Exercices — Calcul numérique : rationnels, racines, puissances

Calcule et donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.

1. Donne l'inverse de chacun des nombres suivants.

   a. $5$

   b. ${\displaystyle \frac{3}{7}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

2. Calcule et donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible. Pense à simplifier avant d'effectuer les produits.

   a. ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{8}{9}}$

   b. ${\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{9}{10}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{7}{3}}\times {\displaystyle \frac{6}{35}}$

   d. ${\displaystyle \frac{4}{5}}÷{\displaystyle \frac{8}{15}}$

   e. ${\displaystyle \frac{7}{12}}÷{\displaystyle \frac{21}{8}}$

   f. $-{\displaystyle \frac{5}{9}}÷(-{\displaystyle \frac{10}{3}})$

Calcule les expressions suivantes en détaillant les étapes. Donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible (ou d'un entier).

La famille Robin possède une citerne de récupération d'eau de pluie pour arroser son potager. Au début de la semaine, la citerne est pleine.

Lundi, l'arrosage utilise ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de la citerne. Mardi, il fait très chaud : on utilise ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de ce qui restait.

1. Quelle fraction de la citerne reste-t-il après l'arrosage de lundi ?

2. Montre que l'eau utilisée mardi représente ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ de la citerne.

3. Quelle fraction de la citerne reste-t-il mercredi matin ?

4. Mercredi matin, il reste exactement $240$ litres d'eau dans la citerne. Quelle est la capacité totale de la citerne ?

On lâche une balle, sans vitesse initiale, d'une hauteur de $\mathrm{3,20}\text{ m}$. À chaque rebond, la balle remonte aux ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de la hauteur d'où elle est tombée.

1. Calcule la hauteur atteinte par la balle après le premier rebond.

2. Calcule la hauteur atteinte après le deuxième rebond, puis après le troisième rebond.

3. Écris la hauteur atteinte après le troisième rebond sous la forme d'un produit faisant intervenir la hauteur de départ $\mathrm{3,20}$.

4. Après combien de rebonds la balle remonte-t-elle, pour la première fois, à moins de $1\text{ m}$ ? Justifie par un calcul.

1. Calcule mentalement.

   a. $6^2$

   b. $7^2$

   c. $9^2$

   d. ${10}^2$

   e. ${11}^2$

   f. ${12}^2$

2. Donne la valeur de chaque racine carrée, sans calculatrice.

   a. $\sqrt{36}$

   b. $\sqrt{49}$

   c. $\sqrt{4}$

   d. $\sqrt{100}$

   e. $\sqrt{121}$

   f. $\sqrt{144}$

3. Calcule, en justifiant à l'aide de la définition de la racine carrée.

   a. $\sqrt{0}$

   b. $\sqrt{1}$

   c. ${\left(\sqrt{7}\right)}^2$

1. Sans calculatrice, encadre chaque nombre entre deux entiers consécutifs. Justifie à l'aide des carrés parfaits.

   a. $\sqrt{40}$

   b. $\sqrt{90}$

2. À la calculatrice, donne une valeur approchée au centième près de $\sqrt{40}$ et de $\sqrt{90}$. Vérifie que ces valeurs sont cohérentes avec tes encadrements.

3. Pour $\sqrt{17}$, la calculatrice de Jade affiche $\mathrm{4,1231056}$. Jade affirme : « c'est la valeur exacte de $\sqrt{17}$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Un carré a une aire de $17{\text{cm}}^2$.

1. Explique pourquoi son côté mesure exactement $\sqrt{17}\text{ cm}$.

2. Donne une valeur approchée du côté au millimètre près.

3. Calcule une valeur approchée du périmètre de ce carré au millimètre près. Attention : utilise la touche racine de ta calculatrice, pas la valeur arrondie trouvée à la question précédente.

