Fonctions réelles d'une variable réelle

Le chapitre précédent a refondé la notion de limite pour les suites. Celui-ci fait le même travail pour les fonctions, et c'est le chapitre le plus important du premier semestre : tout ce qui suivra en analyse, en probabilités continues et en optimisation s'y appuie. La difficulté n'est pas dans les objets, que vous connaissez depuis le lycée, mais dans le niveau d'exigence. En terminale, « $f$ tend vers $\ell$ en $a$ » se lisait sur une courbe ; ici, c'est un énoncé quantifié que l'on démontre. En terminale, le théorème des valeurs intermédiaires était admis et illustré ; ici, il se démontre, et sa démonstration est exigible.

Le passage des suites aux fonctions apporte une nouveauté et une difficulté. La nouveauté, c'est que la variable ne se contente plus de tendre vers $+\infty$ : elle peut tendre vers n'importe quel réel $a$, par la droite ou par la gauche, ce qui multiplie les cas de figure. La difficulté, c'est que cette variable prend toutes les valeurs réelles autour de $a$, et non plus seulement des valeurs entières : on ne peut donc plus raisonner « à partir d'un certain rang », mais « à distance assez petite de $a$ ». Le rang $n_0$ des suites devient le réel $\eta >0$ des fonctions. Tout le reste est identique, y compris les démonstrations, et vous reconnaîtrez au passage le théorème d'encadrement, les théorèmes de comparaison et le théorème de la limite monotone.

Le plan est le suivant. La section $1$ met en place le vocabulaire : ensemble de définition, opérations, monotonie, parité, fonctions bornées. La section $2$ passe en revue les fonctions usuelles autorisées dans la filière : polynômes et fractions rationnelles, racine carrée, valeur absolue, partie entière, exponentielle, logarithme et puissances réelles. La section $3$ définit la limite et donne tout l'arsenal de calcul. La section $4$ traite la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection. Les sections $5$ et $6$, consacrées à la dérivation et à l'intégration sur un segment, viennent ensuite : chaque fois que nous aurons besoin d'un résultat qui en relève, en particulier d'une formule de dérivation, nous le signalerons explicitement par un renvoi.

Un mot sur le cadre. Les nombres complexes et les fonctions trigonométriques ne sont pas au programme de la voie ECG : ils n'apparaîtront donc nulle part. Les outils d'analyse asymptotique enseignés au second semestre ne sont pas davantage utilisables ici : tout ce qui suit se démontre avec les seules définitions de ce chapitre. Enfin, la construction de $\mathbb{R}$ est hors programme : l'existence de la borne supérieure d'une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ est admise, comme au chapitre précédent, et nous nous en servirons abondamment.

Voici les notations employées dans tout le chapitre.

Généralités sur les fonctions numériques

Ensemble de définition et courbe représentative

Lorsque la fonction est donnée par une formule sans que l'ensemble de définition soit précisé, on convient que ${\mathcal{D}}_f$ est l'ensemble des réels pour lesquels la formule a un sens. Déterminer cet ensemble est toujours la première question d'une étude de fonction, et l'oublier fait perdre des points à tous les concours.

Opérations sur les fonctions

Démonstration. Soit $x\in A$. Si $f(x)⩾g(x)$, alors $|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$, donc

$$\frac{f(x)+g(x)+f(x)-g(x)}{2}=f(x)=\max (f(x),g(x)).$$

Si $f(x)<g(x)$, alors $|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)$, et le même calcul donne $g(x)$, qui est encore le maximum. La formule pour le minimum s'obtient de même, ou en remarquant que $\min (f,g)=-\max (-f,-g)$. $\square$

Monotonie

Démonstration. Supposons $f$ strictement croissante, et soient $x$ et $y$ deux éléments distincts de $I$. L'ordre sur $\mathbb{R}$ étant total, on a $x<y$ ou $y<x$. Dans le premier cas $f(x)<f(y)$, dans le second $f(y)<f(x)$ : dans les deux cas $f(x)\ne f(y)$. Le cas décroissant est identique. $\square$

Cette propriété est la moitié du théorème de la bijection (sous-section $4.7$) : la stricte monotonie donne l'injectivité, la continuité donnera la surjectivité sur l'image.

Démonstration. Traitons le cas où $f$ est croissante sur $I$ et $g$ décroissante sur $J$, les trois autres cas étant en tous points analogues. Soient $x$ et $y$ dans $I$ avec $x⩽y$. La croissance de $f$ donne $f(x)⩽f(y)$. Ces deux réels appartiennent à $J$ puisque $f(I)\subset J$, donc la décroissance de $g$ s'applique et donne

$$g(f(x))⩾g(f(y)),$$

c'est-à-dire $(g\circ f)(x)⩾(g\circ f)(y)$. Ainsi $g\circ f$ est décroissante sur $I$.

Pour la version stricte, on reprend le même raisonnement avec $x<y$ : la stricte croissance de $f$ donne $f(x)<f(y)$, et la stricte décroissance de $g$ donne alors $g(f(x))>g(f(y))$. $\square$

Parité et périodicité

Démonstration. Le symétrique du point $M(x,y)$ par rapport à l'axe des ordonnées est $M^{\prime }(-x,y)$. Si $f$ est paire et si $M(x,f(x))\in {\mathcal{C}}_f$, alors $f(-x)=f(x)$, donc le point $(-x,f(x))$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$ : c'est bien $M^{\prime }$. Le symétrique de $M(x,y)$ par rapport à l'origine est $M^{\prime \prime }(-x,-y)$, et si $f$ est impaire, $f(-x)=-f(x)$ montre de même que $M^{\prime \prime }\in {\mathcal{C}}_f$. Enfin, si $f$ est impaire et définie en $0$, la relation $f(-0)=-f(0)$ s'écrit $f(0)=-f(0)$, d'où $2f(0)=0$ puis $f(0)=0$. $\square$

Fonctions majorées, minorées, bornées

Démonstration. Supposons qu'un tel $M$ existe. Pour tout $x$ de $A$, l'encadrement $-M⩽f(x)⩽M$ montre que $f$ est majorée par $M$ et minorée par $-M$, donc bornée.

Réciproquement, supposons $f$ bornée : il existe $m$ et $M^{\prime }$ tels que $m⩽f(x)⩽M^{\prime }$ pour tout $x$ de $A$. Posons $M=\max (|m|,|M^{\prime }|)$, réel positif. Pour $x\in A$, on a d'une part $f(x)⩽M^{\prime }⩽|M^{\prime }|⩽M$, d'autre part $f(x)⩾m⩾-|m|⩾-M$. Donc $-M⩽f(x)⩽M$, soit $|f(x)|⩽M$. $\square$

Le point $2$ est le cœur du problème : une fonction majorée possède toujours une borne supérieure, mais pas toujours un maximum. La fonction $x\mapsto \frac{x}{x+1}$ sur $\left[0,+\infty \right[$ est majorée par $1$, sa borne supérieure vaut $1$, et pourtant elle ne prend jamais la valeur $1$ : elle n'a pas de maximum. C'est précisément l'insuffisance que le théorème des bornes atteintes (sous-section $4.6$) viendra combler, au prix d'hypothèses fortes.

Les fonctions usuelles

Cette section rassemble les fonctions autorisées dans la filière et les propriétés que l'on utilisera sans les redémontrer. Deux avertissements sur son statut. D'une part, les limites qui y figurent sont celles du lycée : la définition rigoureuse de la limite fait l'objet de la section $3$, et l'on s'y reportera pour toute justification. D'autre part, les dérivées sont rappelées pour mémoire, parce qu'elles sont indispensables dès les premiers exercices ; leur définition et leurs règles de calcul sont l'objet de la section $5$. Les variations, elles, sont établies ici sans dérivation, à partir des propriétés algébriques.

