Devoir surveillé — Probabilités sur un ensemble fini

Un fabricant de jeux commercialise un coffret de trois dés cubiques dont les faces ne portent pas les numéros habituels :

Les trois dés sont équilibrés : pour chacun d'eux, les six faces ont la même probabilité d'apparaître. Aucun numéro ne figure sur deux dés différents, si bien que deux dés lancés ensemble ne peuvent jamais afficher le même nombre.

1. On lance le dé rouge seul et l'on note $X_R$ le nombre obtenu ; on définit de même $X_B$ et $X_V$. Donner la loi de chacune de ces trois variables aléatoires, puis calculer $E\left(X_R\right)$, $E\left(X_B\right)$ et $E\left(X_V\right)$. Que constate-t-on ? (0,75 point)

2. Calculer $V(X_R)$, $V(X_B)$ et $V(X_V)$ par la formule de König-Huygens. (0,5 point)

3. On lance simultanément le dé rouge et le dé bleu, et l'on convient que le dé qui affiche le plus grand nombre l'emporte. Décrire un univers $\mathrm{\Omega }$ adapté, justifier qu'on peut le munir de l'équiprobabilité, puis calculer par dénombrement la probabilité que le dé rouge l'emporte sur le dé bleu. (0,75 point)

4. Calculer de la même façon la probabilité que le dé bleu l'emporte sur le dé vert, puis la probabilité que le dé vert l'emporte sur le dé rouge. (0,75 point)

5. Deux joueurs disputent une manche : chacun choisit un dé du coffret, ils lancent ensemble, et celui qui affiche le plus grand nombre gagne. L'un des deux propose galamment à l'autre de choisir son dé en premier. Montrer que ce joueur, en apparence désavantagé, peut toujours s'assurer une probabilité de gain strictement supérieure à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, et préciser sa stratégie. (0,25 point)

On tire au hasard un entier de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,300]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, les $300$ entiers ayant la même probabilité d'être tirés. On note :

• $A$ l'événement « l'entier tiré est un multiple de $2$ » ;
• $B$ l'événement « l'entier tiré est un multiple de $3$ » ;
• $C$ l'événement « l'entier tiré est un multiple de $5$ ».

On rappelle qu'un entier est multiple de deux entiers premiers entre eux si et seulement s'il est multiple de leur produit : par exemple, être multiple de $2$ et de $3$ équivaut à être multiple de $6$.

1. Déterminer le cardinal de chacun des sept ensembles $A$, $B$, $C$, $A\cap B$, $A\cap C$, $B\cap C$ et $A\cap B\cap C$, puis en déduire les sept probabilités correspondantes sous forme de fractions irréductibles. (0,5 point)

2. Énoncer la formule du crible pour trois événements, puis calculer $P(A\cup B\cup C)$. (0,75 point)

3. En déduire la probabilité que l'entier tiré ne soit divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$. Combien y a-t-il de tels entiers dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,300]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ ? (0,25 point)

4. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Et les couples $(A,C)$ et $(B,C)$ ? (0,75 point)

5. Les événements $A$, $B$ et $C$ sont-ils mutuellement indépendants ? On rappellera au préalable combien d'égalités cette propriété exige pour trois événements. (0,25 point)

6. On admet le résultat du cours suivant : des événements mutuellement indépendants le restent lorsqu'on remplace certains d'entre eux par leurs contraires. En déduire l'écriture de $P(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})$ comme un PRODUIT de trois facteurs, puis retrouver par ce chemin le nombre d'entiers de la question 3., sans jamais écrire la formule du crible. Expliquer enfin, en une phrase, pourquoi ces deux méthodes qui n'ont rien en commun tombent sur le même nombre. (0,5 point)

7. On refait la même expérience en tirant cette fois l'entier dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,100]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Les événements $A$ et $B$ y sont-ils encore indépendants ? Expliquer, en une ou deux phrases, ce qui distingue $300$ de $100$ dans cette affaire. (0,5 point)

Un institut veut estimer la proportion de personnes concernées par un comportement que peu de gens avouent spontanément. Il retient le protocole suivant, appliqué à chaque personne interrogée, seule dans un isoloir.

La personne lance un dé équilibré à six faces, que l'enquêteur ne voit pas. Si le dé donne $1$ ou $2$, elle doit répondre « oui », quelle que soit sa situation réelle. S'il donne $3$, elle doit répondre « non », quelle que soit sa situation réelle. S'il donne $4$, $5$ ou $6$, elle répond sincèrement à la question posée. L'enquêteur n'enregistre que la réponse, jamais le résultat du dé.

