Exercices — Suites arithmétiques et géométriques : sommes

Rappel. Si la suite $u$ est arithmétique de raison $r$, alors $u(n)=u(0)+n\times r$. Si la suite $u$ est géométrique de raison $q$, alors $u(n)=u(0)\times q^n$.

1. La suite $u$ est arithmétique de premier terme $u(0)=15$ et de raison $r=4$.

   a. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $u(25)$.

2. La suite $v$ est géométrique de premier terme $v(0)=3$ et de raison $q=2$.

   a. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $v(10)$.

3. La suite $w$ est arithmétique de raison $r=\mathrm{2,5}$. Cette fois, c'est le terme de rang $1$ qui est donné : $w(1)=8$.

   a. Exprimer $w(n)$ en fonction de $n$, pour $n\ge 1$. (Attention : entre le rang $1$ et le rang $n$, on ajoute $n-1$ fois la raison.)

   b. Calculer $w(30)$.

4. Pour chacune des suites suivantes, calculer le terme demandé.

   a. $u$ arithmétique, $u(0)=7$, $r=3$ : calculer $u(12)$.

   b. $v$ géométrique, $v(0)=5$, $q=3$ : calculer $v(4)$.

   c. $u$ arithmétique, $u(0)=100$, $r=-6$ : calculer $u(15)$.

   d. $v$ géométrique, $v(0)=2000$, $q=\mathrm{0,5}$ : calculer $v(3)$.

Méthode. Trois nombres $a$ ; $b$ ; $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique lorsque la différence est constante : $b-a=c-b$. Ce sont des termes consécutifs d'une suite géométrique lorsque le quotient est constant : ${\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{c}{b}}$.

Pour chacune des listes suivantes, dire si les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique, ou ni l'un ni l'autre. Justifier chaque réponse par un calcul de différences ou de quotients.

a. $7$ ; $12$ ; $17$

b. $5$ ; $15$ ; $45$

c. $4$ ; $10$ ; $25$

d. $8$ ; $11$ ; $15$

e. $2$ ; $6$ ; $18$ (pour cette liste, vérifier les deux natures : arithmétique et géométrique)

Rappel. La moyenne arithmétique de deux nombres $a$ et $b$ est ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$. La moyenne géométrique de deux nombres positifs $a$ et $b$ est $\sqrt{a\times b}$. Trois nombres positifs $a$ ; $b$ ; $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique lorsque $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$, et d'une suite géométrique lorsque $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$.

1. a. Calculer la moyenne arithmétique de $4$ et $25$.

   b. Calculer la moyenne géométrique de $4$ et $25$.

   c. Comparer les deux résultats.

2. On veut insérer un nombre $b$ entre $12$ et $48$ pour que $12$ ; $b$ ; $48$ soient trois termes consécutifs :

   a. d'une suite arithmétique — calculer $b$ ;

   b. d'une suite géométrique à termes positifs — calculer $b$.

3. Le prix d'un article passe de 200 € à 242 € après deux augmentations successives de même taux. On note $p$ le prix (en euros) après la première augmentation.

   a. Justifier que $200$ ; $p$ ; $242$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

   b. En déduire que $p$ est la moyenne géométrique de $200$ et $242$, puis calculer $p$.

   c. Déterminer le taux de chaque augmentation.

Les trois situations sont indépendantes.

1. Une salle de sport comptait $320$ abonnés en janvier. Six mois plus tard, elle en compte $410$. Le nombre d'abonnés a augmenté du même nombre chaque mois. On note $u(n)$ le nombre d'abonnés après $n$ mois, avec $u(0)=320$.

   a. Quelle est la nature de la suite $u$ ? Justifier.

   b. Calculer sa raison.

   c. Si l'évolution se poursuit au même rythme, combien la salle comptera-t-elle d'abonnés au bout d'un an ?

2. Dans une expérience, une population de bactéries est multipliée par $\mathrm{1,8}$ toutes les heures. Au départ, la population compte $500$ bactéries. On note $v(n)$ le nombre de bactéries après $n$ heures.

   a. Quelle est la nature de la suite $v$ ? Donner sa raison.

   b. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$.

   c. Calculer le nombre de bactéries après $5$ heures (arrondir à l'unité).

3. Un loyer est passé de 600 € à 726 € en deux ans, avec le même taux d'augmentation chaque année. On note $q$ le coefficient multiplicateur annuel ($q>0$).

   a. Justifier que $q^2=\mathrm{1,21}$.

   b. En déduire la valeur de $q$, puis le taux d'augmentation annuel.

   c. Quel était le montant du loyer au bout d'un an ?

Rappel. Pour tout entier $n\ge 1$ : $1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$.