Fonctions polynomiales et rationnelles

Démonstration. Soit $P(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ avec $a_n\ne 0$ et $n⩾1$. Pour $x\ne 0$, on factorise le terme dominant :

$$P(x)=a_n{x}^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x}+\cdots +\frac{a_0}{a_n{x}^n}\right).$$

Chacun des termes de la parenthèse, sauf le premier, tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $\pm \infty$, donc la parenthèse tend vers $1$. Le produit a donc la même limite que $a_n{x}^n$. Pour une fonction rationnelle, on applique ce procédé au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie le quotient des deux facteurs mis en évidence. $\square$

Les deux fonctions de référence sont $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto \frac{1}{x}$. Voici leurs variations.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$x^2$

$+\infty$

$0$

$+\infty$

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$\frac{1}{x}$

$0$

$0$

Plus généralement, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la fonction $x\mapsto x^n$ est strictement croissante sur $\left[0,+\infty \right[$ ; elle est paire si $n$ est pair, impaire si $n$ est impair. Sa dérivée est $x\mapsto n{x}^{n-1}$, et celle de $x\mapsto \frac{1}{x}$ est $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$ (section $5$).

La fonction racine carrée

L'existence et l'unicité affirmées dans cette définition ne sont pas des évidences : elles se démontrent en appliquant le théorème de la bijection à $x\mapsto x^2$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$, ce que nous ferons en sous-section $4.7$.

$x$

$0$

$+\infty$

$\sqrt{x}$

$0$

$+\infty$

Démonstration de la première égalité. Les réels $\sqrt{a}\sqrt{b}$ et $\sqrt{ab}$ sont tous deux positifs, et leurs carrés valent respectivement $\left(\sqrt{a}{)}^2\right(\sqrt{b}{)}^2=ab$ et $ab$. Par unicité de la racine carrée de $ab$, ils sont égaux. Pour $\sqrt{x^2}=|x|$ : le réel $|x|$ est positif et son carré vaut $|x{|}^2=x^2$, donc c'est la racine carrée de $x^2$. $\square$

La valeur absolue

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$|x|$

$+\infty$

$0$

$+\infty$

Démonstration. Supposons $|x|⩽a$. Puisque $x⩽|x|$, on obtient $x⩽a$ ; puisque $-x⩽|x|$, on obtient $-x⩽a$, soit $-a⩽x$. Réciproquement, si $-a⩽x⩽a$, alors $x⩽a$ et $-x⩽a$, donc $\max (x,-x)⩽a$, c'est-à-dire $|x|⩽a$. La seconde équivalence s'obtient en appliquant la première à $x-x_0$ puis en ajoutant $x_0$ aux trois membres. $\square$

Cette équivalence est la clé de lecture de toute la section $3$ : « $f(x)$ est à distance au plus $\epsilon$ de $\ell$ » et « $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon ]$ » disent exactement la même chose.

La partie entière

Démonstration de la troisième propriété. Soit $n\in \mathbb{Z}$. L'encadrement $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$ donne, en ajoutant $n$,

$$\lfloor x\rfloor +n⩽x+n<(\lfloor x\rfloor +n)+1.$$

Comme $\lfloor x\rfloor +n$ est un entier relatif, l'unicité dans la définition impose $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$. $\square$

La courbe est en escalier : sur chaque intervalle $\left[n,n+1\right[$, elle est constante égale à $n$, et elle « saute » d'une unité en chaque entier.

La fonction exponentielle

La notion de dérivée intervenant dans cette caractérisation est reprise en section $5$ ; on peut à ce stade se contenter de la définition du lycée.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$e^x$

$0$

$+\infty$

Cette inégalité se démontre en une ligne dès que l'on dispose de la dérivation : il suffit d'étudier les variations de $x\mapsto e^x-x-1$, dont la dérivée $e^x-1$ est négative sur ${\mathbb{R}}^{-}$ et positive sur ${\mathbb{R}}^{+}$ (voir la section $5$). Nous l'admettons ici, et nous nous en servons librement.

Le logarithme népérien

$x$

$0$

$+\infty$

$\ln x$

$-\infty$

$+\infty$

Démonstration de la relation fonctionnelle. Soient $a>0$ et $b>0$. Les réels $\ln a$ et $\ln b$ existent, et

$$e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=a\times b.$$

Ainsi $\ln a+\ln b$ est un réel dont l'exponentielle vaut $ab$ ; par définition du logarithme comme réciproque de l'exponentielle, cela signifie exactement $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. En appliquant ce résultat à $b=\frac{1}{a}$, on obtient $\ln a+\ln \left(\frac{1}{a}\right)=\ln 1=0$, d'où $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$, puis la formule du quotient. La formule $\ln (a^n)=n\ln a$ s'en déduit par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$, puis s'étend aux entiers négatifs par la formule de l'inverse. $\square$

Cette inégalité est la traduction de $e^u⩾1+u$ par passage au logarithme : en posant $u=\ln x$, l'inégalité $e^u⩾1+u$ s'écrit $x⩾1+\ln x$. Elle se démontre aussi directement par l'étude de $x\mapsto x-1-\ln x$ (section $5$).

Puissances réelles

Démonstration de la première formule. Par définition et par la relation fonctionnelle de l'exponentielle,

$$x^{\alpha +\beta }=e^{(\alpha +\beta )\ln x}=e^{\alpha \ln x+\beta \ln x}=e^{\alpha \ln x}\times e^{\beta \ln x}=x^{\alpha }{x}^{\beta }.$$

Pour la formule de composition, $(x^{\alpha }{)}^{\beta }=e^{\beta \ln \left(x^{\alpha }\right)}=e^{\beta \alpha \ln x}=x^{\alpha \beta }$, en utilisant $\ln \left(x^{\alpha }\right)=\ln \left(e^{\alpha \ln x}\right)=\alpha \ln x$. $\square$

Démonstration. La fonction $x\mapsto \ln x$ est strictement croissante sur $\left]0,+\infty \right[$, la fonction $t\mapsto \alpha t$ est strictement croissante si $\alpha >0$ et strictement décroissante si $\alpha <0$, enfin $\exp$ est strictement croissante. La règle des signes pour la composée (sous-section $1.3$) donne immédiatement le sens de variation. Les limites s'obtiennent par composition à partir de celles de $\ln$ et de $\exp$ : par exemple, si $\alpha >0$, alors $\alpha \ln x\to -\infty$ quand $x\to 0^{+}$, donc $e^{\alpha \ln x}\to 0$. $\square$

$x$

$0$

$+\infty$

$x^{\alpha }(\alpha >0)$

$0$

$+\infty$

$x$

$0$

$+\infty$

$x^{\alpha }(\alpha <0)$

$+\infty$

$0$

Tableau récapitulatif

Limites

Limite finie en un point

Dans toute cette section, $f$ désigne une fonction et $a$ un réel qui est soit un point de ${\mathcal{D}}_f$, soit une extrémité d'un intervalle contenu dans ${\mathcal{D}}_f$. Cette précision, un peu lourde, sert uniquement à garantir qu'il y a des points de ${\mathcal{D}}_f$ aussi près de $a$ que l'on veut : sans elle, la phrase « $f(x)$ est proche de $\ell$ quand $x$ est proche de $a$ » serait vide de sens.

Il faut lire cette phrase mot à mot, dans l'ordre, car l'ordre des quantificateurs est tout.

« Pour tout $\epsilon >0$ » : on se donne une marge de tolérance sur l'image, aussi petite que l'on veut. C'est l'adversaire qui la choisit, et il peut être aussi exigeant qu'il le souhaite.

« il existe $\eta >0$ » : à cette exigence, on doit répondre par une marge de manœuvre sur la variable. Ce $\eta$ dépend en général de $\epsilon$, et c'est normal : plus la tolérance $\epsilon$ est petite, plus il faudra se rapprocher de $a$, donc plus $\eta$ sera petit. En revanche $\eta$ ne dépend pas de $x$, puisqu'il est choisi avant lui.

« pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$ » : la conclusion doit valoir pour tous les points du domaine situés assez près de $a$, sans exception.

