discernables : l'un est rouge, l'autre est bleu. On note $X$ le résultat du dé rouge, $Y$ celui du dé bleu, puis

$$M=\max (X,Y)\text{et}m=\min (X,Y)$$

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à cette expérience, donner son cardinal et justifier l'équiprobabilité.

2. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Exprimer l'événement $(M⩽k)$ à l'aide de $X$ et de $Y$, puis calculer $P(M⩽k)$. En déduire $P(M=k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et dresser la loi de $M$.

3. Par une méthode analogue portant sur les événements $(m⩾k)$, déterminer la loi de $m$.

4. Calculer $E(M)$ et $E(m)$.

5. Justifier que $M+m=X+Y$, puis retrouver la valeur de $E(M)+E(m)$ sans utiliser les lois de $M$ et de $m$.

6. Montrer que $P(m=k)=P(M=7-k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, et en déduire une seconde fois la relation entre $E(m)$ et $E(M)$.

Partie A. On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On considère les trois événements

$$A=\text{« le premier lancer donne pile »},B=\text{« le second lancer donne pile »}$$ $$C=\text{« les deux lancers donnent le m}\hat{\text{e}}\text{me r}\acute{\text{e}}\text{sultat »}$$

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ et justifier que l'on peut le munir de l'équiprobabilité. Écrire $A$, $B$ et $C$ comme parties de $\mathrm{\Omega }$, puis calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.

2. Montrer que les événements $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants.

   a. $A$ et $B$

   b. $A$ et $C$

   c. $B$ et $C$

3. Les événements $A$, $B$ et $C$ sont-ils mutuellement indépendants ? Conclure sur le lien entre les deux notions.

4. Calculer $P_{A\cap B}(C)$ et comparer à $P(C)$. Commenter le résultat de la question 3. à la lumière de ce calcul.

Partie B. Soit $\mathrm{\Omega }$ un univers fini muni d'une probabilité $P$.

5. Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants. Démontrer que $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants, puis que $\bar{A}$ et $\bar{B}$ le sont également.

6. On lance un dé à six faces et on considère les événements $A=\text{« le r}\acute{\text{e}}\text{sultat est pair »}$ et $B=\text{« le r}\acute{\text{e}}\text{sultat appartient }\grave{\text{a}}\{1,2\}\text{ »}$.

   a. Le dé est équilibré. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.

   b. Le dé est pipé : la face $6$ sort avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, les cinq autres faces se partageant équitablement le reste. Vérifier qu'il s'agit bien d'une probabilité, puis étudier l'indépendance de $A$ et $B$.

   c. Que peut-on en conclure sur la nature de la propriété d'indépendance ?

Un opérateur propose un abonnement mensuel sans engagement, que l'on peut résilier ou reprendre au début de chaque mois. On observe un client donné et on modélise son comportement ainsi : si le client est abonné le mois $n$, il le reste le mois $n+1$ avec la probabilité $a$ ; s'il ne l'est pas le mois $n$, il s'abonne le mois $n+1$ avec la probabilité $b$.

On fixe un horizon d'observation $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et on suit le client des mois $0$ à $N$. Pour $n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_n$ l'événement « le client est abonné le mois $n$ » et $p_n=P\left(A_n\right)$. On suppose $0<a<1$, $0<b<1$ et $0<p_0<1$.

Partie A — étude générale.

1. Justifier que, pour tout $n$, la famille $(A_n,\overline{A_n})$ est un système complet d'événements. Montrer ensuite par récurrence que $0<p_n<1$ pour tout $n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, en établissant au passage la relation

$$p_{n+1}=(a-b)p_n+b$$

2. Montrer que l'équation $\mathrm{\ell }=(a-b)\mathrm{\ell }+b$ admet une unique solution $\mathrm{\ell }$, que l'on exprimera en fonction de $a$ et de $b$.

