Exercices — Calcul littéral : double distributivité

1. Réduire chaque expression :

   a. $3x+5x$

   b. $7x-2x+4$

   c. $4x^2+3x^2$

   d. $5+2x+3$

   e. $9x-x$

   f. $6x+4-2x$

   g. $x+x+x$

   h. $10x^2-4x^2$

2. Réduire chaque expression :

   a. $3x^2+5x-x^2+2x$

   b. $4x^2-3x+2x^2+8x$

   c. $x^2+6x-4+2x^2-x+9$

   d. $5x^2-2x+7-3x^2-8+6x$

1. Pour chacune des expressions suivantes, dire s'il s'agit d'une somme ou d'un produit, en précisant quelle est la dernière opération effectuée :

   $$A=3(x+5)B=3x+5C=(x+2)(x-7)D=x^2+4x$$

2. Pour chacune des égalités suivantes, dire si elle est vraie pour tout nombre $x$ ou fausse, puis justifier : par une règle de calcul si elle est vraie, par un contre-exemple numérique si elle est fausse.

   a. « Pour tout nombre $x$, $2x+3=5x$. »

   b. « Pour tout nombre $x$, $3x\times 2x=6x^2$. »

   c. « Pour tout nombre $x$, $x^2+x^2=x^4$. »

   d. « Pour tout nombre $x$, $5x-x=5$. »

1. Développer chaque expression :

   a. $3(x+5)$

   b. $5(2x-3)$

   c. $x(x+4)$

   d. $2x(3x-1)$

   e. $7(4x+2)$

   f. $4x(x+6)$

2. Développer et réduire chaque expression :

   a. $A=4(x+2)+3(2x-1)$

   b. $B=6(2x+5)+x(x-3)$

1. Développer chaque expression :

   a. $-3(2x-5)$

   b. $-x(4-x)$

   c. $-2(x+7)$

   d. $-5x(3x-2)$

2. Développer et réduire chaque expression :

   a. $A=5x-2(x-3)$

   b. $B=7-3(2x+1)$

   c. $C=x(x+2)-4(x-5)$

1. Recopier et compléter le développement de $(x+2)(x+5)$ :

   $$(x+2)(x+5)=x\times \dots +x\times \dots +2\times \dots +2\times \dots$$ $$(x+2)(x+5)=x^2+\dots x+\dots x+\dots$$ $$(x+2)(x+5)=x^2+\dots x+\dots$$

2. Développer et réduire chaque expression :

   a. $(x+3)(x+7)$

   b. $(2x+1)(x+4)$

   c. $(x+5)(x+6)$

   d. $(3x+2)(2x+5)$

Développer et réduire chaque expression :

1. Écrire $(x+3{)}^2$ sous la forme d'un produit de deux facteurs, puis développer et réduire.

2. De la même façon, développer et réduire :

   a. $(2x-5{)}^2$

   b. $(3x+1{)}^2$

3. Vrai ou faux ? Justifier : « Pour tout nombre $x$, $(x+3{)}^2=x^2+9$. »

Développer et réduire chaque expression. Attention au signe $-$ devant certaines parenthèses : il se distribue à tous les termes du développement qui suit.

a. $A=(x+2)(x+7)-3(x+4)$

b. $B=(2x-1)(x+5)+x(3-x)$

c. $C=(x+4)(x-4)-(x-2)(x+8)$

1. Recopier chaque expression en soulignant le facteur commun, puis factoriser :

   a. $5x+5\times 3$

   b. $7x+7y$

   c. $x^2+3x$

   d. $8x-12$

2. Factoriser les expressions suivantes :

   a. $15x+10$

   b. $x^2+9x$

   c. $6x-6$

   d. $14x+21$

1. Factoriser les expressions suivantes. Le facteur commun est un produit d'un nombre et d'une lettre :

   a. $6x^2+4x$

   b. $15x^2-10x$

   c. $9x^2+3x$

   d. $12x^2-18x$

2. Factoriser les expressions suivantes. Le facteur commun est cette fois une parenthèse. Réduire ensuite l'intérieur de la parenthèse obtenue.

   a. $(x+3)(2x+1)+(x+3)(x-4)$

   b. $(2x-5)(x+2)-(2x-5)(3x-1)$

1. Écrire chaque expression comme une différence de deux carrés, puis la factoriser grâce à l'égalité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ :

   a. $x^2-49$

   b. $x^2-100$

   c. $25x^2-16$

   d. $81x^2-1$

2. Développer rapidement grâce à la même égalité, utilisée dans l'autre sens :

   a. $(x+9)(x-9)$

   b. $(3x+7)(3x-7)$

L'égalité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ permet de calculer certains produits de tête.

1. Calculer astucieusement, sans calculatrice, les produits suivants. Indication : écrire chaque facteur comme une somme ou une différence de deux nombres bien choisis.

   a. $101\times 99$

   b. $102\times 98$

   c. $1005\times 995$

2. Calculer astucieusement, sans calculatrice, en commençant par factoriser :

   a. ${53}^2-{47}^2$

   b. ${78}^2-{22}^2$

3. Expliquer pourquoi cette méthode fonctionne pour tout produit de la forme $(n+1)(n-1)$.

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A

• Choisir un nombre.
• Lui ajouter $2$.
• Multiplier le résultat par le nombre de départ augmenté de $6$.

Programme B

• Choisir un nombre.
• Le multiplier par lui-même.
• Ajouter $8$ fois le nombre de départ.
• Ajouter $12$.

1. Tester les deux programmes avec le nombre $5$, puis avec le nombre $-1$.

2. Que peut-on conjecturer ?

3. Démontrer cette conjecture. On appellera $x$ le nombre choisi au départ.

1. Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$. On appellera $n$ le premier de ces trois entiers.

2. Démontrer que la somme de deux nombres impairs est toujours un nombre pair. Rappel : un nombre impair peut s'écrire $2k+1$, où $k$ est un entier. Attention : les deux nombres impairs n'ont aucune raison d'être égaux, il faut donc les écrire avec deux lettres différentes, par exemple $2k+1$ et $2p+1$.

3. Démontrer que le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair. On pourra écrire $(2k+1{)}^2=(2k+1)(2k+1)$ et développer ce produit.

La figure ci-dessous représente une figure en L, où $x$ désigne un nombre strictement positif. Elle est obtenue à partir d'un rectangle de longueur $4x+3$ et de largeur $2x$, dans lequel on a découpé un carré de côté $x$ dans le coin supérieur droit.

1. Exprimer l'aire de la figure en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.

2. Les longueurs sont exprimées en centimètres. Calculer cette aire pour $x=5$.

3. Exprimer le périmètre de la figure en fonction de $x$, puis montrer qu'il est égal au périmètre du rectangle entier (avant découpage).

Un magicien propose le tour suivant :

« Pense à un nombre. Ajoute-lui $3$. Multiplie le résultat par lui-même. Soustrais le carré du nombre de départ. Soustrais $9$. Divise par $6$ : je devine que tu retrouves ton nombre de départ ! »

1. Tester le tour avec le nombre $4$, puis avec le nombre $-2$.

2. Démontrer que le tour fonctionne pour tout nombre $x$ choisi au départ.

3. Question ouverte. Modifier le tour pour que le magicien retrouve cette fois le double du nombre de départ. Proposer une modification possible et vérifier qu'elle fonctionne.