« $|x-a|⩽\eta ⟹|f(x)-\ell |⩽\epsilon$ » : c'est le contrat. Dès que $x$ est à distance au plus $\eta$ de $a$, son image est à distance au plus $\epsilon$ de $\ell$. Avec la caractérisation de la sous-section $2.3$, cela s'écrit aussi : dès que $x\in [a-\eta ,a+\eta ]$, on a $f(x)\in [\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon ]$.

Les autres cas de limite

Les huit autres définitions se déduisent de la précédente en remplaçant « être à distance au plus $\epsilon$ de $\ell$ » par « dépasser $A$ », et « être à distance au plus $\eta$ de $a$ » par « dépasser $B$ ». Il n'y a rien de plus à comprendre, mais tout à savoir écrire.

Limite infinie en un point $a$.

Limite en $+\infty$.

Limite en $-\infty$.

Limite à droite, limite à gauche

Démonstration. Le sens direct est clair dans les deux cas : si l'implication de la définition vaut pour tous les $x$ à distance au plus $\eta$ de $a$, elle vaut en particulier pour ceux qui sont strictement à droite, pour ceux qui sont strictement à gauche, et pour $x=a$ lui-même lorsque $a\in {\mathcal{D}}_f$, ce qui impose alors $f(a)=\ell$ comme on l'a vu en $3.1$.

Réciproquement, plaçons-nous dans le cas $2$ et soit $\epsilon >0$. La limite à droite fournit ${\eta }_1>0$ tel que $a<x⩽a+{\eta }_1⟹|f(x)-\ell |⩽\epsilon$, et la limite à gauche fournit ${\eta }_2>0$ tel que $a-{\eta }_2⩽x<a⟹|f(x)-\ell |⩽\epsilon$. Posons $\eta =\min ({\eta }_1,{\eta }_2)>0$ et soit $x\in {\mathcal{D}}_f$ avec $|x-a|⩽\eta$. Trois cas : si $x>a$, la première implication s'applique ; si $x<a$, c'est la seconde ; et si $x=a$, l'hypothèse $f(a)=\ell$ donne $|f(a)-\ell |=0⩽\epsilon$. Dans tous les cas $|f(x)-\ell |⩽\epsilon$. Le cas $1$ se traite de même en supprimant le troisième cas. $\square$

Unicité de la limite

Démonstration. Nous traitons le cas de deux limites finies en un réel $a$, les autres cas étant analogues. Raisonnons par l'absurde : supposons que $f$ admette deux limites $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$ en $a$, avec $\ell \ne {\ell }^{\prime }$.

Le réel $|\ell -{\ell }^{\prime }|$ est alors strictement positif. Posons

$$\epsilon =\frac{|\ell -{\ell }^{\prime }|}{3}>0.$$

La définition de la limite $\ell$ appliquée à ce $\epsilon$ fournit ${\eta }_1>0$ tel que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$,

$$|x-a|⩽{\eta }_1⟹|f(x)-\ell |⩽\epsilon .$$

La définition de la limite ${\ell }^{\prime }$ appliquée au même $\epsilon$ fournit ${\eta }_2>0$ tel que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$,

$$|x-a|⩽{\eta }_2⟹|f(x)-{\ell }^{\prime }|⩽\epsilon .$$

Posons $\eta =\min ({\eta }_1,{\eta }_2)$, qui est strictement positif. Puisque $a$ appartient à ${\mathcal{D}}_f$ ou en est une extrémité, il existe au moins un réel $x_0\in {\mathcal{D}}_f$ tel que $|x_0-a|⩽\eta$ : c'est ici que sert l'hypothèse faite sur $a$ au début de la section. Les deux implications s'appliquent à ce $x_0$, et l'inégalité triangulaire donne

$$|\ell -{\ell }^{\prime }|=\left|\right(\ell -f(x_0))+(f(x_0)-{\ell }^{\prime }\left)\right|⩽|\ell -f(x_0)|+|f(x_0)-{\ell }^{\prime }|⩽\epsilon +\epsilon =\frac{2}{3}|\ell -{\ell }^{\prime }|.$$

En soustrayant $\frac{2}{3}|\ell -{\ell }^{\prime }|$ aux deux membres, il vient $\frac{1}{3}|\ell -{\ell }^{\prime }|⩽0$, donc $|\ell -{\ell }^{\prime }|⩽0$, donc $|\ell -{\ell }^{\prime }|=0$, c'est-à-dire $\ell ={\ell }^{\prime }$. C'est contradictoire avec l'hypothèse $\ell \ne {\ell }^{\prime }$.

L'hypothèse de départ est donc absurde : la limite est unique. $\square$

Opérations sur les limites

Dans les tableaux qui suivent, $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$ désignent des réels, et « FI » signale une forme indéterminée, c'est-à-dire un cas où aucune conclusion générale n'est possible : il faut alors transformer l'expression. Les résultats valent en un point $a$ comme en $\pm \infty$.

Limite d'une somme $f+g$.

Limite d'un produit $fg$.

Dans ce tableau, les signes des limites infinies obéissent à la règle des signes du produit de deux réels.

Limite d'un quotient $\frac{f}{g}$.

La notation $0^{+}$ signifie que $g$ tend vers $0$ en restant strictement positive au voisinage du point considéré, et $0^{-}$ en restant strictement négative. Cette précision est indispensable : sans elle, on ne peut pas déterminer le signe de l'infini obtenu, et le quotient peut même n'avoir aucune limite.

Composition des limites

Théorèmes de comparaison et théorème d'encadrement

On dira qu'une propriété est vraie au voisinage de $a$ lorsqu'elle est vraie pour tous les $x$ de ${\mathcal{D}}_f$ situés à distance assez petite de $a$ ; en $+\infty$, cela signifie « pour tout $x$ assez grand ». C'est une commodité de langage qui évite de répéter les quantificateurs.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Par hypothèse $2$ appliquée à $g$, il existe ${\eta }_1>0$ tel que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$ vérifiant $|x-a|⩽{\eta }_1$, on ait $|g(x)-\ell |⩽\epsilon$, et en particulier

$$\ell -\epsilon ⩽g(x).$$

De même, il existe ${\eta }_2>0$ tel que $|x-a|⩽{\eta }_2$ entraîne $|h(x)-\ell |⩽\epsilon$, et en particulier

$$h(x)⩽\ell +\epsilon .$$

Enfin, l'hypothèse $1$ fournit ${\eta }_3>0$ tel que l'encadrement $g(x)⩽f(x)⩽h(x)$ soit valable dès que $|x-a|⩽{\eta }_3$.

Posons $\eta =\min ({\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3)$, qui est strictement positif comme minimum de trois réels strictement positifs. Soit $x\in {\mathcal{D}}_f$ tel que $|x-a|⩽\eta$. Les trois conclusions précédentes s'appliquent simultanément, et en les enchaînant :

$$\ell -\epsilon ⩽g(x)⩽f(x)⩽h(x)⩽\ell +\epsilon .$$

Ainsi $\ell -\epsilon ⩽f(x)⩽\ell +\epsilon$, c'est-à-dire $|f(x)-\ell |⩽\epsilon$ d'après la caractérisation de la sous-section $2.3$.

Nous avons donc montré que pour tout $\epsilon >0$ il existe $\eta >0$ tel que $|x-a|⩽\eta ⟹|f(x)-\ell |⩽\epsilon$ : c'est exactement la définition de $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$. $\square$

Démonstration. L'hypothèse s'écrit $-\phi (x)⩽f(x)-\ell ⩽\phi (x)$, soit $\ell -\phi (x)⩽f(x)⩽\ell +\phi (x)$. Les deux fonctions encadrantes tendent vers $\ell -0=\ell$ et $\ell +0=\ell$ : le théorème d'encadrement conclut. $\square$

Théorème de la limite monotone

Caractérisation séquentielle de la limite

Démonstration du sens direct. Supposons $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\ell$ fini, et soit $(u_n)$ une suite d'éléments de ${\mathcal{D}}_f$ convergeant vers $a$. Soit $\epsilon >0$. La définition de la limite de $f$ fournit $\eta >0$ tel que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, $|x-a|⩽\eta ⟹|f(x)-\ell |⩽\epsilon$. Appliquons maintenant la définition de la limite de la suite $(u_n)$ avec ce $\eta$ dans le rôle du seuil : il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $|u_n-a|⩽\eta$. Pour un tel $n$, l'implication donne $|f(u_n)-\ell |⩽\epsilon$. Ainsi $f(u_n)\to \ell$. La réciproque est admise. $\square$

Croissances comparées

La phrase à retenir résume les trois premières : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme. Peu importe la taille de l'exposant $\alpha$ : même $\frac{\ln x}{x^{0,001}}$ tend vers $0$, et même $\frac{e^x}{x^{1000}}$ tend vers $+\infty$.

