Exercices — Fonctions linéaires et affines

Pour chacune des fonctions suivantes, indique si elle est linéaire, affine, ou ni l'une ni l'autre. Justifie : si la fonction est affine, précise les valeurs de $a$ et de $b$ ; si elle est linéaire, précise la valeur de $a$.

On considère les fonctions linéaires $f$ et $g$ définies par :

$$f(x)=-4x\text{et}g(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}x$$

1. Calcule les images suivantes par la fonction $f$.

2. Calcule les images suivantes par la fonction $g$.

3. Quel nombre a pour image $-24$ par la fonction $f$ ?

On considère les fonctions affines $f$ et $g$ définies par :

$$f(x)=3x-5\text{et}g(x)=-2x+7$$

1. Calcule les images suivantes.

2. Détermine les antécédents suivants en résolvant une équation.

Dans un magasin de tissus, le prix payé est proportionnel à la longueur de tissu achetée. Voici un extrait du tableau des prix :

1. Vérifie, à l'aide des trois premières colonnes, qu'il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité.

2. Quel est le coefficient de proportionnalité de ce tableau ?

3. On note $f$ la fonction qui, à une longueur de tissu $x$ (en mètres), associe le prix payé (en euros). Explique pourquoi $f$ est une fonction linéaire et donne son expression $f(x)$.

4. Complète les deux cases manquantes du tableau. Détaille tes calculs.

5. Que représente concrètement le nombre trouvé à la question 2 ?

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d_1)$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ et la droite $(d_2)$ celle d'une fonction $g$. L'une de ces deux fonctions est linéaire, l'autre est affine mais pas linéaire.

1. Laquelle des deux droites représente la fonction linéaire ? Justifie à l'aide du graphique.

2. Par lecture graphique, donne :

3. Par lecture graphique, donne :

4. Lis l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Que peut-on dire des images de ce nombre par $f$ et par $g$ ?

On considère les quatre fonctions définies par :

$$f(x)=2xg(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}xh(x)=x-3k(x)=-2x+4$$

1. Recopie et complète le tableau de valeurs ci-dessous.

2. Dans un même repère (1 carreau pour 1 unité sur chaque axe), place pour chaque fonction les deux points obtenus, puis trace les quatre représentations graphiques. Étiquette chaque droite avec le nom de la fonction.

3. Quelles droites passent par l'origine du repère ? Comment pouvait-on le prévoir sans tracer ?

On considère les quatre fonctions affines définies par :

$$f_1(x)=x+2f_2(x)=-2x+1f_3(x)=3x{f}_4(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$$

Chacune des droites $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$ et $(d_4)$ du repère ci-dessous est la représentation graphique de l'une de ces fonctions.

Associe chaque fonction à sa droite. Justifie chaque association en t'appuyant sur le signe du coefficient directeur (la droite monte ou descend), sur l'ordonnée à l'origine, ou sur le passage par l'origine du repère.

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d_1)$ est la représentation graphique d'une fonction affine $f$ et la droite $(d_2)$ celle d'une fonction affine $g$. Des points à coordonnées entières sont marqués sur chaque droite.

1. Lis l'ordonnée à l'origine de chacune des deux droites.

2. Détermine le coefficient directeur de $(d_1)$ : quand $x$ augmente de $1$, de combien varie l'ordonnée du point de la droite ?

3. Détermine le coefficient directeur de $(d_2)$ : quand $x$ augmente de $3$, de combien varie l'ordonnée ? En déduire la variation quand $x$ augmente de $1$.

4. Déduis-en les expressions de $f(x)$ et de $g(x)$.

1. $f$ est une fonction linéaire telle que $f(4)=10$.

a. Détermine le coefficient $a$ de la fonction $f$.

b. Écris l'expression de $f(x)$, puis calcule $f(6)$.

2. $g$ est une fonction linéaire telle que $g(-3)=12$. Détermine l'expression de $g(x)$.

3. À la boulangerie, $5$ baguettes coûtent $6$ €. On note $p(n)$ le prix, en euros, de $n$ baguettes.

a. Explique pourquoi $p$ est une fonction linéaire.

b. Détermine l'expression de $p(n)$.

c. Calcule le prix de $8$ baguettes.

d. Combien de baguettes peut-on acheter avec exactement $18$ € ?

Pour déterminer une fonction affine $f(x)=ax+b$ à partir de deux images connues $f(x_1)$ et $f(x_2)$, on commence toujours par calculer le coefficient $a$ avec la formule des accroissements :

$$a={\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$$

1. $f$ est une fonction affine telle que $f(2)=7$ et $f(5)=16$.

a. Calcule le coefficient $a$.

b. Déduis-en la valeur de $b$, puis l'expression de $f(x)$.

c. Vérifie ton expression en calculant $f(5)$.

2. $g$ est une fonction affine telle que $g(-1)=5$ et $g(3)=-3$. Détermine l'expression de $g(x)$ par la même méthode, puis vérifie avec $g(3)$.

