Devoir surveillé — Arithmétique : fractions irréductibles

1. (1 pt) Question de cours : donner la définition d'un nombre premier, puis expliquer pourquoi $1$ n'est pas un nombre premier.

2. (2 pts) Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est premier ou non. Justifier chaque réponse (par les divisions à effectuer ou par une décomposition).

   a. $61$

   b. $87$

   c. $101$

   d. $119$

3. (1 pt) Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

   « Le produit de deux nombres premiers est toujours un nombre impair. »

1. (2 pts) Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Présenter les calculs et écrire chaque résultat avec des exposants.

   a. $396$

   b. $1050$

2. (1,5 pt) Calculer le nombre $B$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $B=2^3\times 3^2\times 5$, puis donner deux diviseurs de $B$ plus grands que $10$, en justifiant à partir de la décomposition.

3. (1,5 pt) Le nombre $2^2\times 3^4$ est-il le carré d'un nombre entier ? Justifier.

1. (1 pt) La fraction ${\displaystyle \frac{57}{95}}$ est-elle irréductible ? Justifier.

2. (2 pts) En utilisant les décompositions obtenues à l'exercice 2, rendre la fraction ${\displaystyle \frac{396}{1050}}$ irréductible. Détailler les facteurs communs simplifiés.

3. (2 pts) Dans un collège de $616$ élèves, $264$ sont demi-pensionnaires.

   a. Exprimer la proportion de demi-pensionnaires par une fraction irréductible.

   b. Les demi-pensionnaires représentent-ils plus de $40\mathrm{\%}$ des élèves du collège ? Justifier.

Pour le marché de Noël, une association prépare des colis gourmands avec $168$ chocolats et $252$ papillotes. Tous les colis doivent être identiques : chaque colis contient le même nombre de chocolats et le même nombre de papillotes, et tous les chocolats et toutes les papillotes doivent être utilisés.

1. (1 pt) L'association peut-elle préparer $12$ colis ? Justifier.

2. (2 pts) Décomposer $168$ et $252$ en produit de facteurs premiers.

3. (1,5 pt) Quel est le plus grand nombre de colis que l'association peut préparer ? Justifier la réponse à l'aide des décompositions.

4. (1,5 pt) Donner alors la composition d'un colis, puis vérifier que tous les chocolats et toutes les papillotes sont utilisés.