Ces deux limites ne sont pas des croissances comparées : ce sont les taux d'accroissement en $0$ des fonctions $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto \ln (1+x)$, dont la limite est par définition le nombre dérivé en $0$, qui vaut $e^0=1$ dans le premier cas et $\frac{1}{1+0}=1$ dans le second. Elles seront donc immédiates une fois la section $5$ acquise ; on les admet ici pour pouvoir s'en servir dès maintenant.

Asymptotes

Continuité

Continuité en un point

C'est la traduction immédiate du théorème sur les limites latérales (sous-section $3.3$), point $2$.

C'est la caractérisation séquentielle de la limite (sous-section $3.9$) appliquée à $\ell =f(a)$. On en retient la formule : une fonction continue échange la limite et l'image,

$$f\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }f(u_n).$$

Prolongement par continuité

Continuité sur un intervalle

Le théorème des valeurs intermédiaires

La figure rappelle les deux points sur lesquels l'énoncé est avare : le théorème affirme l'existence d'au moins un antécédent, pas son unicité, et il ne dit rien de la façon de le calculer.

Démonstration. Quitte à remplacer $f$ par $-f$ et $y$ par $-y$, ce qui ne change ni la continuité ni la conclusion, on peut supposer $f(a)⩽y⩽f(b)$.

Construction de deux suites par dichotomie. On construit par récurrence deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ vérifiant, pour tout $n\in \mathbb{N}$, la propriété

$$\mathcal{P}(n):a⩽a_n⩽b_n⩽b,f(a_n)⩽y⩽f(b_n),b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}.$$

On pose $a_0=a$ et $b_0=b$ : la propriété $\mathcal{P}(0)$ est vérifiée par hypothèse. Supposons $a_n$ et $b_n$ construits et $\mathcal{P}(n)$ vraie. Posons $m=\frac{a_n+b_n}{2}$, milieu du segment $[a_n,b_n]$, et distinguons deux cas :

• si $f(m)⩽y$, on pose $a_{n+1}=m$ et $b_{n+1}=b_n$ ;
• si $f(m)>y$, on pose $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=m$.

Dans les deux cas, $[a_{n+1},b_{n+1}]$ est l'une des deux moitiés de $[a_n,b_n]$, donc il est inclus dans $[a,b]$ et sa longueur vaut $\frac{b_n-a_n}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}$. De plus, on a bien $f(a_{n+1})⩽y⩽f(b_{n+1})$ : dans le premier cas parce que $f(a_{n+1})=f(m)⩽y$ et $f(b_{n+1})=f(b_n)⩾y$ ; dans le second parce que $f(a_{n+1})=f(a_n)⩽y$ et $f(b_{n+1})=f(m)>y$. Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, et la construction se poursuit.

Les deux suites sont adjacentes. Par construction, $a_{n+1}$ vaut $a_n$ ou $m⩾a_n$ : la suite $(a_n)$ est croissante. De même, $b_{n+1}$ vaut $b_n$ ou $m⩽b_n$ : la suite $(b_n)$ est décroissante. Enfin

$$b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\underset{n\to +\infty }{\to }0,$$

puisque $\frac{1}{2^n}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}\in \left]-1,1\right[$. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont donc adjacentes : d'après le théorème correspondant du chapitre sur les suites, elles convergent vers une même limite, que l'on note $c$.

Le réel $c$ appartient à $[a,b]$. Pour tout $n$, on a $a⩽a_n⩽b$. Par passage à la limite dans ces inégalités larges, $a⩽c⩽b$.

Passage à la limite par continuité. La fonction $f$ est continue en $c$, et les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont à valeurs dans $[a,b]$ et convergent vers $c$. La caractérisation séquentielle de la continuité (sous-section $4.1$) donne donc

$$f(a_n)\underset{n\to +\infty }{\to }f(c)\text{et}f(b_n)\underset{n\to +\infty }{\to }f(c).$$

Or, pour tout $n$, on a $f(a_n)⩽y$. En passant à la limite dans cette inégalité, on obtient $f(c)⩽y$. De même, l'inégalité $y⩽f(b_n)$ donne à la limite $y⩽f(c)$.

Les deux inégalités $f(c)⩽y$ et $y⩽f(c)$ entraînent $f(c)=y$ par antisymétrie. Le réel $c$ convient. $\square$

Corollaires du théorème des valeurs intermédiaires

Démonstration. L'hypothèse $f(a)f(b)<0$ signifie que $0$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=0$. Comme $f(a)\ne 0$ et $f(b)\ne 0$, ce $c$ est distinct de $a$ et de $b$ : il appartient à $\left]a,b\right[$. $\square$

Démonstration. Utilisons la caractérisation des intervalles vue au chapitre précédent : une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels compris entre eux.

Soient donc $y_1$ et $y_2$ deux éléments de $f(I)$, et $y$ un réel tel que $y_1⩽y⩽y_2$. Par définition de l'image, il existe $x_1$ et $x_2$ dans $I$ tels que $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$. Le segment d'extrémités $x_1$ et $x_2$ est inclus dans $I$, puisque $I$ est un intervalle, et $f$ y est continue. Le réel $y$ étant compris entre $f(x_1)$ et $f(x_2)$, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur ce segment fournit un réel $c$, situé entre $x_1$ et $x_2$ donc dans $I$, tel que $f(c)=y$. Ainsi $y\in f(I)$.

La partie $f(I)$ vérifie donc la caractérisation : c'est un intervalle. $\square$

Démonstration. L'existence est donnée par le théorème des valeurs intermédiaires. L'unicité vient de la stricte monotonie : celle-ci entraîne l'injectivité de $f$ (sous-section $1.3$), donc deux solutions distinctes auraient des images distinctes, ce qui est impossible puisque ces images valent toutes deux $y$. $\square$

Le théorème des bornes atteintes

Démonstration. D'après le théorème des bornes atteintes, $m$ et $M$ existent et appartiennent à $f([a,b])$. Par définition du minimum et du maximum, tout élément de $f([a,b])$ est compris entre $m$ et $M$, donc $f([a,b])\subset [m,M]$. Réciproquement, $f([a,b])$ est un intervalle (sous-section $4.5$) qui contient $m$ et $M$ : il contient donc tout l'intervalle $[m,M]$. D'où l'égalité. $\square$

Les deux hypothèses, continuité et segment, sont indispensables. Voici les trois contre-exemples à connaître, chacun obtenu en retirant exactement une hypothèse.

Le théorème de la bijection

Démonstration des points $1$, $3$ et $4$. Le point $2$, c'est-à-dire la continuité de la réciproque, est admis.

Point $1$. L'ensemble $J=f(I)$ est un intervalle d'après la sous-section $4.5$. L'application $f:I\to J$ est surjective par construction, puisque $J$ est précisément l'ensemble des images. Elle est injective d'après la sous-section $1.3$, puisqu'elle est strictement monotone. Étant injective et surjective, elle est bijective.

Monotonie de $f^{-1}$. Supposons $f$ strictement croissante, et soient $y_1<y_2$ dans $J$. Notons $x_1=f^{-1}(y_1)$ et $x_2=f^{-1}(y_2)$. Si l'on avait $x_1⩾x_2$, la croissance de $f$ donnerait $y_1=f(x_1)⩾f(x_2)=y_2$, ce qui contredit $y_1<y_2$. Donc $x_1<x_2$, c'est-à-dire $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$ : la réciproque est strictement croissante.

