Exercices — Arithmétique : fractions irréductibles

1. Écris la liste de tous les diviseurs de chacun des nombres suivants.

   a. $36$

   b. $48$

   c. $45$

   d. $100$

2. En t'aidant de la question 1, écris la liste des diviseurs communs de $36$ et de $48$.

3. Quel est le plus grand de ces diviseurs communs ? Vérifie qu'en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction ${\displaystyle \frac{36}{48}}$ par ce nombre, on obtient une fraction plus simple.

Pour chacun des nombres suivants, indique s'il est premier ou non, et justifie ta réponse : si le nombre n'est pas premier, donne un de ses diviseurs autres que $1$ et lui-même ; s'il est premier, précise quelles divisions tu as testées.

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, explique pourquoi ; si elle est fausse, donne un contre-exemple.

1. Tout nombre impair est premier.
2. Le nombre $1$ est un nombre premier.
3. La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre pair.
4. Deux nombres pairs ont toujours au moins deux diviseurs communs.
5. Un nombre premier ne peut pas être un multiple de $3$.
6. Si un nombre entier divise $24$, alors il divise aussi $48$.

1. Recopie et complète les deux décompositions suivantes en remplaçant chaque « … » par le nombre qui convient.

   180 | 2
    90 | …
    45 | 3
     … | 3
     5 | …
     1 |
   

   264 | 2
     … | 2
    66 | …
    33 | 3
     … | 11
     1 |
   

2. Écris la décomposition en produit de facteurs premiers de $180$, puis celle de $264$, en utilisant des exposants.

3. Parmi les trois égalités suivantes, lesquelles sont des décompositions en produit de facteurs premiers ? Justifie ta réponse pour chacune.

   a. $60=4\times 15$

   b. $60=2^2\times 15$

   c. $60=2^2\times 3\times 5$

Décompose chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers. Écris chaque résultat en utilisant des exposants.

On considère les deux nombres suivants, donnés par leur décomposition en produit de facteurs premiers :

1. Calcule $A$ et $B$.
2. Sans poser de division, explique pourquoi $A$ est divisible par $12$, mais pas par $9$.
3. Le nombre $A\times B$ est-il un carré, c'est-à-dire le carré d'un nombre entier ? Réponds sans calculer $A\times B$, en t'aidant des décompositions.
4. Par quel plus petit nombre entier faut-il multiplier $A\times B$ pour obtenir le carré d'un nombre entier ?

Rends chacune des fractions suivantes irréductible. Tu peux simplifier en plusieurs étapes, en t'aidant des critères de divisibilité.

1. Pour chacune des fractions suivantes, indique si elle est irréductible. Justifie ta réponse : si la fraction n'est pas irréductible, donne un diviseur commun au numérateur et au dénominateur autre que $1$ ; si elle l'est, explique pourquoi (tu peux t'aider des décompositions en facteurs premiers).

   a. ${\displaystyle \frac{21}{40}}$

   b. ${\displaystyle \frac{51}{68}}$

   c. ${\displaystyle \frac{35}{64}}$

   d. ${\displaystyle \frac{39}{91}}$

   e. ${\displaystyle \frac{121}{143}}$

2. On considère maintenant une fraction dont le dénominateur est un nombre premier. Explique pourquoi cette fraction est forcément irréductible, sauf si son numérateur est un multiple de ce dénominateur. Tu pourras commencer par écrire la liste des diviseurs d'un nombre premier.

1. Décompose $504$ et $1188$ en produits de facteurs premiers (avec les exposants).

2. Déduis-en la forme irréductible de la fraction ${\displaystyle \frac{504}{1188}}$.

3. En procédant de la même façon, rends la fraction ${\displaystyle \frac{660}{1050}}$ irréductible.

Pour des nombres de cette taille, simplifier « au flair » ne suffit plus : la décomposition en facteurs premiers est le seul outil vraiment fiable.

1. Rends la fraction ${\displaystyle \frac{1176}{1260}}$ irréductible en décomposant son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers.

2. Fais de même avec la fraction ${\displaystyle \frac{2520}{6600}}$.

3. Une fois la simplification terminée, comment peux-tu être certain que la fraction obtenue est bien irréductible ? Explique.