3. On pose $q_n=p_n-\mathrm{\ell }$. Montrer que $\left(q_n\right)$ est géométrique, préciser sa raison, puis donner l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.

4. La relation de récurrence de la question 1. définit une suite numérique $\left(p_n\right)$ pour tout entier $n$, quel que soit l'horizon choisi. Montrer que cette suite converge, déterminer sa limite et l'interpréter en termes de part de marché.

Partie B — application numérique. On prend désormais $a=\mathrm{0,9}$ ; $b=\mathrm{0,2}$ ; $p_0=\mathrm{0,5}$.

5. Calculer $\mathrm{\ell }$, donner l'expression de $p_n$, puis calculer $p_1$, $p_2$ et $p_3$ de deux façons différentes.

6. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p_n⩾\mathrm{0,65}$. On utilisera $\ln (\mathrm{0,1})\approx -\mathrm{2,303}$ et $\ln (\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{0,357}$.

7. Pour $n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $X_n$ la variable aléatoire égale à $1$ si le client est abonné le mois $n$, et à $0$ sinon. Reconnaître la loi de $X_n$, calculer $E\left(X_n\right)$ et $V\left(X_n\right)$, et étudier leur comportement quand $n$ grandit.

Une usine fabrique des roulements à billes au moyen de trois machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$, qui assurent respectivement $50\mathrm{\%}$, $30\mathrm{\%}$ et $20\mathrm{\%}$ de la production totale. Les contrôles qualité établissent que la proportion de pièces défectueuses est de $2\mathrm{\%}$ pour $M_1$, de $3\mathrm{\%}$ pour $M_2$ et de $4\mathrm{\%}$ pour $M_3$.

On prélève une pièce au hasard dans la production totale de la journée. On note $D$ l'événement « la pièce prélevée est défectueuse » et, pour $i\in \{1,2,3\}$, on note $M_i$ l'événement « la pièce prélevée provient de la machine $i$ ».

1. Justifier que $(M_1,M_2,M_3)$ est un système complet d'événements, puis traduire toutes les données de l'énoncé en probabilités.

2. Calculer $P(D)$.

3. La pièce prélevée s'avère défectueuse. Calculer $P_D\left(M_1\right)$, $P_D\left(M_2\right)$ et $P_D\left(M_3\right)$. Vérifier que la somme de ces trois nombres vaut $1$ et expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

4. Retrouver les résultats des questions 2. et 3. par un décompte direct sur un lot de $10000$ pièces.

5. Le directeur de production ne peut réviser qu'une seule machine. Un ingénieur propose $M_3$, qui présente le plus fort taux de défaut. Un autre propose $M_1$. Pour trancher, on suppose que la révision divise par deux le taux de défaut de la machine concernée : calculer, pour chacune des trois machines, la nouvelle valeur de $P(D)$, puis conclure.

Un technicien doit ouvrir une porte. Il dispose d'un trousseau de $n$ clés ($n⩾2$) indiscernables au toucher, dont une seule ouvre la serrure.

Partie A — sans remise. Le technicien essaie les clés une à une, au hasard, et met de côté chaque clé qui a échoué : il ne réessaie donc jamais une clé déjà testée. On note $X$ le rang de l'essai qui réussit, et pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ on note $E_i$ l'événement « le $i$-ème essai échoue ».

1. Justifier que $X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis exprimer l'événement $(X=k)$ à l'aide des événements $E_i$.

2. Calculer $P(X=k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ à l'aide de la formule des probabilités composées. Quelle loi reconnaît-on ?

3. En déduire $E(X)$ et $V(X)$, en détaillant les calculs. Application numérique pour $n=10$.

4. Vérifier le résultat de la question 2. dans le cas $n=3$ par un dénombrement direct.

Partie B — avec remise, à horizon borné. Le technicien, distrait, remet dans le trousseau chaque clé qu'il vient d'essayer. On fixe à l'avance un entier $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et on effectue exactement $N$ essais.