Point $4$. Le symétrique du point $M(x,y)$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ est le point $M^{\prime }(y,x)$. Or, pour $x\in I$ et $y\in J$,

$$y=f(x)⟺x=f^{-1}(y).$$

Donc $M(x,y)\in {\mathcal{C}}_f$ si et seulement si $M^{\prime }(y,x)\in {\mathcal{C}}_{f^{-1}}$ : les deux courbes se déduisent l'une de l'autre par cette symétrie. $\square$

L'exemple le plus familier est celui de l'exponentielle, bijection de $\mathbb{R}$ sur $\left]0,+\infty \right[$, et de sa réciproque le logarithme : le point $(1,e)$ de la première courbe a pour symétrique le point $(e,1)$ de la seconde.

Pour déterminer $J=f(I)$, on utilise le tableau suivant, qui n'est qu'une lecture du tableau de variations. Les limites y remplacent les valeurs aux bornes lorsque celles-ci n'appartiennent pas à $I$.

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $I$.

Si $f$ est continue et strictement décroissante, les crochets s'échangent : l'image de $\left]a,b\right[$ est $]\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x),\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)[$, et ainsi de suite. Les bornes $a$ et $b$ peuvent valoir $-\infty$ et $+\infty$, auquel cas les limites correspondantes se prennent en $-\infty$ et $+\infty$.

Dérivation

La continuité dit qu'une courbe se trace sans lever le crayon. La dérivation dit bien davantage : elle affirme que, vue de très près, la courbe ressemble à une droite, et elle donne la pente de cette droite. Tout le reste de la section en découle. Le nombre dérivé est d'abord un objet local, défini en un point par une limite ; le tour de force de la théorie, obtenu au prix d'un seul théorème (celui de Rolle), consiste à en tirer des renseignements globaux : le sens de variation sur un intervalle tout entier, les extremums, les inégalités du type $\ln x⩽x-1$.

L'enchaînement logique de la section mérite d'être retenu, car il est demandé aux concours. Le théorème des bornes atteintes, démontré à la section $4$, donne le théorème de Rolle. Le théorème de Rolle, appliqué à une fonction auxiliaire bien choisie, donne l'égalité des accroissements finis. L'égalité des accroissements finis donne l'inégalité des accroissements finis d'un côté, et le lien entre le signe de $f^{\prime }$ et les variations de $f$ de l'autre. Rien d'autre n'est nécessaire.

Dans toute cette section, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, et $f$ une fonction définie sur $I$ et à valeurs réelles.

Dérivabilité en un point

Deux mots sur cette définition. D'abord, le taux d'accroissement n'est pas défini en $a$ lui-même, puisque son dénominateur s'y annule : on étudie donc une limite en un point où la fonction ${\tau }_a$ n'existe pas, exactement comme dans les formes indéterminées $\frac{0}{0}$ de la section $3$. Ensuite, le mot finie est essentiel : si le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$, même si la limite existe dans $\overline{\mathbb{R}}$.

En posant $x=a+h$, c'est-à-dire $h=x-a$, la condition « $x\to a$ » devient « $h\to 0$ ». On obtient une seconde écriture de la définition, souvent plus commode au calcul.

Interprétation géométrique. Notons ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$, $A$ le point de coordonnées $(a,f(a))$ et $M$ le point de coordonnées $(x,f(x))$. Le taux d'accroissement ${\tau }_a(x)$ est exactement le coefficient directeur de la droite $(AM)$, appelée sécante. Faire tendre $x$ vers $a$, c'est faire glisser $M$ vers $A$ le long de la courbe : si les pentes des sécantes convergent, les sécantes prennent une position limite, qui est la tangente.

Cette équation se retient sans effort : c'est l'équation de la droite de pente $f^{\prime }(a)$ passant par le point $(a,f(a))$. La tangente est la droite qui épouse le mieux la courbe au voisinage de $a$ ; sur un écran de calculatrice, un zoom suffisamment fort autour du point d'abscisse $a$ rend la courbe et sa tangente indiscernables.

Dérivabilité à droite, à gauche, recollement

Lorsque le taux d'accroissement n'a pas de limite en $a$, il peut néanmoins en avoir une d'un seul côté. C'est le cas de figure des fonctions définies par morceaux, et des fonctions dont la courbe présente un « coin ».

Démonstration. C'est exactement la caractérisation d'une limite par ses limites à droite et à gauche, établie à la section $3$, appliquée à la fonction ${\tau }_a$ au point $a$. $\square$

Dérivabilité et continuité

Démonstration. Supposons $f$ dérivable en $a$. Pour tout $x\in I$ avec $x\ne a$, on peut écrire l'identité

$$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\times (x-a),$$

qui est licite puisque $x-a\ne 0$. Le premier facteur tend vers $f^{\prime }(a)$ quand $x\to a$, par hypothèse de dérivabilité ; le second tend vers $0$. Par produit des limites, et parce que $f^{\prime }(a)$ est un réel (et non un infini, ce qui aurait donné une forme indéterminée),

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-f(a))=f^{\prime }(a)\times 0=0,$$

c'est-à-dire $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$. C'est exactement la continuité de $f$ en $a$. $\square$

Opérations sur les dérivées

Démonstration de la formule du produit. Posons $p=fg$. Pour $x\in I$ avec $x\ne a$, écrivons le taux d'accroissement de $p$ en faisant apparaître ceux de $f$ et de $g$. L'astuce consiste à ajouter et retrancher le terme $f(a)g(x)$ au numérateur :

$$\begin{array}{rl}\frac{p(x)-p(a)}{x-a}& =\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\ & =\frac{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\ & =\frac{f(x)-f(a)}{x-a}g(x)+f(a)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}.\end{array}$$

Examinons chacun des deux termes quand $x\to a$. Dans le premier, le taux d'accroissement de $f$ tend vers $f^{\prime }(a)$, et $g(x)$ tend vers $g(a)$ car $g$, étant dérivable en $a$, y est continue d'après le théorème du paragraphe $5.3$ : ce point est le seul endroit délicat de la démonstration. Le premier terme tend donc vers $f^{\prime }(a)g(a)$. Dans le second, le facteur $f(a)$ est une constante et le taux d'accroissement de $g$ tend vers $g^{\prime }(a)$ : le second terme tend vers $f(a)g^{\prime }(a)$. Par somme des limites,

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{p(x)-p(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a),$$

qui est un réel : $p$ est dérivable en $a$, de nombre dérivé $f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a)$. $\square$

Démonstration de la formule de l'inverse. Comme $g$ est continue en $a$ et que $g(a)\ne 0$, la fonction $g$ ne s'annule pas sur un intervalle ouvert contenant $a$ (résultat de la section $4$), de sorte que $\frac{1}{g}$ y est bien définie. Pour $x$ dans cet intervalle, $x\ne a$,

$$\frac{1}{x-a}\left(\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}\right)=\frac{g(a)-g(x)}{(x-a)g(x)g(a)}=-\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\times \frac{1}{g(x)g(a)}.$$

Le premier facteur tend vers $g^{\prime }(a)$ et le second vers $\frac{1}{g(a{)}^2}$ par continuité de $g$ en $a$. D'où le résultat annoncé. La formule du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{f}{g}=f\times \frac{1}{g}$ et en appliquant la formule du produit. $\square$

L'ordre des facteurs n'a évidemment pas d'importance, mais l'ordre des arguments est capital : c'est bien $g^{\prime }$ évaluée en $f(a)$, et non $g^{\prime }(a)$. Le cas particulier de la composition par les fonctions usuelles fournit le tableau suivant, qui doit être connu par cœur. Dans tout ce tableau, $u$ désigne une fonction dérivable sur $I$.

Dérivée d'une fonction réciproque

Le théorème de la bijection (section $4$) associe à toute fonction $f$ continue et strictement monotone sur $I$ une réciproque $f^{-1}$ définie sur $J=f(I)$, continue et de même monotonie. Reste à savoir si $f^{-1}$ est dérivable, et à quelle condition.