1. Calculer $1+2+3+\cdots +100$.

2. Calculer les sommes suivantes.

   a. $1+2+\cdots +50$

   b. $1+2+\cdots +200$

   c. la somme des entiers de $1$ à $30$

   d. la somme des entiers de $1$ à $999$

3. Dans un théâtre, les rangées sont numérotées de $1$ à $25$. La rangée numéro $k$ contient exactement $k+19$ sièges : la rangée $1$ a $20$ sièges, la rangée $2$ en a $21$, et ainsi de suite.

   a. Combien de sièges compte la rangée $1$ ? La rangée $25$ ?

   b. Expliquer pourquoi le nombre total de sièges du théâtre est égal à la somme $1+2+\cdots +25$, augmentée de $25\times 19$ sièges.

   c. En déduire le nombre total de sièges du théâtre.

Rappel. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $S=\text{nombre de termes}\times {\displaystyle \frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}}$.

1. La suite $u$ est arithmétique de premier terme $u(0)=5$ et de raison $r=3$.

   a. Calculer $u(19)$.

   b. Combien de termes compte la somme $S=u(0)+u(1)+\cdots +u(19)$ ? (Attention, on compte à partir du rang $0$.)

   c. Calculer $S$.

2. On considère la somme $S^{\mathrm{\prime }}=4+7+10+\cdots +61$, dont les termes sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $4$ et de raison $3$.

   a. Déterminer le nombre de termes de cette somme. (On pourra chercher l'entier $n$ tel que $4+3n=61$.)

   b. Calculer $S^{\mathrm{\prime }}$.

3. Dans un stade, la première rangée d'un gradin compte $28$ places, et chaque rangée suivante compte $4$ places de plus que la précédente. Le gradin compte $22$ rangées en tout.

   a. Combien de places compte la dernière rangée ?

   b. Quelle est la capacité totale du gradin ?

Rappel. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\mathrm{\ne }1$ vaut $S=\text{premier terme}\times {\displaystyle \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}}$.

1. Selon la légende, l'inventeur du jeu d'échecs demanda un grain de riz sur la première case de l'échiquier, puis le double sur chaque case suivante. Calculer la somme $S=1+2+4+8+\cdots +2^{10}$, qui compte les grains posés sur les $11$ premières cases.

2. Calculer les sommes suivantes.

   a. $1+3+3^2+\cdots +3^5$

   b. $1+\mathrm{0,5}+{\mathrm{0,5}}^2+\cdots +{\mathrm{0,5}}^4$

   c. $1+5+5^2+5^3$

   d. $1+10+{10}^2+{10}^3+{10}^4$

3. La suite $v$ est géométrique de premier terme $v(0)=10$ et de raison $q=\mathrm{1,2}$. Calculer la somme $S=v(0)+v(1)+\cdots +v(9)$, arrondie au centième.

1. On considère la suite géométrique $v$ de premier terme $v(0)=800$ et de raison $q=\mathrm{0,9}$.

   a. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $v(5)$, arrondi à l'unité.

   c. Préciser le nombre de termes de la somme $S=v(0)+v(1)+\cdots +v(5)$, puis calculer $S$, arrondie à l'unité.

2. Calculer la somme $5+10+20+\cdots +5\times 2^8$. On reconnaîtra la somme des termes d'une suite géométrique dont on précisera le premier terme, la raison et le nombre de termes.

3. Une vidéo est mise en ligne. Elle reçoit $150$ vues le jour 1, puis, chaque jour, le nombre de nouvelles vues est multiplié par $\mathrm{1,4}$.

   a. Combien de nouvelles vues la vidéo reçoit-elle le jour 7 ? Arrondir à l'unité.

   b. Combien de vues la vidéo totalise-t-elle au bout des $7$ premiers jours ? Arrondir à l'unité.

1. Écrire chaque somme en extension (c'est-à-dire en écrivant tous ses termes), sans la calculer.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^5{k}^2}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=1}^4{k}^3}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=1}^4\frac{1}{k}}$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=0}^3{2}^k}$

2. Écrire chaque somme à l'aide de la notation sigma.

   a. $1+2+3+\cdots +40$

   b. $3+6+9+\cdots +30$

   c. $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{10}}$

3. Sans calculer les sommes, donner le nombre de termes de ${\displaystyle \sum _{k=5}^{20}u(k)}$, puis celui de ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u(k)}$ où $n$ est un entier naturel.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^5{k}^2}$, puis ${\displaystyle \sum _{k=1}^4\frac{1}{k}}$ (donner le résultat sous forme de fraction).

Calculer chacune des sommes suivantes. On commencera à chaque fois par identifier la situation : somme des premiers entiers, somme des termes d'une suite arithmétique ou somme des termes d'une suite géométrique.

1. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{60}k}$

2. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{25}(4k+1)}$. On pourra d'abord écrire les premiers termes et le dernier terme de la somme.

3. ${\displaystyle \sum _{k=0}^{9}3\times 2^k}$

4. ${\displaystyle \sum _{k=10}^{30}k}$. On pourra utiliser deux sommes de la forme $1+2+\cdots +n$, ou bien la formule avec le premier et le dernier terme.

