Exercices — Géométrie dans l'espace : sphère et sections

On considère la sphère de centre $O$ et de rayon $5\text{ cm}$, ainsi que la boule de même centre $O$ et de même rayon $5\text{ cm}$.

1. Rappelle la différence entre cette sphère et cette boule : à quelle condition sur la distance $OM$ un point $M$ de l'espace appartient-il à la sphère ? à la boule ?

2. Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse, en justifiant ta réponse.

   a. Le point $M$ tel que $OM=\mathrm{4,5}\text{ cm}$ appartient à la sphère.

   b. Un diamètre de cette sphère mesure $10\text{ cm}$.

   c. Un grand cercle de cette sphère a pour rayon $5\text{ cm}$.

1. Une sphère a pour rayon $\mathrm{4,5}\text{ cm}$. Calcule le périmètre d'un grand cercle de cette sphère. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième de centimètre.

2. Le périmètre d'un grand cercle d'une autre sphère vaut $\mathrm{31,4}\text{ cm}$. Donne une valeur approchée du rayon de cette sphère.

3. Vrai ou faux, à justifier : « deux grands cercles d'une même sphère ont toujours la même longueur ».

Sur le globe ci-dessous, les méridiens et les parallèles sont tracés de ${30}^{\circ }$ en ${30}^{\circ }$. Quatre points A, B, C et D y sont placés.

1. Lis les coordonnées géographiques (latitude, puis longitude) de chacun des quatre points.

2. Lequel de ces points est situé sur l'équateur ? Justifie.

3. Lequel de ces points est situé sur le méridien de Greenwich ? Justifie.

Le tableau ci-dessous donne les coordonnées géographiques, arrondies au degré, de cinq villes du monde.

1. Quelles villes sont situées dans l'hémisphère sud ?

2. Quelles villes sont situées presque sur l'équateur ?

3. Quelles villes sont situées à l'ouest du méridien de Greenwich ?

4. Vrai ou faux, à justifier : « Quito et Lima sont presque sur le même méridien ».

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, de base ABCD, le sommet E étant situé au-dessus de A. Ses dimensions sont $AB=8\text{ cm}$, $BC=5\text{ cm}$ et $AE=4\text{ cm}$.

Donne la nature et les dimensions de la section de ce pavé par :

1. un plan parallèle à la face ABFE ;

2. un plan parallèle à la face BCGF ;

3. un plan parallèle à la base ABCD.

On considère un cylindre de révolution de rayon $3\text{ cm}$ et de hauteur $8\text{ cm}$. On le coupe successivement par deux plans, représentés sur la figure ci-dessous : le premier est perpendiculaire à l'axe du cylindre, le second contient cet axe.

1. Quelle est la nature de la section par le plan perpendiculaire à l'axe ? Précise son rayon.

2. Calcule l'aire de cette section. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième.

3. Quelle est la nature de la section par le plan contenant l'axe ? Précise ses dimensions, puis calcule son aire.

SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un carré de côté $6\text{ cm}$ et dont la hauteur $[SO]$ mesure $9\text{ cm}$, le point O étant le centre du carré ABCD. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base, qui coupe le segment $[SO]$ en un point $O^{\mathrm{\prime }}$ tel que $S{O}^{\mathrm{\prime }}=3\text{ cm}$. La section obtenue est le quadrilatère $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$.

1. Quelle est la nature de la section $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ ?

2. La section est une réduction de la base. Calcule le coefficient de réduction $k$.

3. Déduis-en la longueur $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$.

4. Calcule le volume de la pyramide SABCD, puis celui de la petite pyramide $S{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$.

On considère un cône de révolution de sommet S, dont la base est un disque de rayon $6\text{ cm}$ et dont la hauteur $[SO]$ mesure $12\text{ cm}$. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base, qui coupe la hauteur en un point $O^{\mathrm{\prime }}$ tel que $S{O}^{\mathrm{\prime }}=4\text{ cm}$.

1. Quelle est la nature de la section obtenue ?

2. Calcule le coefficient de réduction $k$.

3. Déduis-en le rayon de la section.

4. Calcule le volume du grand cône. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième. Déduis-en le volume du petit cône de sommet S délimité par le plan de coupe, en valeur exacte puis arrondi au dixième.

On considère une sphère de centre $O$ et de rayon $5\text{ cm}$. Un plan coupe cette sphère à $3\text{ cm}$ du centre $O$. On note $H$ le pied de la perpendiculaire à ce plan passant par $O$ (ainsi $OH=3\text{ cm}$), et $M$ un point quelconque de la section.

