3ᵉ · Chapitre 10 · Espace et géométrie

Devoir surveillé — Théorème de Thalès et triangles semblables

Sujet type, 55 min, barème sur 20 points. À faire en conditions réelles avant de regarder le corrigé.

Sommaire

Sujet type DS — 55 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (4 points) — Configurations et question de cours

Configuration papillon : les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les points B, A, M sont alignés ainsi que les points C, A, N, de part et d'autre de A ; les droites (MN) et (BC) sont parallèles, le parallélisme est codé par des chevrons ; aucune longueur n'est indiquée

Sur la figure ci-dessus, les droites $(B M)$ et $(C N)$ sont sécantes en $A$ , et les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles.

(1 pt) Quel est le nom de la configuration de Thalès reconnue sur cette figure ? Préciser le sommet commun et citer les deux alignements de points (en respectant l'ordre des points).
(1,5 pt) Recopier et compléter l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès :

\frac{A M}{\dots} = \frac{\dots}{A C} = \frac{M N}{\dots}

(1,5 pt) Question de cours : énoncer la réciproque du théorème de Thalès (les hypothèses, sans oublier la condition sur l'ordre des points, puis la conclusion).

Exercice 2 (5 points) — Calculs de longueurs

Configuration papillon : les droites (RU) et (SV) sont sécantes en T ; les droites (RS) et (UV) sont parallèles, le parallélisme est codé par des chevrons ; les longueurs indiquées sont TR = 4 cm, TU = 6 cm, TS = 5 cm et RS = 7 cm

Sur la figure ci-dessus, les droites $(R U)$ et $(S V)$ sont sécantes en $T$ , et les droites $(R S)$ et $(U V)$ sont parallèles.

On donne : $T R = 4$ cm, $T U = 6$ cm, $T S = 5$ cm et $R S = 7$ cm.

(1 pt) Écrire l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.
(2 pts) Calculer la longueur $T V$ .
(2 pts) Calculer la longueur $U V$ .

Exercice 3 (4 points) — Parallèles ou pas ?

Deux sous-figures sans codage de parallélisme. Figure a : triangle ABC avec M sur le segment [AB] et N sur le segment [AC] ; les longueurs indiquées sont AM = 5,4 cm, AB = 9 cm, AN = 4,2 cm et AC = 7 cm. Figure b : les segments [KM] et [LN] se coupent en T ; les longueurs indiquées sont TK = 3 cm, TM = 4,5 cm, TL = 4 cm et TN = 5,5 cm

Les deux figures ci-dessus ne sont pas tracées en vraie grandeur.

Figure a. Dans le triangle $A B C$ , le point $M$ appartient au segment $[A B]$ et le point $N$ appartient au segment $[A C]$ . On donne : $A M = 5,4$ cm, $A B = 9$ cm, $A N = 4,2$ cm et $A C = 7$ cm.

Figure b. Les segments $[K M]$ et $[L N]$ se coupent en $T$ . On donne : $T K = 3$ cm, $T M = 4,5$ cm, $T L = 4$ cm et $T N = 5,5$ cm.

(2 pts) (figure a) Les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
(2 pts) (figure b) Les droites $(K L)$ et $(M N)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 4 (4 points) — Triangles semblables

Deux triangles RST et UVW, non tracés en vraie grandeur. Dans le triangle RST, les angles marqués sont l'angle R de 42 degrés et l'angle S de 71 degrés, et le côté RS mesure 6 cm. Dans le triangle UVW, les angles marqués sont l'angle U de 42 degrés et l'angle W de 67 degrés, et le côté UV mesure 9 cm

Les triangles $R S T$ et $U V W$ ci-dessus ne sont pas tracés en vraie grandeur.

Dans le triangle $R S T$ : $\hat{R} = 42^{\circ}$ , $\hat{S} = 71^{\circ}$ et $R S = 6$ cm.

Dans le triangle $U V W$ : $\hat{U} = 42^{\circ}$ , $\hat{W} = 67^{\circ}$ et $U V = 9$ cm.

(2 pts) Démontrer que les triangles $R S T$ et $U V W$ sont semblables.
(2 pts) On donne $S T = 5$ cm. Calculer la longueur $V W$ .

Exercice 5 (3 points) — L'ombre du lampadaire

Schéma : un lampadaire vertical et une personne verticale, plus proche du bout de l'ombre, sur un sol horizontal ; les ombres du lampadaire et de la personne se terminent au même point S ; les mesures indiquées sont la hauteur de la personne 1,80 m, la distance de S aux pieds de la personne 2,4 m et la distance de S au pied du lampadaire 8 m

Le soir, l'ombre d'une personne de $1,80$ m et celle d'un lampadaire se terminent exactement au même point $S$ . La personne se trouve à $2,4$ m du point $S$ et le pied du lampadaire à $8$ m du point $S$ .

(1 pt) Expliquer pourquoi le théorème de Thalès s'applique dans cette situation (préciser les droites parallèles et la configuration reconnue).
(2 pts) Calculer la hauteur du lampadaire.

Le sujet du DS(PDF, 72 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 84 Ko)

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