Devoir surveillé — Suites arithmétiques et géométriques : sommes

Les trois parties sont indépendantes. La calculatrice est autorisée.

Partie A. La suite $(u(n))$, que l'on peut aussi noter $(u_n)$, est définie par son premier terme $u(0)=12$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$u(n+1)=u(n)+5.$$

1. Quelle est la nature de la suite $(u(n))$ ? Préciser sa raison.
2. Calculer $u(1)$ et $u(2)$.
3. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.
4. Calculer $u(40)$.

Partie B. La suite $(v(n))$ est géométrique, de premier terme $v(0)=2500$ et de raison $q=\mathrm{0,8}$.

5. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$.
6. Calculer $v(4)$.

Partie C. Les deux questions sont indépendantes et demandent chacune une vérification complète.

7. Les nombres $18$ ; $27$ ; $\mathrm{40,5}$ sont-ils, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? Justifier.
8. Les nombres $18$ ; $27$ ; $36$ sont-ils, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Justifier.

Un amphithéâtre compte $20$ rangées de sièges. La rangée $1$, la plus proche de la scène, compte $14$ sièges. Ensuite, chaque rangée compte $3$ sièges de plus que la rangée précédente.

Pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $20$, on note $s(n)$ le nombre de sièges de la rangée $n$. On a donc $s(1)=14$.

1. Calculer $s(2)$ et $s(3)$.
2. Quelle est la nature de la suite $(s(n))$ ? Justifier et préciser sa raison.
3. Exprimer $s(n)$ en fonction de $n$.
4. Combien de sièges compte la dernière rangée de l'amphithéâtre ?
5. Calculer la capacité totale de l'amphithéâtre, c'est-à-dire le nombre total de sièges des $20$ rangées.

Nadia ouvre un plan d'épargne rémunéré au taux de $3\mathrm{\%}$ par an (intérêts composés : chaque année, le capital présent sur le compte est multiplié par $\mathrm{1,03}$).

Le 1er janvier de chaque année, pendant $5$ années consécutives, elle verse 400 € sur ce compte (soit $5$ versements au total). On fait le bilan du compte juste après le 5e versement : à cette date, le 1er versement a été rémunéré pendant $4$ années complètes, tandis que le 5e versement vient tout juste d'être déposé.

1. Justifier que, au moment du bilan, le 1er versement a acquis la valeur $400\times {\mathrm{1,03}}^4$ euros, et donner cette valeur arrondie au centime. Quelle est la valeur du 5e versement à cette même date ?
2. En raisonnant de la même façon pour les autres versements, montrer que la valeur acquise $V$ du compte, en euros, au moment du bilan, s'écrit :

$$V=400(1+\mathrm{1,03}+{\mathrm{1,03}}^2+{\mathrm{1,03}}^3+{\mathrm{1,03}}^4)\mathrm{.}$$

3. Justifier que la somme entre parenthèses est la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique dont on précisera le premier terme, la raison et le nombre de termes. En déduire la valeur de $V$ arrondie au centime.
4. Quel montant total Nadia a-t-elle versé sur le compte ? En déduire le montant des intérêts produits par le plan d'épargne, arrondi au centime.
5. Sans refaire tout le calcul, expliquer pourquoi, si Nadia avait versé 800 € chaque année au lieu de 400 €, la valeur acquise au moment du bilan aurait été exactement doublée.

1. Combien de termes la somme ${\displaystyle \sum _{k=1}^{40}k}$ comporte-t-elle ? Calculer cette somme.
2. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^5{2}^k}$.
3. On donne la fonction Python suivante :

def mystere(n):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + 1 / k
    return S

a. Quelle somme mathématique cette fonction calcule-t-elle ? L'écrire avec la notation sigma.

b. Calculer à la main la valeur exacte renvoyée par mystere(3). On donnera le résultat sous forme de fraction.

c. Dans ce programme, quelle variable joue le rôle d'accumulateur ? Quelle variable joue le rôle de compteur ?