On considère la fonction Python suivante.

def somme(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + k**2
    return S

1. Quelle valeur renvoie l'appel somme(4) ? Vérifier le résultat par un calcul à la main.

2. Pour un entier naturel $n\ge 1$, quelle somme mathématique la fonction somme calcule-t-elle ? L'écrire avec la notation sigma.

3. Identifier dans le programme : l'initialisation, la variable qui joue le rôle d'accumulateur, et celle qui joue le rôle de compteur.

4. Modifier la fonction pour qu'elle calcule :

   a. la somme des $n$ premiers cubes $1^3+2^3+\cdots +n^3$ ;

   b. la somme des $n$ premiers inverses $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

5. On considère la suite arithmétique $u$ définie par $u(n)=7+3n$ pour tout entier naturel $n$. Écrire une fonction Python qui calcule la somme $u(0)+u(1)+\cdots +u(n)$ à l'aide d'une boucle for (sans utiliser de formule de somme). Quelle valeur renvoie cette fonction pour $n=10$ ?

Pour chacune des trois situations suivantes :

• identifier la nature de la suite sous-jacente (arithmétique ou géométrique) et préciser son premier terme et sa raison ;
• dire si la question posée porte sur un terme de la suite ou sur une somme de termes ;
• répondre à la question par un calcul.

a. Une entreprise produit $2000$ pièces la première semaine, puis $150$ pièces de plus chaque semaine. Combien de pièces produit-elle la ${10}^{\text{e}}$ semaine ? Combien de pièces a-t-elle produites au total au bout de $10$ semaines ?

b. Un capital de $5000$ € est placé à $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés, sans aucun versement supplémentaire. Quel est le capital disponible au bout de $8$ ans ? Arrondir au centime.

c. Une association reçoit $1200$ € de dons la première année. Chaque année, le montant des dons est multiplié par $\mathrm{0,95}$. Quel montant total de dons l'association a-t-elle reçu au bout de $12$ ans ? Arrondir au centime.

Marc ouvre un livret d'épargne rémunéré à $4\mathrm{\%}$ par an (intérêts composés). Le 1er janvier de chaque année, pendant $6$ ans, il verse 500 € sur ce livret (versements les 1er janvier des années 1 à 6).

On fait le bilan juste après le 6e versement : le 6e versement vient d'être déposé et n'a pas encore produit d'intérêts, tandis que le 1er versement a fructifié pendant $5$ ans.

1. Que vaut, au moment du bilan, la somme issue du 1er versement ? Celle issue du 6e versement ?

2. En procédant de même pour les autres versements, montrer que la valeur acquise sur le livret au moment du bilan s'écrit

   $$V=500(1+\mathrm{1,04}+{\mathrm{1,04}}^2+\cdots +{\mathrm{1,04}}^5)$$

3. Calculer $V$, arrondie au centime.

4. Comparer $V$ au montant total versé par Marc et interpréter la différence.

5. On imagine maintenant que le livret est rémunéré à $0\mathrm{\%}$.

   a. Que vaudrait la valeur acquise au moment du bilan ?

   b. Les valeurs des $6$ versements au moment du bilan forment alors une suite constante, égale à $500$. De quelle suite géométrique s'agit-il ? Peut-on utiliser la formule $S=\text{premier terme}\times {\displaystyle \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}}$ pour calculer leur somme ? Expliquer.

Léa hésite entre deux contrats de travail, qu'elle envisage sur une carrière de $10$ ans :

• Contrat A : salaire annuel initial de $24000$ €, augmenté de $900$ € chaque année ;
• Contrat B : salaire annuel initial de $24000$ €, augmenté de $3\mathrm{\%}$ chaque année.

Pour un entier naturel $n$, on note $a(n)$ et $b(n)$ les salaires annuels, en euros, perçus la $(n+1)$-ième année avec chaque contrat. Ainsi $a(0)=b(0)=24000$.

1. Préciser la nature et la raison de chacune des suites $a$ et $b$, puis exprimer $a(n)$ et $b(n)$ en fonction de $n$.

2. Calculer les salaires de la ${10}^{\text{e}}$ année, c'est-à-dire $a(9)$ et $b(9)$. Arrondir à l'euro.

3. Calculer le montant total perçu avec le contrat A sur les $10$ années.

4. Montrer que le montant total perçu avec le contrat B sur les $10$ années s'écrit $24000\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{1,03}}^{10}-1}{\mathrm{0,03}}}$, puis le calculer. Arrondir à l'euro.

5. Conclure.

   a. Quel contrat rapporte le plus en cumul sur les $10$ ans ? Et sur la ${10}^{\text{e}}$ année seule ?

   b. Question ouverte : le salaire du contrat A a une croissance linéaire, celui du contrat B une croissance exponentielle. Si la carrière de Léa se poursuit bien au-delà de $10$ ans, que peut-on prévoir ? On pourra s'aider de la calculatrice ou d'un tableur pour préciser la réponse.