Exercices — Statistiques à deux variables : ajustements

Une piscine municipale relève le nombre d'entrées enregistrées chaque mois, de janvier à juin. On note $x$ le rang du mois (janvier correspond à $x=1$, février à $x=2$, etc.) et $y$ le nombre d'entrées, exprimé en centaines.

1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère. On conseille de placer les rangs de $0$ à $7$ en abscisse et de graduer l'axe des ordonnées de $28$ à $42$.
2. En observant le nuage, le mois de mars est-il au-dessus ou en dessous de la tendance dessinée par les mois voisins ? Répondre par une lecture simple du graphique.
3. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
4. Le point $G$ est-il un point du nuage ? Commenter.

Une chaîne de magasins étudie, pour $10$ de ses magasins, le lien entre le budget publicitaire mensuel $x$ (en centaines d'euros) et le nombre $y$ de nouveaux clients gagnés dans le mois.

Le tableau des données a été égaré, mais on dispose encore des informations suivantes :

• la moyenne des budgets est $\bar{x}=12$ et la moyenne des nombres de nouveaux clients est $\bar{y}=45$ ;
• la calculatrice avait affiché, pour la droite des moindres carrés, un coefficient directeur $a=\mathrm{2,5}$. L'ordonnée à l'origine $b$ a été effacée.

1. Rappeler la propriété du cours qui relie la droite des moindres carrés et le point moyen du nuage.
2. En déduire la valeur de $b$, puis donner l'équation de la droite des moindres carrés.
3. Estimer, à l'aide de cet ajustement, le nombre de nouveaux clients attendus pour un budget publicitaire de $2000$ €. Attention aux unités : ce budget correspond à $x=20$.
4. Cette estimation appelle-t-elle une réserve ? On remarquera qu'on ne connaît pas la plage des budgets réellement observés dans les $10$ magasins.

On considère la série statistique à deux variables donnée par le tableau suivant.

Deux élèves proposent chacun une droite pour ajuster ce nuage de points :

• Léa propose la droite $d_1$ d'équation $y=\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,5}$ ;
• Tom propose la droite $d_2$ d'équation $y=2x+1$.

1. Pour chacune des deux droites, calculer la valeur prédite en chaque point du nuage, puis la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites. On présentera les calculs dans deux tableaux de valeurs.
2. Laquelle des deux droites est le meilleur ajustement au sens des moindres carrés ?
3. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage, puis vérifier qu'une seule des deux droites passe par $G$.
4. La calculatrice confirme que la droite de Léa est exactement la droite des moindres carrés de ce nuage. Ce résultat est-il cohérent avec la réponse à la question 3 ? Une droite qui passe par $G$ est-elle nécessairement la droite des moindres carrés ?

On reprend les données de l'exercice « Comparer deux droites candidates » :

On souhaite écrire une fonction Python S(a, b) qui, pour une droite d'équation $y=ax+b$, calcule la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la droite. Voici le script, dans lequel trois expressions ont été remplacées par des pointillés :

xs = [1, 2, 3, 4]
ys = [3, 5, 6, 8]

def S(a, b):
    s = 0
    for i in range(4):
        e = ys[i] - (... * xs[i] + ...)
        s = s + e ** ...
    return s

print(S(2, 1))

1. Que représente la variable e dans ce script ?
2. Recopier et compléter les trois lignes à trous.
3. Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Justifier par le calcul à la main.
4. Que renvoie l'appel S(1.6, 1.5) ? Que peut-on en conclure sur les deux droites de l'exercice précédent ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE, en justifiant la réponse.

a. « La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage. »

b. « Si une droite passe par le point moyen, alors c'est la droite des moindres carrés. »

c. « Estimer une valeur pour $x=7$ alors que les données vont de $x=2$ à $x=12$, c'est une extrapolation. »

d. « Plus on extrapole loin de la plage des données, moins la prévision est fiable. »

e. « La somme des carrés des écarts de la droite des moindres carrés est nulle. »

Dans un pavillon, on relève pendant 6 semaines réparties entre l'hiver et le printemps la température extérieure moyenne $x$ (en °C) et la consommation électrique quotidienne de chauffage $y$ (en kWh).

Le nuage de points associé à cette série est représenté ci-dessous.

1. Un ajustement affine de ce nuage semble-t-il justifié ? Justifier à partir de l'allure du nuage et préciser le sens de la tendance observée.
2. À la calculatrice, déterminer une équation de la droite des moindres carrés de $y$ en fonction de $x$. On arrondira les coefficients $a$ et $b$ au centième.
3. À l'aide de ce modèle, estimer la consommation quotidienne de chauffage pour une température extérieure de $10$ °C. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
4. Que prédit le modèle pour une température de $28$ °C ? Expliquer pourquoi ce résultat est absurde, et ce qu'il faut en conclure sur le domaine de validité du modèle.