5. Décrire l'univers de cette nouvelle expérience et donner son cardinal. On note $Y$ le nombre d'essais réussis parmi les $N$ : reconnaître la loi de $Y$ et donner $E(Y)$.

6. Soit $R_N$ l'événement « au moins un des $N$ essais réussit ». Calculer $P\left(R_N\right)$. Application numérique pour $n=10$ et $N=10$ ; comparer avec la stratégie de la partie A.

7. Toujours pour $n=10$, déterminer le plus petit entier $N$ tel que $P\left(R_N\right)⩾\mathrm{0,9}$. On utilisera $\ln (\mathrm{0,1})\approx -\mathrm{2,303}$ et $\ln (\mathrm{0,9})\approx -\mathrm{0,105}$. Commenter à l'aide de $E(Y)$.

8. Montrer que pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^k⩽{\displaystyle \frac{k}{n}}$, et interpréter cette inégalité.

Pour un événement $A$ d'un univers fini $\mathrm{\Omega }$, on appelle indicatrice de $A$ la variable aléatoire ${\mathbf{1}}_A$ définie par ${\mathbf{1}}_A(\omega )=1$ si $\omega \in A$, et ${\mathbf{1}}_A(\omega )=0$ sinon.

1. Reconnaître la loi de ${\mathbf{1}}_A$ et en déduire $E\left({\mathbf{1}}_A\right)$. Énoncer alors la méthode qui permet de calculer $E(X)$ lorsque $X$ s'écrit comme une somme d'indicatrices, et préciser quelle hypothèse cette méthode ne demande pas.

Partie A — le vestiaire. À la fin d'un spectacle, les $n$ manteaux déposés au vestiaire ($n⩾1$) sont rendus au hasard aux $n$ spectateurs, chaque spectateur recevant un manteau et un seul. On note $X$ le nombre de spectateurs qui récupèrent leur propre manteau.

2. Décrire l'univers et donner son cardinal. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « le spectateur $i$ récupère son manteau » : calculer $P\left(A_i\right)$.

3. Exprimer $X$ comme une somme d'indicatrices, puis calculer $E(X)$. Commenter le résultat.

4. Vérifier ce résultat pour $n=3$ en dressant la liste des issues.

Partie B — deux résultats consécutifs identiques. On lance $n$ fois ($n⩾2$) une pièce qui donne pile avec la probabilité $p\in ]0,1[$, les lancers étant indépendants. On note $Y$ le nombre d'indices $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ tels que les lancers $i$ et $i+1$ donnent le même résultat.

5. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $B_i$ l'événement « les lancers $i$ et $i+1$ donnent le même résultat ». Calculer $P\left(B_i\right)$.

6. En déduire $E(Y)$. Applications numériques pour $n=10$ avec $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis avec $p=\mathrm{0,6}$.

Partie C — casiers vides. Une plateforme logistique répartit au hasard $n$ colis dans $k$ casiers ($n⩾1$, $k⩾2$), chaque colis étant placé dans un casier choisi au hasard, indépendamment des autres colis. On note $Z$ le nombre de casiers restés vides.

7. Décrire l'univers et donner son cardinal. Pour $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,k]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $C_j$ l'événement « le casier $j$ est vide » : calculer $P\left(C_j\right)$.

8. En déduire $E(Z)$. Application numérique pour $n=10$ colis et $k=5$ casiers.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, c'est-à-dire telle que $X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k},k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$$

L'objet de l'exercice est de démontrer, sans rien admettre d'autre que la formule du binôme, que $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

Partie A — espérance.

1. Vérifier que la formule ci-dessus définit bien une loi de probabilité.

2. Démontrer que, pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)$$

en revenant à l'expression des coefficients binomiaux à l'aide de factorielles.

3. En déduire $E(X)=np$.

Partie B — variance.

4. On suppose $n⩾2$. Démontrer que, pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n(n-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)$.

