Exercices — Probabilités

On lance un dé équilibré à $6$ faces, numérotées de $1$ à $6$, et on lit le nombre inscrit sur la face supérieure.

1. Explique pourquoi cette expérience est une expérience aléatoire.

2. Liste toutes les issues de cette expérience. Combien y en a-t-il ?

3. Pour chacun des événements suivants, indique s'il s'agit d'un événement élémentaire (c'est-à-dire réalisé par une seule issue) et donne la ou les issues qui le réalisent.

4. Donne un exemple d'événement certain, puis un exemple d'événement impossible pour cette expérience.

Lors d'une kermesse, on fait tourner une roue de loterie équilibrée, partagée en $8$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $8$. Quand la roue s'arrête, une flèche désigne le numéro gagnant.

1. Liste les issues favorables à chacun des événements suivants.

2. Décris par une phrase, sans aucun calcul, l'événement contraire $\bar{B}$.

3. Décris de même l'événement contraire $\bar{C}$, puis liste les issues qui le réalisent.

4. Donne un exemple d'événement impossible pour cette expérience.

On lance un dé équilibré à $6$ faces, numérotées de $1$ à $6$ : toutes les faces ont la même chance de sortir.

Calcule la probabilité de chacun des événements suivants. Donne chaque résultat sous forme de fraction la plus simple possible.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $2$ boules bleues. On tire une boule au hasard.

1. Calcule la probabilité de tirer une boule rouge. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible, puis en écriture décimale.

2. Calcule de même la probabilité de tirer une boule verte, puis celle de tirer une boule bleue. Donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.

3. Calcule la probabilité de l'événement « ne pas tirer une boule rouge ».

4. On veut modifier l'urne pour que la probabilité de tirer une boule verte soit égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Combien de boules vertes faut-il ajouter dans l'urne ? Justifie ta réponse.

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes bien mélangé. Un tel jeu comporte $4$ « couleurs » (pique, cœur, carreau et trèfle) et, pour chaque couleur, $8$ hauteurs : $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi et as. Le cœur et le carreau sont des couleurs rouges, le pique et le trèfle des couleurs noires.

1. Calcule la probabilité de chacun des événements suivants. Donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.

2. Vrai ou faux ? « Il y a plus d'une chance sur trois de tirer une figure. » Justifie ta réponse.

1. Pour chacun des événements suivants, formule l'événement contraire par une phrase.

2. Dans chaque cas, on donne la probabilité d'un événement. Calcule la probabilité de l'événement contraire.

Une roue de loterie est partagée en quatre secteurs de tailles différentes : rouge, bleu, vert et jaune. La roue n'est donc pas équilibrée. On la fait tourner et on note la couleur du secteur désigné par la flèche. On sait que :

$$p(\text{rouge})=\mathrm{0,4}p(\text{bleu})=\mathrm{0,25}p(\text{vert})=\mathrm{0,2}$$

1. Calcule la probabilité d'obtenir le secteur jaune. Justifie.

2. Calcule la probabilité de l'événement « obtenir le rouge ou le bleu ». Justifie pourquoi tu as le droit d'additionner les deux probabilités.

3. Calcule la probabilité de l'événement « ne pas tomber sur le rouge ».

4. Vrai ou faux : « on a plus d'une chance sur deux d'obtenir le rouge ou le vert ». Justifie.

On a lancé $2000$ fois un dé équilibré à six faces. Le graphique ci-dessous montre l'évolution de la fréquence d'apparition du six au fil des lancers. La droite en pointillés correspond à la valeur ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

1. Décris le comportement de la courbe pour les premiers lancers, puis pour un grand nombre de lancers.

2. Vers quelle valeur la fréquence d'apparition du six se stabilise-t-elle ? Explique pourquoi.

3. Si on lançait ce dé $6000$ fois, environ combien de six peut-on prévoir d'obtenir ?

4. Après $5$ lancers sans aucun six, a-t-on plus de chances d'obtenir un six au $6^{\text{e}}$ lancer ? Explique.

Quand on lance une punaise, elle peut retomber de deux façons : « pointe en l'air » ou « pointe contre le sol ». Pour estimer les chances de chaque position, on a lancé un grand nombre de fois la même punaise et noté les résultats cumulés dans le tableau ci-dessous.

1. Calcule la fréquence de « pointe en l'air » pour chacune des quatre étapes de l'expérience. Arrondis au millième si nécessaire.