En TP de chimie, on mesure l'absorbance $y$ (sans unité) de cinq solutions dont la concentration $x$ (en mg/L) est connue.

La droite des moindres carrés associée à ce nuage sert de droite d'étalonnage : elle permet ensuite de déterminer la concentration d'une solution inconnue à partir de la mesure de son absorbance.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
2. À la calculatrice, déterminer une équation de la droite des moindres carrés de $y$ en fonction de $x$. On arrondira $a$ au dix-millième et $b$ au millième.
3. Une solution inconnue a une absorbance de $\mathrm{0,52}$. Estimer sa concentration, arrondie au dixième de mg/L. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
4. Pourquoi serait-il imprudent d'utiliser cette droite d'étalonnage pour une solution dont l'absorbance mesurée vaut $2$ ?

Une PME suit l'évolution de son chiffre d'affaires annuel depuis 7 ans. On note $x$ le rang de l'année (de $1$ à $7$) et $y$ le chiffre d'affaires, exprimé en milliers d'euros.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
2. À la calculatrice, déterminer une équation de la droite des moindres carrés de $y$ en fonction de $x$. Les coefficients obtenus sont ici des valeurs exactes : les donner sans arrondi.
3. Vérifier par le calcul que le point $G$ appartient à cette droite.
4. En supposant que la tendance se maintienne, estimer le chiffre d'affaires de l'année de rang $10$. Préciser la nature de cette estimation (interpolation ou extrapolation) et formuler la réserve d'usage qui l'accompagne.

La sécurité routière mesure la distance de freinage $d$ (en m) d'une voiture sur route sèche, pour différentes vitesses $v$ (en km/h).

Le nuage de points de $d$ en fonction de $v$ est représenté ci-dessous.

1. Expliquer pourquoi un ajustement affine du nuage $(v;d)$ n'est pas pertinent. On pourra s'appuyer sur l'allure du nuage et comparer l'évolution de la distance lorsque la vitesse double, par exemple de $50$ à $100$ km/h.
2. On pose $u=v^2$. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

3. On observe que le nuage de points $(u;d)$ est presque parfaitement rectiligne. À la calculatrice, déterminer une équation de la droite des moindres carrés de $d$ en fonction de $u$. On arrondira $a$ au dix-millième et $b$ au dixième. Que constate-t-on pour $b$ ?
4. En négligeant $b$, exprimer $d$ en fonction de $v$, puis estimer la distance de freinage d'une voiture roulant à $100$ km/h.
5. Le modèle donne-t-il un résultat raisonnable pour $v=200$ km/h ? Discuter.

Une entreprise du bâtiment réalise régulièrement le même type de chantier. Elle a relevé, sur plusieurs chantiers identiques, la durée totale des travaux $y$ (en jours) en fonction du nombre $x$ d'ouvriers mobilisés.

Le nuage de points associé est représenté ci-dessous.

1. Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage est un mauvais modèle. On pourra s'appuyer sur la façon dont la durée diminue, et sur ce que prédirait une droite pour un grand nombre d'ouvriers.
2. On pose $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes de $t$.

3. Placer les points $(t;y)$ dans un repère. Que constate-t-on ? Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en fonction de $t$, par lecture graphique ou à la calculatrice.
4. En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$. Interpréter la constante $40$ dans le contexte de l'exercice. Que peut-on dire du produit $x\times y$ ?
5. Estimer avec ce modèle la durée du chantier si l'entreprise mobilise $16$ ouvriers. Cette prévision vous semble-t-elle fiable ? Justifier.

Une créatrice de contenus suit l'évolution du nombre d'abonnés à sa chaîne depuis son lancement. On note $x$ le rang de l'année ($x=0$ pour l'année de lancement) et $y$ le nombre d'abonnés, en milliers.

Le nuage de points associé est représenté ci-dessous.

1. Expliquer pourquoi un ajustement affine du nuage $(x;y)$ est inadapté.
2. On pose $z=\log y$. Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs de $z$ au centième.

3. Placer les points $(x;z)$ dans un repère. Que constate-t-on ? À la calculatrice, un ajustement affine de ce nuage donne $z=\mathrm{0,30}x+\mathrm{0,30}$. Vérifier la cohérence de cette équation avec deux points du tableau.
4. En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y=k\times q^x$. On utilisera ${10}^{\mathrm{0,30}}\approx 2$. Interpréter la valeur de $q$ dans le contexte de l'exercice.
5. Avec ce modèle, estimer le nombre d'abonnés à l'année de rang $8$. Cette prévision est-elle fiable ? Justifier.

