Exercices — Théorème de Thalès et triangles semblables

Pour chacune des trois figures a, b et c ci-dessus :

1. Dire si l'on reconnaît une configuration de Thalès.

2. Si oui, préciser s'il s'agit de la configuration des triangles emboîtés ou de la configuration papillon, donner le sommet commun aux deux triangles et citer les deux alignements de points.

3. Si non, expliquer ce qui manque pour que ce soit une configuration de Thalès.

Sur la figure ci-dessus, les droites $(RU)$ et $(SV)$ se coupent en $T$, et les droites $(RS)$ et $(UV)$ sont parallèles.

1. Nommer le sommet commun aux deux triangles et citer les deux alignements de points, en respectant l'ordre des points sur chaque droite.

2. Recopier et compléter l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès :

3. Un élève a écrit : ${\displaystyle \frac{TR}{TU}}={\displaystyle \frac{TS}{TV}}={\displaystyle \frac{RU}{SV}}$. Expliquer son erreur sur le troisième rapport.

Sur la figure ci-dessus, les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM=3$ cm, $AB=4$ cm, $AC=6$ cm et $BC=8$ cm.

1. Citer la configuration de Thalès reconnue, puis écrire l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.

2. Calculer $AN$.

3. Calculer $MN$.

a. Dans le triangle $RST$, le point $U$ appartient au segment $[RS]$, le point $V$ appartient au segment $[RT]$ et les droites $(UV)$ et $(ST)$ sont parallèles. On donne $RU=\mathrm{2,4}$ cm, $RS=6$ cm, $RT=\mathrm{7,5}$ cm et $ST=5$ cm. Calculer $RV$ et $UV$.

b. Les droites $(DG)$ et $(EF)$ se coupent en $H$, et les droites $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. On donne $HD=5$ cm, $HG=7$ cm, $HE=4$ cm et $DE=6$ cm. Calculer $HF$ et $FG$.

Les segments $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en un point $E$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne $EA=\mathrm{4,8}$ cm, $EB=\mathrm{3,6}$ cm, $EC=6$ cm et $AB=4$ cm.

1. Faire un schéma à main levée de la situation.

2. Calculer $ED$.

3. Calculer $CD$.

Sur la figure ci-dessus, les segments $[PR]$ et $[QS]$ se coupent en $T$. On donne $TP=\mathrm{3,5}$ cm, $TR=\mathrm{5,6}$ cm, $TQ=3$ cm et $TS=\mathrm{4,8}$ cm.

Démontrer que les droites $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles.

Dans le triangle $ABC$ ci-dessus, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$. On donne $AM=4$ cm, $AB=7$ cm, $AN=\mathrm{4,5}$ cm et $AC=8$ cm.

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement.

a. « Les segments $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en $T$, avec $TA=\mathrm{2,1}$ cm, $TB=3$ cm, $TC=\mathrm{2,8}$ cm et $TD=4$ cm. Alors $(AC)\parallel (BD)$. »

b. « Dans un triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ avec $AM=3$ cm et $MB=2$ cm, le point $N$ appartient au segment $[AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$, avec $BC=10$ cm. Alors $MN=15$ cm. »

c. « Dans une configuration de triangles emboîtés où ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=\mathrm{0,6}$, le périmètre du triangle $AMN$ est égal à $\mathrm{0,6}$ fois le périmètre du triangle $ABC$. »

d. « Les segments $[PR]$ et $[QS]$ se coupent en $T$, avec $TP=4$ cm, $TR=6$ cm, $TQ=3$ cm et $TS=5$ cm. Alors $(PQ)\parallel (RS)$. »

1. Sur la figure a, les deux triangles sont-ils semblables ? Justifier.

2. Sur la figure b, les deux triangles sont-ils semblables ? Justifier.

3. Deux triangles équilatéraux quelconques sont-ils toujours semblables ? Justifier.

1. Un triangle a des côtés de longueurs $4$ cm, $6$ cm et $8$ cm ; un second triangle a des côtés de longueurs $6$ cm, $9$ cm et $12$ cm. Ces deux triangles sont-ils semblables ? Justifier.