Démonstration (esquisse). Admettons d'abord que $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ ; la formule s'obtient alors en dérivant l'identité $f(f^{-1}(y))=y$, valable pour tout $y\in J$. Le membre de gauche est une composée, dont la dérivée vaut $(f^{-1}{)}^{\prime }(y)\times f^{\prime }(f^{-1}(y))$ ; le membre de droite a pour dérivée $1$. En $y=y_0$, il vient

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)\times f^{\prime }(x_0)=1,$$

d'où la formule après division par $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.

Pour la dérivabilité elle-même, on revient au taux d'accroissement. Soit $y\in J$, $y\ne y_0$, et posons $x=f^{-1}(y)$, de sorte que $x\ne x_0$ par injectivité. Alors

$$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.$$

Quand $y\to y_0$, la continuité de $f^{-1}$ en $y_0$ (théorème de la bijection) donne $x\to x_0$, donc le dénominateur tend vers $f^{\prime }(x_0)$, qui est non nul : le quotient tend vers $\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$, ce qui achève la démonstration. $\square$

Fonction dérivée et fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$

Voici le tableau des dérivées usuelles. Il est à connaître dans les deux sens : de la fonction vers sa dérivée pour dériver, de la dérivée vers la fonction pour intégrer (section $6$).

Extremum local et point critique

Démonstration. Traitons le cas d'un maximum local, l'autre s'en déduisant en remplaçant $f$ par $-f$. Par hypothèse, il existe $\eta >0$ tel que $\left]a-\eta ,a+\eta \right[\subset I$ (c'est là qu'intervient le caractère intérieur du point $a$) et tel que $f(x)⩽f(a)$ pour tout $x$ de cet intervalle.

Soit $x\in \left]a,a+\eta \right[$. Le numérateur $f(x)-f(a)$ est négatif et le dénominateur $x-a$ est strictement positif, donc

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}⩽0.$$

Cette inégalité étant vraie pour tout $x>a$ proche de $a$, le passage à la limite quand $x\to a^{+}$ conserve l'inégalité large et donne $f^{\prime }(a)⩽0$.

Soit maintenant $x\in \left]a-\eta ,a\right[$. Le numérateur $f(x)-f(a)$ est toujours négatif, mais le dénominateur $x-a$ est cette fois strictement négatif, donc le quotient est positif :

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}⩾0.$$

Le passage à la limite quand $x\to a^{-}$ donne $f^{\prime }(a)⩾0$. Les deux inégalités réunies donnent $f^{\prime }(a)=0$. $\square$

Théorème de Rolle

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : d'après le théorème des bornes atteintes (section $4$), elle est bornée et atteint ses bornes. Notons

$$m=\underset{[a,b]}{\min }f,M=\underset{[a,b]}{\max }f,$$

et choisissons $x_m$ et $x_M$ dans $[a,b]$ tels que $f(x_m)=m$ et $f(x_M)=M$.

Premier cas : $m=M$. La fonction $f$ est alors constante sur $[a,b]$, puisque $m⩽f(x)⩽M$ pour tout $x$. Sa dérivée est nulle en tout point de $\left]a,b\right[$, et n'importe quel $c$ de cet intervalle convient.

Second cas : $m<M$. Posons $k=f(a)=f(b)$. Comme $m<M$, ces deux valeurs ne peuvent pas être toutes les deux égales à $k$ : au moins l'une d'elles en diffère.

Supposons par exemple $M\ne k$ (si c'est $m$ qui diffère de $k$, le raisonnement est identique en remplaçant $x_M$ par $x_m$). Alors $f(x_M)=M\ne k=f(a)=f(b)$, donc $x_M\ne a$ et $x_M\ne b$ : le point $x_M$ appartient à l'intervalle ouvert $\left]a,b\right[$. Il est donc intérieur à $[a,b]$, et $f$ y est dérivable par hypothèse.

Enfin, $f$ admet en $x_M$ un maximum global sur $[a,b]$, donc en particulier un maximum local. Le théorème du paragraphe $5.7$ s'applique et donne $f^{\prime }(x_M)=0$. Le réel $c=x_M$ convient. $\square$

Interprétation géométrique. Si une courbe continue, admettant une tangente en chacun de ses points intérieurs, part d'une certaine hauteur et y revient, alors elle possède au moins un point où la tangente est horizontale. Le dessin est convaincant : pour revenir à la même altitude, il faut bien « faire demi-tour » quelque part.

Égalité des accroissements finis

Le théorème de Rolle exige $f(a)=f(b)$, ce qui est très restrictif. L'égalité des accroissements finis lève cette hypothèse : c'est le même énoncé, écrit dans un repère « penché ».

Géométriquement : il existe un point de la courbe où la tangente est parallèle à la corde joignant les deux extrémités.

Démonstration. L'idée consiste à se ramener au théorème de Rolle en retranchant à $f$ la fonction affine dont le graphe est la corde joignant les points $A=(a,f(a))$ et $B=(b,f(b))$. Cette corde a pour coefficient directeur

$$p=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$

et son équation est $y=p(x-a)+f(a)$. Posons donc, pour $x\in [a,b]$,

$$\phi (x)=f(x)-(p(x-a)+f(a))=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$

Cette fonction $\phi$ mesure l'écart vertical entre la courbe et la corde. Vérifions qu'elle satisfait les trois hypothèses de Rolle.

Continuité. $\phi$ est la différence de $f$, continue sur $[a,b]$, et d'une fonction affine, continue sur $\mathbb{R}$ : elle est continue sur $[a,b]$.

Dérivabilité. Pour la même raison, $\phi$ est dérivable sur $\left]a,b\right[$, avec

$${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Valeurs aux bornes. D'une part $\phi (a)=f(a)-f(a)-0=0$. D'autre part

$$\phi (b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0.$$

Donc $\phi (a)=\phi (b)$, et c'est précisément pour obtenir cette égalité que la fonction auxiliaire a été construite ainsi.

Le théorème de Rolle s'applique à $\phi$ : il existe $c\in \left]a,b\right[$ tel que ${\phi }^{\prime }(c)=0$, c'est-à-dire

$$f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.$$

En multipliant par $b-a\ne 0$, on obtient $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$. $\square$

Interprétation géométrique. Il existe au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle à la corde $[AB]$. Dans le langage de la cinématique : si un trajet de $b-a$ heures couvre $f(b)-f(a)$ kilomètres, il y a au moins un instant où la vitesse instantanée est exactement égale à la vitesse moyenne.

Inégalité des accroissements finis

Démonstration. L'égalité des accroissements finis fournit $c\in \left]a,b\right[$ tel que $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$.

Pour le premier point, on passe à la valeur absolue :

$$|f(b)-f(a)|=|f^{\prime }(c)|\times |b-a|=|f^{\prime }(c)|(b-a)⩽M(b-a),$$

la dernière inégalité venant de l'hypothèse appliquée à $t=c$ et du fait que $b-a>0$.

Pour le second point, on part de $m⩽f^{\prime }(c)⩽M$ et l'on multiplie par le réel strictement positif $b-a$, ce qui conserve le sens des inégalités :

$$m(b-a)⩽f^{\prime }(c)(b-a)⩽M(b-a),$$

et le terme du milieu vaut $f(b)-f(a)$. $\square$

Dérivée et variations

Voici le résultat qui justifie, à lui seul, tout le travail précédent : il transforme une information ponctuelle (le signe de $f^{\prime }$ en chaque point) en une information globale (le sens de variation sur l'intervalle).

Démonstration. Montrons le sens direct du point $1$, les autres étant analogues. Supposons $f^{\prime }⩾0$ et soient $x<y$ deux points de $I$. La fonction $f$ est continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $\left]x,y\right[$, car ce segment est inclus dans $I$ et cet intervalle ouvert dans l'intérieur de $I$. L'égalité des accroissements finis fournit $c\in \left]x,y\right[$ tel que

$$f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x).$$

Le facteur $f^{\prime }(c)$ est positif par hypothèse et $y-x>0$, donc $f(y)-f(x)⩾0$, soit $f(x)⩽f(y)$ : la fonction est croissante. Le point $4$ s'obtient de la même façon, l'inégalité $f^{\prime }(c)>0$ donnant cette fois $f(y)-f(x)>0$, donc une inégalité stricte. Le point $3$ résulte des points $1$ et $2$ appliqués simultanément : $f$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante.