5. En déduire $E(X(X-1))=n(n-1)p^2$.

6. En déduire $E\left(X^2\right)$, puis $V(X)=np(1-p)$ par la formule de König-Huygens.

Partie C — contrôles et discussion.

7. Vérifier la cohérence des résultats dans le cas $n=1$, puis les retrouver par le calcul direct de la loi dans le cas $n=3$ et $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

8. L'entier $n$ étant fixé, déterminer la valeur de $p$ pour laquelle $V(X)$ est maximale, et interpréter. Application numérique pour $n=100$.

On lance deux dés équilibrés à six faces, discernables : l'un est rouge, l'autre est bleu. On note $X_1$ le résultat du dé rouge, $X_2$ celui du dé bleu, puis

$$S=X_1+X_2\text{et}D=\mid X_1-X_2\mid \mathrm{.}$$

Partie A. La somme des deux dés

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$, préciser son cardinal et justifier l'hypothèse d'équiprobabilité.

2. Déterminer la loi de $S$, et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

3. Calculer $E(S)$ à partir de la loi, puis retrouver ce résultat par la linéarité de l'espérance.

4. Calculer $V(S)$ par la formule de König-Huygens, puis $\sigma (S)$ arrondi au millième.

Partie B. L'écart entre les deux dés

5. Déterminer la loi de $D$, en vérifiant que la somme des effectifs vaut bien $36$.

6. Calculer $E(D)$ et interpréter le résultat.

Partie C. Le paradoxe du duc de Toscane

Au XVIIe siècle, le grand-duc de Toscane, joueur assidu, fit part à Galilée d'une observation qui le troublait : en lançant trois dés, il obtenait la somme $10$ un peu plus souvent que la somme $9$, alors que ces deux sommes s'écrivent, lui semblait-il, d'autant de façons l'une que l'autre. On lance donc trois dés équilibrés discernables et on note $T$ la somme des trois résultats.

7. Recenser les décompositions de $9$, puis celles de $10$, en somme de trois entiers de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ sans tenir compte de l'ordre. Vérifier qu'il y en a six dans chaque cas : le duc avait raison sur ce point.

8. En tenant compte cette fois de l'ordre des trois dés, calculer $P(T=9)$ et $P(T=10)$. Conclure en expliquant l'erreur de raisonnement du duc.

Un conseiller propose à un épargnant deux supports de placement sur un an. Le rendement annuel, exprimé en pourcentage du capital investi, est une variable aléatoire dont la loi est estimée à partir des scénarios de marché retenus par la société de gestion.

Pour le support Sérénité, le rendement $X$ suit la loi suivante.

Pour le support Horizon, le rendement $Y$ suit la loi suivante.

Partie A. Rendement et risque

1. Vérifier que chacun de ces deux tableaux définit bien une loi de probabilité.

2. Calculer $E(X)$, $E(Y)$, puis $V(X)$ et $V(Y)$ par la formule de König-Huygens. En déduire $\sigma (X)$ et $\sigma (Y)$.

3. Le coefficient de variation d'une variable aléatoire $Z$ d'espérance strictement positive est le quotient $\mathrm{cv}(Z)={\displaystyle \frac{\sigma (Z)}{E(Z)}}$. Calculer $\mathrm{cv}(X)$ et $\mathrm{cv}(Y)$, puis comparer les deux placements sur le couple rendement/risque.

Partie B. La variable centrée réduite

Soit $Z$ une variable aléatoire réelle finie telle que $\sigma (Z)>0$. On appelle variable centrée réduite associée à $Z$ la variable

$$Z^{\ast }={\displaystyle \frac{Z-E(Z)}{\sigma (Z)}}\mathrm{.}$$

4. Démontrer, dans le cas général, que $E\left(Z^{\ast }\right)=0$ et $V\left(Z^{\ast }\right)=1$.

5. Déterminer la loi de $X^{\ast }$, puis celle de $Y^{\ast }$, et vérifier numériquement sur chacune les deux résultats de la question 4.