4. Un autre carré a une aire de $225{\text{cm}}^2$. Donne la valeur exacte de son côté. Que remarques-tu ?

Rappel (acquis de 4e). Dans un triangle rectangle, d'après le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Les parents de Jules ont acheté une armoire en kit. Ils la montent couchée sur le sol de la chambre : une fois assemblée, elle mesure $\mathrm{2,50}\text{ m}$ de haut et $\mathrm{0,60}\text{ m}$ de profondeur. Pour la mettre debout, il faut la faire pivoter sur une arête. Au moment où l'armoire est inclinée, le point le plus haut est atteint par la diagonale $d$ de sa face latérale, qui est un rectangle de $\mathrm{2,50}\text{ m}$ sur $\mathrm{0,60}\text{ m}$. Le plafond de la chambre est à $\mathrm{2,60}\text{ m}$ du sol.

1. Explique pourquoi on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer $d$, et écris l'égalité correspondante.

2. Montre que $d^2=\mathrm{6,61}$, puis donne la valeur exacte de $d$.

3. À la calculatrice, donne une valeur approchée de $d$ au centimètre près.

4. L'armoire peut-elle être redressée sans toucher le plafond ? Justifie, et précise la marge restante.

1. Écris chaque nombre sous la forme d'un produit de facteurs, puis calcule-le.

   a. $2^4$

   b. $(-3{)}^3$

   c. ${\mathrm{0,5}}^2$

   d. ${10}^5$

2. Écris chaque produit sous la forme d'une puissance.

   a. $8\times 8\times 8\times 8\times 8$

   b. $\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,3}$

3. Donne la valeur de chaque nombre sans poser de calcul.

   a. $7^1$

   b. ${12}^0$

   c. $(-1{)}^{10}$

   d. $(-1{)}^{15}$

Rappel : pour tout nombre $a$ non nul et tout entier $n$, $a^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}$.

1. Écris chaque nombre sous la forme d'une fraction, puis sous forme d'un nombre décimal lorsque c'est possible simplement.

   a. ${10}^{-3}$

   b. $2^{-4}$

   c. $5^{-1}$

   d. $3^{-2}$

   e. ${10}^{-5}$

   f. $2^{-6}$

2. Écris chaque nombre sous la forme $a^n$, où $n$ est un entier relatif.

   a. ${\displaystyle \frac{1}{100}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{6^4}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{2^5}}$

   d. $\mathrm{0,0001}$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{49}}$

   f. ${\displaystyle \frac{1}{125}}$

3. Compare $2^{-3}$ et $3^{-2}$. Justifie ta réponse par un calcul.

1. Écris chaque expression sous la forme d'une seule puissance. Pour cela, reviens à la définition : écris les produits de facteurs et compte-les (n'utilise pas de formule apprise par cœur).

   a. $2^5\times 2^3$

   b. ${\displaystyle \frac{7^9}{7^6}}$

   c. $5^4\times 5^{-2}$

   d. ${\displaystyle \frac{3^2}{3^5}}$

   e. $4^3\times 4$

   f. ${\displaystyle \frac{6^4}{6}}$

2. Explique en une phrase pourquoi ${\displaystyle \frac{7^9}{7^6}}=7^3$, sans utiliser la calculatrice.

1. Écris chaque expression sous la forme d'une seule puissance de $10$ (en cas de doute, reviens à la définition et compte les facteurs).

   a. ${10}^3\times {10}^4$

   b. ${10}^5\times {10}^{-2}$

   c. ${\displaystyle \frac{{10}^8}{{10}^3}}$

   d. ${\displaystyle \frac{{10}^2}{{10}^6}}$

   e. ${10}^{-3}\times {10}^{-2}$

   f. ${\displaystyle \frac{{10}^4}{{10}^4}}$

2. Recopie et complète le tableau des préfixes du système international.

   Préfixe	nano	micro	milli	kilo	méga	giga
   Symbole	n	$\mu$	m	k	M	G
   Puissance de $10$	$\dots$	$\dots$	${10}^{-3}$	${10}^3$	$\dots$	$\dots$

3. À l'aide du tableau, effectue les conversions suivantes. Donne chaque résultat à l'aide d'une puissance de $10$.

   a. $1\text{ nm}$ (nanomètre) en mètres.

   b. $\mathrm{3,5}\text{ Go}$ (gigaoctets) en octets.

   c. $\mathrm{0,002}\text{ km}$ en millimètres.