Dans un mécanisme, deux roues dentées sont engrenées : la roue A possède $12$ dents et la roue B possède $18$ dents. Quand l'une tourne, elle entraîne l'autre, dent après dent. Au départ, un repère peint sur une dent de la roue A et un repère peint sur une dent de la roue B sont exactement face à face.

1. La roue A revient dans sa position de départ toutes les $12$ dents, la roue B toutes les $18$ dents. En listant les premiers multiples de $12$ et de $18$, détermine après combien de dents passées les deux repères se retrouvent face à face pour la première fois.

2. Combien de tours complets chaque roue a-t-elle effectués à ce moment-là ?

3. On remplace la roue B par une roue C de $20$ dents. Réponds aux deux mêmes questions, cette fois en t'appuyant sur les décompositions en facteurs premiers de $12$ et de $20$.

Devant la gare, deux lignes de bus partent du même arrêt. Le premier départ de la journée a lieu à $7$ h $00$ pour les deux lignes, exactement au même moment. Ensuite, un bus de la ligne 1 part toutes les $18$ minutes et un bus de la ligne 2 part toutes les $24$ minutes.

1. À quelle heure les deux lignes ont-elles à nouveau un départ en même temps, pour la première fois ? Justifie en t'appuyant sur les décompositions en facteurs premiers de $18$ et de $24$.

2. Les deux lignes fonctionnent de $7$ h $00$ à $19$ h $00$. Combien de fois dans la journée, ces deux horaires compris, un bus de chaque ligne part-il au même moment ?

Une fleuriste dispose de $126$ roses et de $210$ tulipes. Elle veut composer des bouquets tous identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chaque bouquet) en utilisant toutes ses fleurs, sans qu'il en reste.

1. Peut-elle composer $14$ bouquets ? Justifie.

2. Peut-elle en composer $20$ ? Justifie.

3. Décompose $126$ et $210$ en produits de facteurs premiers.

4. Quel est le plus grand nombre de bouquets qu'elle peut composer ? Explique comment les décompositions permettent de le trouver.

5. Dans ce cas, de quoi est composé chaque bouquet ?

Un collège organise son spectacle de fin d'année.

Partie A. La répartition des élèves. Le spectacle réunit $252$ élèves de 6e-5e et $180$ élèves de 4e-3e. Pour les répétitions, on veut former des groupes tous identiques : chaque groupe doit contenir le même nombre d'élèves de 6e-5e et le même nombre d'élèves de 4e-3e, et tous les élèves doivent être placés dans un groupe.

1. Décompose $252$ et $180$ en produits de facteurs premiers.

2. Quel est le plus grand nombre de groupes que l'on peut former ? Justifie à l'aide des décompositions.

3. Combien y a-t-il alors d'élèves de chaque catégorie dans un groupe ?

Partie B. La recette. Le soir du spectacle, $432$ spectateurs ont acheté un billet, dont $270$ au tarif réduit.

4. Exprime, sous forme de fraction irréductible, la proportion de spectateurs ayant payé le tarif réduit.

5. La principale affirme : « plus de $60\mathrm{\%}$ des spectateurs ont payé le tarif réduit ». A-t-elle raison ? Justifie.

Zoé remarque quelque chose d'étonnant en simplifiant des fractions.

1. Vérifie que les fractions suivantes sont irréductibles.

   a. ${\displaystyle \frac{7}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{15}{16}}$

   c. ${\displaystyle \frac{23}{24}}$

2. Zoé conjecture alors : « une fraction dont le dénominateur est l'entier qui suit le numérateur est toujours irréductible ». Autrement dit, si $n$ désigne un entier non nul, la fraction ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ serait toujours irréductible.

   a. Soit $d$ un entier qui divise à la fois $n$ et $n+1$. Explique pourquoi $d$ divise aussi la différence $(n+1)-n$.

   b. Déduis-en la seule valeur possible pour $d$, puis conclus : la conjecture de Zoé est-elle vraie ?

3. Enzo propose alors la même conjecture pour les fractions de la forme ${\displaystyle \frac{n}{n+2}}$ : « elles sont toujours irréductibles ». Qu'en penses-tu ? Si la conjecture est fausse, donne un contre-exemple et précise pour quelles valeurs de $n$ la fraction peut être simplifiée.