Devoir surveillé — Trigonométrie

Cet exercice se traite sans calculatrice.

On considère un triangle $RST$ rectangle en $S$.

a. (1 pt) Nommer l'hypoténuse de ce triangle, puis le côté opposé à l'angle $\widehat{R}$.

b. (1,5 pt) Écrire les trois rapports trigonométriques de l'angle $\widehat{R}$ ($\cos$, $\sin$ et $\tan$) à l'aide des longueurs des côtés du triangle.

c. (0,75 pt) Un élève affirme avoir trouvé $\sin (\widehat{T})=\mathrm{1,05}$. Expliquer pourquoi c'est impossible.

d. (0,75 pt) Dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de l'hypoténuse et la mesure d'un angle aigu, et on cherche la longueur du côté opposé à cet angle. Quel rapport trigonométrique utilise-t-on ?

Les figures ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Une rédaction complète est attendue pour chaque question.

1. (2 pts) Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DF=8$ cm et $\widehat{EDF}={34}^{\circ }$. Calculer la longueur $EF$, arrondie au dixième de centimètre.

2. (2 pts) Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$, avec $KL=\mathrm{4,5}$ cm et $\widehat{LKM}={58}^{\circ }$. Calculer la longueur $LM$, arrondie au dixième de centimètre.

3. (1 pt) Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$, avec $HI=\mathrm{6,1}$ cm et $\widehat{HGI}={50}^{\circ }$. Calculer la longueur $GI$, arrondie au dixième de centimètre.

Les figures ne sont pas dessinées en vraie grandeur.

1. (2 pts) Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB=7$ cm et $AC=11$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.

2. (1 pt) SANS calculatrice, en déduire la mesure de l'angle $\widehat{BCA}$, arrondie au degré.

3. (1 pt) Le triangle $MNP$ est rectangle en $P$, avec $MP=\mathrm{3,6}$ cm et $PN=\mathrm{4,8}$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{MNP}$, arrondie au degré.

Depuis un bateau $B$, on voit le sommet $S$ d'un phare sous un angle de ${12}^{\circ }$ par rapport à l'horizontale. Le bateau se trouve à $250$ m du pied $P$ du phare. Le phare est vertical et la mer horizontale : le triangle $BPS$ est donc rectangle en $P$. (On néglige la hauteur de l'observateur.)

1. (2 pts) Calculer la hauteur $PS$ du phare, arrondie au mètre.

2. (2 pts) Le bateau avance de $100$ m en direction du phare. Calculer le nouvel angle sous lequel on voit le sommet du phare, arrondi au dixième de degré. (On utilisera la valeur non arrondie de $PS$.)

Une échelle de $6$ m de long est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé sur un sol horizontal, à $\mathrm{1,80}$ m du mur. Les règles de sécurité recommandent que l'échelle fasse avec le sol un angle compris entre ${65}^{\circ }$ et ${75}^{\circ }$.

1. (2 pts) Calculer l'angle que fait l'échelle avec le sol, arrondi au dixième de degré.

2. (1 pt) Cette installation respecte-t-elle les règles de sécurité ? Justifier.