6. Un scénario de marché conduit à un rendement de $12\mathrm{\%}$ pour Horizon. Le même scénario conduirait à quel rendement pour Sérénité, si l'on considère que deux rendements sont « équivalents en intensité » lorsqu'ils correspondent à la même valeur de la variable centrée réduite ?

Partie C. Un placement mixte

L'épargnant décide finalement de placer un quart de son capital sur Horizon, et les trois quarts restants sur un livret garanti rapportant exactement $2\mathrm{\%}$. On note $M$ le rendement global, en pourcentage, de ce placement mixte.

7. Exprimer $M$ sous la forme $aY+b$, avec $a$ et $b$ deux réels à déterminer.

8. Calculer $E(M)$ et $\sigma (M)$ en utilisant les propriétés $E(aY+b)=aE(Y)+b$ et $V(aY+b)=a^{2}V(Y)$. Comparer au support Sérénité et commenter.

9. Déterminer la loi de $M$. Le placement mixte et le support Sérénité ont-ils la même loi ?

Un atelier dispose de trois urnes, extérieurement identiques, contenant chacune cinq boules :

On choisit une urne au hasard, les trois urnes étant équiprobables, puis on effectue dans cette même urne deux tirages successifs avec remise (la boule tirée est replacée dans l'urne avant le tirage suivant). Pour $i\in \{1,2,3\}$, on note $U_i$ l'événement « l'urne choisie est l'urne $U_i$ », et pour $j\in \{1,2\}$, on note $B_j$ l'événement « la boule obtenue au $j$-ième tirage est blanche ».

1. Justifier que $(U_1,U_2,U_3)$ est un système complet d'événements, et donner les probabilités conditionnelles $P_{U_i}\left(B_1\right)$ pour $i\in \{1,2,3\}$.

2. Calculer $P\left(B_1\right)$.

3. Sachant que la première boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que l'urne choisie soit $U_1$ ? Traiter également les cas de $U_2$ et $U_3$, et vérifier la cohérence des trois résultats.

4. Calculer $P(B_1\cap B_2)$.

5. Sachant que les deux boules tirées sont blanches, calculer la probabilité que l'urne choisie soit $U_1$, puis $U_2$, puis $U_3$. Comparer avec la question 3. et commenter l'effet de l'information supplémentaire.

6. Les événements $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ? Le résultat peut surprendre, puisque les tirages sont effectués avec remise : expliquer précisément d'où vient le lien entre les deux tirages.

Une compagnie assure des artisans contre le bris de matériel. Pour un assuré donné, l'année est découpée en quatre trimestres ; on admet que chaque trimestre donne lieu à un sinistre avec la probabilité $\mathrm{0,15}$, indépendamment des autres trimestres, et qu'il ne peut se produire au plus qu'un sinistre par trimestre. On note $X$ le nombre de sinistres subis dans l'année.

Chaque sinistre coûte forfaitairement $1000$ euros à l'assuré. Le contrat prévoit :

On note $C=1000X$ le coût total subi par l'assuré dans l'année, et $R$ le remboursement versé par la compagnie.

1. Reconnaître la loi de $X$ et donner ses paramètres. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

2. Établir le tableau des valeurs de $P(X=k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, à ${10}^{-6}$ près, et vérifier que leur somme vaut $1$.

3. Exprimer $R$ sous la forme $R=g(X)$ en explicitant la fonction $g$ sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. La fonction $g$ est-elle affine ?

4. Déterminer la loi de $R$.

5. Calculer $E(R)$ à partir de la loi de $R$, puis retrouver le résultat par le théorème de transfert appliqué à $X$.

6. Calculer $V(R)$ et $\sigma (R)$, arrondis au centième.

7. Comparer $E(g(X))$ et $g(E(X))$, où l'on prolonge $g$ à tout réel positif par la formule $g(x)=\min (\max (1000x-500,0),2000)$. Expliquer pourquoi ces deux quantités diffèrent.

