Exercices — Rotation et homothétie

La figure ci-dessous représente une rosace, comme on peut en voir sur les vitraux des cathédrales. Elle est formée de $8$ pétales identiques, régulièrement répartis autour du point $O$ et numérotés de 1 à 8 dans le sens des aiguilles d'une montre.

1. Justifie que, pour passer d'un pétale au pétale voisin, on tourne de ${45}^{\circ }$ autour de $O$.

2. Donne le centre, l'angle et le sens d'une rotation qui transforme :

   a. le pétale 1 en le pétale 2 ;

   b. le pétale 1 en le pétale 3 ;

   c. le pétale 6 en le pétale 4.

3. Quelle est l'image du pétale 5 par la rotation de centre $O$, d'angle ${135}^{\circ }$, dans le sens des aiguilles d'une montre ?

4. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le pétale 1 en le pétale 5. Donne son angle. Pourquoi est-il inutile de préciser le sens pour cette rotation ?

Sur la figure ci-dessous, le point $O$ est marqué d'une croix sur un quadrillage. On rappelle qu'un quart de tour est une rotation d'angle ${90}^{\circ }$.

1. Reproduis la figure. Pour aller de $O$ à $A$, on avance de $2$ carreaux vers la droite ; après le quart de tour de centre $O$ dans le sens des aiguilles d'une montre, ce chemin devient « $2$ carreaux vers le bas ». Place ainsi le point $A^{\mathrm{\prime }}$, image de $A$ par ce quart de tour.

2. Construis de la même façon les points $B^{\mathrm{\prime }}$ et $C^{\mathrm{\prime }}$, images respectives des points $B$ et $C$ par ce même quart de tour.

3. Les points $M$, $N$, $P$ et $R$ sont déjà placés sur la figure.

   a. Parmi ces points, lequel est l'image de $M$ par le quart de tour de centre $O$ dans le sens des aiguilles d'une montre ?

   b. De quel point déjà placé le point $R$ est-il l'image par ce même quart de tour ?

Sur la figure ci-dessous, le point $O$ est marqué d'une croix et le triangle $ABC$ est tracé sur un quadrillage.

1. Reproduis la figure, puis construis le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$, image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${90}^{\circ }$ dans le sens des aiguilles d'une montre. Tu pourras compter les carreaux : après ce quart de tour, un déplacement « vers la droite » devient un déplacement « vers le bas », et un déplacement « vers le haut » devient un déplacement « vers la droite ».

2. Construis le triangle $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, image du triangle $ABC$ par le demi-tour de centre $O$. Quelle transformation étudiée en 5e reconnais-tu ?

3. Sans rien mesurer, donne les longueurs $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ et $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ en carreaux. Justifie.

Sur la figure ci-dessous, on a placé un point $O$ et un segment $[AB]$ tels que $OA=4$ cm, $OB=5$ cm et $AB=2$ cm.

1. Décris les étapes de la construction, au compas et au rapporteur, du point $A^{\mathrm{\prime }}$, image du point $A$ par la rotation de centre $O$, d'angle ${60}^{\circ }$, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

2. Reproduis la figure en vraie grandeur sur ton cahier, puis effectue cette construction. Construis de même le point $B^{\mathrm{\prime }}$, image du point $B$ par cette rotation, et trace le segment $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$.

3. Quelle est la longueur du segment $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$ ? Justifie sans mesurer.

4. a. Justifie que le triangle $OA{A}^{\mathrm{\prime }}$ est isocèle en $O$.

   b. Calcule les mesures des angles $\widehat{OA{A}^{\mathrm{\prime }}}$ et $\widehat{O{A}^{\mathrm{\prime }}A}$. Que peut-on en déduire de plus précis sur la nature du triangle $OA{A}^{\mathrm{\prime }}$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse.

1. Si le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du triangle $ABC$ par une rotation, alors les triangles $ABC$ et $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ ont le même périmètre.