1. Quelle est la nature de la section de la sphère par ce plan ? Précise son centre.

2. Justifie que le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, puis calcule la longueur $HM$.

3. Déduis-en le périmètre du cercle de section : donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de centimètre.

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse. Dans tous les cas, justifie soigneusement ta réponse.

1. « Toute section d'une sphère par un plan qui la coupe est un cercle. »

2. « Le rayon d'une section d'une sphère est toujours strictement plus petit que le rayon de la sphère. »

3. « Si le plan est situé à une distance du centre égale au rayon de la sphère, la section est réduite à un point. »

4. « Plus le plan de coupe s'éloigne du centre de la sphère, plus le rayon de la section est grand. »

Rappel : le volume d'une boule de rayon $R$ est $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$.

a. Calcule le volume d'une boule de rayon $3\text{ cm}$. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de ${\text{cm}}^3$.

b. Calcule le volume d'une boule de diamètre $12\text{ cm}$. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de ${\text{cm}}^3$.

c. Un ballon de football est assimilé à une boule de diamètre $22\text{ cm}$. Calcule son volume, arrondi au ${\text{cm}}^3$, puis convertis-le en litres (arrondi au dixième de litre). Rappel : $1\text{ L}=1000{\text{cm}}^3$.

Une glace est constituée d'un cornet en forme de cône de révolution, de rayon $3\text{ cm}$ et de hauteur $10\text{ cm}$, surmonté d'une demi-boule de rayon $3\text{ cm}$ posée sur l'ouverture du cornet.

1. Calcule le volume du cornet. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de ${\text{cm}}^3$.

2. Calcule le volume de la demi-boule. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de ${\text{cm}}^3$.

3. Déduis-en le volume total exact de la glace, puis sa valeur arrondie au dixième de ${\text{cm}}^3$.

4. Exprime ce volume total en centilitres, arrondi au dixième. Rappel : $1\text{ cL}=10{\text{cm}}^3$.

Dans cet exercice, la Terre est assimilée à une sphère de centre $O$ et de rayon $6371\text{ km}$.

1. Calcule la longueur de l'équateur, arrondie à la dizaine de kilomètres.

2. L'équateur est-il un grand cercle de la Terre ? Et un parallèle de latitude ${60}^{\circ }$ N ? Justifie chacune des deux réponses.

3. Calcule le volume de la Terre, en ${\text{km}}^3$. Donne le résultat en notation scientifique, avec un arrondi à deux chiffres après la virgule.

4. La ville de Libreville, au Gabon, a pour coordonnées géographiques $(0^{\circ };9^{\circ }\text{ E})$. Que peut-on dire de sa position sur la Terre ?

Une bille sphérique de rayon $3\text{ cm}$ est placée dans une boîte cubique d'arête $6\text{ cm}$ : la bille touche exactement les six faces de la boîte.

1. Calcule le volume de la boîte, en ${\text{cm}}^3$.

2. Calcule le volume de la bille. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de ${\text{cm}}^3$.

3. Quel pourcentage du volume de la boîte est occupé par la bille ? Arrondis à l'unité.

4. Vrai ou faux ? Justifie : « Si on double l'arête de la boîte et le rayon de la bille, ce pourcentage double aussi. »

Un réservoir d'eau a la forme d'une sphère de centre $O$ et de rayon intérieur $\mathrm{1,2}\text{ m}$.

1. Calcule le volume intérieur du réservoir, en ${\text{m}}^3$. Donne la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième.

2. Exprime ce volume en litres, arrondi au litre. Rappel : $1{\text{m}}^3=1000\text{ L}$.

3. Le réservoir, initialement vide, est rempli avec un débit de $40\text{ L}$ par minute. Calcule la durée totale du remplissage, arrondie à la minute, puis exprime-la en heures et minutes.

4. À l'intérieur du réservoir, une plate-forme horizontale coupe la sphère à $\mathrm{0,7}\text{ m}$ du centre $O$. Calcule le rayon du cercle de section, arrondi au centième de mètre.

Une orange est assimilée à une sphère de centre $O$ et de rayon $4\text{ cm}$. On la coupe par un plan situé à la distance $d$ du centre $O$, avec $0\le d<4$. La section obtenue est un disque de rayon $r$. On note $H$ le centre de ce disque et $M$ un point de son bord.

1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$, exprime $r^2$ en fonction de $d$.

2. On souhaite que l'aire du disque de section soit égale à la moitié de l'aire d'un disque de grand cercle de l'orange. Détermine la valeur exacte de $d$ qui convient, puis donne sa valeur arrondie au dixième de centimètre.

3. Compare alors les longueurs $d$ et $r$. Que constate-t-on pour le triangle $OHM$ ?