Devoir surveillé — Rotation et homothétie

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier la réponse choisie sur la copie et justifier : une réponse exacte non justifiée ne rapporte que la moitié des points.

1. (1 pt) Le triangle $RST$ a un périmètre de $15$ cm. Son image $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${60}^{\circ }$, dans le sens des aiguilles d'une montre, a un périmètre de :

2. (1 pt) Un rectangle a une aire de $6{\text{cm}}^2$. On l'agrandit avec le rapport $3$. L'aire du rectangle agrandi est :

3. (1 pt) Le point $M$ est tel que $OM=2$ cm. Son image $M^{\mathrm{\prime }}$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$ est le point tel que :

a. $M^{\mathrm{\prime }}$ appartient à la demi-droite $[OM)$ et $O{M}^{\mathrm{\prime }}=6$ cm

b. $M^{\mathrm{\prime }}$ appartient à la demi-droite opposée à $[OM)$ et $O{M}^{\mathrm{\prime }}=6$ cm

c. $M^{\mathrm{\prime }}$ appartient à la demi-droite opposée à $[OM)$ et $O{M}^{\mathrm{\prime }}=-6$ cm

Les constructions seront réalisées directement sur la figure ci-dessus, qui sera rendue avec la copie.

1. (1,5 pt) Construire l'image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${90}^{\circ }$, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

2. (1,5 pt) Construire l'image $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${180}^{\circ }$.

3. (0,5 pt) Quelle transformation, étudiée en 5e, permet aussi de passer du triangle $ABC$ au triangle $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ?

4. (0,5 pt) L'aire du triangle $ABC$ vaut $2$ carreaux. Donner, sans aucune construction supplémentaire, l'aire du triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$. Justifier.

Les constructions seront réalisées directement sur la figure ci-dessus, qui sera rendue avec la copie.

1. (1,5 pt) Construire l'image $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ du triangle $EFG$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$. Laisser apparents les traits de construction.

2. (1,5 pt) Construire l'image $E^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ du triangle $EFG$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$.

3. (0,75 pt) On donne $EG=2$ cm. Donner, en justifiant, les longueurs $E^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ et $E^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

4. (0,75 pt) L'aire du triangle $EFG$ vaut $1$ carreau. Quelle est l'aire du triangle $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ ? Justifier.

Pour présenter le projet de la future piscine municipale, un architecte fabrique une maquette. Le bassin réel a la forme d'un pavé droit de longueur $10$ m, de largeur $4$ m et de profondeur $2$ m. La maquette est une réduction de rapport ${\displaystyle \frac{1}{50}}$ du bassin réel.

1. (1 pt) Calculer les trois dimensions du bassin de la maquette. Donner les résultats en centimètres.

2. (1,5 pt) Le fond du bassin réel est un rectangle.

   a. Calculer l'aire du fond du bassin réel, en ${\text{m}}^2$.

   b. En déduire, en utilisant le rapport de réduction, l'aire du fond du bassin de la maquette. Donner le résultat en ${\text{cm}}^2$.

3. (1,5 pt) Le bassin réel est un pavé droit.

   a. Calculer le volume du bassin réel, en ${\text{m}}^3$.

   b. En déduire, en utilisant le rapport de réduction, le volume du bassin de la maquette. Donner le résultat en ${\text{cm}}^3$.

On rappelle que $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$ et que $1{\text{m}}^3=1000000{\text{cm}}^3$.

Une chambre noire est l'ancêtre de l'appareil photo : une boîte fermée, percée d'un tout petit trou $O$. La lumière entre par ce trou et forme l'image de la scène photographiée sur l'écran situé au fond de la boîte.

Un photographe vise un arbre $[AB]$ de hauteur $AB=\mathrm{4,5}$ m. Son image sur l'écran est le segment $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$. Sur le schéma ci-dessus, qui n'est pas à l'échelle :

• les points $A$, $O$, $A^{\mathrm{\prime }}$ sont alignés, ainsi que les points $B$, $O$, $B^{\mathrm{\prime }}$ ;
• les droites $(AB)$ et $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }})$ sont parallèles ;
• $OB=6$ m et $O{B}^{\mathrm{\prime }}=40$ cm.

1. (1,5 pt) Justifier que le théorème de Thalès s'applique, puis calculer la hauteur $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ de l'image. Donner le résultat en centimètres.

2. (1,5 pt) Le triangle $O{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du triangle $OAB$ par une homothétie. Préciser son centre et son rapport, en justifiant le signe de ce rapport.

3. (0,5 pt) Sur l'écran, l'image de l'arbre apparaît-elle à l'endroit ou renversée ? Justifier à l'aide de la question 2.

4. (1 pt) On admet que l'aire du triangle $OAB$ vaut $\mathrm{13,5}{\text{m}}^2$. Calculer l'aire du triangle $O{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$, puis l'exprimer en ${\text{cm}}^2$.