2. Propose une estimation de la probabilité que la punaise retombe « pointe en l'air ».

3. Il y a deux issues possibles. Explique pourquoi on ne peut pourtant pas affirmer que chacune a une probabilité de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

4. Déduis-en une estimation de la probabilité que la punaise retombe « pointe contre le sol ».

On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un bleu, et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus. Le tableau à double entrée ci-dessous donne quelques-unes de ces sommes : les lignes correspondent au dé rouge, les colonnes au dé bleu.

1. Recopie et complète le tableau.

2. Combien y a-t-il d'issues équiprobables pour ce lancer de deux dés ?

3. Calcule la probabilité de chacun des événements suivants. Donne les résultats sous forme de fractions les plus simples possible.

a. « La somme est égale à $7$. »

b. « La somme est égale à $12$. »

c. « La somme est inférieure ou égale à $4$. »

4. Quelle est la somme la plus probable ? Vrai ou faux : « toutes les sommes ont la même probabilité ». Justifie.

Une enquête a été menée auprès des $200$ élèves de troisième d'un collège. On a demandé à chaque élève s'il est demi-pensionnaire ou externe. Les résultats sont partiellement reportés dans le tableau ci-dessous.

1. Recopie et complète le tableau.

2. On choisit un élève au hasard parmi les $200$ élèves de troisième.

a. Calcule la probabilité que ce soit une fille. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible, puis sous forme décimale.

b. Calcule la probabilité que ce soit un garçon externe.

3. On choisit maintenant un élève au hasard parmi les externes. Calcule la probabilité que ce soit une fille.

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. À chaque lancer, on note le côté obtenu : Pile ($P$) ou Face ($F$).

1. Construis l'arbre des possibles de cette expérience à deux épreuves.

2. Écris la liste de toutes les issues de l'expérience. Explique pourquoi ces issues sont équiprobables.

3. Calcule la probabilité de chacun des événements suivants :

a. $A$ : « obtenir deux fois pile » ;

b. $B$ : « obtenir exactement une fois pile » ;

c. $C$ : « obtenir au moins une fois face ».

Un sac contient trois jetons indiscernables au toucher : un jeton rouge ($R$), un jeton vert ($V$) et un jeton bleu ($B$).

On tire un jeton au hasard, on note sa couleur, on le remet dans le sac, puis on tire à nouveau un jeton au hasard et on note sa couleur.

1. Construis l'arbre des possibles de cette expérience, puis dénombre les issues. Explique pourquoi elles sont équiprobables.

2. Calcule la probabilité de tirer deux jetons de la même couleur.

3. Déduis-en la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes.

4. Calcule la probabilité de l'événement « tirer au moins un jeton rouge ».

À la fête foraine, un forain propose un jeu : le joueur fait tourner une roue équilibrée partagée en $12$ secteurs identiques. Un secteur porte la mention « gros lot », trois secteurs portent la mention « petit lot » et tous les autres portent la mention « perdu ».

Partie A — Probabilités théoriques

1. Calcule la probabilité de gagner le gros lot.

2. Calcule la probabilité de l'événement $G$ : « gagner quelque chose ». Justifie soigneusement.

3. Déduis-en la probabilité de perdre.

Partie B — Fréquences observées

Un samedi, $600$ parties ont été jouées et $195$ d'entre elles ont été gagnantes.

4. Calcule la fréquence des parties gagnantes ce samedi-là.

5. Compare cette fréquence à la probabilité théorique de gagner. Que peux-tu en conclure ?

6. Le forain affirme : « La roue est truquée, car il y a eu moins de gagnants que prévu. » Qu'en penses-tu ? Explique.

Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher : deux jetons rouges, notés $R_1$ et $R_2$, et deux jetons verts, notés $V_1$ et $V_2$.

On tire un jeton au hasard, on ne le remet pas dans le sac, puis on tire un second jeton au hasard.

1. Explique pourquoi il est utile de numéroter les jetons ($R_1$, $R_2$, $V_1$, $V_2$) plutôt que de raisonner seulement avec les couleurs.

2. Dénombre toutes les issues de cette expérience, à l'aide d'un arbre des possibles ou d'une liste ordonnée.

3. Calcule la probabilité de tirer deux jetons de la même couleur, puis la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes.

4. Ouverture. On reprend la même expérience, mais cette fois on remet le premier jeton dans le sac avant le second tirage. Calcule la probabilité de tirer deux jetons de la même couleur, et explique pourquoi le résultat est différent de celui de la question 3.