On note $D_1$, $D_2$ et $D_3$ les événements « le dé donne $1$ ou $2$ », « le dé donne $3$ » et « le dé donne $4$, $5$ ou $6$ ». On note $C$ l'événement « la personne est concernée » et $O$ l'événement « la personne répond oui ». On pose $p=P(C)$, avec $p\in ]0,1[$ : c'est le nombre que l'institut cherche à connaître.

Le dé étant lancé indépendamment de la situation de la personne, on admet que chacun des trois événements $D_1$, $D_2$, $D_3$ est indépendant de $C$.

1. Justifier que $(D_1,D_2,D_3)$ est un système complet d'événements, donner les trois probabilités $P\left(D_i\right)$, puis les trois probabilités conditionnelles $P_{D_i}(O)$ en fonction de $p$. (0,5 point)

2. Démontrer que $P(O)={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{p}{2}}$. (0,5 point)

3. Le dépouillement de l'enquête conduit à retenir $P(O)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. En déduire la valeur de $p$. (0,25 point)

4. Établir que ${\displaystyle \frac{1}{3}}⩽P(O)⩽{\displaystyle \frac{5}{6}}$ quelle que soit la valeur de $p$, et interpréter ces deux bornes du point de vue de l'enquêteur. (0,5 point)

5. Les événements $D_1$ et $O$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul, dans le cas $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,25 point)

6. L'enquêteur voit une personne répondre « oui ». Démontrer que la probabilité qu'elle soit réellement concernée vaut

$$P_O(C)=\frac{5p}{2+3p},$$

puis établir de même l'expression de $P_{\bar{O}}(C)$. Donner les valeurs de ces deux nombres pour $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$, et contrôler le résultat en vérifiant que $P(O)P_O(C)+P\left(\bar{O}\right)P_{\bar{O}}(C)=p$. (1 point)

7. Étudier les variations sur $[0,1]$ de la fonction $\phi :x\mapsto {\displaystyle \frac{5x}{2+3x}}$, et vérifier que $\phi (x)<1$ pour tout $x\in [0,1[$. En quoi ce résultat, comparé à la valeur trouvée pour $P_{\bar{O}}(C)$ à la question 6., garantit-il à la personne interrogée qu'aucune de ses deux réponses possibles ne la trahit ? (0,5 point)

Un organisme de contrôle vérifie chaque année la comptabilité d'une entreprise. Il procède en deux temps : il tire d'abord au sort le mois qui sera contrôlé, les douze mois étant équiprobables, puis il tire au sort, parmi les jours de ce mois et de façon équiprobable, le jour de sa visite.

On se place sur une année non bissextile : février compte $28$ jours, sept mois en comptent $31$ (janvier, mars, mai, juillet, août, octobre et décembre) et les quatre autres en comptent $30$.

On note $X$ le numéro du mois tiré au sort, $N$ le nombre de jours de ce mois, et $J$ le quantième du jour de la visite, c'est-à-dire son numéro dans le mois.

1. Reconnaître la loi de $X$, puis donner $E(X)$ et $V(X)$ à l'aide des formules du cours. (0,5 point)

2. Déterminer $N(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $N$. (0,5 point)

3. Calculer $E(N)$, puis $V(N)$ sous forme de fraction irréductible, puis $\sigma (N)$ à ${10}^{-3}$ près. On utilisera $\sqrt{107}\approx \mathrm{10,3441}$. (0,75 point)

4. On s'intéresse au quantième $J$ du jour de la visite. (1 point)

Comparer les deux résultats. Le jour de la visite est-il tiré uniformément sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,31]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ ?

5. On cherche maintenant $E(J)$, et l'on va y parvenir sans jamais écrire la loi complète de $J$. (1 point)

a. Justifier que, pour tout $j$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,31]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$P(J=j)=\sum _{\begin{array}{c}k\in N(\mathrm{\Omega })\\ k⩾j\end{array}}\frac{P(N=k)}{k}\mathrm{.}$$

b. Reporter cette expression dans $E(J)={\displaystyle \sum _{j=1}^{31}jP(J=j)}$, intervertir les deux sommations, et en déduire que

$$E(J)=\sum _{k\in N(\mathrm{\Omega })}P(N=k)\times \frac{k+1}{2}\mathrm{.}$$

c. Calculer $E(J)$ sous forme de fraction irréductible, puis à ${10}^{-2}$ près. Comparer à $16$, valeur qu'on obtiendrait si $J$ était uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,31]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

6. L'organisme répète cette procédure chaque année pendant $10$ ans, les tirages des différentes années étant mutuellement indépendants. On note $Z$ le nombre d'années où la visite tombe un $31$. Reconnaître la loi de $Z$ et calculer $E(Z)$ à ${10}^{-3}$ près. (0,25 point)

Deux joueurs, $A$ et $B$, disputent une suite de manches identiques. À chaque manche, $A$ l'emporte avec la probabilité $p$ et $B$ avec la probabilité $q=1-p$, où $p\in ]0,1[$ ; il n'y a pas de manche nulle, et les manches sont mutuellement indépendantes. Chacun a déposé la même somme dans le pot, et le premier qui remporte cinq manches empoche la totalité de la mise.