8. La compagnie souhaite que la prime annuelle demandée à l'assuré couvre le remboursement moyen majoré de $40\mathrm{\%}$ (frais de gestion et marge). Déterminer cette prime, au centime près, puis proposer un montant commercial arrondi.

Dans un jeu télévisé, le candidat est placé devant trois portes fermées, numérotées $1$, $2$ et $3$. Une voiture est cachée derrière l'une d'elles, une chèvre derrière chacune des deux autres. Le déroulement est le suivant.

Le candidat doit alors choisir entre deux stratégies : garder sa porte initiale, ou changer pour la troisième porte, celle qui n'a été ni désignée ni ouverte. Il gagne s'il se retrouve devant la voiture.

Quitte à renuméroter les portes, on suppose dans les questions 1 à 5 que le candidat a désigné la porte $1$. Pour $i\in \{1,2,3\}$, on note $V_i$ l'événement « la voiture est derrière la porte $i$ », et pour $j\in \{2,3\}$, on note $O_j$ l'événement « le présentateur ouvre la porte $j$ ».

1. Justifier que $(V_1,V_2,V_3)$ est un système complet d'événements et donner les probabilités $P\left(V_i\right)$. Décrire brièvement un univers fini permettant de modéliser l'expérience.

2. Donner les six probabilités conditionnelles $P_{V_i}\left(O_j\right)$ pour $i\in \{1,2,3\}$ et $j\in \{2,3\}$, en justifiant chacune par le comportement du présentateur.

3. Calculer $P\left(O_2\right)$ et $P\left(O_3\right)$ par la formule des probabilités totales.

4. Le présentateur vient d'ouvrir la porte $2$. Calculer $P_{O_2}\left(V_1\right)$ et $P_{O_2}\left(V_3\right)$ par la formule de Bayes. Que vaut la probabilité de gagner en gardant la porte $1$ ? En changeant pour la porte $3$ ?

5. Retrouver directement la probabilité de gagner en changeant, par la formule des probabilités totales appliquée au système complet $(V_1,V_2,V_3)$.

6. Rédiger, en quelques lignes, l'explication de l'erreur intuitive commise par la plupart des candidats, qui estiment que les deux portes restantes ont chacune une chance sur deux.

7. Généralisation. Le jeu se joue maintenant avec $n$ portes ($n⩾3$), une seule voiture, et le présentateur ouvre $n-2$ portes cachant des chèvres parmi les portes non désignées. Il ne reste donc qu'une seule porte fermée en plus de celle du candidat. Déterminer la probabilité de gagner en gardant, puis en changeant.

8. Variante. Toujours avec $n$ portes, le présentateur n'ouvre cette fois qu'une seule porte cachant une chèvre. Le candidat change alors pour l'une des $n-2$ portes encore fermées, choisie au hasard uniformément. Déterminer sa probabilité de gain, et vérifier la cohérence avec la question 4. pour $n=3$.

Une puce se déplace sur les trois sommets $A$, $B$ et $C$ d'un triangle. À chaque étape, elle saute selon la règle suivante, indépendamment de ce qui s'est passé avant.

Le sommet $A$ est donc plus « collant » que les deux autres. Pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, on observe la puce pendant $n$ étapes, ce qui constitue une expérience aléatoire à part entière, et on note $X_n$ la variable aléatoire égale au numéro du sommet occupé à l'étape $n$, avec la convention $X_n=1$ pour $A$, $X_n=2$ pour $B$ et $X_n=3$ pour $C$. On pose

$$a_n=P(X_n=1),b_n=P(X_n=2),c_n=P(X_n=3)\mathrm{.}$$

La puce part du sommet $A$ : $a_0=1$, $b_0=c_0=0$.