Rappel : un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est de la forme $A\times {10}^n$, où $1\le A<10$ et $n$ est un entier relatif.

1. Parmi les écritures suivantes, indique celles qui sont en notation scientifique. Justifie chaque réponse, puis corrige les écritures qui ne le sont pas.

   a. $34\times {10}^5$

   b. $\mathrm{3,4}\times {10}^6$

   c. $\mathrm{0,9}\times {10}^{-2}$

   d. $1\times {10}^4$

   e. $\mathrm{12,5}\times {10}^{-3}$

2. Écris chaque nombre en notation scientifique.

   a. $45000$

   b. $\mathrm{0,0037}$

   c. $128000000$

   d. $\mathrm{0,00052}$

   e. $604$

   f. $\mathrm{0,00000008}$

3. Range les nombres suivants dans l'ordre croissant : $\mathrm{2,7}\times {10}^5$ ; $\mathrm{9,1}\times {10}^4$ ; $3\times {10}^5$ ; $\mathrm{8,5}\times {10}^{-1}$. Explique ta méthode.

Dans des conditions favorables, une bactérie se divise en deux bactéries toutes les $30$ minutes. On dépose une seule bactérie dans un milieu de culture favorable, et on suppose que les divisions se poursuivent au même rythme pendant toute l'expérience.

1. Combien y a-t-il de bactéries au bout de $30$ minutes ? de $1$ heure ? de $2$ heures ?

2. Montre que le nombre de bactéries au bout de $5$ heures s'écrit $2^{10}$, puis calcule ce nombre.

3. Exprime, à l'aide d'une puissance de $2$, le nombre de bactéries au bout de $18$ heures.

4. À l'aide de la calculatrice, donne ce nombre en notation scientifique (arrondi au dixième), puis un ordre de grandeur en milliards de bactéries.

Le cuivre est un métal utilisé notamment dans les câbles électriques. Des mesures de laboratoire montrent qu'il y a environ $2\times {10}^{15}$ atomes de cuivre dans $211\text{ ng}$ de cuivre.

Rappel : $1\text{ ng}$ (nanogramme) $={10}^{-9}\text{ g}$.

1. Exprime la masse $211\text{ ng}$ en grammes, puis écris le résultat en notation scientifique.

2. En supposant que tous les atomes de cuivre ont la même masse, calcule la masse d'un atome de cuivre en grammes. Détaille le calcul (calculatrice autorisée) et donne le résultat en notation scientifique.

3. Donne un ordre de grandeur de la masse d'un atome de cuivre.

Calculatrice autorisée. Données : dans le vide, la lumière parcourt $3\times {10}^8$ mètres chaque seconde ; la distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ $\mathrm{1,5}\times {10}^{11}\text{ m}$ ; une année dure environ $\mathrm{3,156}\times {10}^7$ secondes.

1. Le temps de trajet de la lumière.

   a. Explique pourquoi le temps mis par la lumière du Soleil pour nous parvenir, en secondes, est donné par le quotient ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\times {10}^{11}}{3\times {10}^8}}$.

   b. Calcule ce temps en secondes, puis exprime-le en minutes et secondes.

2. L'année-lumière. Une année-lumière (notée $\text{al}$) est la distance parcourue par la lumière en une année.

   a. Écris le calcul qui donne cette distance en mètres.

   b. Effectue le calcul et donne le résultat en notation scientifique, arrondi au dixième.

3. Proxima du Centaure, l'étoile la plus proche du Soleil, est située à environ $4\times {10}^{16}\text{ m}$ de la Terre. Exprime cette distance en années-lumière (arrondis au dixième). Que peux-tu en conclure sur le temps mis par sa lumière pour nous parvenir ?