On reprend les données suivantes :

La fonction Python S(a, b) renvoie la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la droite d'équation $y=ax+b$. Le programme ci-dessous cherche, parmi plusieurs couples $(a;b)$, celui qui rend cette somme la plus petite possible.

xs = [1, 2, 3, 4]
ys = [3, 5, 6, 8]

def S(a, b):
    s = 0
    for i in range(4):
        e = ys[i] - (a * xs[i] + b)
        s = s + e ** 2
    return s

meilleur = 10**9
for a in [1, 1.5, 2, 2.5, 3]:
    for b in [0, 0.5, 1, 1.5, 2]:
        s = S(a, b)
        if s < meilleur:
            meilleur = s
            couple = (a, b)
print(couple, meilleur)

1. Combien de couples $(a;b)$ ce programme teste-t-il ?
2. Expliquer le rôle de la variable meilleur et de l'instruction if s < meilleur.
3. Vérifier à la main que $S(\mathrm{1,5};\mathrm{1,5})=\mathrm{0,5}$. On détaillera le calcul des quatre écarts.
4. Le programme affiche (1.5, 1.5) 0.5. Pourtant, la calculatrice donne comme droite des moindres carrés $y=\mathrm{1,6}x+\mathrm{1,5}$, avec une somme des carrés des écarts égale à $\mathrm{0,2}$. Expliquer pourquoi le balayage n'a pas trouvé cette droite, puis proposer une amélioration du programme.
5. Si deux couples testés donnaient exactement la même somme des carrés des écarts, lequel des deux serait conservé par le programme ? Justifier à partir de la condition du if.

On étudie deux situations indépendantes.

Situation A. Une entreprise suit la valeur de revente d'une machine-outil. On note $x$ l'âge de la machine (en années) et $y$ sa valeur (en centaines d'euros).

Situation B. En laboratoire, on mesure la puissance dissipée par une résistance chauffante selon l'intensité du courant qui la traverse. On note $x$ l'intensité (en ampères) et $y$ la puissance (en watts).

1. Pour chaque situation, dire si le nuage $(x;y)$ peut être raisonnablement ajusté par une droite. Justifier.
2. On propose trois changements de variable : $u=x^2$, $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $z=\log y$. Associer à chaque situation le changement de variable le plus pertinent, en justifiant par la nature de la croissance ou de la décroissance observée. On expliquera aussi pourquoi le changement de variable $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$ est impossible dans la situation A.
3. Situation A. Calculer les valeurs de $z=\log y$ arrondies au centième, et vérifier que $z$ diminue d'environ $\mathrm{0,15}$ par an. En déduire un ajustement de la forme $z\approx -\mathrm{0,15}x+\mathrm{2,30}$, puis une expression de $y$ en fonction de $x$ de la forme $y\approx k\times q^x$. On utilisera ${10}^{-\mathrm{0,15}}\approx \mathrm{0,71}$ et ${10}^{\mathrm{2,30}}\approx 200$. Interpréter la valeur de $q$.
4. Situation B. Calculer les valeurs de $u=x^2$ et vérifier que les points $(u;y)$ sont exactement alignés sur la droite d'équation $y=\mathrm{0,5}u+2$. En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ et interpréter la constante $2$ dans le contexte de l'expérience.

Un café est servi à $80$ °C dans une pièce dont la température est maintenue à $20$ °C. On relève la température $\theta$ du café (en °C) toutes les $5$ minutes.

Le nuage de points associé est représenté ci-dessous.

1. Justifier qu'un ajustement affine du nuage $(t;\theta )$ est un mauvais modèle à long terme.
2. On pose $y=\theta -20$, l'écart entre la température du café et celle de la pièce, puis $z=\log y$. Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs de $z$ au centième.

3. Placer les points $(t;z)$ dans un repère. Que constate-t-on ? La calculatrice donne l'ajustement affine $z\approx -\mathrm{0,030}t+\mathrm{1,78}$ : vérifier la cohérence de cette équation avec deux points du tableau.
4. Montrer que ce modèle conduit à $\theta =20+{10}^{-\mathrm{0,030}t+\mathrm{1,78}}$, puis à $\theta \approx 20+60\times {\mathrm{0,933}}^t$. On utilisera ${10}^{\mathrm{1,78}}\approx 60$ et ${10}^{-\mathrm{0,030}}\approx \mathrm{0,933}$.
5. Estimer la température du café après $30$ minutes.
6. Selon ce modèle, le café atteindra-t-il exactement $20$ °C ? Interpréter, puis confronter cette conclusion à la réalité.