Réciproquement, supposons $f$ croissante sur $I$ et soit $a$ un point intérieur à $I$. Pour $x\in I$ avec $x\ne a$, le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est positif : numérateur et dénominateur sont de même signe, par croissance de $f$. En passant à la limite quand $x\to a$, l'inégalité large est conservée et donne $f^{\prime }(a)⩾0$. $\square$

Le critère suivant est celui qu'on utilise en pratique dans les tableaux de variations, où la dérivée s'annule presque toujours en quelques points isolés.

Démonstration. D'après le point $1$ du théorème précédent, $f$ est déjà croissante sur $I$. Soient $x<y$ dans $I$ ; il reste à exclure le cas $f(x)=f(y)$. Supposons donc $f(x)=f(y)$ et soit $z\in [x,y]$. Par croissance, $f(x)⩽f(z)⩽f(y)=f(x)$, donc $f(z)=f(x)$ : la fonction $f$ est constante sur le segment $[x,y]$.

Sa dérivée est alors nulle en tout point de $\left]x,y\right[$, qui est un intervalle ouvert non vide, donc infini. Cela contredit l'hypothèse selon laquelle $f^{\prime }$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points. Par conséquent $f(x)\ne f(y)$, et comme $f(x)⩽f(y)$, on a bien $f(x)<f(y)$. $\square$

Plan d'une étude de fonction

Traitons un exemple complet, en suivant les sept étapes.

Le tableau de variations rassemble ces informations.

$x$

$-\infty$

$1-\sqrt{2}$

$1$

$1+\sqrt{2}$

$+\infty$

$f^{\prime }(x)$

$+$

$0$

$-$

$-$

$0$

$+$

$f(x)$

$2-2\sqrt{2}$

$2+2\sqrt{2}$

$x$

$-\infty$

$1$

$+\infty$

$g^{\prime }(x)$

$+$

$0$

$-$

$g(x)$

$\frac{1}{e}$

$0$

Intégration sur un segment

L'intégration répond à deux questions qui semblent étrangères l'une à l'autre. La première est géométrique : quelle est l'aire du domaine compris entre une courbe et l'axe des abscisses ? La seconde est algébrique : étant donnée une fonction $f$, existe-t-il une fonction $F$ dont la dérivée soit $f$ ? Le théorème fondamental de l'analyse (paragraphe $6.8$) affirme que ces deux questions n'en font qu'une, et c'est de cette identification que vient toute la puissance du calcul intégral.

Une mise en garde de méthode avant de commencer. Dans les exercices de concours, il est fréquent que l'intégrale à étudier ne se calcule pas : aucune primitive n'est exprimable à l'aide des fonctions usuelles. Les résultats véritablement utiles de cette section ne sont donc pas seulement les techniques de calcul, mais aussi et surtout les inégalités : positivité, croissance, inégalité de la moyenne, inégalité triangulaire. Elles permettent d'encadrer une intégrale que l'on est incapable de calculer, et c'est très souvent ce que l'énoncé demande.

Dans toute cette section, les fonctions considérées sont continues sur le segment ou l'intervalle mentionné, et l'on intègre uniquement sur des segments $[a,b]$, c'est-à-dire des intervalles fermés et bornés.

Intégrale d'une fonction continue sur un segment

La construction de ce nombre est hors programme : elle repose sur l'approximation de $f$ par des fonctions plus simples, et sa mise en place rigoureuse demanderait plusieurs pages. On l'admet donc entièrement, comme le programme y invite. En revanche, toutes les propriétés énoncées ensuite seront soit admises comme faisant partie de cette construction (linéarité, positivité, relation de Chasles), soit démontrées à partir d'elles.

Interprétation en aire. Munissons le plan d'un repère orthogonal, et appelons unité d'aire l'aire du rectangle construit sur les deux vecteurs de base. Lorsque $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a⩽b$, le nombre ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

Lorsque $f$ change de signe, l'intégrale est une aire algébrique : les portions situées au-dessus de l'axe des abscisses comptent positivement, celles situées en dessous comptent négativement. C'est pourquoi une intégrale peut être nulle sans que la fonction le soit.

Conventions d'orientation et relation de Chasles

Jusqu'ici la borne du bas était inférieure à celle du haut. Il est commode de lever cette restriction, au prix d'une convention de signe.

Autrement dit, échanger les bornes change le signe de l'intégrale. Avec cette convention, l'écriture ${\int }_a^{b}f$ a un sens pour tous $a$ et $b$ dans $I$, sans hypothèse sur leur ordre.

Linéarité de l'intégrale

Positivité, croissance et cas d'égalité

Démonstration du point $2$ à partir du point $1$. La fonction $g-f$ est continue et positive sur $[a,b]$, donc son intégrale est positive d'après le point $1$. La linéarité donne

$${\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^b(g(t)-f(t))\mathrm{d}t⩾0,$$

d'où l'inégalité annoncée. $\square$

Le théorème suivant est le plus fin de la section : il affirme qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle est identiquement nulle. Autrement dit, dès qu'une fonction continue positive est non nulle quelque part, elle « emporte » une aire strictement positive.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $x_0\in [a,b]$ tel que $f(x_0)>0$.

Utilisons la continuité en $x_0$. Appliquons la définition de la continuité avec le réel strictement positif $\epsilon =\frac{f(x_0)}{2}$ : il existe $\eta >0$ tel que, pour tout $t\in [a,b]$ vérifiant $|t-x_0|⩽\eta$,

$$|f(t)-f(x_0)|⩽\frac{f(x_0)}{2},\text{donc}f(t)⩾f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}=\frac{f(x_0)}{2}.$$

Fabriquons un segment non trivial. Posons ${\eta }^{\prime }=\min \left(\eta ,\frac{b-a}{2}\right)>0$. Si $x_0<b$, posons $\alpha =x_0$ et $\beta =\min (x_0+{\eta }^{\prime },b)$ ; si $x_0=b$, posons $\beta =b$ et $\alpha =b-{\eta }^{\prime }$, qui est bien supérieur à $a$ puisque ${\eta }^{\prime }⩽\frac{b-a}{2}<b-a$. Dans les deux cas, $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, $\alpha <\beta$, et tout $t\in [\alpha ,\beta ]$ vérifie $|t-x_0|⩽\eta$, donc $f(t)⩾\frac{f(x_0)}{2}$.

Minorons l'intégrale. Par croissance de l'intégrale sur $[\alpha ,\beta ]$, comparée à la fonction constante $\frac{f(x_0)}{2}$,

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t⩾\frac{f(x_0)}{2}(\beta -\alpha )>0.$$

Par la relation de Chasles, puis par positivité de l'intégrale sur $[a,\alpha ]$ et sur $[\beta ,b]$ (où $f$ reste positive),

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\underset{⩾0}{\underbrace{{\int }_a^{\alpha }f}}+{\int }_{\alpha }^{\beta }f+\underset{⩾0}{\underbrace{{\int }_{\beta }^{b}f}}⩾{\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t>0.$$

Cela contredit l'hypothèse ${\int }_a^{b}f=0$. Donc $f(x)=0$ pour tout $x\in [a,b]$. $\square$

Inégalité triangulaire intégrale

Démonstration. La continuité de $|f|$ résulte de la composition de $f$ par la fonction valeur absolue, elle-même continue sur $\mathbb{R}$ (section $4$) : l'intégrale de droite existe donc bien.