La partie doit être interrompue définitivement alors que $A$ a gagné trois manches et $B$ deux manches. Comment partager équitablement le pot ? C'est la question que le chevalier de Méré posa à Blaise Pascal en $1654$, et dont la réponse fit naître le calcul des probabilités.

Les trois parties de ce problème s'enchaînent : la partie B généralise la partie A, et la partie C exploite les deux précédentes.

Partie A. Le cas d'un jeu équilibré

Dans toute cette partie, $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Il manque donc deux manches à $A$ et trois manches à $B$ pour l'emporter.

A.1. Montrer que, si la partie s'était poursuivie, elle se serait nécessairement achevée en au plus quatre manches supplémentaires. (0,5 point)

A.2. On convient de faire jouer exactement quatre manches supplémentaires, en poursuivant le jeu même après que l'un des deux a atteint son objectif. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à ces quatre manches, donner son cardinal, et justifier qu'on peut le munir de l'équiprobabilité. (0,25 point)

A.3. Déterminer, par dénombrement dans $\mathrm{\Omega }$, la probabilité que $A$ remporte la partie. (0,75 point)

A.4. Le pot contient $1000$ euros. En déduire la part qui revient à $A$. Un contemporain de Pascal proposait de partager au prorata des manches déjà gagnées, soit trois cinquièmes pour $A$ et deux cinquièmes pour $B$. Comparer les deux partages et dire, en une phrase, lequel des deux joueurs le partage au prorata léserait. (0,5 point)

Partie B. Le cas général et la continuation fictive

On revient au cas d'un $p$ quelconque de $]0,1[$. On suppose maintenant qu'au moment de l'interruption il manque $a$ manches à $A$ et $b$ manches à $B$, avec $a⩾1$ et $b⩾1$. On pose

$$n=a+b-1,$$

et l'on convient à nouveau de faire jouer exactement $n$ manches supplémentaires, sans s'arrêter en cours de route. On note $S$ le nombre de manches remportées par $A$ parmi ces $n$ manches.

B.5. Démontrer que $A$ remporte la partie si et seulement si $S⩾a$. On traitera séparément les deux implications, et l'on justifiera au passage que la partie est nécessairement décidée au bout de ces $n$ manches. (1 point)

B.6. Reconnaître la loi de $S$, puis en déduire que la probabilité que $A$ remporte la partie vaut

$$P(A\text{ gagne})=\sum _{k=a}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

B.7. Retrouver, à partir de cette formule, le résultat de la question A.3. (0,25 point)

Partie C. Le partage équitable et l'influence du niveau des joueurs

On reprend les valeurs $a=2$ et $b=3$ de la partie A, mais on laisse $p$ quelconque dans $]0,1[$. Le pot vaut $M$ euros. On note $G$ la variable aléatoire égale à la somme qu'aurait empochée $A$ si la partie s'était poursuivie, et l'on pose

$$f(p)=P(A\text{ gagne})\mathrm{.}$$

C.8. Exprimer $G$ à l'aide de l'indicatrice de l'événement « $A$ gagne », reconnaître la loi de ${\displaystyle \frac{G}{M}}$, et en déduire que le partage équitable consiste à verser $E(G)=Mf(p)$ au joueur $A$. (0,25 point)

C.9. Démontrer que $f(p)=3p^4-8p^3+6p^2$, puis calculer la part de $A$ pour $p=\mathrm{0,6}$ et $M=1000$ euros. (0,5 point)

C.10. Étudier les variations de $f$ sur $[0,1]$. On montrera que $f^{\mathrm{\prime }}(p)$ se factorise sous une forme remarquable, et l'on précisera les valeurs $f(0)$ et $f(1)$ en les commentant. (0,75 point)

C.11. Calculer $f(\mathrm{0,4})$ et le comparer à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Démontrer ensuite qu'il existe un unique réel $p_0$ de $]0,1[$ pour lequel le partage serait exactement moitié-moitié, puis établir l'encadrement $\mathrm{0,38}<p_0<\mathrm{0,39}$ en utilisant les valeurs exactes

$$f(\mathrm{0,38})=\mathrm{0,48997808}\text{et}f(\mathrm{0,39})=\mathrm{0,50745123.}$$

Conclure par une phrase sur ce que vaut, dans ce jeu, une avance de trois manches à deux. (0,5 point)