Dans le repère ci-dessous, on a placé les points $A(1;5)$ et $B(3;1)$, et tracé la droite $(AB)$. Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine $f$.

1. À l'aide du graphique, donne une estimation du coefficient directeur $a$ et de l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction $f$.

2. Calcule maintenant la valeur exacte du coefficient directeur $a$ à partir des coordonnées de $A$ et de $B$.

3. Déduis-en la valeur exacte de $b$, puis l'expression de $f(x)$.

4. Vérifie ta valeur de $b$ : est-elle cohérente avec le point où la droite coupe l'axe des ordonnées sur le graphique ?

5. Calcule $f(10)$. Pouvait-on lire ce résultat sur le graphique ? À quoi sert alors la formule ?

Augmenter un prix de $12\mathrm{\%}$, c'est le multiplier par $1+{\displaystyle \frac{12}{100}}=\mathrm{1,12}$ : cela revient à appliquer la fonction linéaire $x\mapsto \mathrm{1,12}x$. De même, diminuer un prix de $30\mathrm{\%}$, c'est le multiplier par $1-{\displaystyle \frac{30}{100}}=\mathrm{0,7}$.

1. Écris la fonction linéaire qui modélise chaque évolution.

2. Un jean coûte $45$ €. Son prix augmente de $12\mathrm{\%}$. Calcule le nouveau prix.

3. Après une remise de $30\mathrm{\%}$, un blouson coûte $56$ €. Quel était son prix initial ? Coup de pouce : le prix initial est un antécédent par la fonction $x\mapsto \mathrm{0,7}x$.

4. Le prix d'un article augmente de $10\mathrm{\%}$, puis diminue de $10\mathrm{\%}$.

a. Par quel nombre le prix de départ est-il multiplié au total ?

b. Revient-on au prix de départ ? Justifie.

Un cinéma propose deux tarifs :

• Tarif A (plein tarif) : $9$ € la séance ;
• Tarif B (carte d'abonnement) : $30$ € par an, puis $\mathrm{4,50}$ € la séance.

On note $x$ le nombre de séances vues dans l'année, $f(x)$ le prix payé, en euros, avec le tarif A et $g(x)$ le prix payé avec le tarif B.

1. Exprime $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$. Quelle est la nature de chacune de ces deux fonctions ?

2. Recopie et complète le tableau de valeurs suivant.

3. Résous l'équation $f(x)=g(x)$. Que remarques-tu sur la solution trouvée ?

4. Compare les deux tarifs pour $6$ séances, puis pour $7$ séances.

5. Conclus par une phrase : à partir de combien de séances par an la carte d'abonnement devient-elle avantageuse ?

Un loueur de vélos propose trois tarifs pour une journée :

• Tarif 1 : $4$ € par heure de location ;
• Tarif 2 : $10$ € de frais de dossier, puis $2$ € par heure ;
• Tarif 3 : forfait journée à $24$ €, quelle que soit la durée.

Le graphique ci-dessous représente le prix payé, en euros, en fonction de la durée de location, en heures, pour chacun des trois tarifs.

Réponds aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Chaque tarif est modélisé par une fonction. Donne la nature de chacune des trois fonctions (linéaire, affine, constante) en justifiant à partir de l'allure de sa représentation graphique.

2. Quel est le tarif le moins cher pour une location de $3$ heures ? De $6$ heures ? De $8$ heures ? Donne à chaque fois le prix payé.

3. Pour quelle durée de location les tarifs 1 et 2 coûtent-ils exactement le même prix ? Quel est ce prix ?

4. À partir de quelle durée le forfait journée devient-il le plus intéressant ?

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse (par un calcul, un contre-exemple ou une propriété du cours).

a. Toute fonction linéaire est une fonction affine.

b. La représentation graphique de la fonction $x\mapsto 3x+2$ passe par l'origine du repère.

c. Si $f$ est une fonction linéaire, alors $f(2a)=2f(a)$ pour tout nombre $a$.

d. La droite représentant la fonction $x\mapsto -2x+5$ monte quand on la parcourt de gauche à droite.

e. Pour la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+3$, l'antécédent de $0$ est $3$.

f. Si $f$ est linéaire et $f(1)=4$, alors $f(x)=4x$.

Voici deux programmes de calcul.

1. Teste les deux programmes avec le nombre $2$, puis avec le nombre $-1$.

2. On note $x$ le nombre choisi au départ. Montre que le résultat du programme 1 est donné par une fonction affine de $x$, dont tu préciseras l'expression $f(x)$.

3. Fais de même pour le programme 2 : exprime le résultat $g(x)$ et montre que $g$ est aussi une fonction affine.

4. Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, trouve-le par le calcul et vérifie.

5. Question défi. Un troisième programme de calcul, mystère, donne lui aussi un résultat qui est une fonction affine $h$ du nombre de départ. On sait seulement que :

• en partant de $1$, le programme affiche $7$ ;
• en partant de $4$, le programme affiche $19$.

Retrouve l'expression de $h(x)$, puis propose un programme de calcul qui correspond. Toute trace de recherche, même incomplète, sera valorisée.