2. L'image d'un cercle de rayon $3$ cm par une rotation peut être un cercle de rayon $4$ cm.

3. La rotation de centre $O$ et d'angle ${180}^{\circ }$ est la symétrie centrale de centre $O$.

4. Si $M^{\mathrm{\prime }}$ est l'image d'un point $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${50}^{\circ }$ dans le sens des aiguilles d'une montre, alors $O{M}^{\mathrm{\prime }}=OM$.

5. Une rotation d'angle ${360}^{\circ }$ ramène chaque figure sur elle-même.

6. Si le segment $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$ est l'image du segment $[AB]$ par une rotation d'angle ${90}^{\circ }$, alors les droites $(AB)$ et $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }})$ sont parallèles.

Sur la figure ci-dessous, le quadrilatère $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du quadrilatère $ABCD$ par la rotation de centre $O$, d'angle ${120}^{\circ }$, dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans cet exercice, on répond à toutes les questions sans construction et sans rien mesurer sur la figure.

On donne : $AB=7$ cm, $BC=5$ cm, $CD=4$ cm, $DA=4$ cm, les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ADC}$ sont droits, et $\widehat{ABC}={53}^{\circ }$ (mesure arrondie au degré).

1. Calcule le périmètre du quadrilatère $ABCD$, puis déduis-en celui de $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$. Justifie.

2. a. Calcule l'aire du quadrilatère $ABCD$. Tu pourras le découper en un rectangle et un triangle rectangle.

   b. Déduis-en l'aire du quadrilatère $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$. Justifie.

3. Donne, en justifiant, les mesures des angles $\widehat{D^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}$ et $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}$.

4. Les réponses aux questions précédentes changeraient-elles si l'angle de la rotation était ${75}^{\circ }$ au lieu de ${120}^{\circ }$ ? Explique.

La figure ci-dessous représente un pavage tracé sur un quadrillage de $6$ carreaux sur $4$ : six motifs en forme de L, formés chacun de $4$ carreaux et numérotés de 1 à 6, recouvrent le rectangle sans trou ni chevauchement. Les points $E$ et $F$ sont des nœuds du quadrillage.

1. Le motif 2 est l'image du motif 1 par une rotation de centre $E$. Donne l'angle et le sens de cette rotation.

2. Donne une rotation qui transforme le motif 1 en le motif 3. Pourquoi est-il inutile de préciser le sens de cette rotation ?

3. Quelle est l'image du motif 4 par la rotation de centre $E$, d'angle ${90}^{\circ }$, dans le sens des aiguilles d'une montre ?

4. a. Donne une rotation qui transforme le motif 5 en le motif 6.

   b. Amir affirme : « il existe aussi une rotation qui transforme le motif 2 en le motif 5, puisque ces deux motifs ont la même forme de L ». Explique pourquoi il se trompe.

5. Sans compter les carreaux du motif 3, justifie que son aire est égale à celle du motif 1.

Sur la figure ci-dessous, le point $O$ est marqué d'une croix et le triangle $ABC$ est tracé sur un quadrillage.

1. Reproduis la figure sur ton cahier. Pour aller de $O$ à $A$, on se déplace de $2$ carreaux vers la droite. Place le point $A^{\mathrm{\prime }}$, image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ : le point $A^{\mathrm{\prime }}$ se trouve sur la demi-droite $[OA)$ et $O{A}^{\mathrm{\prime }}=2\times OA$.

2. En comptant les carreaux de la même façon, place les points $B^{\mathrm{\prime }}$ et $C^{\mathrm{\prime }}$, images des points $B$ et $C$ par cette homothétie, puis trace le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$.

3. a. Que peux-tu dire des droites $(AB)$ et $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }})$ ?

   b. Que peux-tu dire de la longueur $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à la longueur $AB$ ?

Sur la figure ci-dessous, le point $O$ est marqué d'une croix et le quadrilatère $ABCD$ est tracé sur un quadrillage.

1. Pour aller de $O$ à $A$, on se déplace de $2$ carreaux vers la droite. Où se trouve le point $A^{\mathrm{\prime }}$, image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?

2. Reproduis la figure, puis construis le quadrilatère $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$, image de $ABCD$ par cette homothétie.

3. a. Compte, en carreaux, les longueurs $AB$ et $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$. Que constates-tu ?

   b. Sans rien mesurer, que peut-on dire du périmètre du quadrilatère $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à celui de $ABCD$ ? Justifie.

4. L'image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ est-elle un agrandissement ou une réduction de $ABCD$ ? Justifie à l'aide du rapport.

Sur la figure ci-dessous, le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie, mais le centre de cette homothétie n'est pas marqué.

1. Reproduis la figure, puis trace les droites $(A{A}^{\mathrm{\prime }})$, $(B{B}^{\mathrm{\prime }})$ et $(C{C}^{\mathrm{\prime }})$. Que constates-tu ?

2. Déduis-en la position du centre $O$ de l'homothétie, et place-le sur la figure.

3. En comptant des carreaux sur la droite $(A{A}^{\mathrm{\prime }})$, détermine le rapport de cette homothétie. Tu préciseras son signe en justifiant.

4. Vérifie ta réponse en comparant les longueurs $OC$ et $O{C}^{\mathrm{\prime }}$.

Sur la figure ci-dessous, le point $O$ est marqué d'une croix et le triangle $ABC$ est tracé sur un quadrillage.

Rappel. Quand le rapport $k$ d'une homothétie de centre $O$ est négatif, l'image $M^{\mathrm{\prime }}$ d'un point $M$ se trouve sur la demi-droite opposée à $[OM)$, de l'autre côté de $O$, et la distance $O{M}^{\mathrm{\prime }}$ est égale à $OM$ multipliée par la distance à zéro de $k$.

1. Reproduis la figure. Pour aller de $A$ à $O$, on se déplace de $2$ carreaux vers la droite et de $1$ carreau vers le haut. Place le point $A^{\mathrm{\prime }}$, image de $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$.

2. Construis de même les points $B^{\mathrm{\prime }}$ et $C^{\mathrm{\prime }}$, puis trace le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$.

3. a. De quel côté du point $O$ se trouve le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ par rapport au triangle $ABC$ ?

   b. Qu'observes-tu sur le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ : dans quel sens la figure est-elle tournée ? Que dire de ses dimensions ?

4. D'après ce que tu viens d'observer, à quelle transformation déjà étudiée dans les classes précédentes correspond l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-1$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse. Lorsqu'une affirmation est fausse, un contre-exemple chiffré suffit.

1. Un triangle a des côtés de longueurs $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm, et son aire vaut $30{\text{cm}}^2$. On l'agrandit avec le rapport $k=3$.

   a. Donne les longueurs des trois côtés du triangle agrandi.

   b. Calcule le périmètre du triangle agrandi de deux façons différentes.

   c. Quelle est l'aire du triangle agrandi ?

2. Une figure a une aire de $\mathrm{28,8}{\text{cm}}^2$. On la réduit en multipliant toutes ses longueurs par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Quelle est l'aire de la figure réduite ?

3. Dans chaque cas, retrouve le rapport $k$ (avec $k>0$) de l'agrandissement ou de la réduction.

   a. L'aire est multipliée par $9$.

   b. L'aire est multipliée par $25$.

   c. Le périmètre est multiplié par $7$.

   d. L'aire est multipliée par $\mathrm{2,25}$.

   e. L'aire est divisée par $16$.

   f. L'aire est multipliée par $\mathrm{0,49}$.

Pour la fête de la science, la classe de troisième fabrique une maquette de la mairie du village à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{50}}$ : la maquette est une réduction de la réalité de rapport ${\displaystyle \frac{1}{50}}$, c'est-à-dire que toutes les longueurs réelles sont divisées par $50$.

1. Le bâtiment mesure $30$ m de long et $12$ m de haut. Calcule la longueur et la hauteur de la maquette, en centimètres.