Pour tout $t\in [a,b]$, on dispose de l'encadrement $-|f(t)|⩽f(t)⩽|f(t)|$. Comme $a⩽b$, la croissance de l'intégrale s'applique aux deux inégalités et donne, en utilisant la linéarité pour le membre de gauche,

$$-{\int }_a^b|f(t)|\mathrm{d}t⩽{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t⩽{\int }_a^b|f(t)|\mathrm{d}t.$$

Un encadrement de la forme $-A⩽X⩽A$ avec $A⩾0$ équivaut à $|X|⩽A$, ce qui est exactement l'inégalité annoncée. $\square$

Valeur moyenne et inégalité de la moyenne

Géométriquement, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a,b]$ qui aurait la même aire algébrique que le domaine sous la courbe.

Démonstration. Il suffit d'appliquer la croissance de l'intégrale aux deux inégalités $m⩽f(t)$ et $f(t)⩽M$, en se souvenant que l'intégrale d'une fonction constante $\lambda$ sur $[a,b]$ vaut $\lambda (b-a)$. $\square$

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur un segment : d'après le théorème des bornes atteintes (section $4$), elle admet un minimum $m=f(x_m)$ et un maximum $M=f(x_M)$. L'inégalité de la moyenne, divisée par $b-a>0$, donne

$$m⩽\mu ⩽M,\text{ouˋ }\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t.$$

Le réel $\mu$ est donc compris entre $f(x_m)$ et $f(x_M)$. Comme $f$ est continue sur le segment d'extrémités $x_m$ et $x_M$, le théorème des valeurs intermédiaires (section $4$) fournit un réel $c$ entre $x_m$ et $x_M$, donc dans $[a,b]$, tel que $f(c)=\mu$. $\square$

Primitives

Démonstration. Soit $C$ un réel. La fonction $G=F+C$ est dérivable sur $I$ et $G^{\prime }=F^{\prime }+0=f$ : c'est bien une primitive de $f$.

Réciproquement, soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. La fonction $H=G-F$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$H^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0.$$

Comme $I$ est un intervalle, le théorème du paragraphe $5.11$ affirme qu'une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante. Il existe donc un réel $C$ tel que $H=C$, c'est-à-dire $G=F+C$. $\square$

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Les primitives de $f$ sont les $F+C$ ; la condition $F(x_0)+C=y_0$ détermine $C=y_0-F(x_0)$ de manière unique, ce qui prouve à la fois l'existence et l'unicité de $G=F+y_0-F(x_0)$. $\square$

Théorème fondamental de l'analyse

Rien, jusqu'ici, ne garantit qu'une fonction continue admette une primitive, et rien ne relie l'intégrale (une aire) à la dérivation. Le théorème suivant règle les deux questions d'un coup.

Démonstration. La fonction $F$ est bien définie : pour tout $x\in I$, le segment d'extrémités $a$ et $x$ est inclus dans $I$, où $f$ est continue.

Le taux d'accroissement. Fixons $x_0\in I$ et soit $x\in I$ avec $x\ne x_0$. La relation de Chasles donne

$$F(x)-F(x_0)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x_0}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{x_0}^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$

Par ailleurs, ${\int }_{x_0}^{x}f(x_0)\mathrm{d}t=f(x_0)(x-x_0)$, car $f(x_0)$ est une constante. En divisant par $x-x_0$ et en retranchant $f(x_0)$, la linéarité donne

$$\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)=\frac{1}{x-x_0}{\int }_{x_0}^x(f(t)-f(x_0))\mathrm{d}t.$$

La continuité de $f$ en $x_0$. Soit $\epsilon >0$. Il existe $\eta >0$ tel que, pour tout $t\in I$ vérifiant $|t-x_0|⩽\eta$, on ait $|f(t)-f(x_0)|⩽\epsilon$.

La majoration. Soit $x\in I$ tel que $0<|x-x_0|⩽\eta$. Tout réel $t$ compris entre $x_0$ et $x$ vérifie alors $|t-x_0|⩽\eta$, donc $|f(t)-f(x_0)|⩽\epsilon$. Si $x>x_0$, l'inégalité triangulaire intégrale puis l'inégalité de la moyenne donnent

$$\left|{\int }_{x_0}^x(f(t)-f(x_0))\mathrm{d}t\right|⩽{\int }_{x_0}^x|f(t)-f(x_0)|\mathrm{d}t⩽\epsilon (x-x_0).$$

Si $x<x_0$, le même calcul mené sur le segment $[x,x_0]$, puis la convention d'orientation, donnent une majoration par $\epsilon (x_0-x)$. Dans les deux cas, la majoration s'écrit $\epsilon |x-x_0|$, donc

$$\left|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\right|⩽\frac{\epsilon |x-x_0|}{|x-x_0|}=\epsilon .$$

Conclusion. Pour tout $\epsilon >0$, il existe $\eta >0$ tel que $0<|x-x_0|⩽\eta$ entraîne que le taux d'accroissement de $F$ en $x_0$ est à distance au plus $\epsilon$ de $f(x_0)$. C'est exactement la définition de

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0).$$

Donc $F$ est dérivable en $x_0$ et $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$. Le point $x_0$ étant quelconque dans $I$, on a $F^{\prime }=f$ sur $I$. Comme $f$ est continue, $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Enfin $F(a)={\int }_a^{a}f=0$, et l'unicité de la primitive s'annulant en $a$ résulte du paragraphe $6.7$. $\square$

Démonstration. Posons $G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$. D'après le théorème, $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, donc $G$ et $F$ diffèrent d'une constante : il existe $C$ tel que $G=F+C$. En évaluant en $a$ : $0=G(a)=F(a)+C$, donc $C=-F(a)$. En évaluant en $b$ :

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=G(b)=F(b)-F(a).\square$$

Primitives usuelles et formes composées

Le tableau suivant se lit à l'envers du tableau des dérivées du paragraphe $5.6$. La colonne de droite précise un intervalle sur lequel la primitive est valable ; ce n'est pas un détail de rédaction, c'est une condition de validité.

Le tableau des formes composées se déduit du tableau des dérivées composées du paragraphe $5.4$, lu à l'envers. Dans tout ce tableau, $u$ désigne une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'intervalle considéré.

Intégration par parties

Démonstration. Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables sur $I$, leur produit l'est aussi et

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }.$$

Les fonctions $u^{\prime }$, $v$, $u$ et $v^{\prime }$ étant continues (c'est le sens de l'hypothèse ${\mathcal{C}}^1$), la fonction $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ est continue sur $I$, et $uv$ en est une primitive. Le corollaire du théorème fondamental donne donc

$${\int }_a^b(u^{\prime }(t)v(t)+u(t)v^{\prime }(t))\mathrm{d}t=[u(t)v(t){]}_a^b.$$

Les deux fonctions $u^{\prime }v$ et $u{v}^{\prime }$ étant continues, la linéarité de l'intégrale permet de séparer le membre de gauche en deux intégrales, puis de faire passer la seconde de l'autre côté. $\square$

Changement de variable

Démonstration. La fonction $f$ étant continue sur l'intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$ d'après le théorème fondamental. La composée $F\circ \phi$ est dérivable sur $[\alpha ,\beta ]$, de dérivée

$$(F\circ \phi {)}^{\prime }={\phi }^{\prime }\times (F^{\prime }\circ \phi )={\phi }^{\prime }\times (f\circ \phi ),$$

qui est continue. Ainsi $F\circ \phi$ est une primitive de $u\mapsto f(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)$ sur $[\alpha ,\beta ]$, donc

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u=\left[F\right(\phi (u)){]}_{\alpha }^{\beta }=F(\phi (\beta ))-F(\phi (\alpha ))={\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\mathrm{d}x.\square$$

Quelle technique pour quelle intégrale

Fonctions définies par une intégrale à bornes variables

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$, qui existe d'après le théorème fondamental. Pour tout $x\in J$, le corollaire donne

$$G(x)=F(v(x))-F(u(x)).$$

Les fonctions $F\circ v$ et $F\circ u$ sont dérivables sur $J$ comme composées de fonctions dérivables, donc $G$ l'est aussi, et la formule de dérivation d'une composée donne

$$G^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)F^{\prime }(v(x))-u^{\prime }(x)F^{\prime }(u(x))=v^{\prime }(x)f(v(x))-u^{\prime }(x)f(u(x)).\square$$