Exercices — Trigonométrie

Pour chacun des trois triangles rectangles de la figure, nommer l'hypoténuse, puis le côté opposé et le côté adjacent à l'angle marqué.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ ; l'angle marqué est $\widehat{A}$.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$ ; l'angle marqué est $\widehat{E}$.

3. Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$ ; l'angle marqué est $\widehat{M}$.

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$.

1. Écrire $\cos (\widehat{R})$, $\sin (\widehat{R})$ et $\tan (\widehat{R})$ à l'aide des longueurs des côtés du triangle.

2. Même question pour l'angle $\widehat{T}$.

3. Que remarque-t-on en comparant $\sin (\widehat{R})$ et $\cos (\widehat{T})$ ? Expliquer.

Pour chaque situation représentée sur la figure, dire quel rapport trigonométrique (cosinus, sinus ou tangente) permet de répondre à la question posée, et justifier en nommant les côtés en jeu. Aucun calcul n'est demandé.

1. On connaît l'hypoténuse ($10$ cm) et un angle aigu (${35}^{\circ }$) ; on cherche le côté opposé à cet angle.

2. On connaît le côté adjacent à un angle aigu ($6$ cm) et cet angle (${48}^{\circ }$) ; on cherche le côté opposé.

3. On connaît le côté opposé à un angle aigu ($4$ cm) et l'hypoténuse ($7$ cm) ; on cherche la mesure de l'angle.

Rappel de 4e.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AC=9$ cm et $\widehat{BAC}={32}^{\circ }$. Calculer $AB$, arrondi au dixième de centimètre.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$, avec $DE=\mathrm{6,5}$ cm et $\widehat{FDE}={47}^{\circ }$. Calculer $DF$, arrondi au dixième de centimètre.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, avec $AB=10$ cm et $\widehat{BAC}={36}^{\circ }$. Calculer $BC$, arrondi au dixième de centimètre.

2. Le triangle $MNP$ est rectangle en $P$, avec $MN=7$ m et $\widehat{NMP}={54}^{\circ }$. Calculer $NP$, arrondi au dixième de mètre.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=8$ cm et $\widehat{ABC}={41}^{\circ }$. Calculer $AC$, arrondi au dixième de centimètre.

2. Le triangle $GHK$ est rectangle en $H$, avec $HK=9$ cm et $\widehat{HGK}={63}^{\circ }$. Calculer $GH$, arrondi au dixième de centimètre.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $BC=5$ cm et $\widehat{BAC}={40}^{\circ }$. Calculer $AC$, arrondi au dixième de centimètre.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DE=6$ cm et $\widehat{EDF}={27}^{\circ }$. Calculer $DF$, arrondi au dixième de centimètre.

3. Vérifier la cohérence des résultats obtenus : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse doit être le plus grand côté.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB=5$ cm et $AC=8$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, avec $DE=6$ cm et $EF=9$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DFE}$, arrondie au degré.

Pour chaque triangle, calculer la mesure de l'angle marqué d'un point d'interrogation, arrondie au degré. On choisira à chaque fois le rapport trigonométrique adapté aux données.

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $BC=\mathrm{4,2}$ cm et $AB=\mathrm{5,6}$ cm. Calculer $\widehat{BAC}$.

2. Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DE=\mathrm{3,5}$ cm et $DF=\mathrm{6,2}$ cm. Calculer $\widehat{EDF}$.

3. Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$, avec $HI=\mathrm{7,4}$ cm et $GI=\mathrm{9,1}$ cm. Calculer $\widehat{HGI}$.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse.

1. « Le sinus d'un angle aigu peut être égal à $\mathrm{1,2}$. »

2. « Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $\tan (\widehat{A})={\displaystyle \frac{BC}{AB}}$. »

3. « La tangente d'un angle aigu est toujours inférieure à $1$. »

4. « Si, dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur, alors les angles aigus mesurent ${45}^{\circ }$ chacun. »

5. « Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus de l'autre angle aigu. »

Une rampe de skate est schématisée par un triangle $ABC$ rectangle en $A$ : le côté $[AB]$ est vertical, le côté $[AC]$ est posé au sol et le plan incliné $[BC]$ mesure $\mathrm{3,2}$ m. La rampe fait un angle $\widehat{BCA}={25}^{\circ }$ avec le sol.

1. Calculer la hauteur $AB$ de la rampe, arrondie au centimètre.

2. Calculer la longueur au sol $AC$, arrondie au centimètre.

Pour être praticable en fauteuil roulant, le règlement d'un bâtiment impose qu'une rampe d'accès fasse avec l'horizontale un angle d'au plus $5^{\circ }$. La rampe prévue monte de $\mathrm{0,42}$ m pour une longueur horizontale de $5$ m.

1. Calculer l'angle que fait la rampe avec l'horizontale, arrondi au dixième de degré.

2. La rampe est-elle conforme au règlement ?

3. Question bonus. Si on garde la même hauteur mais qu'on raccourcit la longueur horizontale, l'angle augmente-t-il ou diminue-t-il ? Justifier sans calcul.

Depuis un point situé à $40$ m du pied d'un clocher, un observateur voit le sommet sous un angle de ${32}^{\circ }$ par rapport à l'horizontale. Ses yeux sont à $\mathrm{1,60}$ m du sol.

On note $O$ la position de l'œil, $H$ le point du clocher situé à la hauteur de l'œil et $S$ le sommet du clocher : le triangle $OHS$ est rectangle en $H$, avec $OH=40$ m et $\widehat{SOH}={32}^{\circ }$.

1. Calculer $HS$, arrondi au dixième de mètre.

2. En déduire la hauteur totale du clocher, arrondie au dixième de mètre.

Une charpente a la forme d'un triangle $ABC$ isocèle en $A$, avec $BC=9$ m. La hauteur $[AH]$ est perpendiculaire à $[BC]$ et $H$ est le milieu de $[BC]$. Les versants font un angle $\widehat{ABH}={35}^{\circ }$ avec l'horizontale.

1. Donner la longueur $BH$.

2. Calculer la hauteur $AH$ de la charpente, arrondie au centimètre.

3. Calculer la longueur $AB$ d'un versant, arrondie au centimètre.

4. Vérifier la cohérence des résultats avec le théorème de Pythagore.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $\widehat{BAC}={38}^{\circ }$ et $BC=6$ cm.

1. Calculer $AB$, arrondi au centième de centimètre.

2. Calculer $AC$, arrondi au centième de centimètre.

3. En déduire le périmètre du triangle, arrondi au dixième de centimètre.

4. Contrôler la cohérence de vos résultats avec le théorème de Pythagore.

$ABCD$ est un rectangle. Sa diagonale $[AC]$ mesure $12$ cm et fait un angle $\widehat{BAC}={28}^{\circ }$ avec le côté $[AB]$.

1. Expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

2. Calculer $AB$ et $BC$, arrondis au dixième de centimètre.

3. En déduire le périmètre du rectangle, arrondi au dixième de centimètre.

4. Calculer l'aire du rectangle, arrondie au dixième de centimètre carré. On veillera à utiliser les valeurs non arrondies dans ce calcul, et on expliquera pourquoi.