Devoir surveillé — Probabilités

Un sac opaque contient $10$ jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $10$. On tire un jeton au hasard et on note son numéro.

1. (0,5 pt) Lister les issues favorables à l'événement $M$ : « obtenir un multiple de $4$ ».

2. (1 pt) Question de cours : que signifie la phrase « les issues de cette expérience sont équiprobables » ? Expliquer pourquoi c'est le cas ici.

3. (1,5 pt) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants. Donner chaque résultat sous forme de fraction irréductible.

4. (1 pt) Donner un exemple d'événement impossible pour cette expérience, puis indiquer sa probabilité.

À la fête du collège, un stand propose de faire tourner une roue partagée en quatre secteurs de couleurs différentes : rouge, vert, bleu et jaune. La roue n'est pas équilibrée : les secteurs n'ont pas tous la même taille. On sait que la probabilité d'obtenir le rouge est $\mathrm{0,35}$, celle d'obtenir le vert est $\mathrm{0,25}$ et celle d'obtenir le bleu est $\mathrm{0,3}$.

1. (1 pt) Calculer la probabilité d'obtenir le jaune. Justifier.

2. (1 pt) Calculer la probabilité d'obtenir le rouge ou le vert. Justifier.

3. (1 pt) Calculer la probabilité de ne pas obtenir le bleu. On détaillera le calcul.

4. (1 pt) Un élève affirme : « obtenir le jaune est deux fois moins probable qu'obtenir le vert ». Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier par un calcul.

Un jeu de société utilise un dé spécial à $4$ faces, numérotées de $1$ à $4$. Avant de l'utiliser, on souhaite vérifier qu'il n'est pas truqué : on le lance $2000$ fois et on note à chaque fois la face obtenue. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous.

1. (1,5 pt) Calculer la fréquence d'apparition de chaque face, sous forme décimale. On détaillera au moins un calcul.

2. (1 pt) Ce dé semble-t-il équilibré ? Justifier à l'aide de la question précédente.

3. (0,5 pt) On admet que ce dé est équilibré. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.

4. (1 pt) On lance ce dé $500$ nouvelles fois. Combien de fois environ peut-on prévoir d'obtenir la face $3$ ? Justifier.

Le chef de la cantine interroge $120$ élèves du collège sur leur dessert préféré : un fruit ou un gâteau. Parmi les élèves interrogés, $65$ sont en 6e-5e et les autres en 4e-3e. Au total, $48$ élèves préfèrent un fruit, dont $30$ élèves de 6e-5e.

1. (1,5 pt) Recopier et compléter le tableau à double entrée ci-dessous.

On choisit au hasard un élève parmi les $120$ élèves interrogés.

2. (1 pt) Calculer la probabilité que cet élève préfère un fruit. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

3. (0,5 pt) Calculer la probabilité que cet élève soit un élève de 4e-3e qui préfère le gâteau.

4. (1 pt) On choisit maintenant un élève au hasard uniquement parmi les élèves de 6e-5e interrogés. Calculer la probabilité qu'il préfère un fruit. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Un sac contient exactement deux jetons indiscernables au toucher : un jeton jaune ($J$) et un jeton vert ($V$). On tire un jeton au hasard, on note sa couleur, puis on le remet dans le sac. On tire alors une seconde fois un jeton et on note sa couleur.

1. (1 pt) Construire l'arbre des possibles de cette expérience à deux épreuves.

2. (0,5 pt) Lister toutes les issues de l'expérience. Expliquer pourquoi elles sont équiprobables.

3. (1 pt) Calculer la probabilité d'obtenir deux jetons de la même couleur.

4. (1 pt) Calculer la probabilité d'obtenir au moins un jeton vert. On pourra utiliser un événement contraire.

5. (0,5 pt) On refait l'expérience, mais sans remettre le premier jeton dans le sac. Que devient la probabilité d'obtenir deux jetons de la même couleur ? Justifier.