2. Sur la maquette, la porte d'entrée mesure $4$ cm de haut. Quelle est la hauteur réelle de la porte, en mètres ?

3. La façade principale du bâtiment est un rectangle de $30$ m sur $12$ m.

   a. Calcule l'aire réelle de cette façade.

   b. Calcule l'aire de la façade sur la maquette, en ${\text{cm}}^2$, de deux façons différentes.

4. Une citerne de récupération d'eau de pluie, de volume $20{\text{m}}^3$, est installée derrière la mairie ; elle figure aussi sur la maquette.

   a. Par quel nombre le volume est-il divisé quand on passe de la réalité à la maquette ?

   b. Déduis-en le volume de la citerne miniature, en ${\text{cm}}^3$. (Rappel : $1{\text{m}}^3=1000000{\text{cm}}^3$.)

Sur la figure ci-dessus, qui n'est pas en vraie grandeur, $M$ est un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[AC]$, avec $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=3$ cm, $AB=\mathrm{7,5}$ cm, $AN=\mathrm{3,6}$ cm et $MN=4$ cm.

1. a. Calcule le quotient ${\displaystyle \frac{AB}{AM}}$.

   b. Justifie que $B$ est l'image de $M$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\mathrm{2,5}$.

   c. Explique pourquoi le triangle $ABC$ est l'image du triangle $AMN$ par cette homothétie.

2. Déduis-en les longueurs $BC$ et $AC$.

3. Retrouve la longueur $AC$ en appliquant le théorème de Thalès dans cette configuration. Que remarques-tu en comparant les quotients de Thalès et le rapport de l'homothétie ?

Pour estimer la hauteur d'un arbre, Léo s'allonge par terre et place son œil au point $O$, au ras du sol. Son amie Jade plante un bâton vertical $[MN]$ de $\mathrm{1,5}$ m de haut, puis le déplace jusqu'à ce que Léo voie le sommet $N$ du bâton exactement aligné avec la cime $C$ de l'arbre. Le bâton se trouve alors à $2$ m de l'œil de Léo, et le pied $B$ de l'arbre à $14$ m. Le sol est horizontal, le bâton et l'arbre sont verticaux.

1. a. Justifie que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

   b. Explique pourquoi le triangle $OBC$ est l'image du triangle $OMN$ par une homothétie de centre $O$, et donne le rapport de cette homothétie.

2. Calcule la hauteur $BC$ de l'arbre, puis la distance $OC$ entre l'œil de Léo et la cime, sachant que $ON=\mathrm{2,5}$ m.

3. a. Justifie que le triangle $OMN$ est rectangle en $M$, puis calcule son aire.

   b. Déduis-en l'aire du triangle $OBC$, puis vérifie ce résultat par un calcul direct.

La calculatrice est autorisée.

Sur la photocopieuse du collège, le bouton « A4 $\to$ A5 » réduit le document à $71\mathrm{\%}$ : la photocopie est une réduction de l'original de rapport $k=\mathrm{0,71}$. Une feuille A4 mesure $21$ cm sur $\mathrm{29,7}$ cm.

1. Calcule les dimensions de la photocopie obtenue à partir d'une feuille A4, arrondies au millimètre.

2. Le mode d'emploi affirme : « avec le réglage à $71\mathrm{\%}$, la surface de la feuille est divisée par $2$ ».

   a. Calcule l'aire d'une feuille A4, puis l'aire de la photocopie arrondie au ${\text{cm}}^2$ (utilise le rapport de réduction, pas les dimensions arrondies de la question 1).

   b. L'affirmation du mode d'emploi est-elle rigoureusement exacte ? Justifie à l'aide de $k^2$.

3. Malik veut que la surface de son document soit divisée exactement par $4$. Quel pourcentage doit-il taper sur la photocopieuse ? Justifie.

4. Lina a un document au format A5 et veut l'agrandir au format A4. Quel rapport d'agrandissement doit-elle utiliser ? Donne le pourcentage correspondant, arrondi à l'unité.