1. Justifier que, pour tout entier $n$ fixé, l'univers associé à l'observation des $n$ premières étapes est fini, et préciser son cardinal.

2. Justifier que $((X_n=1),(X_n=2),(X_n=3))$ est un système complet d'événements, puis établir, par la formule des probabilités totales, les trois relations exprimant $a_{n+1}$, $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ et $c_n$.

3. Écrire ces relations sous la forme matricielle $Z_{n+1}=M{Z}_n$, où $Z_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\\ c_n\end{array}\right)$. Vérifier que la somme des coefficients de chaque colonne de $M$ vaut $1$ et interpréter.

4. En utilisant $a_n+b_n+c_n=1$, montrer que $\left(a_n\right)$ vérifie une relation de récurrence arithmético-géométrique, que l'on précisera.

5. Résoudre cette récurrence : donner l'expression de $a_n$ en fonction de $n$, et vérifier la formule pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

6. Montrer que $b_n=c_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis en déduire les expressions de $b_n$ et $c_n$.

7. Donner la loi de $X_n$, puis déterminer les limites des suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$. Vérifier que le triplet limite $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ est solution du système $MZ=Z$ avec $\alpha +\beta +\gamma =1$, et interpréter.

8. Dresser le tableau des valeurs de $a_n$, $b_n$ et $c_n$ pour $n$ allant de $0$ à $4$, et commenter la vitesse de convergence.

Un fabricant de céréales glisse dans chaque paquet une vignette, tirée au hasard parmi une collection de $k$ vignettes différentes ($k⩾2$), numérotées de $1$ à $k$. Les $k$ vignettes sont équiprobables, et les paquets sont remplis indépendamment les uns des autres.

Un client achète $n$ paquets ($n⩾1$). Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,k]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « la vignette numéro $i$ figure dans au moins un des $n$ paquets achetés », et ${\mathbf{1}}_{A_i}$ son indicatrice. On note enfin

$$D=\sum _{i=1}^k{\mathbf{1}}_{A_i}$$

Partie A. L'espérance du nombre de vignettes différentes

1. Justifier que $D$ est bien le nombre de vignettes différentes obtenues par le client, et préciser l'ensemble des valeurs prises par $D$.

2. Calculer $P\left(\overline{A_i}\right)$, puis $P\left(A_i\right)$, pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,k]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

3. En déduire $E(D)$. On précisera soigneusement quel résultat du cours est utilisé, et pourquoi aucune hypothèse d'indépendance n'intervient.

4. Application numérique pour $k=20$ : calculer $E(D)$ pour $n=10$, puis pour $n=40$, en arrondissant au centième. Commenter.

Partie B. Deux calculs directs

5. On note $N_1$ le nombre de paquets, parmi les $n$ achetés, contenant la vignette numéro $1$. Reconnaître la loi de $N_1$, donner ses paramètres, son espérance et sa variance. Retrouver ainsi le résultat de la question 2.

6. On prend $k=3$ et $n=5$. Calculer, par la formule du crible appliquée aux trois événements $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$, $\overline{A_3}$, la probabilité que le client possède la collection complète.

7. Toujours pour $k=3$ et $n=5$, déterminer la loi complète de $D$, et vérifier que l'espérance obtenue coïncide avec la formule de la question 3.

Partie C. Monotonie

8. On note désormais $E\left(D_n\right)$ l'espérance obtenue avec $n$ paquets, $k$ restant fixé. Calculer $E\left(D_{n+1}\right)-E\left(D_n\right)$ et montrer que la suite $\left(E\left(D_n\right)\right)$ est strictement croissante.

9. Interpréter la valeur de cet accroissement, puis expliquer pourquoi la suite $\left(E\left(D_n\right)\right)$ converge et préciser sa limite.

Partie A. Une formule de sommation pour l'espérance

Soit $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et soit $X$ une variable aléatoire réelle à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

1. Justifier que, pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,N]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on a $P(X⩾k)={\displaystyle \sum _{j=k}^{N}P(X=j)}$.