2. Même question pour un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm et un triangle de côtés $\mathrm{7,5}$ cm, $\mathrm{10,5}$ cm et $14$ cm.

Sur la figure ci-dessus, on donne $\widehat{A}=\widehat{D}$ et $\widehat{B}=\widehat{E}$, ainsi que $AB=\mathrm{4,5}$ cm, $BC=6$ cm, $AC=\mathrm{7,5}$ cm et $DE=6$ cm.

1. Justifier que les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

2. Préciser les côtés homologues.

3. Calculer $EF$ et $DF$.

Pour mesurer la largeur $AB$ d'une rivière sans la traverser, on utilise le dispositif du schéma ci-dessus. Face à un arbre $B$ planté sur la berge opposée, on repère le point $A$ de notre berge tel que $[AB]$ soit perpendiculaire aux berges. On marche ensuite le long de la berge : on plante un piquet en $C$ à $15$ m de $A$, puis un second en $D$, $5$ m plus loin. Enfin, on s'éloigne de la berge perpendiculairement depuis $D$ jusqu'au point $E$ d'où l'on voit $C$ et $B$ alignés. On mesure alors $DE=4$ m.

1. Justifier que les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles, puis reconnaître une configuration de Thalès : préciser le sommet et les alignements.

2. Calculer la largeur $AB$ de la rivière.

Un triangle rectangle a des côtés de longueurs $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On l'agrandit d'un rapport $k=\mathrm{2,5}$.

1. Donner les longueurs des trois côtés du triangle agrandi.

2. Démontrer que le triangle agrandi est lui aussi rectangle.

3. Calculer le périmètre et l'aire de chacun des deux triangles.

4. Par combien le périmètre a-t-il été multiplié ? Et l'aire ? Que remarque-t-on ?

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB=6$ cm et $BC=8$ cm. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ avec $AM=\mathrm{2,4}$ cm, le point $N$ appartient au segment $[AC]$, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

1. Calculer $AC$.

2. Calculer $AN$ et $MN$.

3. Quelle est la nature du triangle $AMN$ ? Justifier sans calcul, puis vérifier avec les longueurs trouvées.

Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$, avec $(MN)\parallel (BC)$. Le point $P$ appartient au segment $[BC]$, avec $(NP)\parallel (AB)$. On donne $AM=3$ cm, $MB=\mathrm{4,5}$ cm, $AC=10$ cm et $BC=9$ cm.

1. Calculer $AN$ puis $MN$.

2. Démontrer que le quadrilatère $MBPN$ est un parallélogramme ; en déduire $BP$.

3. Retrouver la valeur de $BP$ en appliquant le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$, avec le sommet $C$, les points $N\in [CA]$ et $P\in [CB]$, et les droites $(NP)$ et $(AB)$ parallèles.

Léa veut mesurer la hauteur d'un arbre. Elle pose un miroir au sol en un point $M$, puis recule jusqu'à voir le sommet de l'arbre dans le miroir. Les lois de la réflexion assurent que les deux rayons lumineux font des angles égaux avec le sol au point $M$. Ses yeux sont à $\mathrm{1,5}$ m du sol, ses pieds à $2$ m du miroir, et le pied de l'arbre est à $12$ m du miroir.

1. Expliquer pourquoi les deux triangles (œil, pieds de Léa, $M$ d'une part ; sommet de l'arbre, pied de l'arbre, $M$ d'autre part) sont semblables.

2. Calculer la hauteur de l'arbre.

3. Avec le même procédé, Léa mesure un lampadaire : ses pieds sont à $\mathrm{2,5}$ m du miroir et le pied du lampadaire à $7$ m. Quelle est la hauteur du lampadaire ?