Devoir surveillé — Géométrie dans l'espace : sphère et sections

Sur le globe ci-dessus, les méridiens et les parallèles sont tracés de ${30}^{\circ }$ en ${30}^{\circ }$. Trois points $K$, $L$ et $M$ sont placés à la surface du globe.

1. (1,5 pt — 0,5 pt par point) Lire les coordonnées géographiques des points $K$, $L$ et $M$. On les écrira dans l'ordre (latitude ; longitude).
2. (1 pt) Lequel de ces trois points est situé sur l'équateur ? Justifier.
3. (0,5 pt) Donner les coordonnées géographiques d'un point situé sur le méridien de Greenwich.
4. (2 pts) La Terre est assimilée à une sphère de rayon $6371\text{ km}$. Calculer la longueur de l'équateur, arrondie à la dizaine de kilomètres.

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$, de base $ABCD$ et dont le sommet $E$ est situé au-dessus de $A$, tel que $AB=6\text{ cm}$, $BC=4\text{ cm}$ et $AE=3\text{ cm}$.

1. (1,5 pt) On coupe ce pavé par un plan parallèle à la face $ABFE$. Donner la nature et les dimensions de la section obtenue.
2. (1 pt) On coupe maintenant ce pavé par un plan parallèle à la base $ABCD$. Donner la nature et les dimensions de la section obtenue.

On considère à présent un cylindre de révolution de rayon $\mathrm{2,5}\text{ cm}$ et de hauteur $6\text{ cm}$.

3. (1 pt) On coupe ce cylindre par un plan perpendiculaire à son axe. Donner la nature de la section obtenue et préciser son rayon.
4. (1,5 pt) On coupe ce cylindre par un plan contenant son axe. Donner la nature et les dimensions de la section obtenue, puis calculer son aire.

On considère un cône de révolution de sommet $S$, dont la base est un disque de rayon $\mathrm{4,5}\text{ cm}$ et dont la hauteur $[SO]$ mesure $9\text{ cm}$. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base, qui coupe le segment $[SO]$ en un point $O^{\mathrm{\prime }}$ tel que $S{O}^{\mathrm{\prime }}=6\text{ cm}$.

1. (0,5 pt) Quelle est la nature de la section obtenue ?
2. (1 pt) Calculer le coefficient de réduction $k$. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
3. (1 pt) En déduire le rayon de la section.
4. (1,5 pt) Calculer le volume du grand cône. On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième. On rappelle la formule : $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathcal{B}\times h$.
5. (1 pt) En déduire le volume du petit cône de sommet $S$ situé au-dessus du plan de coupe. On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième.

Une boule à neige est un objet décoratif formé d'une sphère de verre posée sur un socle. On l'assimile à une sphère de centre $O$ et de rayon $5\text{ cm}$, entièrement remplie d'eau.

1. (1,5 pt) Calculer le volume d'eau contenu dans la boule, en ${\text{cm}}^3$. On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième.
2. (1 pt) Exprimer ce volume en centilitres, arrondi au dixième. On rappelle que $1\text{ cL}=10{\text{cm}}^3$.
3. (1,5 pt) Le plan du socle coupe la sphère à $4\text{ cm}$ du centre $O$. Calculer le rayon du cercle de contact entre la sphère et le socle.
4. (1 pt) Calculer l'aire du disque de contact. On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième.