Devoir surveillé — Calcul littéral : double distributivité

1. (2 pts — 0,5 pt par expression) Réduire chaque expression.

   a. $5x+3x-2$

   b. $4x^2-x^2+6x$

   c. $7x-3-2x+8$

   d. $3x\times 4x$

2. (2 pts — 0,5 pt par expression) Développer chaque expression.

   a. $4(x+3)$

   b. $7(2x-1)$

   c. $-2(3x-4)$

   d. $x(2x+5)$

Développer et réduire chaque expression.

1. (1 pt) $A=(x+4)(x+6)$

2. (1 pt) $B=(3x-2)(2x+5)$

3. (1,5 pt) $C=(x+5{)}^2$. On écrira d'abord $C$ sous la forme d'un produit de deux facteurs égaux.

4. (1,5 pt) $D=(2x+1)(x-3)-x(x+2)$

1. (1 pt — 0,5 pt par expression) Factoriser chaque expression à l'aide d'un facteur commun.

   a. $12x+8$

   b. $5x^2-15x$

2. (2 pts — 1 pt par expression) Factoriser chaque expression à l'aide de l'égalité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

   a. $x^2-36$

   b. $49x^2-25$

3. (1 pt) Calculer astucieusement, sans calculatrice, le produit $103\times 97$. On justifiera le calcul par une égalité.

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.
• Lui ajouter $5$.
• Multiplier le résultat par le nombre de départ diminué de $5$.
• Soustraire le carré du nombre de départ.

1. (1 pt — 0,5 pt par nombre) Appliquer ce programme au nombre $8$, puis au nombre $-3$.

2. (0,5 pt) Que peut-on conjecturer sur le résultat obtenu ?

3. (1,5 pt) Démontrer cette conjecture. On notera $x$ le nombre choisi au départ.

Un miroir carré de côté $x$ (en cm, avec $x>0$) est entouré d'un cadre : l'ensemble formé par le miroir et son cadre est un carré de côté $x+4$.

1. (2 pts — 1 pt par forme) Exprimer l'aire du cadre (la zone comprise entre les deux carrés) en fonction de $x$, de deux façons :

   a. en développant puis réduisant $(x+4{)}^2-x^2$ ;

   b. en factorisant directement $(x+4{)}^2-x^2$ à l'aide de l'égalité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

   Vérifier que les deux formes obtenues coïncident.

2. (0,5 pt) Calculer l'aire du cadre pour $x=38$.

3. (1,5 pt) Le vendeur affirme : « si on double le côté du miroir, l'aire du cadre double aussi ». Qu'en penser ? Justifier soigneusement.