2. Démontrer la formule

$$E(X)=\sum _{k=1}^{N}P(X⩾k)\mathrm{.}$$

On effectuera une interversion de sommes dans une somme double, en décrivant précisément l'ensemble des couples d'indices concernés.

3. Vérifier la formule sur l'exemple d'une variable $U$ suivant la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Partie B. Le maximum de $n$ dés

On lance $n$ dés équilibrés à six faces, discernables ($n⩾1$), et on note $M$ le plus grand des $n$ résultats obtenus.

4. Décrire l'univers et son cardinal. Justifier l'équiprobabilité.

5. Montrer que, pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $P(M⩽k)={\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n$.

6. En déduire la loi de $M$, puis vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

7. Exprimer $P(M⩾k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis calculer $E(M)$ à l'aide de la formule de la partie A. On établira que

$$E(M)=6-{\displaystyle \frac{1+2^n+3^n+4^n+5^n}{6^n}}\mathrm{.}$$

8. Applications numériques. Donner la loi de $M$ et la valeur exacte de $E(M)$ pour $n=2$, puis pour $n=3$, avec les valeurs décimales arrondies au millième. Vérifier le cas $n=1$.

9. Que devient $E(M)$ lorsque $n$ grandit ? Justifier et interpréter, en précisant lequel des cinq termes de la question 7. est responsable de l'essentiel de l'écart à la valeur limite.

Une PME envisage de lancer un nouveau produit. Les trois parties de ce problème correspondent aux trois étapes de sa décision ; chacune peut être traitée indépendamment des autres.

Partie A. L'étude de marché

Avant tout lancement, l'entreprise commande une étude de marché à un cabinet extérieur. On note $M$ l'événement « le marché est réellement porteur » et $F$ l'événement « l'étude rend un avis favorable ». D'après l'historique du secteur et les performances passées du cabinet :

1. Justifier que $(M,\bar{M})$ est un système complet d'événements, puis calculer $P(F)$.

2. L'étude vient de rendre un avis favorable. Calculer $P_F(M)$ et comparer à $P(M)$. Commenter la valeur obtenue du point de vue du dirigeant.

3. Calculer $P_{\bar{F}}(M)$. Un avis défavorable est-il plus informatif qu'un avis favorable ?

Partie B. Le test commercial

L'avis étant favorable, l'entreprise réalise un test auprès d'un panel de $10$ clients contactés séparément. On admet que chaque client contacté achète le produit avec la probabilité $\mathrm{0,3}$, et que les $10$ sollicitations constituent des épreuves indépendantes. On note $A$ le nombre d'acheteurs parmi les $10$ clients.

4. Reconnaître la loi de $A$ et donner ses paramètres, son espérance, sa variance et son écart-type (arrondi au millième).

5. Calculer $P(A=j)$ pour $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, à ${10}^{-6}$ près.

6. En déduire $P(A⩾3)$ et $P(A⩾5)$, arrondies au millième.

Partie C. Le profit

Chaque produit vendu rapporte une marge de $250$ euros. La campagne de test coûte $500$ euros, quel que soit le nombre de ventes. On note $B$ le profit dégagé par l'opération, en euros.

7. Exprimer $B$ en fonction de $A$, puis calculer $E(B)$ et $\sigma (B)$ (arrondi au centime).

8. L'opération est dite rentable lorsque le profit est strictement positif. Calculer la probabilité que l'opération soit rentable.

9. L'entreprise envisage d'étendre le test à $n$ clients, le coût fixe de $500$ euros et la marge unitaire restant inchangés. Exprimer $E\left(B_n\right)$ en fonction de $n$, puis déterminer le nombre minimal de clients à contacter pour que le profit espéré soit strictement positif.

10. Rédiger, en quelques lignes, une recommandation argumentée au dirigeant, en vous appuyant sur l'ensemble des résultats obtenus.